ELECTRICITE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

ELECTRICITE : TD n°3
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) On considère un circuit RL série alimenté par un générateur de tension continue E 0 à partir d’un instant
t=t 0 . Quelle est l’équation différentielle qui régit le phénomène. En déduire les solutions de i(t) pour tt 0 .
Rép : a) di/dt+Ri/L=E 0/L si t>t 0 et 0 si t>τ), à l’aide d’un interrupteur à trois points on supprime le générateur du circuit,
donnez alors la forme de i(t) à l’arrêt du courant.
Rép : Pour t>t 1, on a i(t)=E 0/R.e -(t-t 1)/τ car i(t1)≈E 0/R.
3°) On considère un circuit RLC série sans générate ur. En partant de l’équation différentielle du cours
déterminer q(t) et i(t) en fonction de Q et ω 0 dans le cas du régime apériodique pour les conditions initiales q(0)=q 0
et i(0)=0.
r−
t r t
Rép : ( )
0
(
r + +
r
e e
r −
−r+
q t = q + ) et ( ) (
r t r t ω
+ −
i t = q0
e − e ) où 0
r+−
= − (1 ± 1−
4Q²
)
r − r r − r
r − r
2Q
−
+
+
−
−
+
4°) A l’instant t=0, on ferme l’interrupteur. Décri vez la différence de potentiel u(t) aux bornes du
condensateur sachant que u(0)=e.
u(t)
Rép : u(t)=2/3e+e/3.e -3t/RC
B – TRAVAUX DIRIGES n°8
I – Détecteur de particules (ENAC 1995)
Un dispositif destiné à détecter des particules ioniques
se comporte, sous l’effet de l’une de ces particules ioniques,
comme un générateur de courant dont le courant
électromoteur est i 0 (t)=I 0 e -t/τ .
Ce dispositif est connecté à un circuit (R,C) dont la
constante RC=kτ où k est une constante positive réelle. Le
condensateur C est déchargé avant l'arrivée de la particule.
1°) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obé it la tension v s (t) aux bornes du condensateur.
2°) Lorsque le condensateur est initialement déchar gé, montrer que la tension v s (t) est donnée par la
relation :
−t
/ τ −t
/ kτ
v ( t)
= ARI ( e − e ) lorsque k≠1. Préciser la valeur de A.
s
0
: Ici le second membre dépend de t, par conséquent on cherchera la solution particulière sous la forme
v s (t)=Be -t/τ qui doit vérifiée l’équation différentielle.
3°) Calculer v s (t) dans le cas particulier où k=1. On posera pour cela k=1+ε et on effectuera le
développement limité qui s’impose.
4°) Pour k=1, la tension v s (t) passe par un maximum V s à l’instant t 0 . Calculer t 0 et V s .
Rép : 1°) dv s/dt+v s/RC=i 0/C 2°) A=1/(1-k) 3°) v s(t)=I 0te -t/τ /C 4°) t 0=τ et V s=RI 0/e 1
L.PIETRI – Régimes transitoires de circuits électriques – PCSI 2 - Lycée Henri Loritz

II – Etude d’un circuit R-C
On dispose de deux condensateurs de capacité C 1 et C 2 , de deux résistances
pures R 1 et R 2 , d’un interrupteur K et d’un générateur de tension idéal de fem E monté
suivant le schéma suivant:
A l’instant t=0 où l’on ferme l’interrupteur K, le condensateur C 1 possède la charge
q 0 et le condensateur C 2 est déchargé.
1°) Etablir la loi d’évolution q 1 (t) de la charge de C 1
2°) Déterminer l’énergie dissipée dans le circuit par effet Joule.
Rép : 1°) q 1(t)=q 0(C 1+C 2e -t/τ )/(C 1+C 2) avec τ=(R 1+R 2)C 1C 2/(C 1+C 2) 2°) W joule=q 0²C 2/[2(C 1+C 2)C 1]
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – Etude énergétique d’un circuit RL
Soit un circuit RL alimenté en série par un générateur de tension continue de fem E.
1°) On ferme l’interrupteur à t=0. Exprimer en fonc tion du temps l’intensité dans ce circuit i(t), les tensions
u R (t) aux bornes de la résistance et u L (t) aux bornes de la bobine idéale.
2°) Exprimer l’énergie dissipée par effet joule dan s le circuit sur une durée de 0 à t.
3°) Exprimer l’énergie emmagasinée dans la bobine d e 0 à t.
4°) Exprimer l’énergie fournie par le générateur de 0 à t.
5°) Faire un bilan d’énergie. Conclure.
t
Rép : 1°) i(t)=E/R.(1-e -t/τ ), u R(t)=E(1-e -t/τ ) et u L(t)=Ee -t/τ
2°) E R= ∫ Ri² dt =τE²/R.(t/τ-e -2t/τ /2+2.e -t/τ +3/2) 3°) E L(t)=τE²/R.(1/2-+e -
0
2t/τ /2-e -t/τ )
4°) E G(t)=τE²/R.[t/τ+e -t/τ -1] 5°) Il y a conservation de l’énergie : E G(t)=E R(t)+E L(t)
II – Etincelle de rupture
Selon les règles de continuité que l’on applique en électricité linéaire,
toute variation discontinue de l'intensité dans un circuit inductif est impossible.
Cet exercice met en évidence les problèmes particuliers qui apparaissent
quand on coupe brusquement un circuit inductif dans lequel un régime
permanent est établi..
1°) Une bobine réelle d'inductance propre L et de r ésistance r est
alimentée par un générateur idéal de tension continue, de force électromotrice
E. Un interrupteur K fermé est placé en série. Une résistance R est disposée
en parallèle aux bornes de l'interrupteur.
Quelle est l'intensité i 0 dans le circuit, sachant que le courant est établi depuis longtemps
2°) A l'instant t = 0, on ouvre l'interrupteur. Dét erminer la loi de variation de l'intensité i(t) dans le circuit.
Examiner le comportement limite, de ce point de vue, quand la résistance R devient très grande.
3°) Déterminer la loi de variation de la tension u( t) aux bornes de l'interrupteur. Examiner le comportement
limite, de ce point de vue, quand la résistance R devient très grande. Que peut-on conclure
Rép : 1°) i(t) >E 0/r 2°) i(t)=E/(R+r)+E(1/r-1/(R+r)).e -t/τ , si R très grand alors i(t)→0 ⇒ On passe brusquement de i 0 à 0.
3°) Pour t>0, u(t)=Ri(t) ⇒ u(0+)=RE/r→∞ si R est grand. Cette surtension provoque une étincelle de rupture.
III – Circuits RL & RC en parallèle
On considère un circuit RL série placé en parallèle sur un circuit
rC série, l'ensemble étant alimenté par un générateur idéal de tension
continue, de force électromotrice E.
1°) Calculer le courant i ( t) débité par le généra teur.
2°) Exprimer les conditions pour que le courant i(t ) soit
indépendant du temps.
Rép : 1°) i(t)=E/R(1-e -t/τ )+E/r.e -t/τ’ où τ=L/R et τ’=rC
2°) L=R²C et r=R
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IV - Utilisation du théorème de superposition en régime transitoire
On étudie la charge q(t) du condensateur dans le montage suivant:
A l’instant t=0 on a q(0)=q 0.
On utilise sans précaution le principe de superposition et on écrit q(t)=q 1 (t)+q 2 (t), avec q 1 (t) solution du
problème avec la source de courant éteinte et q 2 (t) solution avec la source de tension éteinte.
1°) Quel résultat obtient-on Pour quelle raison é vidente ce résultat est faux
2°) Dans l’application du théorème de superpositio n en régime transitoire, on doit aussi superposer les
charges initiales dans les condensateurs et les courants initiaux dans les bobines
Une application correcte du théorème de superposition est donc la suivante: on doit superposer les trois états :
☺ les deux sources éteintes et q(0)=q 0
la source de tension éteinte et q(0)=0
la source de courant éteinte et q(0)=0
Quelle valeur obtient-on pour q(t) par cette méthode
3°) Retrouver ce résultat à l’aide d’un modèle de T hévenin comme générateur unique.
Rép : 1°) q(t)=C(e+R η)+(2q 0-Ce-CRη)e -t/τ ⇒ q(0)=2q 0 ⇒ théorème à revoir. 2°) et 3°) q(t)=C(e+R η)+(q 0-Ce-CRη)e -t/τ .
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