Rapport DEA Philippe Buhr - INSA de Lyon

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DEA Images et SystèmesOptimisation de prédiction de couverture radio3.2.3 Principe de l’algorithme DIRECT3.2.3.1 InitialisationDIRECT commence l’optimisation en transformant l’espace de recherche en un hypercubeunité. Direct travaillera toujours à partir de ce cube normé en ne faisant référence aux valeursréelles qu’au moment où la fonction est évaluée. Le centre de ce cube est c 1 et la valeur de lafonction d’évaluation en son centre est f(c 1 ).L’étape suivante est de diviser cet hypercube. La fonction est alors évaluée aux points c 1 ± δ e i, i = 1,…,n où δ vaut un tiers de la longueur du cube et e i est le vecteur unité dans la ièmedirection. On définit alors :w i = min ( f(c 1 + δ e i ), f(c 1 - δ e i ) ) , 1 des nouveaux hyper-rectangles. Ceci est répété pour toutes les dimensionssur l’hyper-rectangle central, en choisissant la dimensions suivante par ordre croissant de w i .La figure suivante montre cette initialisation sur un espace à 2 dimensions.209.34209.34209.341489.2200.61489.2200.61489.2200.621 321 321 31260.21260.21260.2555Figure 9 : après avoir calculé le point 1, on évalue les points dans toutes les directions situés à untiers de la longueur du cube (1). Le minimum est trouvé dans la direction portant les points 2 et 3.On divise le cube dans cette direction (2). Puis ensuite, le minimum suivant est dans la directionportée par les points 4 et 5. On divise donc le rectangle central dans cette direction.L’algorithme entre maintenant dans sa boucle principale pour déterminer les rectanglespotentiellement optimaux qui vont être divisés.3.2.3.2 Détermination des rectangles potentiellement optimauxLes rectangles potentiellement optimaux sont ceux qui vont être divisés à l’itération suivante.DIRECT est à la fois global et local car il va diviser tous les rectangles répondant au critèresuivant.Soit ε > 0 une constante positive et soit f min le minimum de la fonction trouvé jusqu’à présent.Un hyper-rectangle j est dit potentiellement optimal s’il existe K>0 tel quef(c j ) – K.d j ≤ f(c i ) – K.d i , ∀ i (1) etf(c j ) – K.d j ≤ f min - ε |f min | (2)avec c j le centre de l’hyper-rectangle j et d j une mesure de cet hyper-rectangle. Jones et al.dans [27] utilisent la distance du centre au côtés du cube comme mesure du cube. D’autresmesures sont possibles, comme par exemple celle proposée dans [32].K joue ici le rôle de la fameuse constante de Lipschitz.Le paramètre ε est utilisé pour que f(c j ) améliore la meilleure solution courante d’un facteurnon nul. Selon [29], l’expérience montre que avec 1×10 -2 ≤ ε ≤1×10 -7 , la valeur de ε n’a quepeu d’effet sur les calculs. Une bonne valeur de ε est 1 × 10 -4 .Philippe Buhr 20/42 2002/2003
DEA Images et SystèmesOptimisation de prédiction de couverture radioOn peut en tirer plusieurs remarques de cette définition de la potentielle optimalité :- si un hyper-rectangle i est potentiellement optimal, alors f(c i ) ≤ f(c j ) pour tous leshyper-rectangles de la même taille que i (c’est-à-dire d i =d j ).- si d i ≥ d k , pour tous les hyper-rectangles k , et f(c i ) ≤ f(c j ) pour tous les hyperrectanglesde même taille que i, alors i est potentiellement optimal.- Si d i ≥ d k pour tous les hyper-rectangle k , et si i est potentiellement optimal, alorsf(c i ) = f minLa définition de l’optimalité potentielle n’est pas facile à implémenter en pratique. C’estpourquoi on utilise le lemme suivant. Soit I l’ensemble de tous les indices des intervallesexistants, c’est-à-dire des cubes existants. Soit :I 1 = { i ∈ I : d i < d j } c’est-à-dire que I 1 représente les cubes plus petits que le cube jI 2 = { i ∈ I : d i > d j } c’est-à-dire que I 2 représente les cubes plus grands que le cube jI 3 = { i ∈ I : d i =d j } c’est-à-dire que I 3 représente les cubes de même taille que jUn cube j ∈ I est potentiellement optimal sif(c j ) ≤ f(c i ) , ∀ i ∈ I 3et s’il existe K > 0 tel quef(c j)− f(ci)f(ci)− f(c j)max ≤K≤mini∈I1d j−dii∈I2 di−djetfmin− f(c j)( ) − ( )≤ +d j f cif c jεmin , fmin≠0| fmin|| fmin|i∈I2 di−djouf(ci)− f(cj)f( cj) ≤djmin, fmin=0i∈I2 di−djLa preuve de ce lemme a été apportée par Gablonsky [32]. Il peut y avoir un ou plusieursrectangles potentiellement optimaux.Ces considérations mathématiques ne sont pas facile à se représenter. Satisfaire lesinéquations données ci-dessous revient pour un point à se situer sur l’enveloppe convexe del’ensemble des points représentés dans la schéma ci-dessous avec en abscisse la mesure(taille) des cubes et en ordonnées la valeur de la fonction d’évaluation.Valeur de la fonctiond’évaluation au centredes rectanglesf minf*Rectangles optimauxMesure (taille) des rectanglesFigure 10 : représentation graphiquede la recherche de l’enveloppeconvexe de l’ensemble des points.De manière concrète, le paramètre ε permet de privilégier les recherches globales. En effet, lacondition qu’il ajoute élimine dans certains cas les cubes plutôt petits. Lorsqu’il vaut 0, il n’aaucun effet, et plus il s’approche de 1, plus il va favoriser les grands cubes.Les hyper-cubes ou hyper-rectangles sélectionnés comme étant potentiellement optimaux sontensuite divisés un à un.Philippe Buhr 21/42 2002/2003
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