3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások ...

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
1 ⎛ 1 ∂v v cotg θ 1 ∂w
⎞
ε αθ = ⎜ − + ⎟ .
2 ⎝ r ∂θ r r sin θ ∂α ⎠
Kis alakváltozások számítása általános görbevonalú koordinátarendszerben
Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben
s , s , s tengelyeknek megfelelő ii egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:
felvett 1 2 3
3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer
i j ⋅ ik
= δ j k . (3.48)
Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk:
∂i j
⋅ i j
∂s = 0,
∂i j
⋅ ik ∂s ∂ik
= − ⋅i
j .
∂s
(3.49)
m m m
Részletesen felírva az egyes egységvektorok s1, s2, s 3 irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:
⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤
∂ ⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥ ∂
1 2 ,
⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥ ∂
2 2 ,
⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥
3 2 .
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
1 s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
2 s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
(3.50)
∂ ∂ ∂ 3
⎢⎣ i ⎥ 3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ 3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ 3 ⎦
Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok
az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):
⎡i1, s ⋅i 1 1 i1, s ⋅i 1 2 i1, s ⋅i ⎤ ⎡
1 3 i1, s ⋅i 2 1 i1, s ⋅i 2 2 i1, s ⋅i
⎤
2 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K =
1 ⎢i2, s ⋅i 1 1 i2, s ⋅i 1 2 i2, s ⋅ i
1 3 ⎥ , K =
2 ⎢i 2, s ⋅i 2 1 i2, s ⋅i 2 2 i2, s ⋅i
2 3 ⎥ ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣
i3, s ⋅i 1 1 i3, s ⋅i 1 2 i3, s ⋅i 1 3 ⎦ ⎣
i3, s ⋅i 2 1 i3, s ⋅i 2 2 i3, s ⋅i
2 3 ⎦
(3.51/a)
⎡i1, s ⋅i 3 1 i1, s ⋅i 3 2 i1, s ⋅i
⎤
3 3
⎢ ⎥
K = i
3 ⎢ 2, s ⋅i 3 1 i2, s ⋅i 3 2 i2, s ⋅i
3 3⎥
,
⎢ ⎥
⎢⎣ i3, s ⋅i 3 1 i3, s ⋅i 3 2 i3, s ⋅i
3 3 ⎥⎦
vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással):
10.06.20. 12