Laboratoire de Physique de la Matière Condensée et ... - TDDFT.org

,* +- ∑ ∫( ) ( )( )On peut facilement calculerdans la plupart des cas.L’énergie de corrélation est plus compliquée. Cela correspond en fait à l’erreur faite parHartree-Fock. [3]On peut l’écrire de la manière suivante :, - , - , - , - , -, - | ̂ ̂ | | ̂ ̂ |donne et minimise < ̂ ̂ >donne et minimise < ̂>On note que est positive ou nulle.On a le cas , - pour un seul électron dans le système. Alors dans ce cas, s’annule avec, - : [8] , -Du fait de la complexité du calcul pour obtenir dans des cas autres qu’un système à un électron,on va chercher à approximer l’énergie d’échange-corrélation.La première approximation de qui a remporté un franc succès est l’approximation localede la densité (LDA)[3]. Elle se base sur un problème que l’on sait bien résoudre : le gaz homogèned’électron. Le souci est que notre système n’est pas homogène globalement. Cela dit, on va fairel’approximation que sur de petits volumes, on a bien homogénéité. On intègre ensuite les énergiesd’échange-corrélation de tous ces volumes sur le volume total, et on obtient alors une approximationde totale. [8] [9]Cela se traduit mathématiquement par :∫ ( ) ( ( ))avec l’énergie d’échange corrélation du gaz homogène d’électrons qui a été calculéenumériquement par des méthodes Monte-Carlo: [8] [9]∫ ( ) avec . / . /Pour l’énergie de corrélation, on a :varie en ( ) pour avec ( ) le rayon de Wigner-Seitzvarie enpourL’approximation locale de la densité donne des résultats équivalents à un calcul Hartree-Fock, pourun temps de calcul beaucoup moins grand. C’est l’un des grand succès de la DFT de ces vingtdernières années.15