Calcul vectoriel (Annexe 5) - Stephane Genouel.

Annexe 05 - Calcul vectoriel Page 1/4Calcul vectoriel1) NOTION DE SCALAIRE. ................................................................................................ 12) DÉFINITION D’UN VECTEUR. ....................................................................................... 1Une direction .................................................................................................................................... 1Un sens ............................................................................................................................................ 1Une norme (ou intensité, module). ................................................................................................... 13) NOTION DE BASE ET REPÈRE ORTHONORMÉS DIRECTS. ..................................... 231) BASE ORTHONORMÉE DIRECTE. ............................................................................................ 232) REPÈRE ORTHONORMÉ DIRECT. ........................................................................................... 24) COMPOSANTES D’UN VECTEUR. ................................................................................ 25) NORME D’UN VECTEUR. .............................................................................................. 26) PROJECTION D’UN VECTEUR DANS LE PLAN. ......................................................... 37) OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS. ........................................................................... 371) SOMME. .............................................................................................................................. 372) PRODUIT SCALAIRE. ............................................................................................................. 373) PRODUIT VECTORIEL. ........................................................................................................... 374) PRODUIT MIXTE. .................................................................................................................. 4Objectif : La notion de vecteur est omniprésente dans le cours de mécanique, pour modéliser par exempleles vitesses en cinématique ou les forces en statique. Aussi est-il nécessaire de faire quelques rappelsutiles.1) Notion de scalaire.Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nul, utilisés pour représenter des quantités diverses :temps, température, masse, énergie,...Par exemple : une hauteur de 20 m, un volume de 18 m 3 , une puissance de 200 MW,...2) Définition d’un vecteur.Un vecteur est une grandeur définie par :VUne directionDroite qui porte le vecteurUn sensUne norme (ou intensité, module). Valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notée VOrientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flècheMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 31/01/2012

Annexe 05 - Calcul vectoriel Page 2/43) Notion de base et repère orthonormés directs.31) Base orthonormée directe.Une base orthonormée est constituée de trois vecteurs, perpendiculaires entre eux et de norme (longueur)unitaire x y z 1.Pour que cette base soit directe, on trace d’abord les deux premiersvecteurs x et y formant le plan ( xy , ) , puis le 3 ème vecteur zperpendiculairement au plan ( xy , ) et dont le sens est déterminé parla règle :- des trois doigts de la main droite,- du tire-bouchon,- de la vis.On note la base B( x, y, z ) et on la représente parzyx32) Repère orthonormé direct.Un repère est constitué :- d’une base- d’un point donné, origine du repère.Notation : R( O, x, y, z )Remarque : Par défaut, lorsque nous n’explicitons pas la base ou le repère, nous supposons qu’ilssont orthonormés directs.4) Composantes d’un vecteur.Dans une base B( x, y, z ) de l’espace vectoriel, il existe 3 réels x, y et z, appelés composantes de V , telsque l’on puisse écrire de façon unique : V x. x y. y z.z y .NB : il ne faut pas confondre : • x la composante du vecteur V suivant la direction x ,• x , le vecteur unitaire de la base B suivant la direction x .Bxz5) Norme d’un vecteur.Dans une base B, la norme (notée V ) d’un vecteur Vx y peut se calculer par : V x² y² z²BzMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 31/01/2012

Annexe 05 - Calcul vectoriel Page 3/46) Projection d’un vecteur dans le plan.1) Les textes des énoncés nous donnent des informations. Mais nous ne tiendrons JAMAIS COMPTE :- du schéma réalisé dans une position particulière…- de la valeur algébrique des angles (120°, -36°, 85°…).2) Nous réaliserons des figures planes avec un angle dans le sens trigonométrique autour de +15°.Pour réaliser ces figures planes, nous commencerons toujours par tracer le vecteur commun aux 2bases, puis nous placerons les autres vecteurs de façon à obtenir des trièdres directs.3) Nous nous retrouverons donc avec une figure de ce type où seulement 4 projections sont à connaître :y 1y 0z0 z1x 1x 0x1 cos . x0 sin . y0x0 cos . x1 sin . y1y1 sin . x0 cos . y0y0 sin . x1 cos . y1Nous pouvons vérifier facilement que nos projections fonctionnent pour toutes les valeurs algébriques de .Prenons par exemple les cas particuliers où 0 , 90 , 180 et 90 .7) Opérations sur les vecteurs.Soient deux vecteurs : A x . x y . y z . z et B x . x y . y z . z ,A A AB B B71) Somme.S A B ( x x ). x ( y y ). y ( z z ). zA B A B A BAB72) Produit scalaire. 73) Produit vectoriel.SDéfinitionRemarquePropriétésAutreLe produit scalaire des 2 vecteurs A et B est :un scalaire, noté AB, . tel que :A. B A . B .cos( A, B)(Ce nombre peut être positif ou négatif). soit A 0A. B 0 soit B 0soit cos( A. B) 0 A BAB . B.AA.( B C) AB . AC .Si A et B sont écrits dans la même base,Alors AB . xA. xB yA. yB zA.zBLe produit vectoriel des 2 vecteurs A et B est :un vecteur, noté A B :- de direction perpendiculaire au plan ( AB , )- de sens tel que le trièdre ( A, B, A B)soitdirect (règle des 3 doigts de la main droite)- de norme A B A . B . sin( A, B) soit A 0A B 0 soit B 0soit sin( A. B) 0 A / / BA B B AA ( B C) A B A CDouble produit vectoriel (formule de Gibbs) :A ( B C) B ( AC . ) C ( AB . )MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 31/01/2012

Annexe 05 - Calcul vectoriel Page 4/4Pour déterminer un produitscalaire ou un produitvectoriel, 3 cas sontenvisageables :Exemples pour le produit scalaire.Exemples pour le produit vectoriel.1 re cas : si les 2 vecteurssont dans la même base.Ex : x 17 et z 17x3. y3 0y3. z3 0z3. x3 0x . x y . y z . z 13 3 3 3 3 3L’ordre des vecteurs dans une basedirecte est x, y, z, x, y, z…Ainsi dans le sens direct, on a :x3 y3 z3y3 z3 x3z3 x3 y3Et dans le sens indirect (horaire) :z3 y3 x3y3 x3 z3x3 z3 y3x3 x3 y3 y3 z3 z3 02 ème cas : si les 2 vecteurssont définis dans la mêmefigure plane.Ex :y 1z0 z1y 0x 1x 0x0. x1 cos x1. x0 cos x0. y1 cos( )2y0. x1 cos( )2y0. y1 cos x x sin . z0 1 0x x sin . z1 0 0x0 y1 sin( ). z02y0 x1 sin( ). z02y0 y1 sin . z03 ème cas : si les 2 vecteurssont :- ni de la même base ;- et ni définis dans la mêmefigure plane.Ex : x 17 et z 14Il faut projeter un des 2 vecteurs pour retomber dans l’un des 2 cas précédents.NB : C’est la SEULE et UNIQUE fois que l’on projette en Mécanique…74) Produit mixte.Définition : Le produit mixte des 3 vecteurs A , B et C est le scalaire, noté ( A, B, C ) , tel que :( A, B, C) ( A B). C A.( B C)Propriétés : Changement de signe si l’on permute 2 vecteurs : ( A, B, C) ( B, A, C)Permutation circulaire : ( A, B, C) ( B, C, A) ( C, A, B)MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 31/01/2012