Les nombres premiers de Mersenne

CApplications numériques sous MapleRemarqueLa fonction isprime(m) pré-programmée dans Maple permet de tester si l'entier m est premier .Il existe également une fonction spécialisée mersenne(n) dans le package numtheory .Pour d'évidentes raisons pédagogiques, on a préféré ici reprogrammer une fonction isprimeM(n)qui teste la primalité de M n à l'aide du critère de Lucas-Lehmer .La fonction isprimeM(n)Notons que la suite (L n ) de Lucas-Lehmer croît beaucoup plus vite que la suite (M n ) de Mersenne .Ainsi, M 8 = 255 et L 7 = 4023861667741036022825635656102100994 .Heureusement, pour tester si M n est premier, il n'est pas nécessaire de calculer explicitement L n 1 ;il suft simplement de vérier si sa classe résiduelle modulo M n est nulle . D'où la procédure suivante :2> isprimeM:=proc(n) local k,L,M;L:=4; M:=2^n-1;6for k from 2 to n-1 do L:=L^2-2 mod M od;4evalb(L=0);end:Testons la primalité de M 2281 (son écriture décimale est constituée de 687 chiffres) :2> t:=time(): isprimeM(2281); 'Temps_de_calcul'=time()-t;64trueTemps_de_calcul = 2.046Comparons le résultat avec celui fourni par la fonction isprime standard :2> t:=time(): isprime(2^2281-1); 'Temps_de_calcul'=time()-t;64trueTemps_de_calcul = 4.547Une simple boucle montre alors que parmi les 1000 plus petits nombres de Mersenne, 14 sont premiers :2> t:=time(): LMP:='M'[2]:for n from 3 by 2 to 1000 doif isprimeM(n) then LMP:=LMP,'M'[n] fi: od:[LMP]; 'Temps_de_calcul'=time()-t;64[M 2 ; M 3 ; M 5 ; M 7 ; M 13 ; M 17 ; M 19 ; M 31 ; M 61 ; M 89 ; M 107 ; M 127 ; M 521 ; M 607 ]Temps_de_calcul = 27.766Rappelons que le critère de Lucas-Lehmer ne s'applique qu'à partir de n = 3 .On a testé ici toutes les valeurs impaires de n . On pourrait sensiblement accélérer le calcul en ne testantque les valeurs premières de n mais on a préféré ne pas recourir à la fonction isprime standard .Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr 3 / 5 Département de Mathématiques