MECANIQUE : TD n°1 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°1
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Démontrer l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques. En déduire l’élément de longueur
correspondant.
Rép : En coordonnées cylindriques dOM=drer+rdθeq+dzez.
2°) Démontrer l’accélération en coordonnées cylindriques. En déduire son expression dans le cas d’un
mouvement circulaire dans un plan orthogonal à Oz.
r r r
Rép : [ &
& θ ²] θ [ 2&
& θ & θ&
r r r
a = er
r − r + e r + r ] qui devient si r=R=cste a= a = −R
& θ ² er
+ r & θ&e
θ
3°) a) Une particule ponctuelle de charge q, placée à l’origine O d’un repère cartésien, crée en M un
champ électrique dont l’expression en coordonnées sphériques est : E(M)=q/4πε0r².er. Exprimer E(M) en
coordonnées cartésiennes.
b) Le champ magnétique créé en M par un fil rectiligne infini, confondu avec l’axe (Oz) et parcouru par
un courant I a pour expression en coordonnées cylindriques : B(M)=µ0I/2πr.eθ.
Rép : a) E(M)=q/4πε0.(xex+yey+zez)/(x²+y²+z²) 3/2 b) B(M)=µ0I/2π(x²+y²).(-yex+xey).
4°) Un mobile M parcourt avec une vitesse constante v la spirale d’équation polaire : r=aθ. Exprimer en
fonction de θ et de v (la norme du vecteur vitesse) le vecteur vitesse de M.
Rép : v(M)=v/√(1+θ²).(er+θeθ).
5°) Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m, suspendu à un fil inextensible de
longueur l. On note g l’accélération de la pesanteur.
Sachant que T=cst*m α l β g γ , déterminer à l’aide d’un analyse dimensionnelle les trois coefficients α, β, et γ.
Rép : α=0, β=1/2, γ=-1/2.
B – TRAVAUX DIRIGES
I - OPTIMISATION D’UN TRAJET
Soit une plage rectiligne P. Un point A1 sur le sable est à la
distance A1H1=a1 de P. Un point A2 sur la mer est à la distance A2H2=a2 de
P. On pose H1H2=d
Un jeune homme I se repose en A1 sur le sable. I peut courir sur le
sable à la vitesse v1 et nager à la vitesse v2

III – TRAJECTOIRE CYCLOÏDALE
Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant dans le plan (Ozx).
Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant t=0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse
de C est constante et égale à v.
1°) Comment exprimer la condition: « la roue ne glisse pas »?
2°) Déterminer à l’instant t:
a) la position de M
b) le vecteur vitesse vM de M
c) le vecteur accélération aM de M
3°) Déterminer vM & aM lorsque M est en contact avec l’axe (Ox).
Rép : 1°) xI=vt=Rωt 2°)a) X=R[ωt-sin(ωt)] et Y=R[1-cos(ωt)] b) dX/dt=Rω[1-cos(ωt)] et dY/dt=Rωsin(ωt) c) a=-ω²CM
3°) vM=O et aM=v²/R.ey
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - ATOME DE SOMMERFELD
Dans le modèle de l’atome de Sommerfeld, l’électron décrit l’ellipse, dont un foyer est occupé par le noyau,
p
2
d’équation r=
de diamètre p et d’excentricité e= 1−(
l/ n)
n étant le nombre quantique principal et l le
1+ ecosθ
nombre quantique orbital. On notera C la constante des aires.
1°) Rappeler la loi des aires et les formules de Binet.
2°) Déterminer les accélérations maximales aM et minimales am de l’électron 2p de l’atome d’hydrogène qui
gravite sur l’orbite L(n=2, l=1) en fonction de C,e et p.A.N
A.N: p=4.10 -3 C²m=75pm et a=0,3nm le demi-grand axe de l’orbite elliptique.
3°) Déterminer la vitesse minimale vm et maximale vM de l’électron en fonction de C,e et p. A.N.
Rép : 1°) dS/dt=C/2=r²/2.dθ/dt, v²=C²(u²+u’²) où u=1/r et a=C²u²[u’’+u] 2°) aM=C²/p 3 .(1+e)²=1,5.10 23 ms -2 et am=8,0.10 20 ms -2
3°) vM=C/p.(1+e)=3,4.10 7 ms -1 et vm=C/p.(1-e)=2,4.10 6 ms -1 .
II – MOUVEMENT D’UN BALLON SONDE
Un ballon-sonde a une vitesse d’ascension verticale v0 indépendante de son altitude z. Le vent lui
communique une vitesse horizontale vx=z/τ, proportionnelle à son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante.
1°) Déterminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z).
2°) Calculer le vecteur accélération. Déterminer ses composantes normale et tangentielle à la trajectoire.
Rép : 1°) x=z²/2τv0 2°) a=v0ex/τ, aT=v0t/τ².√(1-[(t/τ)²/(1+(t/τ)²)]) et aN=v0/τ.√(1/(1+(t/τ)²))
III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms -2 , le deuxième B, a une voiture légèrement plus
puissante et démarre avec une accélération de 5ms -2 . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
Rép : 1°) t=9,5s 2°) l=179m 3°) vA=136km/h etvB=152km/h
L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2

C-III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms -2 , le deuxième B, a une voiture légèrement plus
puissante et démarre avec une accélération de 5ms -2 . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
B-II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire rcos²θ=a où a est une constante positive, θ variant
de -π à +π.
1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole.
2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une
constante positive.
c) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M.
d) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît.
On donne :
∫
⎛ π ⎞
θ
dθ
⎜ +
ln tan 2
⎟
= ⎜ ⎟
cosθ ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
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