Problèmes sur l'oscillateur harmonique

9) Près d’une position d’équilibre, la force sur le mobile estapproximativement F( x) ( x − xeq) F′( xeq).Si l’on exerce en outre une force δ F , le mobile est soumis au totalà la force δ F + ( x − xeq) F′( xeq). Si l’équilibre est stable, sanouvelle position d’équilibre est telle queδ F + ( x − xeq) F′( xeq) = 0 . La susceptibilité est doncx − xeq1χ = = − .δ F F ′ ( x )eq2 1Or la pulsation des oscillations près de la position d’équilibre est ω = − F ( x eq )m ′ .1D’où χ = .2m ω10) Voir à droite le graphe de k χ en fonction de a / .11) Alors χ est très grand ; le dispositif, très sensible, peutmesurer de faibles variations de force.D.(2 2( )−1/21) F = −k x 1− 1 + x / . Il n’y a qu’une positiond’équilibre, x = , qui est stable, car 1− 1 + x / > 0,)2 2 −0 ( ) 1/2donc F est du signe contraire de x .2)2 −1/22⎛ x ⎞ 1 xkx⎜ + 1 F2 − ⇒ −⎟2⎜⎝ ⎠ 223 4kx dx kxdEp= − Fdx = E =282 4mxkx kxm43) E = + =22 2882 p 2( )4 4 232dx k xm− x4mdx4) =± t =±dt24m∫ k 4 4xm− xT 2x m dx5) = .4 ω ∫04 40 xm− x8 1 dumFaisons le changement de variable x = xmu dx = xmdu T = 10,50 40xm1 u= ω ∫− xmk .8×156) ω 0 = 7 rad/s a) T = × 1, 31 = 22,5 s b) T = 11,2 s .77) Contrairement au cas de l’oscillateur harmonique, la période est inversement proportionnelle à l’amplitude.IV.1) A l’équilibre, les tensions des ressorts sont égales, donc la position d’équilibre est équidistante des deux pointsd’attache des ressorts ; leur tension est k( a − b) = 500 × ( 0,1 − 0, 08)= 10 N .2) La force subie par le corps est la somme des tensions des ressorts, soitF = − k( a + x − b) + k( a −x − b) = −2kx , de la forme − kx ′ , où k′ = 2k .3) L’équation du mouvement est mx k ′−1 = − x . Posons ω = k′/ m = 1000/ 0,1 = 100 rad.s . La solutiongénérale est x = Acos ω t + Bsin ω t x= −Aωsin ω t + Bωcosωt.Les conditions initiales sont x0 = A = 0vx 0 = Bω = v0. D’où la solution x = 0 sin ω t = 0, 03 sin100t( x enωmètre, t en seconde).π4) Le corps revient à sa position d’équilibre au bout d’une demi période : t = = 0, 0314 s . Alors x = −v 0 .ω5) Orientons l’axe vertical vers le bas. La force sur le corps est F = m g − k′x ; l’équilibre a lieu pourF = 0 ⇒ x = mg/ k′ = 0,1 × 10/1000 = 0, 001mm .Problèmes sur l’oscillateur harmonique, page 10