Les nombres premiers de Mersenne

LemmeSi p = 2m + 1 est un nombre premier impair, alors( (2 m +1 [p] si p 1 [8]3 m +1 [p] si p 1 [12]et2 m 1 [p] sinon3 m 1 [p] sinonRemarqueCe résultat technique sera démontré dans l'annexe consacrée aux résidus quadratiques (Proposition 6) .Proposition 2(Critère de Lucas-Lehmer)Pour tout entier n 3; M n est un nombre premier si et seulement si M n divise L n 1 .DémonstrationSoit un entier n 3 et soit p le plus petit diviseur premier de M n . M n est impair donc p est impairet M n = p q avec q = 1 (si M n est premier) ou q p (si M n n'est pas premier) .Notons F p le corps Z=p Z et A p l'anneau F pp3.La surjection canonique ' : Z !F p a ba est un morphisme d'anneau .De même : Z p 3 !A p w = a + b p 3 bw = ba + b b p 3 est un morphisme d'anneau .Supposons que M n divise L n 1 . Il existe alors un entier k tel que L n 1 = kM n .On a alors u 2n 2 + v 2n 2 = L n 1 = k p q; d'où u 2n 1 + 1 = k p q u 2n 2 .On en déduit que (dans A p ) bu 2n 1 = b1; et en élevant au carré bu 2n = b1 .Notons r l'ordre du groupe multiplicatif engendré par bu dans A p .r divise 2 n car bu 2n = b1 et r ne divise pas 2 n 1 car bu 2n 1 6= b1 . Donc r = 2 n :Finalement p q = 2 n 1 < r card A p = p 2 ; d'où q < p; et donc M n est premier .Supposons inversement que M n est premier . Alors M n = 2 n 1 = p = 2m + 1 .Or n 3 , donc p 1 [8] et donc d'après le lemme 2 m 1 [p] .De même p 1 [4] donc 3p 3 [12] . D'autre part, d'après la proposition 1, n est premier .Or n 3, donc n est impair, donc p ( 1) n 1 1 [3] , et donc 4p 4 [12] .d'où par soustraction p 7 [12] , et donc d'après le lemme 3 m 1 [p] .On déduit alors de la formule du binôme de Newton que, dans A p :ba + b p p3= ba p + b pp 3 p = ba p + b p b3 mp 3 = ba p b p p3;d'où b 1 + p p+1 3 = b 1 + p p 3 b 1 3 = b2 . De même b 1Remarquons enn que 1 + p 3 2= 2u et que 1p3 2= 2v .On en déduit que 2 2n 1 L n = (2u) 2n 1 + (2v) 2n 1 = 1 + p 3 2 n + 1p3 p+1= b2 .p3 2 n.Or 2 n = p + 1 = 2m + 2; donc en passant aux classes résiduelles, on a dans A p :b2 L c n = b2 m+1 Ln c = b2 2n 1 Ln c = b 1 + p p+1 p p+13+ b 1 3 = b2 b2 = b4 ,et donc [L n 12b2 = c L n = b2; d'où [L n 1 = b0; et donc M n divise L n 1 .Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr 2 / 5 Département de Mathématiques