Élément 5 - Université de Mons

dossier : Les systèmes complexes / L’ordinateur à la rescousse
Par contre, calculer une solution (plutôt que d’en
vérifier une) s’avère être une tâche bien plus
ardue. Montrons-le d’abord sur le puzzle de 4
pièces. Un algorithme naïf consiste à essayer
tous les placements possibles sur la grille des
différentes pièces. Afin d’évaluer la complexité de
cet algorithme, comptons le nombre de possibilités.
Nous avons 4 façons de placer la première
pièce choisie sur la grille vide. Il reste ensuite 3
façons pour placer la seconde pièce, 2 pour la
troisième pièce, et une seule pour la dernière
pièce. A priori, nous avons donc 4×3×2×1 =
24 (noté 4!) possibilités pour remplir la grille.
Mais attention, ce calcul ne tient pas compte
des différentes rotations des pièces. En effet, une
fois son emplacement choisi, une pièce peut y
être placée de 4 façons différentes. Le nombre
total de placements est donc de 24×4 4 = 6144.
Dans le pire des cas, l’algorithme devra tous les
essayer avant de trouver une solution au puzzle
(obtenue par le dernier placement testé). Enfin,
comme on l’a vu auparavant, vérifier qu’un placement
est correct nécessite 4 comparaisons de
couleurs de triangles. Ainsi dans la pire situation,
l’algorithme naïf proposé effectue 6144×4 =
24576 étapes de calcul.
A ce jour, aucun algorithme polynomial permettant
de résoudre le problème de puzzle n’est
connu. L’algorithme naïf présenté pour 4 pièces
peut être généralisé au cas de N = n 2 pièces,
le nombre d’étapes de calcul étant alors égal à
N!×4 N ×2n×(n-1) dans le pire des cas. Il s’agit
d’un algorithme de complexité exponentielle.
Pour mieux comprendre son comportement
catastrophique, quelques exemples de temps
d’exécution sont donnés sur la Figure 5 (avec
d’autres temps d’exécution donnés à titre de
comparaison). Des algorithmes plus subtils ont
été élaborés pour résoudre le problème de puzzle,
mais aucun n’est polynomial. Ce problème est
connu pour être parmi « les plus difficiles » de la
classe NP ; on dit qu’il est NP-complet. Trouver un
algorithme polynomial semble assez improbable
au vu de la question .
Envisageons maintenant une variante du problème
de puzzle, appelée problème de pavage
du plan. Ce problème diffère du problème de
puzzle en trois points : le plan (infini) tout entier
doit être recouvert plutôt qu’une grille (finie) ;
on dispose d’un nombre fini de pièces, et d’une
infinité de copies d’entre elles ; les pièces ne
peuvent pas subir de rotation. Résoudre le problème
de pavage du plan consiste à déterminer
Fig. 5 : Exemples de temps d’exécution
Algorithme naïf pour le puzzle 2 × 2
Tri par insertion de 1000 cartes
Tri gourmand de 20 cartes
Tri par insertion de 100000 cartes
Algorithme naïf pour le puzzle 3 × 3
Une journée (24 heures)
Tri gourmand de 50 cartes
Temps écoulé depuis la disparition des dinosaures
Algorithme naïf pour le puzzle 4 × 4
Âge de l’univers
Tri gourmand de 100 cartes
Algorithme naïf pour le puzzle 5 × 5
si, étant donné un nombre fini de pièces, il est
possible ou non de recouvrir le plan tout entier.
Un exemple de pièces avec lesquelles le pavage
est possible est donné sur la Figure 6, où seulement
une portion finie du plan est pavée (mais
cette portion va pouvoir s’étendre à l’infini).
Un autre exemple pour lequel le pavage est
impossible est donné sur la Figure 7.
Ce problème est en fait bien plus compliqué
que le problème de puzzle. En effet, on peut
démontrer mathématiquement qu’il n’existe
aucun algorithme qui étant donné un ensemble
de pièces, soit capable de résoudre le problème
de pavage du plan, ce quels que soient le temps et
les ressources disponibles. Un tel problème est dit
indécidable. Le fait qu’il n’existe pas d’algorithme
n’est pas lié à une insuffisance technologique ou
à un manque de connaissance actuelle. Cette
limite constitue une barrière théorique « infranchissable
» Ce type de résultat peut paraître
surprenant, mais peut être rendu formel et tout à
fait rigoureux grâce à la théorie de la calculabilité.
Cela fait beaucoup de mauvaises nouvelles !
Ce n’est pas tout à fait vrai ... Revenons aux
problèmes difficiles mais décidables, comme le
problème de puzzle. Ceux-ci sont très nombreux
et possèdent quantité d’applications concrètes.
C’est le cas de beaucoup de problèmes d’optimisation,
où l’on s’intéresse à rechercher une
solution optimale parmi toutes les solutions
possibles. Par exemple, étant donné n villes et
les distances entre celles-ci, le problème du
voyageur de commerce consiste à trouver un
Fig. 6 : Pavage possible
Fig. 7 : Pavage impossible
0, 00002 sec.
0, 001 sec.
0, 001 sec.
10 sec.
(1, 1).10 3 sec.
(8, 6).10 4 sec.
(1, 1).10 6 sec.
(8, 5).10 13 sec.
(2, 1).10 15 sec.
(1, 9).10 16 sec.
(1, 2).10 21 sec.
(6, 9).10 32 sec.
34 élément