Nom : Prénom : Classe : Année scolaire : - Collège Louis Pergaud

TRANSFORMER UN DENOMINATEUR
On cherche à se débarrasser des racines carrées figurant au dénominateur.
en utilisant a × a = a pour a > 0.
15 = 1 × 5
5 × 5 = 5
5
5
3 2 = 5 × 2
3 2 × 2 = 5 2
6
en utilisant la troisième identité remarquable (a – b)(a + b) = a ² – b ²
Puisque ( 6 + 2)( 6 – 2) donne un résultat sans racine carrée ( 6 ² – 2 ² = 6 – 4 = 2 ),
5
6 + 2 = 5 × ( 6 – 2)
( 6 + 2) × ( 6 – 2) = 5 6 – 10 = 5 6 – 10
6 – 4 2
6 – 2 est dite expression conjuguée de 6 + 2.
- Démonstration par l’absurde de l’irrationalité de 2 , annonça Léa d’une voix forte
- Supposons qu’il existe une fraction a b
dont le carré soit égal à 2, susurra Max en se penchant vers
l ‘assistance d’un air comploteur.
- Donc : a² = 2 , enchaîna Léa, l’écrivant sur le tableau.
b²
- Prenons la plus petite fraction, la fraction irréductible, ayant cette forme. Ses termes a et b sont premiers
entres eux . C’est-à-dire qu’aucun nombre ne les divise tous les deux à la fois.
- Donc a et b ne peuvent être tous les deux pairs, j’insiste ! déclara Léa.
- Et si a² = 2 , tout naturellement a² = 2 b²
b²
- Donc a² est pair , puisqu’il est égal à un double, annonça Léa.
- Or seul le carré d’un pair est pair , informa Max.
- Donc a est pair , j’insiste ! déclara Léa.
- Donc a est un double. Celui d’un nombre c , par exemple : a = 2 c .
Max l’écrivit sur le tableau.
- Pas si vite , cria Hippase qui jouait à vouloir suivre.
- Reprenons l’égalité du début : a² = 2 b²
- Remplaçons a par 2c : ( 2c ) ² = 2 b². Donc 4c² = 2 b² , donc 2c² = b²
- Vous écrivez comme des cochons , et pourtant j’ai une bonne vue , maugréa Hippase.
- Je reprends , annonça Max : b² étant égal à un double, b² est pair.
- Même chose que tout à l’heure ! Donc b est pair , j’insiste ! déclara Léa.
- Reprenons les trois « j’insiste » qui constituent le raisonnement par l’absurde. D’une part a et b ne peuvent
pas être pairs tous les deux à la fois , d’autre part , a et b sont tous les deux pairs ! Impossible ! Qui est
cause de cette absurdité demanda Max en fixant l’assistance d’un regard inquisiteur.
Les voir se passionner pour une démonstration de maths ! un miracle !
- Qui est cause de cette absurdité redemanda Max
- Mon hypothèse , avoua Léa, baissant la tête.
- Répétez-la, cette hypothèse fautive ! commanda Max.
- Il existe une fraction dont le carré est égal à 2 , balbutia Léa.
- Balayons-la ! rugit Max.
« Le Théorème du Perroquet », Denis GUEDJ
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