TD 24 corrigé - Modé.. - Stephane Genouel.

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 1/8Corrigé Exercice 1 : ASSEMBLAGE PAR FRETTAGE(SURFACES DE FRICTION CYLINDRIQUES)EFFORT AXIAL MAXIMAL TRANSMISSIBLEQuestion 1 : Refaire en grand les 2 schémas cicontre: un dans le plan (y, z) etl’autre dans le plan (x, y), enplaçant les actions élémentairesnormale et tangentielle de 2 sur 1en un point Q quelconque de lasurface de contact.Tendance au dN 2 1 (Q'' ) 2glissement de1/2dT21 (Q'' )Q’’vyQdTx2 1 (Q)udN 1 (Q) 21Question 2 : Exprimer dF 2 1 ( Q)21 21 21 .dF ( Q) dN ( Q) dT ( Q)dF2 1( Q) dN21 ( Q) . u dT21( Q) . zdF2 1 ( Q ) p . ds . u . p . ds . zCar on a toujours : dN1 2 ( Q ) p ( Q ). dsEt on suppose que :- le coefficient d’adhérence est égal à celui dufrottement donc a limite f ,- on se place à la limite du glissement doncdT21 ( Q) . dN21( Q),- la pression est uniforme p( Q) p .Question 3 : Déterminer la résultante axiale maximale transmissible en fonction de p et descaractéristiques géométriques du frettage.R21 dF2 1 ( Q )sR21 p. ds. u . p. ds.zsR21 p. (cos . x sin . y) . z . dss21l,R p. cos . x sin . y . z . R. d.dl R21 p. R. dl. cos . x sin . y . z . dl L2. 21 . . . sin . cos . . . 0 0R p R l x y zR21 p. R. L. .2. . zOn aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dF 2 1 ( Q)suivant u (les dN 2 1 ( Q)),se compensaient par symétrie.Ainsi les calculs auraient été plus simples : R21 . p. ds. z . p. z. ds . p. z. S . p. z.2. . R.LssMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 2/8COUPLE MAXIMAL TRANSMISSIBLEdN Tendance auQuestion 4 : Refaire en grand les 2 schémas cicontre: un dans le plan (y, z) et1/2 u2 1 (Q'' )2glissement del’autre dans le plan (x, y), en plaçantyles actions élémentaires normale etQQ’’ dT2 1tangentielle de 2 sur 1 en un point Q(Q'' )dN 2 1 (Q)quelconque de la surface de contact.xdT 2 1 (Q)1Question 5 : Exprimer dF 2 1 ( Q).dF2 1( Q) dN21 ( Q) dT21( Q)Car on a toujours : dN1 2dF2 1( Q) dN21 ( Q) . u dT21( Q) . v( Q ) p ( Q ). dsEt on suppose que :dF2 1 ( Q ) p . ds . u . p . ds . v- le coefficient d’adhérence est égal à celui dufrottement donc a limite f ,- on se place à la limite du glissement doncdT21 ( Q) . dN21( Q),- la pression est uniforme p( Q) pQuestion 6 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiquesgéométriques du frettage.MO,2 1 OQ dF2 1 ( Q )sMO,2 1 R. u ( p. ds. u . p. ds. v)sMO,2 1 R. . p. ds.zsMO,2 1 R. . p. z. dssMO,2 1 R. . p. z.SMO,2 1 R. . p. z.2. . R.L2MO,2 1 . p.2. . R . L.zvMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 3/8Corrigé Exercice 2 : EMBRAYAGE À FRICTION MONODISQUE DEVÉHICULES AUTOMOBILES(SURFACES DE FRICTION PLANES)Question 1 : Refaire en grand les 2schémas ci-dessus : undans le plan (y, z) etl’autre dans le plan (x, y),en plaçant les actionsélémentaires normale ettangentielle de 2 sur 1 enun point Q quelconquede la surface de contact.dT21 (Q'' )1 Q’’2dN 2 1 (Q'' )FavyQTendance auglissement de1/2udN 1 (Q) 2x dT 2 1 (Q)Question 2 : Exprimer dF 2 1 ( Q)21 21 21 .dF ( Q) dN ( Q) dT ( Q)dF2 1( Q) dN21 ( Q) . z dT21( Q) . vdF2 1 ( Q ) p . ds . z . p . ds . v(disque 1 enlevé)Car on a toujours : dN1 2 ( Q ) p ( Q ). dsEt on suppose que :- le coefficient d’adhérence est égal à celui dufrottement donc a limite f ,- on se place à la limite du glissement doncdT21 ( Q) . dN21( Q),- la pression est uniforme p( Q) pQuestion 3 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiquesgéométriques de l’embrayage.MO,2 1 OQ dF2 1 ( Q )sMO,2 1 r. u ( p. ds. z . p. ds. v)sMO,2 1 r. p. ds. v r. . p. ds.zsO,21r,M r. p.(cos . y sin . x) r. . p. z . r. d.dr2MO,2 1 p. r . dr. cos . y sin . x . z . dr R3 maxr2. MO,21 p. . sin . y cos . x . .z3 0 Rmin 3 3Rmax R minMO,21 p. . .2. .z 3On aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dF2 1 suivant z (les dN2 1),créaient des moments, mais qui se compensaient par symétrie.Ainsi les calculs auraient été plus simples :Rmax 33 3r 2. Rmax RminO,21 3 03s s r, RminM r. u . p. ds. v r. . p. ds. z . p. z. r. r. d. dr . p. z. . . p. z.. .2. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 4/8Question 4 : Déterminer l’action axiale Fa (qui crée les dN ) en fonction de p et des caractéristiquesgéométriques de l’embrayage.Fa dN21 ( Q )sFa p. ds.zsFa p..z dssFa p..z S2 2Fa p. z. . Rmax . RminQuestion 5 : En déduire le couple maximal transmissible en fonction de Fa (et non en fonction de p) et descaractéristiques géométriques de l’embrayage.Fap .( R)2 2max Rmin Fa 3 3Rmax R minMO,21 . . .2. . z 2 2.( R3max Rmin) 3 32 Rmax R minMO,21 . . Fa . . z3 2 2Rmax RminMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 5/8Corrigé Exercice 3 : EMBRAYAGE CONIQUE DESSYNCHRONISEURS DE BOÎTE DE VITESSES(SURFACES DE FRICTION CONIQUES)Question 1 : Refaire en grandles 2 schémas cidessus: un dans leplan (y, z) et l’autredans le plan (x, y),en plaçant lesactionsélémentairesnormale ettangentielle de 2sur 1 en un point Qquelconque de lasurface de contact.1dT21 (Q'' )Q’’dN 2 1 (Q'' )2FavyQTendance auglissementde 1/2x dT 2 1 (Q)(cône 1 enlevé)dN 2 1 (Q)Attention, il est inclinédans cette vue)uQuestion 2 : Exprimer dF 2 1 ( Q) .dF ( Q) dN ( Q) dT ( Q)21 21 21dF2 1( Q) dN21 ( Q) .cos . u dN21 ( Q) .sin . z dT21( Q) . vdF2 1 ( Q) p. ds.cos . u p. ds.sin . z . p. ds.vdN 2 1 (Q'' )Car on a toujours : dN1 2 ( Q ) p ( Q ). dsEt on suppose que :- le coefficient d’adhérence est égal àcelui du frottement donc ,a limite f- on se place à la limite du glissementdonc dT21 ( Q) . dN21( Q),- la pression est uniforme p( Q) pQuestion 3 : Déterminer le couple maximal transmissible en fonction de p et des caractéristiquesgéométriques de l’embrayage.MO,2 1 OQ dF2 1 ( Q )sMO,2 1 r. u ( p. ds.cos . u p. ds.sin . z . p. ds. v)sMO,2 1 ( r. p. ds.sin . v r. . p. ds. z)sdrMO,2 1 p. r.sin .(cos . y sin . x) r. . z. r. d. r,sin p 2MO,2 1 . r . dr. sin .cos . y sin .sin . x . z.dsin r R3 maxp r2. MO,21 . . sin .sin . y sin .cos . x . .zsin 3 0 Rmin3 3p Rmax R minMO,21 . . .2. .zsin 3dldrds r. d. dlAvec dr dl.sindrDonc ds r. d. sin dsMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 6/8On aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dF2 1 suivant z , créaient desmoments, mais qui se compensaient par symétrie.Ainsi les calculs auraient été plus simples :R3 max3 3dr . p r 2. .p Rmax RminO,21 sin sin 3 0 sin 3s s r, RminM r. u ( p. ds.cos . u . p. ds. v) r. . p. ds. z . p. z. r. r. d. . z. . . z.. .2. Question 4 : Déterminer l’action axiale Fa (qui crée les dN ) en fonction de p et des caractéristiquesgéométriques de l’embrayage.Fa dN21 ( Q )sFa p. ds.cos . u p. ds.sin .zsdrFa p. cos .(cos . x sin . y) sin . z. r. d. r,sin pFa . r . dr . cos .cos . x cos .sin . y sin . zsin. d r R2 maxp r2. Fa . . cos .sin . x cos .cos . y sin . .zsin 2 0 Rmin2 2p Rmax R minFa . .sin .2. .zsin 22 2Fa p. R max R min . .zOn aurait pu remarquer, avant de réaliser les calculs, que les composantes de dN2 1 suivant u , secompensaient par symétrie.Ainsi les calculs auraient été plus simples : Rmax Rmin Rmax Rmin 2 2Fa p. ds.sin . z p.sin . z. ds p.sin . z. S p.sin . z.2 . Rmoy. l p.sin . z.2 . . p. z.. .( Rmax Rmin)2 sin ss Question 5 : En déduire le couple maximal transmissible en fonction de Fa (et non en fonction de p) et descaractéristiques géométriques de l’embrayage.Fap .( R)2 2max Rmin Fa 3 3Rmax R minMO,21 . . .2. . z 2 2.( R3max Rmin).sin 3 32 Rmax R minMO,21 . . Fa . . z3 sin 2 2Rmax RminMPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 7/8Corrigé Exercice 4 : BARRAGE POIDS.Question 1 : Exprimer dF ( Q)eau barrage .dFeau barrage ( Q) dNeau barrage ( Q) dTeau barrage( Q)dFeau barrage ( Q) dNeau barrage( Q)car adhérence/frottement négligé.dFeau barrage ( Q ) p ( Q ). ds . xQuestion 2 : Déterminer en O le torseur des actions mécaniques exercées par l’eau sur le barrage.Reau barrage dFeau barrage ( Q )sReaubarrage . g.( h z). dz. dy.xyz , Reaubarrage . g. dy. ( h z). dz.xylh 22 ( hz)Reaubarrage . g. y. . xl 22 02hReaubarrage . g. l. . x2zMO, eaubarrage OQ dFeau barrage( Q)sMO,eaubarrage ( y. y z. z) . g.( h z). dz. dy.xyz ,MO,eaubarrage . g. ( y. z z. y).( h z). dz.dyyz ,l2 2 yMO,eaubarrage . g. ( . z y. z. y).( h z) . dz2z MO, eaubarrage . g. ( l. z. y).( h z).dzzh 2 3h.z z MO,eaubarrage . g. l. . y2 3 0hMO, eaubarrage . g. l. . y63l2Comme O milieu du barrage, il étaitévident que, par symétrie, il n’existait pasde moment suivant z .MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012

TD 24 corrigé - Modélisation des AM de contact surfacique - Lois de Coulomb Page 8/8 RDonc eaubarrageT eaubarrage TeaubarrageMO,eaubarrageO 2h . g. l. . x 2 3 h . g. l. . y 6OToujours vérifier que le résultat obtenu est homogènepour la 1 ère expression à une résultante (N),pour la 2 ème expression à un moment (N.m).Question 3 : En déduire la position du centre de poussée A : point où l’action globale de l'eau sur lebarrage ne crée pas de moment (pour cela lire avant, les notions sur l’axe central et torseurglisseur dans l’annexe 6 sur les torseurs).On remarque que RM 0 .Donc l’action de l’eau sur le barrage est un torseur glisseur. Ainsi, il existe un point A où le moment est nul.MA, eaubarrage 0 MO,eaubarrage AO Reau barrage3 2hh0 . g. l. . y ( yA. y zA. z) . g. l. . x6 23 2 2h h h0 ( . g. l. zA. . g. l. ). y yA. . g. l. . z6 2 2A est appelé centre depoussée : point où l’actionglobale de l'eau sur le barragene crée pas de moment.h yA 0 et zA L’axe central est une droite de direction R passant par A.3ARAPPEL pour l'action de pesanteur :On sait que l'action de la pesanteur se modélise par un torseur glisseur car il existe le point G où le moment estnul. Ainsi, nous devrons toujours avoir pour cette action RM 0 .Son axe central sera la droite de direction R passant par G.MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 11/03/2012