Les nombres premiers de Mersenne

DAnnexe : Les résidus quadratiquesRappelsSoit p = 2m + 1 un nombre premier impair . On rappelle que F p = Z=p Z est un corps commutatif,n oet que le groupe multiplicatif G p = F p n b 0 est cyclique d'ordre 2m .Proposition 3nL'ensemble C p = bc 2 G p /9 b 2 G p bc = b o2 est un sous-groupe de G p d'ordre m .Les éléments de C p sont appelés les résidus quadratiques non nuls modulo p .JusticationLa stabilité de C p est immédiate . D'autre part, dans G p , ba 2 = b 2 () ba = b ou ba = b ,n oet donc C p = bb 2 / 1 b m a pour cardinal m .n o n oAinsi, par exemple, C 13 = b 1 2 , b2 2 , b3 2 , b4 2 , b5 2 , b6 2 = b 1 , b3 , b4 , b9 , b10 , b12 .Proposition n 4C p = ba 2 G po/ ba m = b1noet G p n C p = ba 2 G p / ba m = b1 .JusticationL'ordre d'un élément quelconque ba de G p divise l'ordre 2m de G p , donc ba 2m = b1 , et donc ba m = b1 :Soit bg un élément générateur de G p . Il existe alors un entier k tel que ba = bg k .Si ba m = b1 ; alors bg k m = 1 , donc k est pair (car g est d'ordre 2m) et il existe donc un entier h tel quek = 2h , d'où ba = bg 2h = bg h 22 Cp .Inversement, si ba 2 C p , il existe b b 2 G p tel que ba = b b 2 ; et donc ba m = b b 2m = b1 :Proposition 5Soit un entier a vériant 1 a 2m . Pour tout entier k vériant 1 k m , il existe un uniquecouple (q k ; r k ) d'entiers vériant : ka = pq k + r k et m r k m .Si on pose l p (a) = card fk 2 N / 1 k m et r k < 0g , alors C p = f ba 2 G p / l p (a) est pair g .JusticationLe nombre premier p = 2m + 1 ne divisant ni a ni k , il ne divise pas ka , et donc r k 6= 0 .D'autre part, si 1 h < k m; alors (k h) a = p (q k q h ) + (r k r h ) .Or p ne divise ni a ni (k h) , donc p ne divise pas (r k r h ) ; et donc r k 6= r h .de même p ne divise pas (k + h) a , donc p ne divise pas (r k + r h ) , et donc r k 6= r h .Finalement jr k j 6= jr h j , et donc fjr k j / 1 k mg = fk / 1 k mg .Pour tout nombre entier k vériant 1 k m , ka r k [p] , donc m! a m m QOr p ne divise pas m! , donc a m ( 1) lp(a) [p] .En conséquence, ba 2 C p () ba m = b1 () a m 1 [p] () l p (a) est pair .k=1r k (1) lp(a) m! [p].Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr 4 / 5 Département de Mathématiques