ELECTRICITE : TD n°1 - Les CPGE de Loritz

ELECTRICITE : TD n°1
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Soit une intensité I=10mA parcourant un conduc teur cylindrique et homogène. Quelle est le nombre de
d’électrons qui traversent par seconde une section S de ce conducteur.
Rép : N=It/e=6,25.10 16 e - /s.
2°) Soit un conducteur cylindrique et homogène parc ouru par un courant de 10mA. Entre les bornes A et B
distantes de 1m de celui-ci on mesure une tension de 1µV. Calculer la conductivité du conducteur sachant que
celui-ci présente une section de 1,6mm².
Rép : γ=l/RS=l*I/(US)=6.10 9 S.m -1 .
3°) Intéressons nous à l’hypothèse de l’ARQS en co nsidérant que la vitesse de propagation est de l’ordre
de c=3.10 8 ms -1 .
a) Estimer la grandeur du circuit minimale pour laquelle on peut travailler dans l’ARQS à la fréquence de
100kHz
b) Donnez un ordre de grandeur limite pour la fréquence à partir de laquelle l’ARQS n’est plus valable. On
pourra prendre 10cm comme grandeur caractéristique d’un circuit électronique.
Rép : a) Soit l>c/f=3km >> longueur classique des circuits ⇒ on travaille dans l’ARQS. b) Soit L=10cm⇒f=c/L=3GHz ,
pour un circuit de 10cm c’est à partir du GHz qu’il faudra s’intéresser aux phénomènes de propagation.
4°) Soit un conducteur homogène de résistance R=1k Ω parcouru par un courant d’intensité I=1A. Quelle
est la puissance reçue par le conducteur Pourquoi est-elle positive Comment appelle-t-on l’énergie dissipée par
le conducteur.
Rép : P=UI=RI²=1kW. Ici elle est positive car le conducteur ohmique est un récepteur d’énergie. Cette puissance est dissipée par effet
joule
B – TRAVAUX DIRIGES
I - Modèle mésoscopique de la conduction
Dans un milieu conducteur en équilibre thermique, les porteurs de charges ont une vitesse moyenne
d’agitation thermique qui ne sera pas considérée dans ce qui suit.
Placés dans un champ électrique E , ces porteurs acquièrent une vitesse de dérive ou d’ensemble v à
travers le milieu qui exerce sur eux une action équivalente à une force de frottement fluide f r = - kv .
1°) A t = 0 , un champ électrique E est appliqué. Montrer que la vitesse d’un porteur de charge q et de
t
masse m. peut se mettre sous la forme : τ
v
r −
= v
r
lim
(1 − e ) .
: Une espèce chargée est soumise à la force qE.
2°) Le milieu est constitué par un fil cylindrique homogène de section S et de longueur l. La d.d.p.
appliquée à ses bornes est constante et égale à U. Calculer l’intensité I qui traverse ce fil sachant que la
concentration volumique des porteurs est n.
3°) En déduire la résistance R du fil et la conduc tivité γ du milieu.
4°) Vérifier que le coefficient de proportionnalit é de la loi d’OHM locale est bien la conductivité.
5°) Calculer la constante de temps d’établissemen t τ de la vitesse limite de dérive pour le cuivre.
Données (Pour Cu) : résistivité : ρ=1,7.10 -8 Ω.m , masse volumique : µ=9,0.10 3 kg.m -3 , masse atomique :
M=63,5g.mol -1 , masse d’un électron : m=9,0.10 -31 kg , charge d’un électron : q=-1,6.10 -19 C.
Rép : 1°) v lim=qτE/m , τ=m/k 2°) I=nq² τUS/ml 3°) γ=nq²τ/m 4°) j=nq²τE/m 5°) τ=mM/ρµN aq²=2,4.10 -14 s
II - Pont double de Thomson
On constitue le réseau ci-contre. Les quatre résistances R 1 , R 2 , R 3
et R 4 satisfont à la relation : R 1 R 3 =R 2 R 4 . On connaît précisément leur
valeur. On se propose de mesurer la résistance x d’un barreau métallique
par comparaison avec celle R d’une résistance connue. On règle R de
manière à annuler le courant dans le galvanomètre G.
1°) Calculer x en fonction de R, R 1 et R 2 .
2°) On souhaite mesurer des résistances x très fai bles. Sachant
que les autres résistances sont de l’ordre du kΩ, comment doit-on
effectuer les branchements.
Rép : 1°) x=RR 1/R 2
à R’ et non à x.
2°) Il faut faire le branchement R 4-x le plus direct possible. Ainsi le fil de connexion aura sa résistance qui s’ajoute
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C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – Vitesse des porteurs de charge
1°) Une cellule conductimétrique est constituée de deux plaques en regard de surface S=1cm² chacune.
Elle est immergée dans une solution de chlorure de sodium à c=10 -1 mol.L -1 et elle est traversée par un courant de
I=0,1A. En faisant l’hypothèse que les deux types d’ions solvatés Na + (aq) et Cl - (aq) ont des vitesses comparables
en norme, trouver un ordre de grandeur de celles-ci
2°) Pour un fil de cuivre de section S=1mm², traver sé par un courant de I=1A, trouver la vitesse moyenne v
de l’ensemble des porteurs en admettant que chaque atome de cuivre libère un électron libre participant à la
conduction.
Données : Na=6,02.10 23 mol -1 - µ Cu =9,0.10 3 kg.m -3 – M Cu =63,5g.mol -1 .
Rép : 1°) j=Σn iq iv i⇒v=j/2ne=I/2SN ace=5.10 -4 m.s -1 2°) v=j/ne=IM/N aµeS=7.10 -4 m.s -1 .
II – Densité de courant au LEP
1°) Le L.E.P collisionneur d'électrons, positons du C.E.R.N. à Genève a une circonférence l=27km. Environ
n=2.10 12 électrons et positons sont injectés dans l'anneau et ces derniers, après accélération ont une vitesse
proche de la vitesse de la lumière. Quelle est l'intensité I associée à la boucle de courant constituée par ce
faisceau de particules
2°) Les électrons et positons forment en fait des p aquets et le paramètre utile est la luminosité L du
faisceau, nombre de particules d'un paquet traversant une unité de surface par unité de temps :
L=2.10 31 particules.s -1 cm -2 . Que pensez-vous de la densité de courants j associée (en électricité, un fil de cuivre de
section 1,5mm² est prévu pour une intensité inférieure à 10 A)
Rép : 1°) I=Nec/l=3,5mA 2°) j=Le=3,2.10 6 A.m -2
III – Calcul d’une résistance équivalente
Douze fils de même résistance r sont disposés sur les arêtes d’un cube ABCDEFGH.
Déterminer la résistance équivalente de ce système pour un courant entrant en A et sortant en B.
Rép : R AB=7r/12
IV – Résistance équivalente (suite)
Calculer la résistance du cube entre A et G.
Rép : R AG=5r/6
V – Transformation de Kenelly
1°) Exprimer les résistances r 1 ,r 2 et r 3 du
circuit étoile en fonction des résistances R 1 ,R 2 ,R 3
du circuit triangle pour que les circuits soient
équivalents.
2°) Exprimer les résistances R 1 ,R 2 et R 3
du circuit triangle en fonction des résistances
r 1 ,r 2 ,r 3.
Rép : 1°) r 1=R 2R 3/(R 1+R 2+R 3) - r 2=R 1R 3/(R 1+R 2+R 3) - r 3=R 2R 1/(R 1+R 2+R 3) 2°) G 1=g 2g 3/(g 1+g 2+g 3) – G 2=g 1g 3/(g 1+g 2+g 3) -
G 3=g 2g 1/(g 1+g 2+g 3)
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