Problèmes sur l'oscillateur harmonique

mg1 26) x = + X ⇒ F = − k′ X Ep= − FdX =2k′k ′ ∫ X .7) mX = −k ′ X .2π8) T = = 0, 0628 s .ωmg9) Les positions extrêmes sont X =± =± 0, 001 m .k ′10) On peut considérer une force de freinage visqueux F = fx(ou bien proportionnelle au carré de la vitesse).11) ( 1 2 1 2) 1 mgWop2mX 2k′ X2k′( )op2 2 2 22m g 0,1 × 10= ∆ + = 0− = − = − = −0,0005J.k′ 2k′ 2 × 100012) L’amplitude des oscillations est multipliée par 2 .V.θ1) PΩ = 2acos s’obtient en raisonnant sur le triangle isocèle OPΩ dont les angles P et Ω valent θ/2.2θ2) T = K( a − )2 cos 23) V = a θ .4) P est soumis au poids, à la tension du ressort et à la réaction du demi cercle. Les deux premières forces sont1conservatives et ont pour énergie potentielles −mga cos θ et ( ( ) ) 22K 2acos θ/2− tandis que la troisième ne1travaille pas. D’où : E = −mgacos θ + K( 2acos ( θ/2)− ) 2 .p21 2 25) La conservation de l’énergie s’écrit : E = ma θ + E ( θ ) ; en dérivant par rapport au temps :2 pdE2 pma θθ + θ = 0dθ, soit en éliminant la solution parasite θ = 0 :1 dE pma θ θ θθ = Fθ= − = −mg sin θ + K ( 2a cos − ) sin = ( 2( Ka −mg ) cos −K) sina dθ2 2 2 θ .2θ θ θ6) Les positions d’équilibres sont celles pour lesquelles: Fθ= 2( Ka −mg)sin cos − K sin = 0 , soit :2 2 2– ou bien θ = 0 ;θ1K – ou bien θ =±θ 1 tel que cos =si cette équation a des racines.2 2 ( Ka − mg )π θ7) θ 1 , compris entre 0 et (soit1π 1compris entre 0 et ), existe si 12 24 2≤ K 2( Ka − mg )< , ce qui exige2( Ka − mg )Ka > mg et 1 < ≤ 2. Donc θ 1 existe si KK ( a −2) ≤ mg < K( a −2 )Le poids ne doit être, ni trop grand (alors il n’y a qu’une position d’équilibre, qui est stable, en θ = 0), ni trop petit (alorsl’action du ressort l’emporte, la position d’équilibre θ = 0 est instable et lorsqu’on s’en écarte, la perle est rappelée auπdelà de sa position extrême θ = ).2dF8) L’équilibre est stable si θ dF< 0 et instable si θ dFθK θ> 0 . Comme = −( Ka −mg)cos θ − cos , ladθdθdθ2 2position d’équilibre θ = 0 est stable si mg ≤ K ( a − 2 )(alors, c’est la seule position d’équilibre) et instable dans lecas contraire.Si θ 1 existe, θ = ± θ 1 sont des positions d’équilibre stable, parce que les positions d’équilibres sont alternativementstables et instables. On peut aussi le montrer en examinant le signe dedFθK θ1= ( Ka −mg) cos θ1− cosdθ2 2⎧2 2 2K K K K( Ka mg ) ⎪ ⎡ ⎤ ⎫2 1⎪ = − ⎨− ⎬ − = −(Ka −mg) qui est négatif puisque⎪⎩⎢⎣2( Ka −mg ) ⎥⎦⎪⎭2 2( Ka −mg ) 4( Ka −mg)1K 12( Ka − mg )< .Problèmes sur l’oscillateur harmonique, page 11