Les nombres premiers de Mersenne

Proposition 6Si p = 2m + 1 est un nombre premier impair, alors( (2 m +1 [p] si p 1 [8]3 m +1 [p] si p 1 [12]et2 m 1 [p] sinon3 m 1 [p] sinonJusticationOn se limite désormais aux deux cas particuliers a = 2 et a = 3 .Soit k un entier vériant 1 k m et r k < 0 . Alors ka < pq k et donc q k > 0 .D'autre part m r k , donc pq k = ka r k ka + m 3k + m 4m < 2p , et donc q k < 2 .q k = 1 est donc la seule valeur possible, et dans ce cas :m r k 1 , m ka p 1 , p m ka p 1 , m + 1 ka 2m .Inversement, si k est un entier vériant m + 1 ka 2m , alors 1 k m et m ka p 1d'où q k = 1 et r k < 0 .Donc dans les deux cas particuliers a = 2 et a = 3; on a l p (a) = card fk 2 N / m + 1 ka 2mg .D'où, en notant [x] la partie entière du nombre réel x , et en discutant selon la valeur de m : m + 1 p + 1l p (2) = card fk 2 N / m + 1 2k 2mg = = et2 4 m + 1 p + 1l p (3) = card fk 2 N / m + 1 3k 2mg = = .3 6Enn, en se souvenant que p est premier et impair, on vérie aisément que : p + 12 m 1 [p] () b2 2 C p () l p (2) est pair () est pair () p 1 [8] et4 p + 13 m 1 [p] () b3 2 C p () l p (3) est pair () est pair () p 1 [12] .6Ghislain.Dupont@univ-lemans.fr 5 / 5 Département de Mathématiques