Introduction à la théorie des poutres - mms2 - MINES ParisTech

INTRODUCTION À LA THÉORIE DES POUTRES
David Ryckelynck
Centre des Matériaux, Mines ParisTech
David.Ryckelynck@mines-paristech.fr
16 mars 2012

Pourquoi s’intéresser à la théorie des poutres aujourd’hui ?
La théorie des poutres est un outil supplémentaire pour déterminer des solutions analytiques en
considérant des hypothèses additionnelles.
L’avantage des solutions analytiques sur les prévisions obtenues par des méthodes numériques
est de permettre de visualiser l’influence de différents paramètres (de forme, de taille, de
comportement du matériau, d’hétérogénéité).
Ceci permet de mieux comprendre un système mécanique ou de mieux optimiser son
architecture, dans le cadre d’une première approche d’un problème de mécanique.
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 2/28

Repenser la description de l’état de certains systèmes mécaniques
Il existe des solides élancés auxquels on peut raisonnablement appliquer une description
cinématique et une description des efforts intérieurs plus simples que celles de la théorie générale
des milieux continus.
x 3
x 2
1
t
p
3
P 3
F
M
x
FIGURE: Représentation géométrique d’une poutre rectiligne
Nous traitons dans ce cours du cas des poutres rectilignes en mouvement plan.
u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω
Ω = [0, L] × S
Il existe une ligne moyenne C de point courant G, barycentre des sections droites S (S⊥C).
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 3/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Il ne s’agit plus de considérer les actions transmises par une surface infinitésimale mais celles
transmises par une section droite de la poutre.
Ligne moyenne C
σ(x). ~ _ _ x 1
_ x 1
G
_ x 1
S
dS
G
_ x 3
σ(x). ~ _ _ x 1
_ x 1
Ω
-
Ω-
S
FIGURE: Efforts intérieurs transmis par une section droite
Par exemple on s’intéresse à l’effort normal N des actions de Ω + sur Ω − (Ω = Ω + ∪ Ω − ) définit
par :
∫
∫
N = σ 11 dS = x 1 · σ ∼ · n dS
S
S
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 4/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Travaillons l’équation suivante :
∫
N = x 1 · σ ∼ · n dS
S
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 5/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Travaillons l’équation suivante :
∫
N = x 1 · σ ∼ · n dS
S
Prenons un vecteur U ∗ x 1 tel que U,2 ∗ = U∗ ,3 = 0. On a :
∫
∫
N U ∗ = U ∗ x 1 · σ ∼ · n dS = σ ∼ · n · U ∗ x 1 dS
S
S
∀U ∗
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 5/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Travaillons l’équation suivante :
∫
N = x 1 · σ ∼ · n dS
S
Prenons un vecteur U ∗ x 1 tel que U,2 ∗ = U∗ ,3 = 0. On a :
∫
∫
N U ∗ = U ∗ x 1 · σ ∼ · n dS = σ ∼ · n · U ∗ x 1 dS
S
S
∀U ∗
Nous allons exploiter le théorème des travaux virtuels comme un principe des travaux virtuels se
substituant au principe fondamental de la statique.
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 5/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Travaillons l’équation suivante :
∫
N = x 1 · σ ∼ · n dS
S
Prenons un vecteur U ∗ x 1 tel que U,2 ∗ = U∗ ,3 = 0. On a :
∫
∫
N U ∗ = U ∗ x 1 · σ ∼ · n dS = σ ∼ · n · U ∗ x 1 dS
S
S
∀U ∗
Nous allons exploiter le théorème des travaux virtuels comme un principe des travaux virtuels se
substituant au principe fondamental de la statique.
La modélisation des efforts de cohésion est déduite du choix d’une description cinématique
virtuelle x → u ∗ ∀x ∈ Ω.
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 5/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Travaillons l’équation suivante :
∫
N = x 1 · σ ∼ · n dS
S
Prenons un vecteur U ∗ x 1 tel que U,2 ∗ = U∗ ,3 = 0. On a :
∫
∫
N U ∗ = U ∗ x 1 · σ ∼ · n dS = σ ∼ · n · U ∗ x 1 dS
S
S
∀U ∗
Nous allons exploiter le théorème des travaux virtuels comme un principe des travaux virtuels se
substituant au principe fondamental de la statique.
La modélisation des efforts de cohésion est déduite du choix d’une description cinématique
virtuelle x → u ∗ ∀x ∈ Ω.
Nous allons étudier la théorie des poutres de Timoshenko et celle de Navier–Bernoulli (poutres
minces).
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 5/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Les efforts intérieurs peuvent être discontinus du fait d’efforts extérieurs ponctuels (Exemple de
l’effort normal discontinu).
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 6/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Pour éviter d’utiliser la théorie des distributions, nous introduisons la notion de tronçon de poutre.
Un tronçon est une portion continue de poutre sur laquelle les charges extérieures sont continues.
Les discontinuités de chargement et d’appui (condition en déplacement) sont situées aux
l’extrémités des tronçons.
x 3
x 2
1
t
p
3
P 3
Tronçon 1
F
M
Tronçon 2
x
FIGURE: Tronçon et discontinuité des conditions aux limites
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 6/28

Repenser la modélisation des actions mécaniques
Pour éviter d’utiliser la théorie des distributions, nous introduisons la notion de tronçon de poutre.
Un tronçon est une portion continue de poutre sur laquelle les charges extérieures sont continues.
Les discontinuités de chargement et d’appui (condition en déplacement) sont situées aux
l’extrémités des tronçons.
x 3
x 2
1
t
p
3
P 3
Tronçon 1
F
M
Tronçon 2
x
FIGURE: Tronçon et discontinuité des conditions aux limites
Les équations d’équilibre portant sur les efforts intérieurs seront écrites tronçon par tronçon.
MMS 2012, Introduction Introduction à la théorie des poutres 6/28

Application du principe des travaux virtuels
La définition d’actions mécaniques et la formulation des conditions d’équilibre associées sont
obtenues en mettant en œuvre les étapes suivantes :
Choisir une description des champs virtuels définissant le nouveau modèle mécanique à
partir du modèle 3D usuel (x ∈ Ω → u(x) ∈ H 1 (Ω)).
Calculer les différents travaux virtuels
Appliquer le principe des travaux virtuels pour obtenir les équations d’équilibre
Compléter les équations d’équilibre par des lois de comportement
Compléter les équations aux dérivées partielles par des conditions aux limites
Choisir une géométrie, un matériau et des conditions aux limites
Résoudre les équations aux dérivées partielles
Analyser les résultats obtenus
Une autre possibilité est d’appliquer le théorème de l’énergie potentielle pour les systèmes
conservatifs. Le modèle obtenu n’est pas nécessairement le même.
MMS 2012, Application du principe des travaux virtuels Introduction à la théorie des poutres 7/28

Théorie de Timoshenko
Première étape de la mise en œuvre du principe des travaux virtuels pour définir les actions
de cohésion : choisir un champ de déplacement virtuel.
*
* *
FIGURE: Description du champ de déplacement virtuel choisi.
u ∗ = u1 ∗ (x 1, x 3 ) x 1 + u3 ∗ (x 1, x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (1)
u1 ∗ = U∗ (x 1 ) + θ ∗ (x 1 )x 3 u3 ∗ = V ∗ (x 1 ) (2)
(3)
Il y a trois champs unidimensionnels (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), définis sur l’intervalle [0, L].
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 8/28

Théorie de Timoshenko
Première étape de la mise en œuvre du principe des travaux virtuels pour définir les actions
de cohésion : choisir un champ de déplacement virtuel.
*
* *
FIGURE: Description du champ de déplacement virtuel choisi.
u ∗ = u1 ∗ (x 1, x 3 ) x 1 + u3 ∗ (x 1, x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (1)
u1 ∗ = U∗ (x 1 ) + θ ∗ (x 1 )x 3 u3 ∗ = V ∗ (x 1 ) (2)
ε ∗ 11 = U∗ ,1 + θ∗ ,1 x 3 2ε ∗ 13 = V ,1 ∗ + θ∗ (3)
Il y a trois champs unidimensionnels (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), définis sur l’intervalle [0, L].
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 8/28

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
∫
W ∗
int = − ε ∗ ij σ ij dV (4)
Ω
(5)
(6)
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 9/28

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
∫
W ∗
int = − ε ∗ ij σ ij dV (4)
Ω
∫
= − (ε ∗ 11 σ 11 + 2ε ∗ 13 σ 13)dV (5)
Ω
(6)
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 9/28

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
∫
W ∗
int = − ε ∗ ij σ ij dV (4)
Ω
∫
= − (ε ∗ 11 σ 11 + 2ε ∗ 13 σ 13)dV (5)
Ω
∫
= −
C
( ∫
∫
∫ )
U ∗ ,1 σ 11 dS + θ ∗ ,1 x 3 σ 11 dS + (V ∗ ,1 + θ∗ ) σ 13 dS dx 1 (6)
S
S
S
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 9/28

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
∫
W ∗
int = − ε ∗ ij σ ij dV (4)
Ω
∫
= − (ε ∗ 11 σ 11 + 2ε ∗ 13 σ 13)dV (5)
Ω
∫
= −
C
( ∫
∫
∫ )
U ∗ ,1 σ 11 dS + θ ∗ ,1 x 3 σ 11 dS + (V ∗ ,1 + θ∗ ) σ 13 dS dx 1 (6)
S
S
S
On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U ∗ ,1 , (V ∗ ,1 + θ∗ ), θ ∗ ,1 . Par
définition ce sont l’effort normal, l’effort tranchant et le moment fléchissant (exprimé au point G).
∫
∫
∫
N = σ 11 dS T = σ 13 dS M = x 3 σ 11 dS (7)
S
S
S
Ce sont les composantes du torseur des efforts intérieurs. Ceci donne :
∫ (
)
Wint ∗ = − N U,1 ∗ + M θ∗ ,1 + T (V ,1 ∗ + θ∗ ) dx 1 (8)
C
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 9/28

Théorie de Timoshenko
Calcul des travaux virtuels.
⋆ Travail virtuel des efforts internes
⋆ Travail virtuel des efforts extérieurs
W ∗ ext = F 0 U ∗ (0) + F L U ∗ (L) + P 0 V ∗ (0) + P L V ∗ (L) + M 0 θ ∗ (0) + M L θ ∗ (L) (9)
∫
(
+ p V ∗ + t U ∗ ) ) dx 1 (10)
C
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 10/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Principe des travaux virtuels pour la théorie de Timoshenko :
On en déduit les conditions d’équilibre suivantes :
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ) (11)
N ,1 + t = 0 T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0 (12)
N(0) = −F 0 N(L) = F L T (0) = −P 0 T (L) = P L (13)
M(0) = −M 0 M(L) = M L (14)
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 11/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Démonstration.
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ )
⇓
⎧
⎪⎨
⎪⎩
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ U ∗ , avec V ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ V ∗ , avec U ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ θ ∗ , avec U ∗ = 0, V ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (L) = 0
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 12/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Démonstration.
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ )
⇓
⎧
⎪⎨
⎪⎩
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ U ∗ , avec V ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ V ∗ , avec U ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ θ ∗ , avec U ∗ = 0, V ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0) = 0
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ (U ∗ , V ∗ , θ ∗ ), avec U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (L) = 0
On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :
∫
∫
NU,1 ∗ dx (
1 = (NU ∗ ) ,1 − N ,1 U ∗) ∫
dx 1 = [NU ∗ ] L 0 − N ,1 U ∗ dx 1 (15)
C
C
C
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 12/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Démonstration (suite).
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ U ∗ , avec V ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
∫
∫
⇒ − N U,1 ∗ dx 1 + t U ∗ dx 1 = 0 ∀ U ∗ , avec U ∗ (0) = U ∗ (L) = 0
C
C
∫
∫
⇒ − [NU ∗ ] L 0 + N ,1 U ∗ dx 1 + t U ∗ dx 1 = 0 ∀ U ∗ , avec U ∗ (0) = U ∗ (L) = 0
C
C
⇒ N ,1 + t = 0
∀x 1 ∈ C
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 13/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Démonstration (suite).
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ V ∗ , avec U ∗ = 0, θ ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
∫
∫
⇒ − T V,1 ∗ dx 1 + p V ∗ dx 1 = 0 ∀...
C
C
∫
∫
⇒ − [T V ∗ ] L 0 + T ,1 V ∗ dx 1 + p V ∗ dx 1 = 0
C
C
⇒ T ,1 + p = 0
∀x 1 ∈ C
∀...
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 14/28

Théorie de Timoshenko, application du principe des travaux virtuels
Démonstration (suite).
W ∗
int + W ∗ ext = 0 ∀ θ ∗ , avec U ∗ = 0, V ∗ = 0, U ∗ (0&L) = 0, V ∗ (0&L) = 0, θ ∗ (0&L) = 0
∫
⇒ − M θ,1 ∗ + T θ∗ dx 1 + 0 = 0 ∀...
C
∫
⇒ − [M θ ∗ ] L 0 + M ,1 θ ∗ − T θ ∗ dx 1 + 0 = 0
C
⇒ M ,1 − T = 0
∀...
∀...
MMS 2012, Théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 15/28

Cas particulier des systèmes isostatiques
Définition : Un système est isostatique si et seulement si on peut déterminer toutes les inconnues
statiques (réactions aux appuis et efforts intérieurs) en utilisant exclusivement les conditions
d’équilibre.
Méthode de résolution des systèmes isostatiques :
Identifier quelles sont les inconnues statiques pour chaque liaison,
Rechercher les réactions aux appuis (efforts transmis par les liaisons avec l’extérieur),
Identifier les différents tronçons de la poutre,
Considérer l’équilibre de portions de tronçon pour chaque tronçon de la poutre,
En déduire N, T, et M,
Utiliser les lois de comportement pour obtenir U ,1 , θ ,1 et V ,1 + θ,
Exploiter les conditions aux limites en déplacement et les conditions de continuité entre les
tronçons, pour obtenir U, V , θ.
MMS 2012, Les systèmes isostatiques Introduction à la théorie des poutres 16/28

Cas particulier des systèmes isostatiques
Définition : Un système est isostatique si et seulement si on peut déterminer toutes les inconnues
statiques (réactions aux appuis et efforts intérieurs) en utilisant exclusivement les conditions
d’équilibre.
Méthode de résolution des systèmes isostatiques :
Identifier quelles sont les inconnues statiques pour chaque liaison,
Rechercher les réactions aux appuis (efforts transmis par les liaisons avec l’extérieur),
Identifier les différents tronçons de la poutre,
Considérer l’équilibre de portions de tronçon pour chaque tronçon de la poutre,
En déduire N, T, et M,
Utiliser les lois de comportement pour obtenir U ,1 , θ ,1 et V ,1 + θ,
Exploiter les conditions aux limites en déplacement et les conditions de continuité entre les
tronçons, pour obtenir U, V , θ.
Pour les systèmes qui ne sont pas isostatiques, on peut adopter une méthode en déplacement qui
consiste à prendre les déplacements et les rotations comme inconnues principales.
MMS 2012, Les systèmes isostatiques Introduction à la théorie des poutres 16/28

Les lois de comportement pour la théorie de Timoshenko
On considère un champ de déplacement de la forme du champ de déplacement virtuel :
u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (16)
u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 u 3 = V (x 1 ) (17)
ε 11 = U ,1 + θ ,1 x 3 2ε 13 = V ,1 + θ (18)
Propriété : Les sections droites restent planes.
Lois de comportement linéaires pour un matériau élastique homogène dans S :
Traction-compression
N = E S U ,1 (19)
∫
Flexion, avec I = x3 2 dS, moment quadratique par rapport à x 2 :
S
M = E I θ ,1 (20)
Cisaillement
T = µ S (θ + V ,1 ) (21)
MMS 2012, Les lois de comportement pour la théorie de Timoshenko Introduction à la théorie des poutres 17/28

Solution de de Saint-Venant
Sous certaines hypothèses, la théorie des poutres et la théorie générale des milieux continus
coïncident pour la solution de de Saint-Venant.
L’hypothèse de de Saint-Venant consiste à chercher la solution du problème d’équilibre d’un
tronçon de poutre droite sous la forme d’un état de contrainte contenant uniquement deux
cisaillements et un terme de contrainte axiale :
⎛
( ) σ.. = ⎝ σ ⎞
11 σ 12 σ 13
σ 21 0 0 ⎠ (22)
σ 31 0 0
Les formulations des lois de comportement sont alors liées.
∫ ∫
∫
∫
∫
N = σ 11 dS = Eε 11 dS = Eu 1,1 dS = EU ,1 dS + E(θx 3 ) ,1 dS (23)
S
S
S
S
S
∫
∫
∫
∫
M = x 3 σ 11 dS = x 3 Eε 11 dS = x 3 E U ,1 dS + E x 3 (θx 3 ) ,1 dS (24)
S
S
S
S
∫ ∫
∫
∫
T = σ 13 dS = 2µε 13 dS = µ(u 1,3 + u 3,1 )dS = µ ( )
θ + V ,1 dS (25)
S
S
S
S
MMS 2012, Solution de de Saint-Venant Introduction à la théorie des poutres 18/28

Théorème de de Saint-Venant
Loin du point d’application des charges, l’influence des contraintes sur la solution en déplacement
ne dépend que du torseur résultant de la distribution des contraintes dans les sections droites.
Ainsi, si deux chargements induisent un même troseur d’effort intérieur, alors loin du point
d’application de ces chargements, ils auront des conséquences quasiment identiques sur les
déformations.
MMS 2012, Théorème de de Saint-Venant Introduction à la théorie des poutres 19/28

Problème aux limites issu de la théorie de Timoshenko
Les conditions d’équilibre et les lois de comportement donnent un ensemble d’équations aux
dérivées partielles qu’il faut compléter par des conditions aux limites et éventuellement des
conditions de continuité du déplacement.
Problème de traction, équation d’ordre 2 sur le déplacement longitudinal :
N ,1 + t = 0 N = E S U ,1 ⇒ E S U ,11 + (E S) ,1 U ,1 + t = 0 (26)
Pour avoir une solution unique, il faut 2 conditions aux limites sur U, 1 (N) ou U, pour chaque
tronçon.
Problème de flexion (hypothèse de section constante), équation d’ordre 3 sur les rotations :
T ,1 + p = 0 M ,1 − T = 0 (27)
V ,1 = −θ +
T
µ S M = EIθ ,1 (28)
⇒ E I θ ,111 + p = 0 (29)
Pour obtenir une solution unique en θ, il faut 3 conditions aux limites sur θ, θ ,1 ou θ ,11 , pour
chaque tronçon. La continuité du déplacement impose la continuité de θ et de V .
MMS 2012, Problème aux limites Introduction à la théorie des poutres 20/28

Expression des contraintes locales
Connaissant x 1 → (U, V , θ) ∀ x 1 ∈ [0, L], il est possible de calculer ε ∼
(u) et d’en déduire σ ∼
en
utilisant la loi de comportement de la théorie générale des milieux continus.
⎛
( ) ⎜
U ,1 + θ ,1 x 3 0
ε.. = ⎝
V ,1 +θ
2
0 0 0
V ,1 +θ
2 0 0
⎞
⎟
⎠ (30)
On obtient en particulier :
σ 11 = E (U ,1 + θ ,1 x 3 )
⇒ σ 11 = N S + M I
x 3
Le maximum de contrainte est obtenu au point le plus éloigné en x 3 de la ligne moyenne. Ce point
a pour coordonnée x 3 = ρ :
max
(x 2 , x 3 )∈S σ 11 = N S + M I
ρ
MMS 2012, Contraintes locales Introduction à la théorie des poutres 21/28

Théorie de Navier-Bernoulli
Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais pas
perpendiculaire à l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du moment dominant), il est
raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse à l’aide d’une liaison interne. On retrouve alors la
théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli.
*
* *
FIGURE: Description du champ de déplacement virtuel choisi.
u ∗ = u1 ∗ (x 1, x 3 ) x 1 + u3 ∗ (x 1, x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (31)
u1 ∗ = U∗ (x 1 ) + θ ∗ (x 1 )x 3 u 3 = V ∗ (x 1 ) V,1 ∗ + θ∗ = 0 (32)
ε ∗ 11 = U∗ ,1 + θ∗ ,1 x 3 2ε ∗ 13 = 0 (33)
Il y a deux champs unidimensionnels indépendants (U ∗ , V ∗ ), définis sur l’intervalle [0, L].
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 22/28

Théorie de Navier-Bernoulli
Problème de traction, équation d’ordre 2 sur le déplacement longitudinal :
N ,1 + t = 0 N = E S U ,1 ⇒ E S U ,11 + (E S) ,1 U ,1 + t = 0 (34)
Pour avoir une solution unique, il faut 2 conditions aux limites sur U, 1 (N) ou U, pour chaque
tronçon.
Problème de flexion (hypothèse de section constante), équation d’ordre 4 sur le déplacement
transverse :
M ,11 + p = 0 T = M ,1 (35)
M = −E I V ,11 (36)
⇒ E I V ,1111 = p (37)
Pour obtenir une solution unique il faut 4 conditions aux limites sur V , V ,1 , V ,11 ou V ,111 , pour
chaque tronçon. La continuité du déplacement impose la continuité de θ = −V ,1 et de V .
Pour établir les conditions d’équilibre, il faut tenir compte de l’indépendance des fonctions V ,1 et V .
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 23/28

Théorie de Navier-Bernoulli, exemple d’une poutre encastrée soumise
à son poids propre
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x 1
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x 3
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0
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FIGURE: Poutre encastrée, p = −ρ S g, U(0) = V (0) = 0, θ(0) = 0, N(L) = 0, M(L) = 0, T (L) = M ,1 (L) = 0.
Il n’y a qu’un seul tronçon.
Problème de traction :
E S U ,11 = 0 U(0) = 0 U ,1 (L) = 0 (38)
Problème de flexion :
E I V ,1111 = p V (0) = 0 V ,1 (0) = 0 V ,11 (L) = 0 V ,111 (L) = 0 (39)
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 24/28

Théorie de Navier-Bernoulli, exemple d’une poutre encastrée soumise
à son poids propre
Solution :
Flèche de la poutre :
V =
U = 0 ∀x 1
p
2 E I ( x 4 1
12 − L 3 x 3 1 + L2
2 x 2 1 )
V (L) =
p
8 E I L4
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 25/28

Théorie de Navier-Bernoulli, approche par le théorème de l’énergie
potentielle
Nous introduisons l’énergie potentielle qui sera exploitée dans le cours sur la théorie des
bifurcations et pour celui sur la théorie de stabilité.
Il possible de déduire les lois de comportement des relations issues de la théorie générale des
milieux continus en appliquant le théorème de l’énergie potentielle avec l’hypothèse cinématique
de Navier-Bernoulli.
u = u 1 (x 1 , x 3 ) x 1 + u 3 (x 1 , x 3 ) x 3 ∀(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Ω (40)
u 1 = U(x 1 ) + θ(x 1 )x 3 u 3 = V (x 1 ) V ,1 + θ = 0 (41)
⎛
( ) ε.. = ⎝ U ⎞
,1 − V ,11 x 3 0 0
0 0 0⎠ (42)
0 0 0
W (ε ∼
) = E 2 ε2 11
∫ ∫
F(U, V ) = W (ε ∼
) dS dx 1 (43)
C S
− F 0 U(0) − F L U(L) − P 0 V (0) − P L V (L) − M 0 θ(0) − M L θ(L) (44)
∫
− (p V + t U) dx 1 (45)
C
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 26/28

Théorie de Navier-Bernoulli, approche par le théorème de l’énergie
potentielle
Pour éliminer les mouvements de corps rigide on considère une poutre encastrée en x 1 = 0 :
δV (0) = 0 et δV ,1 (0).
∫ ∫
F ,V (U, V )[δV ] = W ′ (ε ∼
) : ∼
ε,V [δV ] dS dx 1 (46)
C S
− P 0 δV (0) − P L δV (L) − M 0 δθ(0) − M L δθ(L) (47)
∫
− p δV dx 1 (48)
C
avec :
⎛
( ε,V [δV ] ) = ⎝ −δV ⎞
,11x 3 0 0
0 0 0⎠ (49)
0 0 0
donc (hypothèse de section constante) :
∫ ∫
∫
W ′ (ε ∼
) : ∼
ε,V [δV ] dS dx 1 = E I V ,11 δV ,11 dx 1 (50)
C S
C
= [ ∫
] L
E I V ,11 δV ,1 0 − E I V ,111 δV ,1 dx 1 (51)
C
= − [ E I V ,11 δθ ] L
0 − [ E I V ,111 δV ] ∫
L
0 + E I V ,1111 δV dx 1
C
(52)
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 27/28

Théorie de Navier-Bernoulli, approche par le théorème de l’énergie
potentielle
F ,V (U, V )[δV ] = − [ E I V ,11 δθ ] L
0 − [ E I V ,111 δV ] L
(53)
0
∫
+ E I V ,1111 δV dx 1 (54)
C
− P 0 δV (0) − P L δV (L) − M 0 δθ(0) − M L δθ(L) (55)
∫
− p δV dx 1 (56)
C
Application du théorème de l’énergie potentielle :
F ,U (U, V )[δU] = 0
∀ δU
F ,V (U, V )[δV ] = 0
On retrouve les équations obtenues avec le principe des travaux virtuels en prenant δU = U ∗ et
δV = V ∗ .
∀ δV
MMS 2012, Théorie de Navier-Bernoulli Introduction à la théorie des poutres 28/28