Problèmes sur l'oscillateur harmonique

8.c) En déduire une expression de la vitesse angulaire en fonction de θ et de son amplitude θm.8.d) Exprimer la période en fonction de θ m et de l’intégrale non exprimable à l’aide des fonctions élémentaires1 dxI = ∫ 1, 311029 .0 41 − x9) Appliquons à M une petite force supplémentaire F indépendante du temps et tangente au cercle ; soit ∆θ le petit∆θdéplacement de la position d’équilibre stable que F provoque. On appelle susceptibilité la quantité χ = .F19.a) Montrer que χ = −.df( θéquilibre)dθExprimer χ en fonction de kRmgθ , , , , 0 :9.b) si 2kR > mg ;9.c) si 2 kR < mg .9.d) Si on se sert de ce système pour mesurer les variations de la pesanteur, quel est l’intérêt de choisir mg voisin de2kR ? Une mesure est-elle rapide ?Réponses1I. 1.a) mx 2= −kx ; 1.b) Ep= kx ; 1.d)2v0Ex = x0 cos ω t + sin ωt; 1.e) Ep= Ec= ;ω22.a) longueur ; 2. c) mx + kx = fmg ; 2.d)x = α + ( x 0 −α)cos ωt ; 2.e) π ω ; 2.f) x = 2α−x; 2.g)/ 1 01 iα < x 0 ≤ 3α ; 3.a) x i est une suite alternée etui= ( − ) x i est unesuite de signe constant, sauf pour leur dernier terme, de signeindéterminé ; 3.b) ui+ 1 − u i = −α 2 valable jusqu’au dernier terme ;x 0 + α3.c) N est la partie entière de2α .II. 1) Un champ est une fonction de la position d’un point ; 2) L’énergie potentielle associée à une loi de force est lafonction de la position, si elle existe, dont la variation est égale à l’opposé du travail de la force ; 3) Si f est un champ ∂f ∂f ∂fscalaire, fonction des coordonnées cartésiennes xy , ,z d’un point, gradf = ux + uy + uz; 5) le milieu de∂x ∂y ∂z2k2 kAB ; 6) ω x = ; 7) ω y = (1 − / a ) ; 10) e = k ; g = k(1 − / a); 11) Tx= −2k x ;mmTy= −2(1 k − / a)y ; 12) mx = − 2kx my = −2 k(1− / a)y ; 13) x = xmcos( ω xt+ ϕx);y = ymcos( ω yt+ ϕy); 14) ω x = 2ωy3a⇒ = .4III.IV.V.VI. 2) f () θ = mg sinθ−2kRθ ; 3.b) stable ; 3.c) instable ; 3.d) stable ; 4)2kR − mgω = ; 5) si 2 kR < mg , deux autres positions d’équilibre, θ = θ0etmR8 3R1 dxθ = −θ 0 ; 6) stables ; 7) T = 1; 9.b)0 4m g ∫ θ 1 − xχ =2kR − mg;19.c) χ =; 9.d) système très sensible ; une mesure prend beaucoup2kR−mgcosθ0de temps.−π10sinc xπxProblèmes sur l’oscillateur harmonique, page 5