Nom : Prénom : Classe : Année scolaire : - Collège Louis Pergaud

Nom :
Prénom :
Classe :
Année scolaire :

Tableau de numération
Unités de
milliards
Partie entière
Classe des millions Classe des mille Classe des unités
Centaines de
millions
Dizaines de
millions
Unités de millions
Centaines de
mille
Dizaines de mille
Unités de mille
Centaines
Dizaines
Unités
V
I
R
G
U
L
E
,
Dixièmes
Partie décimale
Centièmes
Millièmes
Dixmillièmes
0,1 0,01 0,001 0,0001
1
10
1
100
1
1000
1
10000
10 – 1 10 – 2 10 – 3 10 – 4
Tableaux des unités
Pour convertir, il faut décaler la virgule de 1 en 1 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire.
kilo
1000
Les préfixes
hecto
100
déca
10
déci
1
10
centi
1
100
milli
1
1000
Unité de longueur : le mètre
km hm dam m dm cm mm
Unité de masse : le gramme
tonne quintal
t q kg hg dag g dg cg mg
Unité de capacité : le litre
kL hL daL L dL cL mL
Unités d’ aires : le mètre carré ( m 2 ) .
Pour convertir, il faut décaler la virgule de 2 en 2 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire.
km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2
ha
1 0 0
a
1 0 0
1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 1 km 2 = 100 hm 2
Unités agraires : l’ are (a) et l’ hectare ( ha) 1 a = 1 dam 2 1 ha = 1 hm 2
Unités de volumes: le mètre cube (m 3 ).
Pour convertir, il faut décaler la virgule de 3 en 3 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire.
km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3
1 m 3 = 1000 dm 3 1 dm 3 = 1000 cm 3
kL hL daL L dL cL mL
1 0 0 0
1 0 0 0
1
Unités de capacité : le litre ( L ) . 1 L = 1 dm 3

SOMMAIRE
PARTIE NUMERIQUE
p 1
p 3
p 5
p 6
p 7
p 9
p 11
p 13
p 14
p 15
p 17
p 18
p 19
p 20
p 21
p 22
p 23
TABLEAU DE NUMERATION - TABLEAUX DE CONVERSIONS
LES NOMBRES
NOMBRES RELATIFS - FRACTIONS
PUISSANCES - PRIORITES OPERATOIRES
ARITHMETIQUE
RACINES CARREES
CALCUL LITTERAL
CALCUL LITTERAL : DEVELOPPER
CALCUL LITTERAL : FACTORISER
EQUATIONS
SYSTÈMES D’ ÉQUATIONS
INEQUATIONS
FONCTIONS NUMERIQUES
FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES
PROPORTIONNALITE - ECHELLES - VITESSES
POURCENTAGES
STATISTIQUES
PARTIE GEOMETRIQUE
p 25
p 27
p 28
p 29
p 30
p 31
p 33
p 34
p 35
p 36
p 37
p 39
p 41
p 42
p 43
GEOMETRIE ELEMENTAIRE – CONSTRUCTIONS – VOCABULAIRE - NOTATIONS
RAPPELS DE GEOMETRIE
QUADRILATERES PARTICULIERS
TRIANGLES
TRIANGLE RECTANGLE - PYTHAGORE
THALES
TRIGONOMETRIE
ANGLES INSCRITS – ANGLES AU CENTRE – POLYGONES REGULIERS
TRANSFORMATIONS
VECTEURS
REPERES
GEOMETRIE DANS L’ ESPACE - SOLIDES
FORMULAIRE : PERIMETRES - AIRES - VOLUMES
AGRANDISSEMENTS - REDUCTIONS
DEMONTRER EN GEOMETRIE
p 46
CALCULATRICE
2

Aperçu de l’histoire de la conquête des nombres
Le mathématicien Kronecker (1823-1891) a dit : « Dieu fit le
nombre entier, le reste est l’œuvre de l’homme ». Nous allons
voir comment, à partir des nombres entiers positifs, les
hommes ont créé de nouveaux types de nombres.
Au commencement
La nécessité de compter des objets ou des animaux est
apparue très tôt dans l’histoire de l’humanité, et c’est à la
préhistoire que sont nés les premiers nombres entiers. On
pense que la pratique de l’élevage et de l’agriculture conduisit
les hommes à dénombrer les troupeaux et à élaborer des
calendriers. Par exemple pour compter les bêtes, ils plaçaient
des cailloux dans une urne. Ils ont ainsi manipulé des nombres
entiers positifs que nous appelons les nombres entiers
naturels. Pour écrire ces nombres, les diverses civilisations ont
imaginé des systèmes de numération très variés. Ce sont les
indiens qui ont réuni les conditions permettant un
développement du calcul, et qui nous ont transmis nos chiffres
actuels. Cependant, ce ne sont pas eux qui ont élaboré les
techniques de calcul, mais les arabes. Au 10 ème siècle les
troupes d’Al-Ma’mun, calife de Bagdad, viennent de remporter
une victoire décisive sur les armées byzantines ; or Al-Ma’mun
préfère échanger les prisonniers qu’il a faits contre des livres !
Dans un de ces livres, le « Siddhantha » du mathématicien
indien Brahmagupta, se trouvent dix petites figures qui vont
devenir célèbres : nos dix chiffres ! Un mathématicien arabe
rédige un traité pour les faire connaître et décrire la façon de
les utiliser. Plusieurs siècles plus tard, cet ouvrage parviendra
en France, en Italie, en Allemagne et dans tout l’Occident.
Problèmes de partage
Avec les problèmes de partage, c’est dans les civilisations
babyloniennes et égyptiennes que sont apparues des fractions
1
simples comme
2 , 1
3 , 2
etc. Rappelons que, pour un
3
mathématicien, une fraction doit avoir son numérateur et son
dénominateur entier. Les égyptiens savaient additionner des
quantièmes (fractions de numérateur 1). Puis les grecs ont
effectué les quatre opérations sur ces ‘rapports de grandeurs’,
comme le montre le livre 5 des éléments d’Euclide, écrits au
3 ème siècle avant J.C. Les grecs savaient calculer avec les
nombres écrits sous forme de fraction et qu’on nomme les
nombres rationnels.
Racines carrées… et nombres irrationnels
Au 5 ème siècle avant J.C., au sud de l’Italie, Pythagore et ses
disciples, qui formaient une secte mathématique et religieuse,
croyaient que les entiers et les fractions pouvaient expliquer
tous les phénomènes du monde. L’harmonie de l’univers reposait
sur ces nombres qui suffisaient à leur bonheur. En
conséquence, chaque longueur aurait dû s’écrire sous la forme
d’un entier ou d’une fraction. Or le théorème de Pythagore
montre que la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre de
carré 2, aujourd’hui noté
des nombres bien connus : par exemple
comme
2 . Certaines racines carrées sont
9 = 3. Mais d’autres,
2, ne ‘tombent pas juste’. On s’est alors demandé si
2 pouvait s’écrire sous la forme d’une fraction.
Un certain Hippase de Métaponte a démontré que 2 ne
pouvait pas s’écrire sous forme de fraction , ce n’est pas un
nombre rationnel. Si bien que, pour eux, ce n’était pas vraiment
un nombre, ils en pressentaient seulement l’existence (la
diagonale du carré existe bel et bien !). Etonnés par cette
découverte qui bouleverse les croyances de leur société, ils
l’ont qualifié d’irrationnel, d’innommable, d’inexprimable, ce qui
traduisait bien leur embarras (une légende dit même que, pour
supprimer les témoins et garder le ‘scandale’ secret, ils
auraient éliminé discrètement celui qui avait découvert cette
troublante propriété, mort noyé dans un naufrage…). Plus tard,
les mathématiciens arabes et persans, comme Al-Khwarizmi au
9 ème siècle, ont établi les règles de calcul sur les racines
carrées . Alors, petit à petit, avec les travaux des algébristes
du 13 ème siècle, on n’a pas hésité à considérer tous les rapports
de longueurs comme des nombres. Depuis ce temps-là, on admet
qu’à côté des nombres rationnels, il en existe d’autres – les
nombres irrationnels – qui n’ont pas d’écriture fractionnaire.
Irruption du zéro et des nombres relatifs
C’est en 456, dans un traité de cosmologie, le « Lokavibhaga »,
qu’on trouve pour la première fois un mot (« çunya » qui signifie
‘le vide’) qui représente le zéro. Au 7 ème siècle après J.C., le
mathématicien indien Brahmagupta énonça des règles pour
opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens »,
« dettes » et « zéro ». Les nombres négatifs étaient utilisés en
Inde pour le commerce : on avait ainsi inventé les nombres
relatifs. Grâce à eux, la soustraction est toujours possible ; par
exemple 3 – 7 = – 4. Cependant les hommes furent longtemps
réticents à accepter les nombres négatifs. Ils sont restés
ignorés, puis méprisés. Les mathématiciens ne commencent à
travailler avec qu’au 15 ème siècle, et ils les appellent « numeri
absurdi » (‘les nombres absurdes’), en leur refusant le statut
de solution d’une équation. Ce n’est qu’au 19 ème siècle que
l’utilisation des nombres relatifs ne deviendra courante.
Pour faciliter les calculs, l’apparition des décimaux
Le fait d’écrire les nombres entiers avec un chiffre pour les
unités, un chiffre pour les dizaines, un chiffre pour les
centaines, etc. (cela s’appelle la numération de position) facilite
beaucoup les opérations (essayez de faire une multiplication
avec des chiffres romains !). Au fil du temps, les
mathématiciens ont remarqué que les opérations sur des
nombres non entiers seraient également facilitées si l’on avait
un chiffre pour les dixièmes, un chiffre pour les centièmes,
etc. Mais les nombres décimaux ne sont apparus que
tardivement ! Leur écriture actuelle (avec la virgule) a été
introduite au 16 ème siècle par les mathématiciens européens.
C’est alors que le flamand Stevin, vers 1580, publia un traité
complet sur l’usage des nombres décimaux. Ceux-ci ne sont que
des nombres rationnels particuliers (c’est à dire que tout
décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction ; par exemple
8,76 = 876 ). Mais ils ont un grand intérêt pratique car ils
100
fournissent des valeurs approchées pour tous les autres
nombres, rationnels ou irrationnels (par exemple, on prend
souvent 3,14 pour π et 1,414 pour 2).
3

La grande famille des nombres réels
Les nombres relatifs évoqués, rationnels et irrationnels, constituent l’ensemble des nombres réels. On les
appelle « réels » car on a ensuite inventé d’autres nombres, indispensables pour résoudre d’autres types de
problèmes ; ces nombres, difficiles à se représenter à l’esprit, s’appellent les nombres imaginaires ou nombres
complexes. Mais cette autre aventure n’est qu’au programme du lycée et de l’université…
Les nombres réels
Les nombres rationnels
Les nombres réels qui peuvent s’ écrire
sous forme de fraction ( d’entiers).
Les nombres irrationnels
Les nombres réels qui ne peuvent
pas s’écrire sous forme de fraction.
10
3 ≈ 3,3333…
les nombres décimaux
π
2
– 1 7
– 2,7
les entiers relatifs
4,2578
3
5 = 0,6 – 1
les entiers naturels
0 2 30
– 9
– 3
Plusieurs écritures peuvent désigner le même nombre.
Par exemple, pour écrire le nombre 7 on peut écrire 7,0 ; 4 + 3 ; 9 – 2 ; 14 2
et pour écrire le nombre 2,3 on peut écrire 2,3 ou 23
10 ; 2 + 3 10 ; …
; 49 ; ...
Valeur arrondie d’ un nombre réel .
Donner un arrondi d’un nombre réel, c’ est écrire , avec la précision demandée, le nombre décimal le plus
proche de ce nombre réel.
ATTENTION ! Si une valeur approchée n'est pas demandée, on doit donner une valeurs exacte, et employer le symbole
d'égalité. Par contre, une valeur arrondie doit toujours être précédée du symbole « ≈ » qui se lit « est à peu près égal à ».
Exemples : 4 < 4,3 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,3 est 4 ( 4,3 est plus proche de 4 que de 5 ).
4 < 4,7 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,7 est 5 ( 4,7 est plus proche de 5 que de 4 ).
Méthode :
> Pour arrondir à l’unité ( à 1 près ) , on regarde le chiffre des dixièmes :
● s’ il est inférieur à 5 , on garde le chiffre des unités.
ex : 9,3 le chiffre des dixièmes est 3 donc 9 est l’arrondi à l’ unité de 9,3 .
● s’il est égal à 5,6,7,8 ou 9 on ajoute 1 au chiffre des unités
ex : 19,8 le chiffre des dixièmes est 8 donc 20 est l’arrondi à l’unité de 19,8 .
> Pour arrondir au dixième ( 0,1 près ) , on regarde le chiffre des centièmes
● arrondi au dixième de 9,42 : 9,4
● arrondi au dixième de 9,45 : 9,5
> Pour arrondir au centième ( à 0,01 près ) , on regarde le chiffre des millièmes, etc…
4

NOMBRES RELATIFS
> réduire deux fractions au même dénominateur
8
6 = 8 : 2
6 : 2 = 4 ( notation division )
DIVISER : Pour diviser, on multiplie par l’inverse.
3
35
56 = 5 × 7
8 × 7 = 5 3
8 ( notation multiplication) chercher un multiple commun au numérateur et au
Un nombre relatif est formé d’ un signe et d’une partie
dénominateur
numérique.
exemples de nombres négatifs : – 287 ; – 3,5
exemples de nombres positifs : + 14 ; 23
pour 5 6 et 3 , un dénominateur commun 12 (= 6 × 2 = 4 × 3 )
4
attention , le signe + n’est pas toujours marqué : 23 = + 23 5
6 = 5 × 2
6 × 2 = 10
12 et 3 4 = 3 × 3
4 × 3 = 9 12
Opposé d’un nombre relatif
Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0.
pour 3
L’opposé de 3 est – 3 . L’opposé de – 5 est 5 .
5 et 7 , un dénominateur commun sera 15 ( 5 × 3 )
3
3
Règle des signes
5 = 3 × 3
5 × 3 = 9 15 et 7
3 = 7 × 5
3 × 5 = 35
15
+ et + donnent + + et – donnent –
AJOUTER SOUSTRAIRE : Si les dénominateurs sont
différents, on réduit d’abord au même dénominateur pour
– et – donnent + – et + donnent –
additionner et soustraire des fractions. Ensuite , on additionne
ou on soustrait les numérateurs , et on conserve le
dénominateur commun.
On utilise la règle des signes :
> pour simplifier des écritures de sommes ou de différences 5
avec parenthèses :
6 + 3 4 = 5 × 2
6 × 2 + 3 × 3
4 × 3 = 10
12 + 9 12 = 19
12
5 + ( + 8 ) = + 5 + 8 = 13
– 6 + ( – 4 ) = – 6 – 4 = – 10
3
( – 6 ) – ( – 4 ) = – 6 + 4 = – 2
5 – 7 3 = 3 × 3
5 × 3 – 7 × 5
3 × 5 = 9 15 – 35
15 = – 26
15
( – 3 ) – ( + 7 ) = – 3 – 7 = – 10
> pour déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient : – 4 3 + 6 = – 4 3 + 6 1 = – 4 3 + 6 × 3
1 × 3 = – 4 3 + 18
3 = 14 3
2,1 × 3 = 6,3 ( – 3 ) : 4 = – 0,75
( – 2,1 ) × ( – 3 ) = 6,3 3 : ( – 4 ) = – 0,75
MULTIPLIER: multiplier les numérateurs entre eux et les
2,1 × ( – 3 ) = – 6,3 ( – 3 ) : ( – 4 ) = 0,75
dénominateurs entre eux.
ATTENTION : NE PAS CONFONDRE !
4
3 × 5 7 = 4 × 5
3 × 7 = 20
21 ⎝ ⎛ 2
⎠ ⎞
2
3
= 2 2
3 2 = 4 9
– 2 – 7 = – 9 ( la règle des signes ne s’applique pas ).
– 2 × ( – 7 ) = + 14 ( la règle des signes s’applique )
penser à simplifier avant de multiplier : 7
18 x 81
56
FRACTIONS
9 x 9
numérateur
7
dénominateur
18 x 81
56 = 9
2 x 8 = 9 16
2 x 9 7 x 8
Ecritures d’un quotient 4 5 = 4 : 5 = 0,8
> Prendre une fraction d’une quantité
2
Attention ! Certaines fractions n’ont pas d’écriture décimale 3 de 150 g –– 2 2 × 150
× 150 = = 300
3 3 3 = 100 g
1
3 ≈ 0,3333…
> Prendre une fraction d’une fraction
2
Produit en croix a b = c 3 de 5 7 –– 2
3 × 5 7 = 10
21
lorsque ad = bc
d
Inverse d’une fraction :
Fractions égales : En multipliant ou en divisant le numérateur
Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.
et le dénominateur d’ une fraction par un même nombre non
nul , on obtient une fraction égale.
L’inverse de 4 est 1 = 0,25 ( 4 ×0,25 = 1 )
> simplifier une fraction
4
chercher un diviseur commun au numérateur et au
dénominateur
L’inverse de 2 3 est 3 2
L’inverse de 7 est 1 7 ( car 7 = 7 1 )
5
L’inverse d’un nombre x est 1 x . L’inverse d’une fraction a b est b a
5 : 4 5 = 5 1 × 5 4 = 25
4
5
4
7
= 3 5 : 4 7 = 3 5 × 7 4 = 21
20

PUISSANCES
Définition a désigne un nombre relatif et n un nombre
entier positif différent de 0.
a n = a × a × … × a a – n = 1
a n
( n facteurs ) a – n est l’ inverse de a n )
Ex : 5 2 = 5 × 5 = 25 « 5 au carré »
5 3 = 5 × 5 × 5 = 125 « 5 au cube »
(– 2) 4 = (– 2) × (– 2) × (– 2) × (– 2) = 16
4 – 3 = 1
4 3 = 1 64
cas particuliers : 5 0 = 1 5 1 = 5 5 – 1 = 1 5
Formules
a et b étant deux nombres relatifs ( a ≠ 0 et b ≠ 0 ), m et n
étant deux nombres entiers relatifs
a n × a m = a n + m
a n
a m = a n – m
( a × b ) n = a n × a m ⎝ ⎛ a
⎠ ⎞
b
Les puissances de 10
n désigne un nombre entier positif non nul
10 n = 100 … 0 1 1
n zéros
10 – n =
( a n ) m = a n x m
n
= a n
b n
1
n = 0 , 0… 01
10
n zéros
un dix cent mille million milliard
10 0 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9
dixième centième millième millionième milliardième
10 – 1 10 – 2 10 – 3 10 – 6 10 – 9
Multiplier un nombre par une puissance de 10
On déplace la virgule d’ autant de rang que l’ exposant. On
avance si l’ exposant est positif, on recule si l’ exposant est
négatif
Ex : 36, 54125 × 10 2
3654125, × 10 – 2 = 36541,25
Notation scientifique
Ecrire un nombre en notation scientifique, c’est l’écrire sous la
forme d’un produit d’une puissance de 10 par un nombre
décimal ayant un seul chiffre, autre que 0, avant la virgule.
234 ,5 = 2,345 × 10 2 0, 002 7 = 2,7 × 10 – 3
1235,798 × 10 2 = 1,235798 × 10 3 × 10 2 = 1,235798 × 10 5
Exercice type brevet
Lorsqu’il n’y a que des produits ou des quotients, dans lesquels
figurent des puissances de dix, on commence en général par
regrouper les puissances de dix.
24 × 10 2 × 3,5 × 10 5 24 × 3,5
8 × 10 1 × 21 × 10 – 4 =
8 × 21 × 10 2 × 10 5
10 1 × 10 – 4
= 84
168 × 10 2 + 5
10 1 – 4
= 0,5 × 10 7
10 – 3
= 0,5 × 10 7 – ( – 3 ) = 0,5 × 10 10
= 5 000 000 000 ← écriture décimale
= 5 × 10 9 ← écriture scientifique
Dans une suite de calculs,
PRIORITÉS DES OPÉRATIONS
I. on écrit de nouveau et à la même place les calculs non faits
II. on effectue dans l'ordre de priorité :
1°) un calcul entre parenthèses (ou un calcul assimilé par
son écriture qui remplace des parenthèses comme les
barres de fraction, les racines carrées, ...)
2°) un calcul d'une puissance (carré, cube, ...)
3°) une division ou une multiplication
4°) une soustraction ou une addition.
III. En l'absence de priorité, on suit l'ordre d'écriture.
1 + 2 × 3
= 1 + 6
= 7
( 1 + 2 ) × 3
= 3 × 3
= 9
2 × ( 25 – 4 2 )
= 2 × ( 25 – 16 )
= 2 × 9
= 18
( 12 – 3 ) 2 – 7 × ( 8 – 5 )
= 9 2 – 7 × 3
= 81 – 21
= 60
72 ÷ 8 × 4
= 9 × 4
= 36
72 ÷ ( 8 × 4 )
= 72 ÷ 32
= 2,25
42 – 18
6 – 2
= 24
4
= 6
priorité: 2 × 3
priorité: ( … )
priorité: carré
priorité: ( … )
priorité: (…)
priorité: carré puis 7 × 3
priorité : ordre d’ écriture
priorité: (…)
priorité : numérateur et
dénominateur de la barre de
fraction
Rq : Lorsqu’il n’y a que des additions et des soustractions dans
une expression numérique, on peut regrouper les termes positifs
et les termes négatifs.
6 – 7 – 9 + 8 – 5
= 6 + 8 – ( 7 + 9 + 5 )
= 14 – 21 = – 7
6

ARITHMETIQUE
Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. L’arithmétique est la science des nombres.
Diviseur d’un entier : L'entier d est un diviseur de l'entier a, si a d
est un entier.
Ex : 12 est un diviseur de 48 car 48 = 4 est un entier.
12
Remarque : 4 est aussi un diviseur de 48.
On dit aussi : 48 est un multiple de 12
12 divise 48 ( 36 ÷ 12 = 3 )
48 est divisible par 12.
Pour savoir si un entier d est un diviseur d'un entier a, on cherche à savoir si le quotient de a par d est un nombre entier.
Pour trouver tous les diviseurs d'un entier n, la méthode la plus simple consiste à les chercher deux par deux, en essayant
de diviser n par 1 , 2 , 3 , ... jusqu'à ce que le quotient trouvé devienne égal ou inférieur au "diviseur" essayé.
Ex: chercher tous les diviseurs de 48 .
48 ÷ 1 = 48 donc 1 et 48 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 2 = 24 donc 2 et 24 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 3 = 16 donc 3 et 16 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 4 = 12 donc 4 et 12 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 5 = 9,6 donc 5 n’est pas un diviseur de 48.
48 ÷ 6 = 8 donc 6 et 8 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 7 ≈ 6,8 donc 7 n’est pas un diviseur de 48. ( 6,8 ≤ 7 quotient inférieur ou égal au diviseur essayé)
et on peut s’arrêter ici car on connaît tous les diviseurs plus grands que 6
Donc 36 possède 9 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18 et 36.
Diviseur commun à deux entiers
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Ex:
63
9 = 7 ; 45 9
= 5 donc 9 est un diviseur commun à 63 et à 45.
PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN À DEUX ENTIERS ( P.G.C.D.)
• Pour trouver le Plus Grand Commun Diviseur à deux entiers, on peut dresser la liste des diviseurs des deux nombres.
Ex: Les diviseurs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 .
Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 .
Les diviseurs communs à 63 et 45 sont : 1, 3, 9.
Le Plus Grand Commun Diviseur ( PGCD ) de 63 et 45 est 9 . On note PGCD ( 63 ; 45 ) = 9
• Pour trouver le P.G.C.D. à deux entiers, on peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide.
Nombres premiers entre eux
Définition 1 : Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Définition 2 : Deux nombres entiers sont premiers entres eux si leur PGCD est 1.
Fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand elle ne peut plus être simplifiée.
• Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
• Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie la fraction par le P.G.C.D. du numérateur et du dénominateur.
Ex : pour rendre irréductible la fraction 702 , on calcule le P.G.C.D. de 702 et 273
273
PGCD ( 702 ; 273 ) = 39 donc 702
273
=
702 : 39
273 : 39 = 18 7
et 18 7
est une fraction est irréductible.
7

Euclide 3 ème siècle avant J.C.
Euclide fut un des plus grands mathématiciens de l’antiquité et pourtant on ne
connaît pas grand chose de sa vie.
On sait qu’il vécut à Alexandrie en Egypte. Dans la prestigieuse Ecole
d’Alexandrie, il aurait dirigé une équipe de mathématiciens qui auraient
participé à l’écriture de son œuvre phénoménale« Les éléments ».
Dans ce magnifique ouvrage , il a rassemblé toutes les connaissances
mathématiques de son époque . Une vraie encyclopédie, composée de 13 livres,
qui traite des figures géométriques, des polygones inscrits et circonscrits à un
cercle, des proportions, de la géométrie dans l’espace ainsi que des nombres.
Deux autres livres seront complétés plus tard par Archimède (cercle, cylindre,
Pi) et Appolonius (cônes, coniques : ellipse, parabole, hyperbole).
Les premières démonstrations rendent cette œuvre novatrice pour l’époque.
Euclide démontre les grands théorèmes de ses ancêtres, comme ceux de
Thalès et Pythagore par exemple ou encore l’irrationalité de 2.
On doit aussi à Euclide une théorie des diviseurs et des multiples d’un nombre entier.
Il expose l’algorithme qui porte son nom pour déterminer le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers.
Division euclidienne.
On appelle division euclidienne la division dans laquelle le dividende, le diviseur et le quotient sont des
nombres entiers. Par conséquence, il existe la plupart du temps un reste, lui aussi entier.
dividende
reste
702
156
273
2
diviseur
quotient
DIVISION EUCLIDIENNE
A LA CALCULATRICE
On calcule le quotient :
702 : 273 ≈ 2,57142…
Donc le quotient est 2.
On calcule le reste :
702 – 2 × 273 = 156
Donc le reste est 156.
Méthode de calcul du PGCD de deux nombres : Algorithme d’Euclide
On fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit.
On recommence avec le diviseur et le reste de la division précédente.
On s’arrête lorsqu’on obtient un reste nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
exemple : détermination du PGCD de 702 et 273
702
273
273
156
156
117
117
39
156
2
117
1
39
1
0
3
donc PGCD ( 702 , 273 ) = 39
8

RACINES CARREES
définition : a étant un nombre positif, a (se lit "racine carrée de a") est le seul nombre dont le carré est a.
mettre au carré 3 2 = 9
3 9
9 = 3 prendre la racine carrée
Le plus souvent, le calcul d’une racine carrée ne tombe pas juste.
2 ≈ 1,141
valeur exacte valeur approchée
Attention : Un nombre négatif n’a pas de racine carrée.
Règles de calculs
Carrés, Racines parfaites
1 = 1 1² = 1
4 = 2 2² = 4
9 = 3 3² = 9
16 = 4 4² = 16
25 = 5 5² = 25
36 = 6 6² = 36
49 = 7 7² = 49
64 = 8 8² = 64
81 = 9 9² = 81
100 = 10 10² = 100
121 = 11 11² = 121
144 = 12 12² = 144
169 = 13 13² = 169
225 = 15 15² = 225
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0
( a )
² = a et a × a = a
5 × 5 = 5 ( 5 ) ² = 5 (3 5 ) ² = 9 × 5 = 45
a × b = a × b
3 × 2 = 6 5 3 × 4 2 = 20 6
a
b =
a
b
( si b ≠ 0 )
4
9 = 4
9
= 2 3
60
15 = 60
15 = 4 = 2
SIMPLIFICATIONS DES RACINES CARREES.
méthode : faire apparaître des carrés parfaits. • 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2
• 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 5
REDUIRE UNE SOMME.
méthode : regrouper les termes de la même famille après avoir simplifié les racines si c’est nécessaire.
• 3 + 2 = 3 + 2 ... et rien de mieux !...
• 5 + 4 3 + 12 – 6 3 = 17 – 2 3
• 18 + 50 = 9 × 2 + 25 × 2
= 3 2 + 5 2
= 8 2
• 5 27 – 3 12 = 5 9 × 3 – 3 4 × 3
= 5 9 × 3 – 3 4 × 3
= 5 × 3 × 3 – 3 × 2 × 3
= 15 3 – 6 3
= 9 3
9

TRANSFORMER UN DENOMINATEUR
On cherche à se débarrasser des racines carrées figurant au dénominateur.
en utilisant a × a = a pour a > 0.
15 = 1 × 5
5 × 5 = 5
5
5
3 2 = 5 × 2
3 2 × 2 = 5 2
6
en utilisant la troisième identité remarquable (a – b)(a + b) = a ² – b ²
Puisque ( 6 + 2)( 6 – 2) donne un résultat sans racine carrée ( 6 ² – 2 ² = 6 – 4 = 2 ),
5
6 + 2 = 5 × ( 6 – 2)
( 6 + 2) × ( 6 – 2) = 5 6 – 10 = 5 6 – 10
6 – 4 2
6 – 2 est dite expression conjuguée de 6 + 2.
- Démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2 , annonça Léa d’une voix forte
- Supposons qu’il existe une fraction a b
dont le carré soit égal à 2, susurra Max en se penchant vers
l ‘assistance d’un air comploteur.
- Donc : a² = 2 , enchaîna Léa, l’écrivant sur le tableau.
b²
- Prenons la plus petite fraction, la fraction irréductible, ayant cette forme. Ses termes a et b sont premiers
entres eux . C’est-à-dire qu’aucun nombre ne les divise tous les deux à la fois.
- Donc a et b ne peuvent être tous les deux pairs, j’insiste ! déclara Léa.
- Et si a² = 2 , tout naturellement a² = 2 b²
b²
- Donc a² est pair , puisqu’il est égal à un double, annonça Léa.
- Or seul le carré d’un pair est pair , informa Max.
- Donc a est pair , j’insiste ! déclara Léa.
- Donc a est un double. Celui d’un nombre c , par exemple : a = 2 c .
Max l’écrivit sur le tableau.
- Pas si vite , cria Hippase qui jouait à vouloir suivre.
- Reprenons l’égalité du début : a² = 2 b²
- Remplaçons a par 2c : ( 2c ) ² = 2 b². Donc 4c² = 2 b² , donc 2c² = b²
- Vous écrivez comme des cochons , et pourtant j’ai une bonne vue , maugréa Hippase.
- Je reprends , annonça Max : b² étant égal à un double, b² est pair.
- Même chose que tout à l’heure ! Donc b est pair , j’insiste ! déclara Léa.
- Reprenons les trois « j’insiste » qui constituent le raisonnement par l’absurde. D’une part a et b ne peuvent
pas être pairs tous les deux à la fois , d’autre part , a et b sont tous les deux pairs ! Impossible ! Qui est
cause de cette absurdité demanda Max en fixant l’assistance d’un regard inquisiteur.
Les voir se passionner pour une démonstration de maths ! un miracle !
- Qui est cause de cette absurdité redemanda Max
- Mon hypothèse , avoua Léa, baissant la tête.
- Répétez-la, cette hypothèse fautive ! commanda Max.
- Il existe une fraction dont le carré est égal à 2 , balbutia Léa.
- Balayons-la ! rugit Max.
« Le Théorème du Perroquet », Denis GUEDJ
10

CALCUL LITTERAL
Pourquoi des lettres
• Une égalité comportant des lettres permet de décrire un calcul et d’exprimer une relation.
FORMULE
P = 4 × c
La grandeur P périmètre du carré est exprimée en fonction du côté c, cette formule
indique quelles opérations à effectuer et dans quel ordre pour calculer le périmètre P
quand on connaît le côté c.
On dit que la lettre est une variable ( elle peut prendre plusieurs valeurs distinctes ).
Périmètre
= 4 × côté
EQUATION pour quel(s) nombre(s) a-t-on : 4 × x = 20
Dans une équation , l’égalité n’est vraie que pour un ( ou quelques ) nombre(s). Dans ce cas , le symbole « = »
peut se lire : « pour quel(s) nombre(s) l’égalité est vraie ». Ici , pour quelle valeur du côté a-t-on un
périmètre qui mesure 20
On dit que la lettre est une inconnue ( c’est la quantité cherchée pour résoudre le problème).
• L’utilisation des lettres permet de transformer les expressions .
IDENTITE
Pour n’importe quel nombre on a : x + x + x + x = 4 x
Dans une identité , l’égalité est toujours vraie , elle est vraie pour n’importe quel nombre.
côté
Calculer une expression pour une valeur donnée - NOTATIONS
méthode : remettre les signes × sous-entendus , puis remplacer la lettre par la valeur donnée , et calculer
en respectant les priorités opératoires.
La notation A( x ) indique
que l’expression A dépend
de la variable x.
Exemple 1
calculer A( x ) = 2 x 2 – 3 x + 1 pour x = 5 et pour x = – 3
A( 5 ) signifie :
« valeur de A pour x = 5 »
On lit « A de 5 ».
A( 5 ) = 2 × 5 2 – 3 × 5 + 1
= 2 × 25 – 3 × 5 + 1
= 50 – 15 + 1 = 36
A( 5 ) = 36 . On lit « A de 5 = 36».
ça signifie :
« La valeur de A pour x = 5 est 36 ».
A( – 3 ) = 2 × (– 3 ) 2 – 3 × (– 3 ) + 1
= 2 × 9 – 3 × (– 3 ) + 1
= 18 + 9 + 1 = 28
A( – 3 ) = 28 On lit « A de – 3 = 28».
ça signifie :
« La valeur de A pour x = – 3 est 28 ».
La notation B( t ) indique
que l’expression B dépend
de la variable t .
Exemple 2
calculer B( t ) = ( 5 t – 1 ) ( 3 t + 4 ) pour t = 2
B( 2 ) = ( 5 × 2 – 1 ) × ( 3 × 2 + 4 )
= ( 10 – 1 ) × ( 6 + 4 )
= 9 × 10
= 90
B( 2 ) = 90 . On lit « B de 2 = 90».
ça signifie :
« La valeur de B pour t = 2 est 90 ».
11

CALCUL LITTERAL : TRANSFORMATIONS D'ECRITURES
signe + sous-entendu
Réduire une somme
15 x
5 = 3 x 15 x + 10
= 15 x
5 5 + 10
= 3 – 2 x + ( – 5 + 3 x ) + 2 – ( + 3 – 5 x )
5 = 3 x + 2 = 3 – 2 x + ( – 5 + 3 x ) + 2 – 3 + 5 x
= + 6 x – 3
8 x + 7 = + 8 x + 7
– 2 x + 3 ( 2 x + 1 ) = – 2 x + 3 ( + 2 x + 1 )
méthode : compter les termes de la même famille
entre eux
4 x + 3 x = + 4 x + 3 x = + 7 x
signe × sous-entendu
4 x = 4 × x
– x 2 + 8 x + 7 – 8 x – 15 – 2 x 2 + 3 x
= – 3 x 2 + 3 x – 8
4 ( x + 5 ) = 4 × ( x + 5 )
calculs à faire de tête
( x + 4 ) ( 2 x + 3 ) = ( x + 4 ) × ( 2 × x + 3 ) termes de la famille des x 2 – 1 x 2 – 2 x 2 = – 3 x 2
1 × x = 1 x = x
termes de la famille des x 8 x – 8 x + 3 x = + 3 x
termes de la famille des nombres + 7 – 15 = – 8
Réduire un produit
Supprimer des parenthèses
méthode : multiplier les lettres entre elles , et les
méthode :
nombres entre eux
supprimer les parenthèses et selon le signe devant :
– 3 y × 7 x = – 21 x y – 3 × 7 x = – 21 x > signe + devant des parenthèses : garder les signes
intérieurs.
4 x × 3 x = 12 x 2 ( 5 x ) 2 = 25 x 2
> signe – devant des parenthèses : changer les signes
Réduire un quotient
intérieurs.
3 – 2 x + ( – 5 + 3 x ) + 2 – ( 3 – 5 x )
.
DEVELOPPER - FACTORISER
DEVELOPPER une expression, c’est transformer un produit
en une somme ( « défaire les paquets » ).
5 bouquets de 3 Roses et 6 Tulipes 15 Roses et 30 Tulipes
défaire les paquets
les cinq façons de développer
k ( a + b ) = k a + k b
(a + b) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
5 × ( 3 R + 6 T ) = 15 R + 30 T
↑ développer ↑
produit
somme
FACTORISER une expression, c’est transformer une somme
en un produit ( « faire des paquets » )
18 Roses et 12 Tulipes 6 bouquets de 3 Roses et 2 Tulipes
faire des paquets
18 R + 12 T = 6 × ( 3 R + 2 T )
↑ factoriser ↑
somme
produit
( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
( a – b ) 2 = a 2 – 2 a b + b 2
( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2
Supprimer des parenthèses
a + ( + b – c ) = a + b – c
a – ( + b – c ) = a – b + c
12

DEVELOPPER (défaire les paquets )
Développements simples
k × ( a + b ) = k × a + k × b
5 ( – x + 2 ) = – 5 x + 10 – 2 x ( 5 x – 7) = – 2 x ( + 5 x – 7) = – 10 x 2 + 14 x
multiplications à faire de tête : – 2 x × ( + 5 x) = – 10 x 2
– 2 x × ( – 7 ) = + 14 x
Développements doubles
( a + b ) × ( c + d ) = a × c + a × d + b × c + b × d
( x + 4 ) ( 2 x + 3 )
( 2 x – 5 ) ( – 3 x + 2 )
=( + x + 4 ) ( + 2 x + 3 ) = + 2 x ² + 3 x + 8 x + 12
multiplications à faire de tête
= 2 x ² + 11 x + 12
+ x × (+ 2 x ) = + 2 x ² + x × ( + 3 ) = + 3 x
+ 4 × (+ 2 x ) = + 8 x + 4 × ( + 3 ) = + 12
= (+ 2 x – 5 ) (– 3 x + 2 ) = – 6 x 2 + 4 x + 15 x – 10
= – 6 x 2 + 19 x – 10
multiplications à faire de tête
+ 2 x × (– 3 x ) = – 6 x 2 + 2 x × ( + 2 ) = + 4 x
– 5 × ( – 3 x ) = + 15 x – 5 × (+ 2 ) = – 10
Identités remarquables ( a + b ) ² = a ² + 2a b + b ²
( a – b ) ² = a ² – 2a b + b ²
( a + b ) ( a – b ) = a ² – b ²
( a + b ) ² = a ² + 2 × a × b + b ²
( x + 3 ) ² = x ² + 2 × x × 3 + 3 ²
= x ² + 6 x + 9
( a – b ) ² = a ² – 2 × a × b + b ²
( 3 x – 5 ) ² = ( 3 x ) ² – 2 × 3 x × 5 + 5 ²
= 9 x ² – 30 x + 25
( a + b ) ( a – b ) = a ² – b ²
( 5 x + 4 ) ( 5 x – 4 ) = ( 5 x ) ² – 4 ²
= 25 x ² – 16
Développements et Suppression de parenthèses
méthode : développer dans des crochets , puis utiliser la règle de suppression de parenthèses et réduire.
( 2 x + 5 ) 2 – ( x + 3 ) ( 2 x – 5 )
= [ (2x) ² + 2 × 2 x × 5 + 25 ] – [ + 2 x ² – 5 x + 6 x – 15 ]
= [ 4 x ² + 20 x + 25 ] – [ + 2 x ² – 5 x + 6 x – 15 ]
= 4 x ² + 20 x + 25 – 2 x ² + 5 x – 6 x + 15
= 2 x ² + 19 x + 40
> développer dans des crochets
> règle suppression parenthèses
> réduire
13

FACTORISER ( faire des paquets )
1 ère méthode : On utilise un facteur commun apparent.
▪ Le facteur commun est numérique 12 x + 4 = 4 × 3 x + 4 × 1 = 4 ( 3 x + 1 )
▪ Le facteur commun est littéral 4 x – x y = 4 × x – x × y = x ( 4 – y )
▪ Les deux à la fois 12 x 2 + 16 x = 4 x × 3 x + 4 x × 4 = 4 x ( 3 x + 4 )
▪ Le facteur commun est une expression littérale
( x + 1 ) ( x + 2 ) – 5 ( x + 2 ) = ( x + 2 ) [ ( x + 1 ) – 5 ]
= ( x + 2 ) ( x + 1 – 5)
= ( x + 2 ) ( x – 4 )
(2 x + 1) ² – (2 x + 1)( x – 3) = ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 1 ) – ( 2 x + 1 ) ( 4 x – 3 )
= ( 2 x + 1 ) [ ( 2 x + 1 ) – ( 4 x – 3 ) ]
= ( 2 x + 1 ) [ 2 x + 1 – 4 x + 3 ]
= ( 2 x + 1 ) ( – 2 x + 4 )
2 ème méthode : On utilise les identités remarquables.
a² + 2ab + b² = ( a + b ) ² a² – 2ab + b² = ( a – b ) ²
x ² + 10 x + 25
= x ² + 2 × x × 5 + 5²
= ( x + 5 ) ²
4 x ² – 12 x + 9
= ( 2 x ) ² – 2 × 2 x × 3 + 3 ²
= ( 2 x – 3 ) ²
a² – b² = ( a + b ) ( a – b)
9 x ² – 16
= ( 3 x ) ² – 4 ²
= ( 3 x + 4 ) ( 3 x – 4 )
( x + 5 ) ² – 1
= ( x + 5 ) ² – 1 ²
= ( x + 5 + 1 ) ( x + 5 – 1 )
= ( x + 6 ) ( x + 4 )
( x + 5 ) ² – ( 2 x + 3 ) ²
= [ ( x + 5 ) + ( 2 x + 3 ) ] [ ( x + 5 ) – ( 2 x + 3 ) ]
= [ x + 5 + 2 x + 3 ] [ x + 5 – 2 x – 3 ]
= ( 3x + 8 ) ( – x + 2 )
Remarque : On peut utiliser plusieurs méthodes en même temps.
( 25 x 2 – 40 x + 16 ) + ( 10 x – 8 ) – ( 25 x 2 – 16 )
2 ème identité facteur 3 ème identité
remarquable commun remarquable
= ( 5 x – 4 ) ² + 2 ( 5 x – 4 ) – ( 5 x – 4 ) ( 5 x + 4 )
= ( 5 x – 4 ) ( 5 x – 4 ) + 2 ( 5 x – 4 ) – ( 5 x – 4 ) ( 5 x + 4 ) facteur commun
= ( 5 x – 4 ) [ ( 5 x – 4 ) + 2 – ( 5 x + 4 ) ]
= ( 5 x – 4 ) [ 5 x – 4 + 2 – 5 x – 4 ]
= ( 5 x – 4 ) ( – 6 )
= – 6 ( 5 x – 4 ) ouf !!!!!!!!!!!!!!!!!
14

EQUATIONS
Une équation est une égalité de deux expressions littérales appelés les membres de l’équation.
ex :
7 x + 3 = 4 – 2 x
1 er membre 2 ème membre
Pour la résoudre, il faut trouver la ( ou les ) valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie.
vérifications
Exple 1 : 10 est-il solution de l’ équation 3 x + 2 = 32
3 × x + 2 = 3 × 10 + 2 = 30 + 2 = 32
donc oui 10 est solution de l’ équation.
Exple 2 : 5,5 est-il solution de l’ équation 7 x – 4 = 5 x + 7
On vérifie en deux calculs
(membre de gauche puis membre de droite)
d’ une part, 7 x – 4 = 7 × 5,5 – 4 = 38,5 – 4 = 34,5
d’ autre part, 5 x + 7 = 5 × 5,5 + 7 = 27,5 + 7 = 34,5
on compare 7 × 5,5 – 4 = 5 × 5,5 + 7
donc oui 5,5 est solution de l’ équation
Abu Djafar Muhammad ibn Musa al Khwarizmi (Bagdad, 780-850)
C'est bien lui la cause de nos soucis avec les calculs littéraux (développements, factorisations ,
résolutions d'équations, ...) puisqu'il est à l'origine de l'algèbre.
Le mot algèbre lui-même vient de l’ arabe al-jabr ; il figurait dans le titre du livre « Hisah al-jabr
wal-muqqabala » écrit par ce mathématicien , que l’ on pourrait traduire par : « L’ art de la
transposition et de la réduction ».
Dans ce livre , Al-Khwarizmi explique une méthode (appelée muadala) pour résoudre des équations .
15
= 6 alors 12 = 6 x 2 5 x 2 = 10 alors 2 = 10 12
5 2
un petit conseil :
Dans une équation , il distingue deux « familles » :
mettre les + sous-entendus
- la « famille des nombres » était appelée dirham
avant de transposer.
- la « famille des x » était appelée chay (= chose),
Les trois règles pour résoudre une équation
La règle al-jabr ( transposition ) consiste à changer de Exemple : résoudre l’ équation 4 x – 3 = x + 9
membre un terme d’une addition ou d’une soustraction.
On reconnaît des termes de la famille des x et des
le «contraire»
le «contraire» de
termes de la famille des nombres séparés par
d’additionner,
soustraire, c’ est
c’ est soustraire.
additionner.
les signes + ou – . L’objectif ,c’est d’ isoler l’inconnue x à
7 + 3 = 10 alors 7 = 10 – 3 8 – 6 = 2 alors 8 = 2 + 6
gauche de la « barrière = ».
1 ère étape : règle al-jabr ( chacun rentre chez soi !)
La famille des x habite à gauche de la « barrière = »
La règle al-muqqabala ( réduction ) consiste à réduire les
et la famille des nombres habite à droite du « = ».
éléments d’une même famille.
On applique la règle de transposition.
famille des x
famille des nombres
+ 4 x – 3 = + x + 9 ( le contraire de – 3 , c’est + 3 )
x + x = 2 x
( le contraire de + x , c’est – x )
4 x + 3 x = 7 x
– 2 – 3 = – 5
+ 15 – 11 – 2 = + 2
+ 4 x – x = + 9 + 3
– x + 12 x – 13 x = – 2 x
2 eme étape : règle al-muqqabala ( réduction des familles)
La règle al-hatt consiste à transformer une
multiplication en une division ou une division en une
3 x = 12
3 eme étape : règle al-hatt ( le contraire de × 3 , c’est : 3 )
multiplication..
le «contraire» de
le «contraire» de
multiplier, c’est diviser.
diviser,
x = 12 3
= 4 La solution de l’ équation est le nombre 4.
c’ est multiplier.
vérification , pour x = 4 , 4 x – 3 = 4 × 4 – 3 = 13
x + 9 = 4 + 3 = 13
pour x = 4 , l’ égalité 4 x – 3 = x + 9 est vraie
donc 4 est bien solution de l’ équation 4 x – 3 = x + 9

Résoudre une équation
le «contraire» de additionner, c’ est soustraire
le «contraire» de soustraire, c’ est additionner
le «contraire» de multiplier, c’ est diviser
le «contraire» de diviser, c’ est multiplier
méthode : isoler x dans le 1 er membre.
> regrouper les termes de la famille des x dans le 1 er membre et
les termes de la famille des nombres dans le 2 ème membre. Si un
terme change de membre , appliquer la méthode de l’ opération
contraire d’une addition ou d’une soustraction.
> réduire chaque membre.
> terminer en utilisant l’opération contraire d’une multiplication
(plus rarement d’une division).
Equation type 1 : 8 x + 140 = 468
8 x + 140 = 468
le «contraire» de additionner, c’ est soustraire
8 x = 468 – 140
réduire
8 x = 328
le « contraire » de multiplier , c’ est diviser
x = 328
8
= 41 La solution de l’équation est 41
Equation type 2 : 7 x + 3 = 4 – 2 x
– 7 x + 3 = + 4 – 2 x
regrouper les termes de la famille des x dans 1 er
membre
et les termes de la famille des nombres dans 2 ème membre
– 7 x + 2 x = + 4 – 3
– 5 x = 1
x =
1
– 5 = – 1
5
réduire
Equation type 3
3 (x – 1 ) + 2 ( x – 4 ) = x – 5
le « contraire » de multiplier , c’ est diviser
La solution de l’équation est – 1
5
développer
3 x – 3 + 2 x – 8 = x – 5 on obtient une équation type 2
Equation type 4
1
4 + 3 8 x = – 5 2
mettre au même dénominateur
1 × 2
4 × 2 + 3 8 x = – 5 × 4
2 × 4
2
8 + 3 8 x = 20
8
supprimer le dénominateur commun
2 + 3 x = – 20 on obtient une équation type 2
Equation type 5
2 x + 3
x + 2 = 3 4
on utilise la règle du produit en croix
4 × ( 2 x + 3 ) = 3 × ( x + 2 )
on obtient une équation type 3
Ex : ( 2 x + 5 ) ( 3 x – 1 ) = 0
Equations produit nul
Si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0
signifie que : 2 x + 5 = 0 ou 3 x – 1 = 0
2 x = – 5 ou 3 x = 1
x = – 5
2
L’ équation a deux solutions : – 5
2 et 1 3 .
ou x = 1 3
Résolution d’équations du type x 2 = a
Quand a ≥0 ,
l’ équation x 2 = a possède 2 solutions : x = a et x = – a .
Remarque : Quand a

SYSTEMES D’ EQUATIONS
⎧ x + 2 y = – 5
⎨
⎩ 4 x + y = 1
est un système de deux équations à deux inconnues.
Résoudre un système, c’est trouver tous les couples qui sont solutions des deux équations à la fois.
⎧ 1 + 2 × (– 3) = 1 – 6 = – 5
Si x = 1 et y = – 3 : ⎨
⎩ 4 × 1 + (– 3) = 4 – 3 = 1
les deux équations sont vérifiées.
On dit que le couple ( x = 1 ; y = – 3) est une solution du système.
> méthode par substitution
Par définition, la substitution est l’action de
remplacer , de mettre l’un à la place de l’autre.
Exemple : ⎩
⎨ ⎧ x + 2 y = – 4
3 x – 2 y = 12
Pour effectuer la substitution, il faut exprimer une des
deux inconnues en fonction de l’autre. Ici, on a choisi
d’exprimer x en fonction de y dans la 1 ère équation ( le
coefficient de x est le plus simple : 1 ).
⎪⎧ x = – 4 – 2 y
⎨
⎩⎪ 3 x – 2 y = 12
On effectue la substitution : remplacer x dans la 2 ème
équation, par son expression en fonction de y.
On obtient alors une équation à une inconnue : y.
⎧ x = – 4 – 2 y
⎨
⎩ 3 (– 4 – 2 y ) – 2 y = 12
On résout cette équation d’inconnue y.
⎧ x = – 4 – 2 y
⎨
⎩ – 12 – 6 y – 2 y = 12
⎧ x = – 4 – 2 y
⎨
⎩ – 8 y = 12 + 12
⎪⎧ x = – 4 – 2 y
⎨
y =
⎩⎪
24
– 8 = – 3
Une fois la valeur de y obtenue, il ne reste qu’ à
remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’
expression de x en fonction de y et de calculer ainsi la
valeur de x .
⎧ x = – 4 – 2 × (– 3 ) = 2
⎨
⎩ y = – 3
On obtient le couple solution du système :
( x = 2 ; y = – 3 )
> méthode par combinaison
La combinaison est l’action de grouper , d’unir
plusieurs objets pour en former un nouveau.
Exemple :
⎧ 2 x + 6 y = 20
⎨
⎩ 3 x + 5 y = 18
Pour combiner les deux équations, il faut que les
coefficient d’une des deux inconnues dans les deux
équation soient opposés. Ici , en multipliant la 1 ère
équation par 3 et la deuxième équation par – 2, les
coefficients de x deviennent opposés
3 ×
(– 2) × ⎩
⎨ ⎧ 2 x + 6 y = 20
3 x + 5 y = 18
On effectue la combinaison : on ajoute membre à
membre les deux équations : « la 1 ère + la 2 ème ».
On obtient une équation à une inconnue : y.
⎧ 6 x + 18 y = 60
⎨
⎩ – 6 x – 10 y = – 36
8 y = 24
on résout cette équation d’ inconnue y.
y = 24 8 = 3
Une fois la valeur de y obtenue, il ne reste qu’ à
remplacer cette inconnue par sa valeur dans une des
équations de départ.( ici dans la 1 ère équation).
On obtient une équation à une inconnue x qu’il faut
résoudre.
2 x + 6 y = 20
2 x + 6 × 3 = 20
2 x +18 = 20
2 x = 20 – 18
x = 2 2 = 1
On obtient le couple solution du système :
( x = 1 ; y = 3 )
17

INEQUATIONS
Symboles
< « est inférieur à »
≤ « est inférieur ou égal à »
> « est supérieur à »
≥ « est supérieur ou égal à »
ORDRES ET OPERATIONS
Règle 1 additionner (ou soustraire) le même nombre dans les deux membres d’une inégalité ne change pas le sens.
Règle 2 multiplier (ou diviser) par le même nombre positif les deux membres d’une inégalité ne change pas le sens.
Règle 3 multiplier (ou diviser) par le même nombre négatif les deux membres d’une inégalité change le sens.
INEQUATIONS
Voici une inéquation d’ inconnue x :
4 x – 6 < 2 x + 2 . Le symbole < est le sens de l’ inéquation
Si on remplace x par 1 , le premier membre vaut 4 × 1 – 6 = – 2
Le deuxième membre vaut 2 × 1 + 2 = 4
Comme – 2 < 4 , l’ inéquation est vérifiée pour x = 1 donc 1 est solution de cette inéquation.
De même 3 est solution ( 4 × 3 – 6 < 2 × 3 + 2 ) . Mais 5 n’ est pas solution ( 4 × 5 – 6 < 2 × 5 + 2 est faux ).
Résoudre une inéquation , c ‘ est en trouver toutes les solutions.
Exemple 1 : 3 x – 4 ≤ 8
3 x – 4 ≤ 8
le «contraire» de –, c’ est + ; ajouter ne change pas le sens
on calcule
3 x ≤ 8 + 4
3 × x ≤ 12
le «contraire» de × 3 , c’ est : 3
diviser par 3 ( positif ) ne change pas le sens
x ≤ 12
3
x ≤ 4
Tous les nombres inférieurs ou égaux à 4 sont solutions de
l’inéquation.
Exemple 2 : 3 x – 2 < 6 x + 7
3 x – 2 < + 6 x + 7
regrouper les termes en x dans 1 er
membre
et les constantes dans le 2 ème membre , comme on ajoute ou
on soustrait membre à membre , on ne change pas le sens.
3 x – 2 < + 6 x + 7
3 x – 6 x < 7 + 2
– 3 x < 9
diviser par – 3 ( négatif ) change le sens.
x >
9
– 3
x > – 3
Tous les nombres supérieurs strictement à – 3 sont solutions
de l’inéquation.
Représentation graphique
On utilise les crochets ] ou [ , suivant le côté où ils sont tournés , ils indiquent si le nombre fait partie ou pas des solutions.
Ensuite , on hachure la partie qui ne convient pas.
Exemple 1 : x ≤ 4
( 4 fait partie des solutions , donc le crochet est tourné vers la
partie qui convient )
Exemple 2 : x > – 3
( – 3 ne fait pas partie des solutions , donc le crochet est
tourné vers la partie qui ne convient pas )
0 1
4
– 3
0 1
18

FONCTIONS NUMERIQUES
" En fonction de"
Exprimer une grandeur y en fonction d'une grandeur x , c'est indiquer comment on peut calculer y quand on connaît x.
Notations
Le procédé qui fait correspondre à un nombre x la valeur d'une expression y obtenue en fonction de x s'appelle une
fonction. On symbolise cette correspondance pour « passer » de x à y par une lettre f , g ou h ...
et on note f : x –––––> y ou f ( x ) = y ; on lit « f de x égale y » .
Par exemple, quand on écrit f : x –––––> x + 2 ou f(x) = x+ 2
on désigne la fonction f qui à un nombre x fait correspondre le nombre obtenu en lui ajoutant 2.
L'image de 10 par cette fonction f est 10 + 2 = 12. On écrit f(10) = 12
On lit « f de 10 égale 12 » ou mieux « l'image de 10 par f est 12 »
On peut voir une fonction comme une machine où on rentre une valeur x en entrée et il en sort une autre valeur y à la sortie .
DEPART
x
x est l’antécédent de y
Fonction
ARRIVEE
y
y est l’image de x
Exemple : Le boulet de canon.
Un canon placé à deux mètres de hauteur lance un boulet avec une vitesse de 30 m/s (soit 108 km/h) et un angle avec l’
horizontale de 30°. La hauteur (en mètre) du boulet varie en fonction du temps écoulé t (en seconde).
On dit que la hauteur h est fonction du temps t. Les physiciens utilisent le formule h ( t ) = – 5 t 2 + 15 t + 2 .
La fonction h renvoie à une valeur d’entrée ( le temps ) , une valeur de sortie ( la hauteur )
Temps t
Fonction h
hauteur h(t)
Par exemple , pour connaître la hauteur du boulet au
bout de deux secondes , on calcule
h( 2 ) = – 5 × 2 2 + 15 × 2 + 2
= – 5 × 4 + 15 × 2 + 2
= – 20 + 30 + 2
= 12
Au bout de 2 secondes le boulet est à 12 mètres de
hauteur.
On note h(2) = 12 et on lit « h de 2 égale 12 »
tableau de valeurs et représentation graphique
t ( en s ) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
h ( en m) 2 8,25 12 13,25 12 8,25 2
h : t –––––> h( t ) = – 5 t 2 + 15 t + 2.
0,5 –––––> h(0,5)= – 5 × 0,5 2 + 15 × 0,5 + 2 = 8,25
0,5 Fonction h
8,25
L’image de 0,5 est 8,25 .
19
1 –––––> h ( 1 ) = – 5 ×1 2 + 15 ×1 + 2 = 12
2 –––––> h ( 2 ) = – 5 × 2 2 + 15 × 2 + 2 = 12
1
2
Fonction h
12
Les deux antécédents de 12 sont : 1 et 2 .

FONCTIONS LINEAIRES – FONCTIONS AFFINES
a un nombre donné
FONCTIONS LINEAIRES
f : x –––––> a x ou f ( x ) = a x
Une fonction linéaire correspond à une situation de
proportionnalité.
Une fonction linéaire est représentée graphiquement par
une droite qui passe par l'origine O du repère.
On dit que cette droite a pour équation : y = a x.
a : coefficient directeur ou pente de la droite.
Il indique « l’inclinaison » de la droite.
Exemple Soit f ( x ) = 2 x ( a = 2 )
f ( 0 ) = 2 × 0 = 0
x 0 3
f ( 3 ) = 2 × 3 = 6 y = f ( x ) 0 6
Donc la droite passe par l’origine O ( 0 ; 0 ) et par le point
de coordonnées ( 3 ; 6 ).
Elle a pour équation y = 2 x
y (ordonnées)
a et b deux nombres donnés
FONCTIONS AFFINES
f : x –––––> a x + b ou f ( x ) = a x + b
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière
( avec le coefficient b = 0 )
Une fonction affine est représentée graphiquement par
une droite . Cette droite a pour équation : y = a x + b.
a : coefficient directeur ou pente de la droite
( Il indique « l’inclinaison » de la droite.).
b : l’ordonnée à l’origine ( car La droite associée passe
par le point ( 0 ; b ). C’est le point d’intersection de la
droite avec l’axe des ordonnées.)
Exemple Soit g ( x ) = 2 x – 1 ( a = 2 et b = – 1 )
g ( – 1) = 2 × ( – 1) – 1 = – 3 x – 1 3
g ( 3 ) = 2 × 3 – 1 = 5 y = g ( x ) – 3 5
Donc la droite passe par les deux points de coordonnées
( – 1 ; – 3 ) et ( 3 ; 5 ).
Elle a pour équation y = 2 x – 1
y (ordonnées)
6
5
5
4
4
3
2
coefficient
directeur : 2
3
2
2
coefficient
directeur : 2
– 1
2
1
O
1
1 2 3 4
x
(abscisses)
ordonnée à
l’origine : – 1
1
– 1
O
– 1
1
1 2 3 4
– 2
x
(abscisses)
– 1
– 3
Calculs d’images et d’antécédents par une fonction affine
Exemple : Soit la fonction affine définie par f ( x ) = – 2 x + 1
calculer une image : appliquer la formule
image de 3 :
f ( 3 ) = – 2 × 3 + 1 = 5
Donc l’ image de 3 est 5 . f ( 3 ) = 5
calculer un antécédent : résoudre une équation
antécédent de – 3 :
c’est chercher x tel que f ( x) = – 3
– 2 x + 1 = – 3
– 2 x = – 3 – 1
– 2 x = – 4
x = – 4
– 2 = 2
Donc l’ antécédent de – 3 est 2 . f ( 2 ) = – 3
20

PROPORTIONNALITÉ
Deux suites sont proportionnelles, si:
> sur un tableau, on passe de l'une à l'autre en multipliant ou
en divisant par un même nombre.
> sur un graphique, tous les points sont alignés avec l'origine.
21
Exemple :
x ( abscisse ) 0,5 1 1,5 2,5
y ( ordonnée) 1,5 3 4,5 7,5
nombre d’en bas
nombre d’en haut = 1,5
0,5 = 3 1 = 4,5
1,5 = 7,5
2,5 = 3
× 3
Ce nombre « constant » ( toujours le même ) est le
coefficient de proportionnalité.
La règle de trois ( 4 ème proportionnelle )
Exemple : Un automobiliste a consommé 8 litres d’essence
pour un parcours de 150 km.
Quelle distance peut-il parcourir avec 12 L
=
8 L –––––→ 150 Km
12 L –––––→ Km
Consommation
( en l )
Distance parcourue
( en km )
produit de la grande diagonale
nombre qui reste
8 12
150
150 × 12
=
8
GRANDEURS COMPOSEES
= 225 km
Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en faisant le
quotient de deux grandeurs .
• masse volumique
la masse volumique de l’ or est de 19,3 g / cm 3 , ça signifie
que 1 cm 3 d’ or pèse 19,3 g.
volume ( cm 3 ) 1 …
masse (g) 19,3 …
• débits
La Seine a un débit de 400 m 3 / s , ça signifie que, il s’ écoule
400 m 3 d’ eau en 1 seconde .
Temps ( s ) 1 …
volume ( m 3 ) 400 …
• vitesses
7
6
5
4
3
2
1
y ( ordonnées )
O 1 2 3
x ( abscisses )
× masse volumique
( g/ cm 3 )
× masse volumique
( m 3 /s )
échelle =
distance sur le dessin
distance réelle (même unité)
1
Une carte routière est à l’échelle
1 000 .
Ca signifie qu’ une distance de 1 000 cm en distance
réelle est représenté par 1 cm sur la carte.
distance réelle ( cm ) 1000 …
distance sur la carte ( cm ) 1 …
échelle < 1 → réduction
échelle = 1 → reproduction grandeur nature
échelle > 1 → agrandissement
VITESSES - TEMPS
> unités de temps - conversions
1h = 60min = 3600s
1min = 60s = 1
60 h
1s = 1
60 min = 1
3600 h
3 h 33 min = 3 × 60 min + 33 min = 213 min
855 min = 14 × 60 min + 15 min
855 min = 14 h 15 min
5,8 h = 5 h + 0,8 h
= 5 h + 0,8 × 60 min
= 5h 48 min
855 60
14
15
2h24 min = 2h + 24min
= 2h + 24 × 1 60 h
= 2h +0,4h
= 2,4 h
> vitesse
Une voiture roule à la vitesse de 60 km/h .
Ca signifie qu’ elle parcourt 60 km en 1 h.
temps ( h ) 1 …
distance ( km ) 60 …
FORMULES
V = D T
D = VT
vitesse V , distance D , temps T
T = D V
exemple :
Une voiture met 2h30min pour parcourir 200 km
a) vitesse moyenne 2h30min = 2,5h
V ( km/ h) = D ( km)
= 200km = 80 km/h
T ( h) 2,5h
× échelle
× vitesse ( km/ h )
b) distance parcourue en 1h30min ( = 1,5 h )
D (km) = V ( km/h) × T ( h) = 80km/h × 1,5h = 120 km
c) temps pour parcourir 540 km
T ( h) = D ( km) 540 km
= = 6,75h = 6h45min
V ( km/h) 80 km/h

POURCENTAGES
ECRITURES
EQUIVALENTES
CALCULS DE BASE
> appliquer un pourcentage : 25 % de 155 = 25 × 155 = 38,75
100
> calculer un pourcentage : 30 objets sur 50 = 30 × 100 = 60 %
50
VARIATIONS EN POURCENTAGE
On distingue trois types d’exercices basés sur le schéma ci-dessous :
VARIATION EN %
Nombre de départ ––––––––––––––––––––––> Nombre d’arrivée
25 %
25 pour 100
25 sur 100
25
100
0,25
On donne deux des trois valeurs
et il faut retrouver la troisième
Augmentation en pourcentage :
Un objet coûtait 115 € . Le prix est
augmenté de 20 %. Quel est le
nouveau prix
Augmenter de 20 % , pour un prix de
100 € , augmentation de 20 € , il
coûtera à l’arrivée 120 € ( 100 + 20 )
+ 20 %
115 ––––––––>
100 ––––––––> 120
115 × 120
= = 138
100
nouveau prix : 138 €
Le prix d’un objet passe de 125 € à
130 €. Quel est le pourcentage de la
hausse
+ %
125 ––––––––> 130
100 ––––––––>
100 × 130
= = 104
125
104 – 100 = 4
Pour 100 € , augmentation de 4 €
donc augmentation de 4 %
Un objet coûte 118,25 € après que son
prix ait subi une hausse de 7,5 %.
Quel était l’ancien prix
Augmenter de 7,5 % , pour un prix
de 100 € , augmentation de 7,5 €, il
coûtera à l’arrivée 107,5 € (100+7,5)
+ 7,5 %
––––––––> 118,25
100 ––––––––> 107,5
100 × 118,5
= = 110
107,5
ancien prix : 110 €
Diminution en pourcentage
Un objet coûtait 155 €. Le prix est
baissé de 15 %. Quel est le nouveau
prix
Diminuer de 15 %, pour un prix de
100 € , diminution de 15 € , il coûtera
à l’arrivée 85 € ( 100 – 15 )
– 15 %
155 –––––––>
100 ––––––––> 85
155 × 85
= = 131,75
100
nouveau prix : 131,75 €
Le prix d’un objet passe de 160 € à
120 €. Quel est le pourcentage de la
baisse
– %
160 –––––––> 120
100 –––––––>
100 × 120
= = 75
160
100 – 75 = 25
Pour 100 € , diminution de 25 €
donc diminution de 25 %
Un objet coûte 152 € après que son
prix ait subi une baisse de 5 %. Quel
était l’ancien prix
Diminuer de 5 % , pour un prix de
100 € , diminution de 5 € , il coûtera à
l’arrivée 95 € ( 100 –5 )
– 5 %
–––––––> 152
100 ––––––––> 95
100 × 152
= = 160
95
ancien prix : 160 €
POURCENTAGES ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS
Appliquer un pourcentage : Prendre 5% , c’ est multiplier par 5
100 = 0,05
Augmentation en pourcentage : Augmenter de 5%, c’ est multiplier par 1 + 5
100 = 1,05
Diminution en pourcentage : Diminuer de 5%, c’ est multiplier par 1 –
5
100 = 0,95
22

STATISTIQUES
Le but des statistiques est d’étudier des séries de nombres et les présenter sous une forme adaptée
(tableau, graphiques...).
Exemple : Sondage : « Souhaitez vous la suppression des cours de maths »
Sur les 800 élèves du collège , 240 ont répondu oui , 440 ont répondu non et le reste n’ a pas d’opinion.
OUI NON Sans op. total
Pour rassembler des données, on utilise un tableau. Effectif 240 440 120 800
VOCABULAIRE
La population est l’ensemble des personnes ou des objets étudiés. (ex : les élèves du collège)
Le caractère est le critère étudié, qui permet de classer les personnes ou les objets de la population selon
différentes valeurs. ( ex : la réponse au sondage).
L’effectif total est le nombre d’éléments dans la population. ( ex : les 800 élèves du collège )
L’effectif est le nombre d’éléments pour une certaine valeur. ( ex : l’ effectif de la réponse oui est 240 )
REPRESENTATIONS : diagrammes statistiques
Diagramme en bâtons
ou histogramme
effectif
440
240
Diagramme circulaire
L'angle est proportionnel à l'effectif.
On représente l’ effectif total par un
angle de 360 °.
OUI NON Sans
opinion total
Effectif 240 440 120 800
Angle 108° 198° 54° 360°
OUI
Sans
opinion
NON
120
40
Diagramme semi-circulaire
On représente l’ effectif total
par un angle de 180 °.
OUI
NON
sans op.
OUI
NON
Sans
opinion
Fréquence : La fréquence est le rapport d’un effectif par un effectif total, on peut obtenir la fréquence
sous forme d’un pourcentage, en multipliant par 100 la fréquence
Ex :
OUI NON Sans op. total
Effectif 240 440 120 800
Fréquence de oui = 240
800 = 0,3
fréquence 0,3 0,55 0,15 1
Pourcentage de oui : 0,3 × 100 = 30 % Fréquence en % 30% 55% 15% 100%
Regroupement de données par classes
Ex : Le tableau donne la répartition des 25 minimes d’un club de football selon leurs tailles mesurées au cm
près. On a regroupé les tailles en classes.
23
Classe 1,40≤ t < 1,45 1,45≤ t

Moyenne arithmétique
Ex : moyenne de notes 12 , 15 et 13
m =
12 + 15 + 13
3
≈ 13,3
Moyenne d’ une série statistique
Moyenne pondérée
Ex : moyenne de notes avec coefficient
12 coefficienté 1 , 15 coeff 3 et 13 coeff 2
m =
( 12 x 1 ) + ( 15 x 3 ) + ( 13 x 2 )
1 + 2 + 3
Cas d’ une série regroupée par classe
≈ 13,8
Ex : valeur 10 20 30 40
effectif 8 3 6 5
m =
(10x8) + (20x3) + (30x6) + (40x5)
8+3+6+5
≈ 23,6
Ex : valeur [0;5[ [5;10[ [10;15[ [15;20[
effectif 2 3 9 5
On prend pour valeur le centre de la classe : par
exemple 7,5 pour la classe [5;10[
m =
Effectifs cumulés croissants
Ex : Voici le temps en minutes mis par 70 élèves pour déjeuner.
Durée (en min) 0 ≤ d < 10 10 ≤ d < 20 20 ≤ d < 30
Effectif 20 35 15
Effectif cumulé 20 55 70
↑
20+35
↑
55+15
L’effectif cumulé de 55 signifie qu’il y a 55 élèves qui mettent
Moins de 20 minutes pour déjeuner
Fréquences cumulées croissantes : Elles s’ obtiennent
de la même manière avec le tableau des fréquences.
(2,5x2) + (7,5x3) + (12,5x9) + (17,5x5)
2+3+9+5
Effectif cumulé
60
40
20
0
≈ 12
Diagramme et courbe des effectifs cumulés
10
20 30
Durée
en min
Etendue : c’est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série.
ex: 20 notes à un DS: 5; 12; 19; 12; 8; 9; 11; 14; 3; 8; 7; 12; 10; 9; 8; 16; 14; 8; 5; 11
L'étendue des notes est de : 19 – 3 = 16 ( la note la plus haute – la note la plus basse ).
Médiane : C’est une valeur qui permet de partager la série statistique en deux groupes de même effectif.
On peut l’obtenir en classant les valeurs de la série statistique dans l’ordre croissant.
Exemple 1 : effectif total pair
En récrivant toutes les notes par ordre croissant :
3 ; 5 ; 5 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 16 ; 19
10 élèves médiane = 9+10 = 9,5 10 élèves
2
Elle signifie que la moitié des élèves ont moins que 9,5 et que l’ autre moitié a plus que 9,5
Exemple 2 : effectif total impair
Voici les notes obtenues par une autre classe de 11 élèves : 16 – 12 – 4 – 10 – 6 – 5 – 19 – 13 – 8 – 8 – 9
En récrivant toutes les notes par ordre croissant :
4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 13 ; 16 ; 19
5 élèves 5 élèves
Dans cet exemple , la note médiane est 9 ( le nombre du « milieu » )
24

CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES ELEMENTAIRES
DROITES PARALLELES DROITES PERPENDICULAIRES ANGLES
70 degrés
70 °
130 120 110 100 90 80 70 60 50
140 50 60 70 80 90 100 110 120
130 40
40
140
150
30
30
150
20
160 20
160
170 10
170 10
180 0
180 0
- le centre du rapporteur doit être sur le sommet de l’angle
- un zéro du rapporteur doit être sur un côté de l’angle
- lire la graduation qui correspond à ce zéro
MEDIATRICE D’UN SEGMENT
BISSECTRICE D’UN ANGLE
A l’équerre
Au compas
prendre le même
écartement
placer le milieu du segment
prendre le même
écartement
prendre le même
écartement
25

Construction du TRIANGLE connaissant ses trois côtés
b
c
b
c
a
a
Construction du PARALLELOGRAMME
écartement AB
C
A
B
écartement AC
NOTATIONS EN GEOMETRIE
point A le point A A 1 , A 2 , A’ , A’’ , …
droite (AB) la droite qui passe par les points A et B (d) , (d 1 ) , (d’) , (d’’) , (∆) , ...
segment [ AB ] le segment d’extrémités A et B
demi-droite [ AB ) la demi-droite d’origine A qui passe par B
longueur AB la distance du point A au point B
quadrilatère ABCD
côté [AB]
triangle ABC
sommet B
B
côté [ BC ]
A
B
sommet C
A
C
D
C
cercle ( C )
Rayon [OD]
D
centre O
diagonale [AC]
Attention: Lorsqu'on demande de tracer un
quadrilatère (par exemple ABCD), il faut
placer les points A, B, C et D en tournant
toujours dans le même sens.
A
diamètre [AB]
M
O
B corde [MN]
N
Arc de cercle MN
∩
A
B
A
D
A
C
angle a AOB
A
D
VRAI
C
B
VRAI
C
B
FAUX !!!
D
O
Le sommet O
B
Les côtés [OA) et [OB)
26

MILIEU
DROITES
A I B
Si deux droites sont parallèles à une même
troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même
troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
RAPPELS GEOMETRIQUES
IA = IB
déf : Le milieu d’un segment est le point de ce
segment qui le partage en deux segments de même
longueur.
CERCLE
déf: Tous les points d’ un cercle sont situés à la même
distance du centre de ce cercle; cette distance s’ appelle
le rayon de ce cercle.
Si deux points A et B sont à la même distance d
d'un point M, alors A et B sont des points du cercle de
centre M et de rayon d = MA = MB.
TANGENTE:La tangente en
M au cercle de centre O est
la droite perpendiculaire en
M au rayon [OM].
MEDIATRICE
A
O
M
( t )
déf: La médiatrice d’un segment
est la droite perpendiculaire
à ce segment en son milieu.
M
B
Si deux droites sont parallèles, alors toute
perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’ autre.
A
MA=MB
B
DROITES ET ANGLES
Si deux angles sont opposés par le sommet, alors
ils sont égaux.
ANGLES ALTERNES -INTERNES
Si un point appartient à la médiatrice d’ un
segment, alors il est équidistant (à la même
distance) des extrémités de ce segment.
Si un point est équidistant des extrémités d’ un
segment, alors il appartient à la médiatrice de ce
segment.
Si une droite passe par un point équidistant des
extrémités d’ un segment, et si elle est
perpendiculaire à ce segment , alors c’est la
médiatrice de ce segment.
DISTANCE D'UN POINT A UNE DROITE
27
Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux
deux à deux .
Si deux droites coupées par une sécante forment
des angles alternes-internes égaux, alors elles sont
parallèles.
ANGLES CORRESPONDANTS
Si deux droites parallèles sont coupées par une
sécante, alors les angles correspondants sont égaux
deux à deux .
Si deux droites coupées par une sécante forment
des angles correspondants égaux, alors elles sont
parallèles.
distance de A à (d) = AH
A
(d)
BISSECTRICE
déf: La bissectrice d’ un angle
est la demi-droite qui
partage cet angle
en deux angles égaux.
avec (AH) ⊥ (d) et H ∈ (d)
A
(d)
Si un point appartient à la bissectrice d’ un angle,
alors il est équidistant (à la même distance) des
côtés de cet angle.
Si un point est équidistant des côtés d’un angle,
alors il appartient à la bissectrice de cet angle.
H
K
H
M
MH=MK

QUADRILATERES
TRAPEZE
déf: Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés
opposés parallèles.
RECTANGLE
Un rectangle est un
parallélogramme.
PARALLELOGRAMME
déf: Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés
opposés parallèles deux à deux.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu , alors c’ est un parallélogramme.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés
parallèles et de même longueur , alors c’ est un
parallélogramme.
Propriétés: Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors :
- ses côtés opposés sont parallèles.
- ses côtés opposés sont de même longueur.
- ses diagonales ont le même milieu.
- ses angles opposés sont égaux.
déf: Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre
angles droits.
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’ est un
rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même
longueur, alors c’ est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’ est un
rectangle.
Propriétés: Si un quadrilatère est un rectangle, alors:
- ses côtés opposés sont parallèles.
- ses côtés opposés sont de même longueur.
- ses diagonales ont le même milieu.
- ses diagonales sont de même longueur.
- ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.
CARRE
Un carré est
un parallélogramme,
un rectangle,
et un losange.
LOSANGE
Un losange est un
parallélogramme.
déf: Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés
de même longueur.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires,
alors c’ est un losange.
Si un parallélogramme a deux cotés consécutifs de
même longueur, alors c’ est un losange.
Propriétés: Si un quadrilatère est un losange, alors :
- ses côtés opposés sont parallèles.
- ses quatre côtés ont la même longueur.
- ses diagonales sont perpendiculaires.
- ses diagonales ont le même milieu.
- ses angles opposés sont égaux.
déf: Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles
droits et ses quatre côtés de même longueur.
Si un losange a un angle droit, alors c’ est un carré.
Si un losange a ses diagonales de même longueur , alors
c’ est un carré.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même
longueur ,alors c’ est un carré.
Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors c’
est un carré.
Propriétés: Si un quadrilatère est un carré, alors :
- ses côtés opposés sont parallèles.
- ses quatre côtés ont la même longueur.
- ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.
- ses diagonales sont perpendiculaires.
- ses diagonales ont le même milieu.
- ses diagonales sont de même longueur.
28

TRIANGLES
MEDIATRICES ET CERCLE CIRCONSCRIT
Les médiatrices des trois côtés d’ un triangle se
coupent en un même point .
( centre du cercle circonscrit)
Le cercle circonscrit à
un triangle est le cercle
qui passe par les trois
sommets du triangle.
DROITE DES MILIEUX
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de
deux côtés ,alors elle est parallèle au troisième côté.
Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux
côtés ,alors sa longueur est égale à la moitié du troisième
côté.
A
I
J
B
C
HAUTEURS: Une hauteur d’ un triangle est une droite qui
passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire
au côté opposé.
Les trois hauteurs d’ un triangle se coupent en un même
point ( orthocentre ) .
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’ un
côté et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle
passe par le milieu du troisième côté.
SOMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE
La somme des mesures des trois angles d’ un triangle est
égale à 180 ° .
A
MEDIANES : Une médiane d’ un triangle est une droite qui
passe par un sommet et le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même
point ( centre de gravité du triangle )
A
de plus on a :
AG = 2 3 AA’
BG = 2 3 BB’
CG = 2 3 CC’
BISSECTRICES
B
Les bissectrices des trois angles d’ un triangle
se coupent en un même point
A ’
C
G
C ’
B ’
INÉGALITÉ TRIANGULAIRE
Dans un triangle , la longueur
de chaque côté est inférieure B
à la somme des deux autres. BC < BA + AC
si A appartient à [ BC ] , alors BC = BA + AC
si BC = BA + AC , alors A appartient à [ BC ]
A
TRIANGLE ISOCELE :
Un triangle isocèle est un
triangle qui a deux côtés
de même longueur.
A : sommet principal
[BC] : base
Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base
sont égaux.
Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.
Si un triangle est isocèle , alors la médiatrice de sa base,
la hauteur issue du sommet principal , sa médiane issue du
sommet principal et la bissectrice issue du sommet principal
sont confondues.
TRIANGLE EQUILATERAL:
Un triangle équilatéral est
un triangle qui a ses trois
côtés de même longueur.
B
C
C
Si un triangle est équilatéral, alors il a ses trois angles
égaux à 60° .
Si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est
équilatéral.
Si un triangle est équilatéral, alors ses médiatrices ,ses
hauteurs, ses médianes et ses bissectrices sont confondues.
29

TRIANGLE RECTANGLE
déf: Un triangle rectangle est un
triangle qui a un angle droit.
TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT.
Si un triangle est rectangle , alors le
sommet de l’ angle droit appartient au
cercle de diamètre l’hypoténuse .
Si on joint un point d ’ un cercle aux extrémités d’ un
diamètre, alors on obtient un triangle rectangle en ce
point.
TRIANGLE RECTANGLE ET MEDIANE RELATIVE A
L’ HYPOTENUSE
Si un triangle est rectangle ,
alors la médiane relative à l’hypoténuse
est égale à la moitié de l’ hypoténuse.
Hypoténuse
(côté opposé à l’angle droit)
Si, dans un triangle, la médiane relative à un côté a
pour longueur la moitié de ce côté, alors ce triangle est
rectangle.
PYTHAGORE
6 ème siècle avant J.C
Pythagore est né dans l’île
de Samos, au large de Milet
en Grèce. Il aurait été l’élève de
Thalès. A 18 ans, il gagne toutes
les compétitions de pugilat (sport
comparable à la boxe mais se jouant
avec des gants garni de fer ou de plomb) aux jeux
olympiques. Il a voyagé pendant 40 ans. Pythagore a acquis
ses connaissances mathématiques au cour de ses
nombreux voyages. Il crée à Crotone (Italie du sud ) une
école proche d'une secte qui donne une interprétation
mystique des nombres : la Fraternité pythagoricienne. Les
Pythagoriciens vouaient un culte aux nombres ; ils
pensaient que tout nombre était le quotient de deux
entiers ( fraction ). Mais, à leur grand désespoir, ils
s’aperçurent que ce n’était pas le cas pour la diagonale d’un
carré de côté 1.
Son école comprend deux catégories de disciples : les
acousmaticiens (qui ne s'attachent qu'au résultat d'une
théorie : les auditeurs) et les mathématiciens (qui
démontrent le résultat : les initiés).
Le théorème qui porte son nom était déjà connu des
babyloniens plus de mille ans auparavant mais il fut le
premier à démontrer.
PYTHAGORE
Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle ,
alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des côtés de l’angle droit.
Calculer la longueur de l’hypoténuse
Le triangle ALI est rectangle en A.
Son hypoténuse est [IL].
D’après le théorème de Pythagore
IL² = AI ² + AL ²
IL² = 12 ² + 9 ²
I
IL² = 144 + 81
IL² = 225
Donc IL = 225 = 15 cm
Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit
Le triangle MNP est rectangle en P.
Son hypoténuse est [MN].
D’après le th de Pythagore 3,3
MN ² = MP ² + PN ²
6,5² = 3,3 ² + PN ² M
42,25 = 10,89 + PN ²
PN ² = 42,25 – 10,89
PN ² = 31,36
Donc PN = 31,36 = 5,6 cm
Réciproque du théorème de Pythagore :
Dans un triangle, si le carré du côté le plus long est égal à
la somme des carrés des deux autres côtés ,alors le
triangle est rectangle.
démontrer qu’ un triangle est rectangle
Dans le triangle ABC
[BC] est le plus grand côté.
D’une part BC 2 = 7,3 2 = 53,29.
D’ autre part AB 2 + AC 2 = 4,8 2 + 5,5 2 = 53,29
On compare : BC 2 = AB 2 + AC 2
Donc d’après la réciproque du th de Pythagore,
le triangle ABC est rectangle en A
Contraposée du théorème de Pythagore :
Dans un triangle, si le carré du côté le plus long n’est pas
égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le
triangle n’est pas rectangle.
démontrer qu’ un triangle n’est pas rectangle
Dans le triangle RST.
4
[ST] est le plus grand côté.
S
D’ une part : ST ² =7 ² = 49.
7
D’ autre part : RS 2 + RT 2 = 4 ² + 6 ² = 52
On compare : ST ² ≠ RS ² + RT ²
donc d’ après la contraposée du th de Pythagore,
le triangle RST n’est pas rectangle.
C
12
P
6,5
5,5
7,3
R
A
6
L
9
A
4,8
B
N
T
30

Produit en croix
THEOREME DE THALES
On utilise le produit en croix pour résoudre des équations du style :
On obtient 6 × x = 5 × 3 puis x = 5 × 3
6
x
3 = 5 6
= 2,5 moyen mnémotechnique :
grande diagonale
nombre qui reste
Théorème de Thalès
Soit ( d ) et ( d ’ ) deux droites sécantes en A. Autrement dit :
Soit B et M deux points de ( d ) distincts de A.
A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés
Soit C et N deux points de ( d ’ ) distincts de A .
Si les droites ( BC ) et ( MN ) sont parallèles , alors AM
AB = AN
AC = MN
BC
A
N
M
Les configurations « type » de Thalès sont :
A
M
N
B
C
B
C
Exemple 1 Je sais que :
Z U , V , W alignés
U , Z , T alignés
V
( TW ) // ( VZ )
3
d’après le th de Thalès,
U
j’ en déduis
T
6
9
W
UV
UW = UZ
UT = VZ
TW
3
9
= UZ
6 = VZ
TW
donc UZ = 3 × 6
9
= 2
Exemple 2 Je sais que :
M , N , P alignés
M
M , R , S alignés
( NR ) // ( PS )
2
d’après le théorème de Thalès,
1,5
N
R j’ en déduis
P
3
S
MN
MP = MR
MS = NR
PS
MN
MP = 2 5 = 1,5
PS
donc PS = 5 × 1,5
2
MS = 2 + 3 = 5
= 3,75
THALES , 6 ème siècle avant J.C.
Thalès était un grand voyageur, commerçant et ingénieur. Il a fondé une école
de philosophie à Milet en Asie (au sud-ouest de l’actuelle Turquie) : l’école ionienne.
Ce qui le rendit vraiment célèbre, ce fut sa prédiction de l'éclipse de soleil de 585.
Lors de son premier voyage en Egypte, Thalès applique le théorème qui porte
aujourd'hui son nom pour mesurer la hauteur de la grande pyramide de Kheops.
Curieusement, le fameux théorème de Thalès n'a pas été découvert par Thalès.
Il était déjà connu avant lui des babyloniens et ne fut démontré qu'après lui par Euclide .
Par contre, les propriétés qui suivent (bien connues des collégiens) sont de Thalès :
• Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure .
• Les angles opposés par le sommet sont égaux .
• Un triangle est déterminé si sa base et ses angles à la base sont donnés.
• Un triangle inscrit dans un cercle et tel qu'un de ses côtés soit un diamètre du cercle, est rectangle .
31

Réciproque et contraposée du théorème de Thalès :
Soit ( d ) et ( d ’ ) deux droites sécantes en A. Autrement dit :
Soit B et M deux points de ( d ) distincts de A.
A, B, M sont alignés et A, C, N sont alignés
Soit C et N deux points de ( d ’ ) distincts de A .
CONTRAPOSEE : Si AM
AB ≠ AN et si les points A,M,B et les points A,N,C sont dans le même ordre ,
AC
alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
RECIPROQUE : Si AM
AB = AN et si les points A,M,B et les points A,N,C sont dans le même ordre ,
AC
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Contraposée de Thalès : démontrer que des droites ne sont pas parallèles.
C
B
B,A,M alignés dans cet ordre
C,A,N alignés dans cet ordre
D’une part , AM
AB = 3 10 = 0,3
D’autre part , AN
AC = 2 6 ≈ 0,333…
3
6
A
2
10
On compare , on a donc AM
AB ≠ AN
AC
M
N
alors d’après la contraposée de Thalès, les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles.
Réciproque de Thalès : démontrer que des droites sont parallèles.
A,M,B alignés dans cet ordre
A,N,C alignés dans cet ordre
D’une part , AM
AB = 9,6
14,4 = 9,6×10,2
14,4×10,2 = 97,92
146,68
14,4
A
9,6 6,8
10,2
D’autre part , AN
AC = 6,8
10,2 = 6,8×14,4
10,2×14,4 = 97,92
146,68
M
N
On compare , on a donc AM
AB = AN
AC
B
C
alors d’après la réciproque de Thalès, les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
remarque : 9,6
6,8
≈ 0,6666666…… et
14,4 10,2 ≈ 0,6666666……
Pour pouvoir les comparer il faut les mettre au même dénominateur.
32

TRIGONOMETRIE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE
sinus :
cosinus :
tangente :
sin ^B =
cos ^B =
tan ^B =
opposé à ^B
hypoténuse = AC
BC
adjacent à ^B
hypoténuse
opposé à ^B
adjacent à ^B
= AB
BC
= AC
AB
Moyen mnémotechnique : « SOH-CAH-TOA »
Le triangle ABC est rectangle en A.
A
côté opposé à ^B
côté adjacent à ^B
B
C
hypoténuse
Utilisation de la calculatrice (en mode “ degrés ”)
déterminer le cosinus d’un angle
cos 36° taper sur les touches
3 6 cos ou sur cos 3 6 =
cos 36° ≈ 0,809
à 0,001 près
déterminer une valeur d’un angle connaissant son cosinus
cos ^F = 0,2 donc ^F = cos – 1 ( 0,2 ) taper sur les touches
0 , 2 2nd cos ou 2nd cos 0 , 2 =
La réponse est donc :
^F ≈ 78° à 1° près.
Exemples de calculs
Z
Calcul d’ un côté
On connaît l’ adjacent et on cherche l’ opposé , on
utilise donc la tangente.
tan ^ YXZ =
Le triangle XYZ est rectangle en Y.
opposé à YXZ ^
adjacent à YXZ ^
= YZ
YX
tan 54° = YZ YZ= 4 × tan 54° ≈ 5,5 cm
4
1 1
Relations trigonométriques
x désignant un angle aigu quelconque
cos 2 x + sin 2 x = 1
54 °
Y
X
4
tan x = sin x
cos x
L
4
Calcul d’un angle
On connaît l’ adjacent et l’ hypoténuse , on utilise
donc le cosinus.
Le triangle KLM est rectangle en K.
cos KLM ^ = adjacent à KLM ^
= KL
hypoténuse LM
^
KLM = cos – 1 ⎝ ⎜⎛ 4
9 ⎠ ⎟⎞
≈ 63 °
Valeurs remarquables
K
9
cos 3
2
sin 1
2
30 45 60
2
2
2
2
M
1
2
3
2
tan 3
3
1 3
33

ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE
Angle inscrit :
L’angle ^ AMB est un angle inscrit dans un cercle, car son sommet M est situé sur le cercle.
M
Il intercepte l’arc de cercle ∩ AB .
Angle au centre :
^
L’angle AOB est un angle au centre , car son sommet O est le centre du cercle.
O
B
Il intercepte aussi l’arc de cercle ∩ AB .
A
THEOREME DES ANGLES INSCRITS
Dans un cercle, deux angles
inscrits qui interceptent le
même arc sont égaux .
THEOREME DE L’ ANGLE AU CENTRE
Dans un cercle, un angle au centre
est égale au double d’un angle inscrit
qui intercepte le même arc.
On dit qu’ un polygone est régulier lorsque :
POLYGONES REGULIERS
- ses côtés ont la même longueur
- ses angles ont la même mesure
- ses sommets sont sur un même cercle dont le centre est le centre du polygone.
Exemples
TRIANGLE EQUILATERAL
CARRE
HEXAGONE REGULIER
3 côtés
4 côtés
6 côtés
angle au centre = 360
3 = 120° angle au centre = 360
4 = 90° angle au centre = 360 = 60°
6
A
A
C
B
120°
O
A
B
90°
O
D
F
60°
O
C
E
B
C
D
Nom des polygones : triangle ( 3 côtés ) ; quadrilatère ( 4 côtés ) , pentagone ( 5 côtés ) , hexagone ( 6 côtés ) ;
heptagone ( 7 côtés ) ; octogone ( 8 côtés ) ; ennéagone ( 9 côtés ) , décagone ( 10 côtés ) , …
34

TRANSFORMATIONS
SYMETRIE AXIALE
SYMETRIE CENTRALE
(d)
M ’
M ’
M
I
M
M’ est le symétrique de M par rapport à la
droite (d) signifie que (d) est la médiatrice
du segment [ M M’ ] .
TRANSLATION
M’ est le symétrique de M par rapport au
point I, signifie que I est le milieu de [ M M’ ]
ROTATION
B
sens de rotation
A
M ’
M
M ’
M ’ est l’ image du point M par la translation
de vecteur ⎯→
⎯→
AB , signifie que M M’ = ⎯→
AB
Propriétés
M
O
M’ est l’image de M par la rotation d’angle
^a de centre O et de sens donné
^
signifie que : - MOM’ = ^a
- OM= OM’
Par une symétrie axiale, par une symétrie centrale, par une translation, par une rotation :
- les images de trois points alignés sont trois points alignés.
- l’image d’un segment est un segment de même longueur.
- l’image d’un angle est un angle de même mesure.
Par une symétrie centrale, par une translation, l’ image d’une droite est une droite parallèle.
35

⎯→
Le vecteur AB est défini :
– par sa direction : celle de la droite (AB)
– par son sens : de A vers B
– par sa longueur : la longueur AB
VECTEURS
A
A est l’ origine du vecteur et B est l’ extrémité du vecteur.
B
Vecteurs égaux
B
Deux vecteurs sont égaux si
– ils ont la même direction : (AB)//(CD)
– ils ont le même sens : A vers B et C vers D même sens
– ils ont la même longueur : AB = CD
A
C
D
Vecteurs égaux et parallélogrammes
⎯→ ⎯→
Si AB = CD alors ABDC est un parallélogramme.
⎯→ ⎯→
Si ABDC est un parallélogramme, alors AB = CD
A
B
D
C
Vecteurs égaux et milieux
⎯→ ⎯→
Si AI = IB , alors I est le milieu de [AB]
⎯→ ⎯→
Si I est le milieu de [AB] , alors AI = IB
A I B
Somme de deux vecteurs
> Relation de Chasles
L’extrémité du premier vecteur est l’ origine
du deuxième vecteur. ( bout à bout)
⎯→
AB
⎯→
AB +
B
⎯→
BC =
⎯→
AC
⎯→
AC
C
> Règle du parallélogramme
Les deux vecteurs ont la même origine.
Si ABSC est un parallélogramme, alors
Si
⎯→ ⎯→
AS = AB +
B
⎯→
AB
⎯→
⎯→ ⎯→
AS =
⎯→
AB + AC .
AC , alors ABSC est un parallélogramme.
S
A
A
⎯→
AC
C
> Autres cas
méthode : construire des vecteurs égaux à l’ un ou aux deux vecteurs pour qu’ on se ramène soit à la
méthode de Chasles soit à la méthode du parallélogramme.
⎯→
u
⎯→
v
⎯→
u
⎯→
v
36

REPERES
A
y ( axe des ordonnées )
3 M
2
J
( O , I , J ) est un repère
Le point M a pour abscisse x M = 2
et pour ordonnée y M = 3
Les coordonnées de M sont donc 2 et 3.
On note M ( 2 ; 3 )
x ( axe des abscisses )
– 4 – 3 – 2 – 1 O I 2 3 4 5
– 1
K
– 2
– 3
– 4
B
Le point A a pour coordonnées ( x A ; y A ) soit ( – 3 ; 2 ) .
Le point B a pour coordonnées ( x B ; y B ) soit ( 5 ; – 4 )
coordonnées d’ un milieu
K milieu de [AB] ( x A + x B
2
; y A + y B
2
)
K ( – 3 + 5 ; 2 + ( – 4 )
2 2
K ( 1 ; – 1 )
)
Repère orthonormé
On dit qu’un repère du plan (O, I, J) est orthonormé lorsque :
• Les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires, c’est à dire (OI) ⊥ (OJ).
• Les unités de longueur sont les mêmes sur les deux axes c’est à dire OI = OJ = 1 unité .
distance (dans un repère orthonormé)
AB = ( 5 – ( – 3 ) ) 2 + ( – 4 – 2 ) 2
AB = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 = ( 8 ) 2 + ( – 6 ) 2
= 64 + 36 = 100 = 10
Coordonnées d’un vecteur
⎯→
AB
⎛
⎜
⎝
x B – x A
y B – y A
• Si deux vecteurs sont égaux , alors ils ont les
mêmes coordonnées.
• Si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées,
alors ils sont égaux.
⎯→
⎞
⎟
⎠
⎛ 5 – ( – 3 ) ⎞
AB ⎝ – 4 – 2 ⎠ ⎝ ⎛ 8
⎠ ⎞
– 6
A
J
O
y
I
abscisse du vecteur ⎯→
AB
+ 8
B
x
– 6
ordonnée du vecteur ⎯→
AB
37

EQUATIONS DE DROITES ( voir aussi représentation graphique d’une fonction affine )
Une droite D (non parallèle à l'axe des ordonnées) est un ensemble de points M dont les coordonnées x
et y vérifient une relation y = ax + b. On dit qu'une telle droite D a pour équation y = a x + b.
a : coefficient directeur ou pente de la droite ( Il indique « l’inclinaison » de la droite.).
b : l’ordonnée à l’origine ( car La droite associée passe par le point ( 0 ; b ). C’est le point d’intersection de la
droite avec l’axe des ordonnées.)
Exemple : L’équation de la droite (D) est y= – 0,5 x +2
Les coordonnées ( x ; y ) des points de la droite (D) sont liés par la
relation y = – 0,5 x +2 .
Les coordonnées du point M ( – 2 ; 3 ) vérifient l’équation de (D)
– 0,5 x M +2= – 0,5 x (– 2) + 2 = 3 = y M
Donc le point M est sur la droite (D)
Les coordonnées du point N ( 1 ; 2 ) ne vérifient pas l’équation de (D)
– 0,5 x N +2= – 0,5 x 1 + 2 = 1,5 ≠ y N
donc le point N n’appartient pas à la droite (D)
Tracer une droite : dresser un tableau de valeurs puis placer les points
correspondants , et tracer la droite.
exemple : tracer la droite d’équation y = 3 x – 2
si x= 0 alors y = 3 x 0 – 2 = – 2
si x= 2 alors y = 3 x 2 – 2 = 4
x 0 2
y – 2 4
Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points
X
M
b = 2
ordonnée à l’origine
ordonnée à l’origine
b = – 2
exemple : Trouver l'équation de la droite passant par A(2;-2) et B(- 4 ; 10)
1ère étape : calcul de a
2ème étape : calcul de b
Le point A appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient
a= y B – y A 10 – (– 2)
=
x B – x A – 4 – 2 = – 12 l'équation de la droite y A = a x A + b
6 = – 2 y A = – 2 x A + b
– 2 = – 2 × 2 + b
– 2 = – 4 + b
b = – 2 + 4 = 2
Conclusion : l’équation de la droite est y= – 2 x + 2
N
X
1
6
3
coefficient directeur
a = – 3
6 = – 0,5
– 3
(D)
coefficient directeur
3
a =
1 = 3
RENE DESCARTES Français (1596 ; 1650)
L’œuvre que nous laisse Descartes dans l’univers des sciences est considérable.
Par exemple , Descartes est à l’origine du repère du plan. Une anecdote raconte
qu’ en observant une mouche qui se promenait sur les carreaux d’une fenêtre, il
aurait pensé à définir, à l’aide des carreaux, des coordonnées du plan.
Descartes explique ainsi qu'il est possible de traiter les problèmes de géométrie
en problèmes numériques. Il a recours à des calculs algébriques et simplifie remarquablement les
démonstrations. Cette géométrie porte aujourd'hui un nom : la géométrie analytique.
Son oeuvre philosophique est elle aussi considérable et exprime une nouvelle approche des sciences et
des mathématiques en particulier. Pour Descartes, un scientifique ne reconnaît comme vrai que ce qui est
clairement démontré. La résolution d'un problème se fait consciencieusement, étape par étape, sans rien
négliger. Par son nom et sa méthode, Descartes nous laisse l’adjectif « cartésien » ; on dit d’un esprit
cartésien, qui présente des qualités intellectuelles, claires, logiques et méthodiques.
En 1637, il publie le livre « Le Discours de la Méthode » dans lequel il explique les règles pour la conduite
de l'esprit humain. Citons son célèbre : "Cogito, ergo sum" ( "Je pense, donc je suis")
38

SOLIDES DE L'ESPACE
PERSPECTIVE CAVALIERE
> les segments cachés lorsqu’on regarde l’objet
sont dessinés en pointillés en perspective.
>La face avant est représentée en vraie grandeur.
> deux segments parallèles dans la réalité sont
représentés par deux segments parallèles.
> deux segments parallèles et égaux dans la
réalité sont représentés par des segments
parallèles et égaux.
PALLELEPIPEDE RECTANGLE
PAVE DROIT
CUBE
base
arête
développement et patron
base
La section d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle par un
plan parallèle à une face est un rectangle.
base
La section d’un cube ou d’un parallélépipède rectangle par un
plan parallèle à une arête est un rectangle.
base
PRISME DROIT
base
base
hauteur
hauteur
hauteur
base
PYRAMIDE
La section d’une pyramide par un plan
parallèle à la base est un polygone
réduction du polygone de base.
hauteur
base
base
Une pyramide est régulière si sa base est
un polygone régulier et si la hauteur passe
par le centre du polygone. Les faces
latérales d'une pyramide régulière sont des
triangles isocèles superposables.
39

CYLINDRE DE REVOLUTION
La section d’un cylindre par un plan parallèle à
la base est un cercle.
La section d’un cylindre par un plan parallèle
à l’axe est un rectangle
rayon
hauteur
hauteur
2 x π x rayon
base
rayon
base
CONE DE REVOLUTION
génératrice
La section d’un cône par un plan parallèle à la
base est un cercle réduction du cercle de
base.
génératrice
base
rayon
base
rayon
angle au centre =
360 × rayon
génératrice
SPHERE
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
rayon
centre
VOCABULAIRE DE LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE
H
G
H
G
E
H
arête [ HG ]
F
G
E
D
A
B
plans parallèles
plan (ABCD) // plan (EFGH)
F
C
E
D
A
B
plans perpendiculaires
plan (ABCD) ⊥ plan (BCGF)
F
C
D
C
H
G
H
G
A
sommet A
B
face FGCB
plan (FGCB)
E
D
A
B
plan et droite perpendiculaires
plan (ABCD) ⊥ droite (BF)
F
C
E
A
D
B
plan et droite parallèles
plan (EGCA) // droite (BF)
F
C
40

FORMULAIRE
P : périmètre ; A : aire ; V : volume
triangle quelconque
base x hauteur
A =
2
triangle rectangle
A = L x l
2
pavé droit
V = L x l x h
cube
V = c 3
hauteur
hauteur
base
largeur
Longueur
Longueur
prisme droit
largeur
côté
cylindre
rectangle
A = L x l
P = 2 l + 2 L
carré
A = c 2
P = 4 c
parallélogramme
A = b x h
V=Aire de la base x hauteur
V = aire du disque x h
= π R 2 h
hauteur
largeur
hauteur
base
hauteur
Rayon
Longueur côté base
losange
A = D x d
2
trapèze
A = ( B + b ) x h
2
petite base
V =
pyramide
Aire de la base x hauteur
3
V =
cône
aire du disque x h
3
= π R 2 h
3
petite
diagonale
hauteur
hauteur
hauteur
Grande Diagonale
Grande Base
base
Rayon
Cercle , disque
R
^a
Périmètre du cercle = 2 π R
Aire du disque = π R 2
Longueur de l’arc de cercle
proportionnelle au périmètre du cercle
360° ––––> 2 x π x R
^a ––––> Longueur arc de cercle
Aire du secteur angulaire
proportionnelle à l’aire du disque
360° ––––> π x R 2
^a ––––> aire du secteur angulaire
Boule , sphère
R
Volume de la sphère = 4 3 π R 3
Aire latérale de la boule= 4 π R 2
41

AGRANDISSEMENTS ET REDUCTIONS
• L’agrandissement de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet
objet par un nombre positif k>1.
• La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui consiste à multiplier toutes les longueurs de cet objet
par un nombre positif k

DEMONTRER ou "apporter la preuve"
En géométrie, la démonstration consiste à écrire un raisonnement logique pour expliquer une propriété d’une figure, en ne se servant
que des données de l’énoncé et des théorèmes ou des définitions du cours.
L’énoncé du problème contient deux parties :
D’abord les données du problème qui nous renseignent sur la
figure, appelées les hypothèses.
La figure doit être tracée avec
soin, suffisamment grande. .
Puis le but du problème, c'est-à-dire ce qu’on veut démontrer.
figure
énoncé
Tracer deux cercles C 1 et C 2 de même centre O, de rayons différents.
Tracer un diamètre [AC] du cercle C 1 .
Tracer un diamètre [BD] du cercle C 2 .
Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
C 1
C 2
C
Réponse :
B
O
I . Hypothèses
• C 1 et C 2 ont le même centre O.
• [AC] est un diamètre de C 1 .
• [BD] est un diamètre de C 2 .
A
D
II . Démonstration
démonstration
Par hypothèse, on sait que O est le centre du cercle C 1 et que [AC] est un diamètre du cercle C 1 .
Donc O est le milieu de [AC]
Par hypothèse, on sait que O est le centre du cercle C 2 et que [BD] est un diamètre du cercle C 2 .
Donc O est le milieu de [BD]
On en déduit que O est le milieu des deux diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD.
On peut donc utiliser le théorème suivant : Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même
milieu, alors c’est un parallélogramme.
On a donc bien démontré que ABCD est on parallélogramme.
Pour rédiger une démonstration, il faut :
a) commencer par relever toutes les hypothèses au brouillon : ce sont les seules données utilisables pour apporter la preuve.
b) chercher dans l’énoncé ce qu’on doit démontrer, puis l’écrire au brouillon : on veut démontrer que …
c) Chercher dans les théorèmes du cours celui qui pourra servir, avec les bonnes hypothèses, pour faire la démonstration.
d) Puis on rédige en suivant trois étapes :
1. On sait que ( hypothèses , ne citer que celles dont vous vous servez pour la démonstration )
2. Théorème, définition, propriété ( à citer )
3. Donc ( conclusion )
43

Démontrer que deux droites sont parallèles
- Droites parallèles à une même troisième.
- Droites perpendiculaires à une même troisième.
- Angles alternes-internes , angles correspondants
- Côtés opposés d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré.
- Théorème des milieux.
- Réciproque du théorème de Thalès.
- Image d’une droite par une symétrie centrale, par une translation.
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
- Deux droites parallèles et une droite perpendiculaire à l’une des deux.
- Médiatrice d’un segment.
- Côtés consécutifs d’un rectangle, d’un carré.
- Diagonales d’un losange, d’un carré.
- Orthocentre d’un triangle.
- Les droites forment un angle droit .
- Triangle rectangle : - définition
- Réciproque du théorème de Pythagore.
- Triangle inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre.
- Triangle dans lequel la longueur d’une médiane est égale à la
moitié de la longueur du côté opposé.
Démontrer qu’un point est le milieu d’un segment
- La définition.
- Diagonales d’un parallélogramme, d’un rectangle, d’un losange, d’un carré.
- Médiatrice d’un segment.
- Droite parallèle à un côté d’ un triangle et qui passe par le milieu d’ un autre côté .
- Centre de gravité d’un triangle.
- Formule des coordonnées du milieu d’un segment .
- Egalité de deux vecteurs
Démontrer que trois points A, B et C sont alignés
- ABC ^ = 180 °
- AC + CB = AB
- 3 points appartenant à une droite connue ( médiatrice, médiane , hauteur , diagonale )
- milieu d’ un segment
Calculer la longueur d’un segment
- Egalité avec une longueur connue dans un triangle isocèle ou équilatéral.
- Egalité avec une longueur connue dans un parallélogramme, un losange, un rectangle, un carré.
- Egalité avec une longueur connue à l’aide de la définition du milieu d’un segment.
- Egalité avec une longueur connue dans un cercle.
- Egalité avec une longueur connue à l’ aide de la médiatrice d’ un segment.
- Egalité avec une longueur connue à l’aide de la propriété de conservation des longueurs par une
transformation.
- Formules de calcul de périmètre, d’aire et de volume.
- Centre de gravité d’un triangle.
- Médiane d’un triangle rectangle.
- Théorème de Pythagore.
- Trigonométrie.
- Théorème de Thalès.
- Distance de deux points à l’aide de leurs coordonnées.
Calculer la mesure d’un angle
- Somme des angles d’un triangle.
- Angles adjacents, supplémentaires et complémentaires.
- Egalité avec un angle connu dans un triangle isocèle ou équilatéral.
- Angles alternes-internes, correspondants, opposés par le sommet.
- Egalité avec un angle connu par conservation des mesures d’angles par une transformation .
- Bissectrices.
- Trigonométrie.
- Angles inscrits, angles au centre.
44

INDEX
A
abscisse : 37
agrandissement : 42
aire : 1 , 41
algorithme d’Euclide : 8
angle au centre : 34
angle inscrit : 34
angles alternes-internes : 27
angles correspondants : 27
antécédent : 19
arc de cercle : 26 , 41
are : 1
arrondi : 4
B
bissectrice : 25 , 27
boule : 41
C
calcul littéral : 11
caractère : 23
carré : 28 ( figure ) , 6 ( nombre au carré)
carrés parfaits : 9
centre de classe :24
centre de gravité : 29
cercle : 26 , 27
cercle circonscrit : 29
coefficient directeur : 20 , 38
cône : 40
conjecture : 43
conversions d’unités : 1
coordonnées : 37
coordonnées d’un milieu : 37
coordonnées d’un vecteur : 37
corde :26
cosinus : 33
côté adjacent : 33
côté opposé : 31
critère de divisibilité : 7
cube : 37 ( solide ) , 6 ( nombre au cube )
cylindre : 40
D
débit : 21
développer : 12 , 13
démontrer : 43
distance dans repère : 37
diviseur : 7
diviseurs communs : 7
division euclidienne : 8
droite des milieux : 29
droites parallèles : 25, 27
droites perpendiculaires : 25, 27
E
échelle : 21
écriture scientifique : 6
effectif : 23
effectifs cumulés : 24
équations : 11 , 15
équation de droite : 38
équations produit : 16
étendue : 24
Euclide : 8
F
facteur commun : 14
factoriser : 12 , 14
fonctions numériques : 19
fonctions linéaires affines : 20
formule : 11
formulaire : 41
fractions : 5
fraction irréductible : 7
fréquence : 23
fréquences cumulées : 24
G
gramme : 1
grandeur quotient : 21
H
hauteur : 29 ( triangle ) , 39 ( solides)
hectare : 1
hexagone : 34
hypoténuse : 30
I
identité : 11
identités remarquables : 12
image par une fonction : 19
inégalité triangulaire : 27
inéquation : 18
inverse : 5
L
litre : 1
losange : 28
M
masse volumique : 21
médiane ( géométrie ) : 29
médiane ( statistiques ) : 24
médiatrice : 25 , 27
mètre : 1
milieu d’un segment : 27
moyenne : 24
multiple : 7
N
nombres entiers : 3
nombres opposés : 5
nombres premiers entre eux : 7
nombres rationnels : 3
nombres irrationnels : 3
nombres réels : 4
nombres relatifs : 3 , 5
notation scientifique : 6
O
octogone : 34
ordonnée : 37
ordonnée à l’origine : 20 , 38
orthocentre : 29
P
parallélépipède ( pavé droit ) : 39
parallélogramme : 26 , 28
pentagone : 34
pente : 20 , 38
PGCD , plus grand commun diviseur : 7
Pi : 42
polygone régulier : 34
pourcentage : 22
prisme : 39
produit en croix : 5 , 31
proportionnalité : 21
puissances : 6
pyramide : 39
Pythagore : 30
R
racine carrée : 9
rectangle : 28
réduction (géométrie) : 42
réduire ( littéral ): 12
règle du parallélogramme : 36
regroupement par classes : 23
relation de Chasles : 36
repère : 37
repère orthonormé : 37
résoudre par combinaison : 17
résoudre par substitution : 17
rotation : 35
S
secteur angulaire : 41
sinus : 33
solution d’une équation : 15
somme de vecteurs : 36
somme angles dans triangle : 29
sphère : 40
statistiques : 23
surface ( aire ) : 1 , 41
symétrie axiale : 35
symétrie centrale : 35
système d’équations : 17
T
tangente à un cercle : 27
tangente d’un angle : 33
Thalès : 31
translation : 35
transposer : 15
trapèze : 28
triangle isocèle : 29
triangle équilatéral : 29
triangle rectangle : 30
trigonométrie : 33
U
unités de temps : 21
V
vecteurs : 36
vecteurs égaux : 36
vitesse : 21
volume : 1 , 41
45

CALCULATRICE
Fiche technique des principales touches d’une calculatrice
ON ou AC : mise en marche, remise à zéro
OFF : arrêt
2nd ou 2 nd F ou SECONDE ou INV ou SHIFT : choisir la 2 ème fonction
DEL ou CE ou C ou EFF : effacer un nombre entré par erreur
ANS : rappeler le résultat précédent
= ou EXE ou ENTER : afficher le résultat
Chacune des touches
"physiques" du clavier
permettent l'accès à
plusieurs fonctions
Ne pas confondre !
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : les dix chiffres
± ou (–) ou +/- ou – x :changer le signe (prendre l’opposé)
. ou , : la virgule
+ et − : additionner et soustraire
× ou ∗ : multiplier
÷ ou / : diviser
÷R ou ├ : division euclidienne
Le signe « – » de la soustraction
et le signe « - » d’un nombre négatif
Si la calculette affiche une fraction comme 3 ↵ 1 ↵ 2
( notation anglo-saxonne ) , il faut utiliser la touche
d / c pour avoir la notation française : 1 ↵ 2
d / c
ou A b / c : fraction
( et ) ou [(… et …)] : ouvrir ou fermer une parenthèse
% : appliquer un pourcentage
√‾ et x 2 : calculer la racine carrée ou le carré
1/x ou x –1 : calculer l’inverse
Attention aux parenthèses sous-entendues !
le carré de – 5 → (– 5 )
2
9 + 16 → ( 9 + 16 )
10 + 5
7 + 3
→ ( 10 + 5 ) / ( 7 + 3 )
EE ou EXP ou ×10 x ou 10 x : puissance de 10
x y ou y x ou ^ ou ↑ : puissance d’un nombre
π ou PI : le nombre Pi
DR> ou DRG ou naviguer dans mode : choisir l’ unité d’angle
COS , SIN , TAN : fonctions trigonométriques
Sur certaines TI , pour avoir accès
aux fonctions trigonométriques , il
faut naviguer dans le menu TRIG
COS −1 , SIN −1 , TAN −1 ou ACOS , ASIN , ATAN : fonctions trigonométriques inverses
° ’ ’’ : conversion des unités de temps ( heure minute seconde et heure décimale )
L'AFFICHAGE SUR L'ÉCRAN
Comme toutes les calculatrices, le nombre de chiffres qui peut apparaître à l'écran est limité donc l'affichage est souvent
tronqué ou arrondi. De plus, les grands nombres sont mal écrits, leurs chiffres ne sont pas séparés par classe de trois
(d'où des difficultés de lecture).
Ex : Quand elle affiche 6541328.3 il faut lire 6 541 328,3
Attention à la notation scientifique
Quand la calculatrice affiche 1.2 E 8 ou 1.2 08 , ou 5 E – 9 ou 5. – 09 il s'agit d'une notation pratique sur l'écran qui ne
correspond pas du tout à l'écriture mathématique correspondante.
L'affichage 1.2E8 ou 1.2 08 indique qu'il faut décaler la virgule de 8 rangs vers la droite et lire 1,2×10 8
L'affichage 5E-9 ou 5. – 09 indique qu'il faut décaler la virgule de 9 rangs vers la gauche et lire 5×10 – 09
c'est à dire 120000000
c'est à dire 0,000000005
46