Nom : PrÃ©nom : Classe : AnnÃ©e scolaire : - CollÃ¨ge Louis Pergaud

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Aperçu de l’histoire de la conquête des nombres Le mathématicien Kronecker (1823-1891) a dit : « Dieu fit le nombre entier, le reste est l’œuvre de l’homme ». Nous allons voir comment, à partir des nombres entiers positifs, les hommes ont créé de nouveaux types de nombres. Au commencement La nécessité de compter des objets ou des animaux est apparue très tôt dans l’histoire de l’humanité, et c’est à la préhistoire que sont nés les premiers nombres entiers. On pense que la pratique de l’élevage et de l’agriculture conduisit les hommes à dénombrer les troupeaux et à élaborer des calendriers. Par exemple pour compter les bêtes, ils plaçaient des cailloux dans une urne. Ils ont ainsi manipulé des nombres entiers positifs que nous appelons les nombres entiers naturels. Pour écrire ces nombres, les diverses civilisations ont imaginé des systèmes de numération très variés. Ce sont les indiens qui ont réuni les conditions permettant un développement du calcul, et qui nous ont transmis nos chiffres actuels. Cependant, ce ne sont pas eux qui ont élaboré les techniques de calcul, mais les arabes. Au 10 ème siècle les troupes d’Al-Ma’mun, calife de Bagdad, viennent de remporter une victoire décisive sur les armées byzantines ; or Al-Ma’mun préfère échanger les prisonniers qu’il a faits contre des livres ! Dans un de ces livres, le « Siddhantha » du mathématicien indien Brahmagupta, se trouvent dix petites figures qui vont devenir célèbres : nos dix chiffres ! Un mathématicien arabe rédige un traité pour les faire connaître et décrire la façon de les utiliser. Plusieurs siècles plus tard, cet ouvrage parviendra en France, en Italie, en Allemagne et dans tout l’Occident. Problèmes de partage Avec les problèmes de partage, c’est dans les civilisations babyloniennes et égyptiennes que sont apparues des fractions 1 simples comme 2 , 1 3 , 2 etc. Rappelons que, pour un 3 mathématicien, une fraction doit avoir son numérateur et son dénominateur entier. Les égyptiens savaient additionner des quantièmes (fractions de numérateur 1). Puis les grecs ont effectué les quatre opérations sur ces ‘rapports de grandeurs’, comme le montre le livre 5 des éléments d’Euclide, écrits au 3 ème siècle avant J.C. Les grecs savaient calculer avec les nombres écrits sous forme de fraction et qu’on nomme les nombres rationnels. Racines carrées… et nombres irrationnels Au 5 ème siècle avant J.C., au sud de l’Italie, Pythagore et ses disciples, qui formaient une secte mathématique et religieuse, croyaient que les entiers et les fractions pouvaient expliquer tous les phénomènes du monde. L’harmonie de l’univers reposait sur ces nombres qui suffisaient à leur bonheur. En conséquence, chaque longueur aurait dû s’écrire sous la forme d’un entier ou d’une fraction. Or le théorème de Pythagore montre que la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre de carré 2, aujourd’hui noté des nombres bien connus : par exemple comme 2 . Certaines racines carrées sont 9 = 3. Mais d’autres, 2, ne ‘tombent pas juste’. On s’est alors demandé si 2 pouvait s’écrire sous la forme d’une fraction. Un certain Hippase de Métaponte a démontré que 2 ne pouvait pas s’écrire sous forme de fraction , ce n’est pas un nombre rationnel. Si bien que, pour eux, ce n’était pas vraiment un nombre, ils en pressentaient seulement l’existence (la diagonale du carré existe bel et bien !). Etonnés par cette découverte qui bouleverse les croyances de leur société, ils l’ont qualifié d’irrationnel, d’innommable, d’inexprimable, ce qui traduisait bien leur embarras (une légende dit même que, pour supprimer les témoins et garder le ‘scandale’ secret, ils auraient éliminé discrètement celui qui avait découvert cette troublante propriété, mort noyé dans un naufrage…). Plus tard, les mathématiciens arabes et persans, comme Al-Khwarizmi au 9 ème siècle, ont établi les règles de calcul sur les racines carrées . Alors, petit à petit, avec les travaux des algébristes du 13 ème siècle, on n’a pas hésité à considérer tous les rapports de longueurs comme des nombres. Depuis ce temps-là, on admet qu’à côté des nombres rationnels, il en existe d’autres – les nombres irrationnels – qui n’ont pas d’écriture fractionnaire. Irruption du zéro et des nombres relatifs C’est en 456, dans un traité de cosmologie, le « Lokavibhaga », qu’on trouve pour la première fois un mot (« çunya » qui signifie ‘le vide’) qui représente le zéro. Au 7 ème siècle après J.C., le mathématicien indien Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés « biens », « dettes » et « zéro ». Les nombres négatifs étaient utilisés en Inde pour le commerce : on avait ainsi inventé les nombres relatifs. Grâce à eux, la soustraction est toujours possible ; par exemple 3 – 7 = – 4. Cependant les hommes furent longtemps réticents à accepter les nombres négatifs. Ils sont restés ignorés, puis méprisés. Les mathématiciens ne commencent à travailler avec qu’au 15 ème siècle, et ils les appellent « numeri absurdi » (‘les nombres absurdes’), en leur refusant le statut de solution d’une équation. Ce n’est qu’au 19 ème siècle que l’utilisation des nombres relatifs ne deviendra courante. Pour faciliter les calculs, l’apparition des décimaux Le fait d’écrire les nombres entiers avec un chiffre pour les unités, un chiffre pour les dizaines, un chiffre pour les centaines, etc. (cela s’appelle la numération de position) facilite beaucoup les opérations (essayez de faire une multiplication avec des chiffres romains !). Au fil du temps, les mathématiciens ont remarqué que les opérations sur des nombres non entiers seraient également facilitées si l’on avait un chiffre pour les dixièmes, un chiffre pour les centièmes, etc. Mais les nombres décimaux ne sont apparus que tardivement ! Leur écriture actuelle (avec la virgule) a été introduite au 16 ème siècle par les mathématiciens européens. C’est alors que le flamand Stevin, vers 1580, publia un traité complet sur l’usage des nombres décimaux. Ceux-ci ne sont que des nombres rationnels particuliers (c’est à dire que tout décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction ; par exemple 8,76 = 876 ). Mais ils ont un grand intérêt pratique car ils 100 fournissent des valeurs approchées pour tous les autres nombres, rationnels ou irrationnels (par exemple, on prend souvent 3,14 pour π et 1,414 pour 2). 3
La grande famille des nombres réels Les nombres relatifs évoqués, rationnels et irrationnels, constituent l’ensemble des nombres réels. On les appelle « réels » car on a ensuite inventé d’autres nombres, indispensables pour résoudre d’autres types de problèmes ; ces nombres, difficiles à se représenter à l’esprit, s’appellent les nombres imaginaires ou nombres complexes. Mais cette autre aventure n’est qu’au programme du lycée et de l’université… Les nombres réels Les nombres rationnels Les nombres réels qui peuvent s’ écrire sous forme de fraction ( d’entiers). Les nombres irrationnels Les nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction. 10 3 ≈ 3,3333… les nombres décimaux π 2 – 1 7 – 2,7 les entiers relatifs 4,2578 3 5 = 0,6 – 1 les entiers naturels 0 2 30 – 9 – 3 Plusieurs écritures peuvent désigner le même nombre. Par exemple, pour écrire le nombre 7 on peut écrire 7,0 ; 4 + 3 ; 9 – 2 ; 14 2 et pour écrire le nombre 2,3 on peut écrire 2,3 ou 23 10 ; 2 + 3 10 ; … ; 49 ; ... Valeur arrondie d’ un nombre réel . Donner un arrondi d’un nombre réel, c’ est écrire , avec la précision demandée, le nombre décimal le plus proche de ce nombre réel. ATTENTION ! Si une valeur approchée n'est pas demandée, on doit donner une valeurs exacte, et employer le symbole d'égalité. Par contre, une valeur arrondie doit toujours être précédée du symbole « ≈ » qui se lit « est à peu près égal à ». Exemples : 4 < 4,3 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,3 est 4 ( 4,3 est plus proche de 4 que de 5 ). 4 < 4,7 < 5 . L’ arrondi à l’unité de 4,7 est 5 ( 4,7 est plus proche de 5 que de 4 ). Méthode : > Pour arrondir à l’unité ( à 1 près ) , on regarde le chiffre des dixièmes : ● s’ il est inférieur à 5 , on garde le chiffre des unités. ex : 9,3 le chiffre des dixièmes est 3 donc 9 est l’arrondi à l’ unité de 9,3 . ● s’il est égal à 5,6,7,8 ou 9 on ajoute 1 au chiffre des unités ex : 19,8 le chiffre des dixièmes est 8 donc 20 est l’arrondi à l’unité de 19,8 . > Pour arrondir au dixième ( 0,1 près ) , on regarde le chiffre des centièmes ● arrondi au dixième de 9,42 : 9,4 ● arrondi au dixième de 9,45 : 9,5 > Pour arrondir au centième ( à 0,01 près ) , on regarde le chiffre des millièmes, etc… 4
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