Nom : Prénom : Classe : Année scolaire : - Collège Louis Pergaud

ARITHMETIQUE
Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. L’arithmétique est la science des nombres.
Diviseur d’un entier : L'entier d est un diviseur de l'entier a, si a d
est un entier.
Ex : 12 est un diviseur de 48 car 48 = 4 est un entier.
12
Remarque : 4 est aussi un diviseur de 48.
On dit aussi : 48 est un multiple de 12
12 divise 48 ( 36 ÷ 12 = 3 )
48 est divisible par 12.
Pour savoir si un entier d est un diviseur d'un entier a, on cherche à savoir si le quotient de a par d est un nombre entier.
Pour trouver tous les diviseurs d'un entier n, la méthode la plus simple consiste à les chercher deux par deux, en essayant
de diviser n par 1 , 2 , 3 , ... jusqu'à ce que le quotient trouvé devienne égal ou inférieur au "diviseur" essayé.
Ex: chercher tous les diviseurs de 48 .
48 ÷ 1 = 48 donc 1 et 48 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 2 = 24 donc 2 et 24 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 3 = 16 donc 3 et 16 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 4 = 12 donc 4 et 12 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 5 = 9,6 donc 5 n’est pas un diviseur de 48.
48 ÷ 6 = 8 donc 6 et 8 sont des diviseurs de 48.
48 ÷ 7 ≈ 6,8 donc 7 n’est pas un diviseur de 48. ( 6,8 ≤ 7 quotient inférieur ou égal au diviseur essayé)
et on peut s’arrêter ici car on connaît tous les diviseurs plus grands que 6
Donc 36 possède 9 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18 et 36.
Diviseur commun à deux entiers
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
Ex:
63
9 = 7 ; 45 9
= 5 donc 9 est un diviseur commun à 63 et à 45.
PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN À DEUX ENTIERS ( P.G.C.D.)
• Pour trouver le Plus Grand Commun Diviseur à deux entiers, on peut dresser la liste des diviseurs des deux nombres.
Ex: Les diviseurs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63 .
Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 .
Les diviseurs communs à 63 et 45 sont : 1, 3, 9.
Le Plus Grand Commun Diviseur ( PGCD ) de 63 et 45 est 9 . On note PGCD ( 63 ; 45 ) = 9
• Pour trouver le P.G.C.D. à deux entiers, on peut aussi utiliser l’algorithme d’Euclide.
Nombres premiers entre eux
Définition 1 : Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont que 1 comme diviseur commun.
Définition 2 : Deux nombres entiers sont premiers entres eux si leur PGCD est 1.
Fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand elle ne peut plus être simplifiée.
• Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
• Pour rendre une fraction irréductible, on simplifie la fraction par le P.G.C.D. du numérateur et du dénominateur.
Ex : pour rendre irréductible la fraction 702 , on calcule le P.G.C.D. de 702 et 273
273
PGCD ( 702 ; 273 ) = 39 donc 702
273
=
702 : 39
273 : 39 = 18 7
et 18 7
est une fraction est irréductible.
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