Chawki Sahnine - Laboratoire TIMA

Chapitre 2 : Algorithmes et architectures d'un modulateur OFDM avancé 17papillons radix-r présentés à l'annexe B. Le papillon englobe donc la partie croisillon et lesmultiplications complexes selon l'algorithme utilisé.Figure 2.8 Papillon radix-rUn des algorithmes le plus utilisé est la TFR radix-2, qui est l'algorithme de Cooley et Tukeyproprement dit [68]. Il transforme le calcul d'une TFD de N points en un certain nombre decalculs de TFD de 2 points. Cet algorithme est caractérisé par un ot de données régulier facilitantson intégration dans un circuit intégré dédié. Toutefois, du point vue complexité arithmétique,l'algorithme radix-2 n'est pas le plus performant. La section suivante présente une comparaisonde la complexité arithmétique pour diérents algorithmes.2.2.2 Complexité arithmétique des algorithmes de TFRLe nombre de multiplications/additions réelles nécessaires pour réaliser une TFR à N pointsdépend de la capacité de l'algorithme à générer des coecients de rotation triviaux au lieu devaleurs complexes non triviales. Par coecients triviaux on entend des facteurs ayant la valeur±1 ou ±j, qui correspondent aux multiples de W N/4N. Dans ce cas, il s'agit simplement d'unepermutation des valeurs réelles et imaginaires. Un gain supplémentaire en terme de multiplicationstriviales est obtenu en considérant les multiplications par les facteurs de rotation multipleimpaire de W N/8 √ √N= 22 − j 22. Dans ce cas, la partie réelle et imaginaire du facteur de rotationsont les mêmes, nous permettant de diviser par deux le nombre de multiplications réellesnécessaires.La complexité arithmétique est la même peu importe l'entrelacement utilisé, en temps ouen fréquence. En eet, dans les deux cas nous avons log r N étages chacun ayant N/r modulespapillons. Dans cette étude, nous considérons les multiplieurs complexes classiques constitués de4 multiplications réelles et 2 additions réelles (qu'on désignera par 4M2A) et des multiplieursbasse consommation nécessitant seulement 3 multiplieurs réels mais au prix d'un additionneurréel supplémentaire (qu'on désignera par 3M3A). Les tableaux 2.1 et 2.2 illustrent les expressionsmathématiques de la complexité arithmétique pour les diérents algorithmes présentés etle type de multiplieur complexe utilisé. Les tableaux 2.3 et 2.4 donnent le nombre de multiplications/additionsnon triviales pour diérentes valeurs de N.L'algorithme split-radix ore les meilleurs performances en termes d'opérations arithmétiques,suivi par le radix-2 3 et le radix-2 2 . Selon [78, 79], la complexité arithmétique des diversesversions de l'algorithme split-radix est la même (nombre d'additions réelles additionnéesaux multiplications réelles) quelle que soit la combinaison radix-2 r /2 rs utilisées. Ainsi, des al-