3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások ...

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
⎡
⎢
0
⎢
⎢
k
E =
⎢ 2
⎢0
⎢
⎣
k
2
2
k
2
0
⎤
0
⎥
⎥
0⎥
.
⎥
0⎥
⎥
⎦
Az elforgatáshoz szükséges vektorok az új bázisban:
e 1 =
1
[ 1
2
1
T
0]
, e2
=
1
[ −1
2
1
T
0]
, e3
= [ 0 0
T
1]
.
Az elforgatás elemenként:
E 11
= e 1 ⋅E
⋅ e1
=
1
1
2
1
⎡0
1
0
⎢
2 ⎢
k
⎢⎣
0
k
2
k
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
⎡1⎤
2
1 ⎢ k k
1
⎥
= +
2 ⎢ ⎥ 2 4
⎢⎣
0⎥⎦
2
k k
E 2 2 = e 2 ⋅E⋅
e2
= − +
2 4
2
k
, E12
= e1
⋅ E⋅
e2
=
4
, stb.
[ ] ,
c./ A lineáris alakváltozás-tenzorhoz tartozó sajátérték-feladat determinánsa:
−ε
k
2
0
k
2
−ε 0
2
2 k
= 0 → − ε( −ε + ) = 0 .
4
0 0 −ε
Innen:
ε 1 =
k
2
, ε 3
k
= −
2
, ε 2 = 0 .
A főirányok:
n0 1 =
1
[ 1
2
1 0 ] , n0 3 =
1
2
[ − 1 1 0 ] , n 0 2 = [ 0 0 1 ] .
Alakváltozás-tenzorok felbontása fizikai hatások alapján
A Függelékben a matematikai összefoglalónál már említettük, hogy minden másodrendű
tenzor felbontható két speciális tenzor összegére:
A = αI
+ dev A,
(3.10)
ahol α =
1
tr A . Az első tag neve: gömbi tenzor, a másodiké deviátor tenzor.
3
Alakváltozás-tenzorokra alkalmazva a fentieket:
E = E + E , ε = ε + ε , D = D + D , stb. (3.11)
g d g d g d
A gömbi tag a test adott pontjában létrejövő bázisirányú átlagos nyúlásokat, a deviátoros rész
pedig a pontban létrejövő nyírási alakváltozásokat (szögtorzulásokat) jellemzi. A gömbi
tagot mechanikai tartalma alapján hidrosztatikus alakváltozás tenzornak is nevezik.
Fontos tudnunk, hogy egyes esetekben (pl. rugalmasan összenyomhatatlan vagy képlékeny
anyagoknál) az alakváltozás-tenzorok ilyen típusú felbontása nem alkalmas különleges
10.06.20. 4