dinamika_ered.pdf

A fix elemekkel összekötött, három kocsiból álló
szerelvény fékez. A fékezőerő mindegyik kocsinál
F.
Milyen erők ébrednek a kocsikat összekötő
elemekben? S 1-2 = ?, S 2-3 = ?
(m 1 = m 3 = 30 t, m 2 = 40 t, F = 22 kN)
Az ábrán látható rendszert álló helyzetben magára
hagyjuk.
Mekkora lesz a kötélerő? S = ?
(A csiga elhanyagolható tömegű és
súrlódásmentes, így a két kötélágban a kötélerő
azonos.)
m 1 = 15 kg, f 1 = 0,15, α 1 = 30°,
m 2 = 30 kg, f 2 = 0,25, α 2 = 60°
N 1 = 127,4 N
F s1 = 19,11N
a=2,786m/s 2 (j)
N 2 = 147,1 N
F s2 = 36,79 N
S=134,5 N
A szerelőfelvonó teljes tömege m. A motor M
nyomatékot tud kifejteni a d átmérőjű dobra.
Mekkora gyorsulással tud elmozdulni a felvonó
felfelé? a = ? [m/s 2 ]
Mekkora a dinamikus tényező? ν = ?
m = 550 kg, M = 300 Nm, d = 300 mm
(A csigák súrlódásmentesek és a forgó részek
tömegét elhanyagoljuk.)
din:
S= 2000 N
a= 1,099m/s 2
stat:
S=1799 N
�=1,112
Határozzuk meg a tömegpontok gyorsulásait és a
kötelekben ébredő erőket!
a 1 = ?, a 2 = ?, S bal = ?, S jobb = ?
m 1 = 5 kg, m 2 = 20 kg
(A csigák súrlódásmentesek és a forgó részek
tömegét elhanyagoljuk.)
a 1 = 4,905 m/s 2
S jobb = 147,1 N
a 2 = 2,452 m/s 2
S bal = 73,57 N
m 1 m 2 m 3
a=0,66m/s 2 (balra), S 1-2 =+2,2kN, S 2-3 =-2,2kN
m 1
α 1
m 2
f 1
S
f 2
α 2
m 1
v
m 2
1.
2.
3.
4.

Az m 1 tömegű kocsi kezdeti sebessége v 0 balra.
Határozzuk meg a kocsi megállásáig szükséges
időt! t 1 = ?
Mennyi idő után lesz a kocsi sebessége jobbra v 0 ?
t 2 = ?
(m 1 = 50 kg, m 2 = 10 kg, v 0 = 5 m/s)
A teherautó v sebességgel halad, majd hirtelen
fékez és s utat megtéve egyenletes lassulással
megáll. A rakomány és a kocsi platója közti
súrlódási tényező f.
A kocsihoz képest nyugalomban marad-e a
rakomány?
Ha megcsúszik, milyen sebességgel ütközik a
jármű homlokfalának? Δv = ?
(v = 100 km/h, l = 5 m, s = 90 m, f = 0,4)
v 0 = 27,78m/s 2
a=-4,287m/s 2
a max =3,924m/s 2
megcsúszik
t ütk =5,248s
v jár =5,281m/s
v rak =7,187m/s
�v=1,905m/s
v 0
a= 1,635 m/s 2
t 1 =3,058s
t 2 =6,116s
A G súlyú gépkocsi r lekerekítési sugárral kiképzett úton megy át a völgyön v sebességgel.
Milyen dinamikus tényezővel kell számolni a kocsira ható támaszerőnél?
ν = ?
(G = 10 kN, r = 1000 m, v = 144 km/h)
N st =10kN
v=40m/s
a=1,6m/s 2
v
m 1
N d =11,63kN
l
�=1,163
Mekkora fordulatszámmal kell a kör keresztmetszetű, d átmérőjű, σ szakítószilárdságú drótkötél
végére kötött m tömegű testet vízszintes síkban forgatni, hogy az l hosszúságú kötél elszakadjon?
n = ? ford/s
(d = 1 cm, σ = 280 MPa, m = 200 kg, l = 3,5 m)
�=5,604rad/s
n=0,892 1/s
Egy két kocsiból álló villamos álló helyzetből, egyenletes gyorsulással v sebességre gyorsul fel.
Mindkét kocsiban azonos, P teljesítményű motor működik. A menetellenállás μ. Egy kocsi üresen
m 0 , utasokkal M tömegű.
a) Mennyi időre van szükség minimálisan ill. maximálisan a v utazósebesség eléréséhez?
t min = ?, t max = ?
b) Mekkora erő ébred maximálisan ill. minimálisan a két kocsit összekötő elemben?
S max = ?, S min = ?
(m 0 = 10 t, M = 15 t, P = 300 kW, μ = 4 kN/MN, v = 54 km/h)
v=15m/s
a) t min
F=20kN
F e =0,392kN
a=1,961m/s 2
t min =7,65s
t max
G=147,15kN
F e =0,5886kN
a=1,294m/s 2
t=11,59s
b) S max
hátsó: M
F 1 =19,607kN
F 2 =19,411kN
S=4kN
S min
első M
F 1 =19,411kN
F 2 =19,607kN
S=-4kN
S
f
m 2
5.
6.
7.
8.
9.

Egy íjász kilő egy nyílvesszőt a domb tetejéről. A nyílvessző kezdeti sebessége v, kezdeti
sebességvektora a vízszintessel α szöget zár be.
Határozzuk meg a nyílvessző által megtett út vízszintes vetületét, amíg a β hajlásszögű lejtőn földet ér!
s = ? m x v =72,44m/s v =-19,41+gt x=475,8m
x y
(v = 75 m/s, α = 15°, β = 10°)
Milyen szögben és mekkora sebességgel kell a várfaltól x távolságra álló ágyúból kilőni az
ágyúgolyót, hogy az a falba h magasan, vízszintesen csapódjon be? t=1,689s
(x = 100 m, h = 14 m) szemléletből:
v =16,57m/s
0y
�=arctg(2h/x)=15,64° v =61,48m/s
0
Egy anyagi pont mozog az xy-síkban. Gyorsulása állandó, x irányban a , y irányban 0. A mozgás
x
kezdetén sebessége v , az y tengellyel α szöget zár be.
0
Írjuk fel a sebességét az idő függvényében! Mekkora a pálya görbületi sugara t időpontban?
1
v(t) = ?, ρ(1) = ?
(a = 2 m/s x 2 , v = 2 m/s, α = 30°, t = 1 s) 0 1 v0x =1m/s
v =1,732m/s
0y
v(t)=2*sqrt(1+t+t2 a =(1+2t)/sqrt(1+t+t �
)
2 )
�=12m
a � (1)=1,732m/s 2 , a n =1m/s 2
Egyenes vonalú mozgást végző anyagi pont sebességének függvénye: v (t) = 4t - 20 (a képletben t
mértékegysége sec, v mértékegysége m/sec).
Mekkora utat tesz meg a test t = 8 sec alatt?
Hol lesz a test a kiindulási helyzetéhez képest t = 8 sec után?
s = ? m, x = ? m
s=68m
x=-32m
Egy repülőgép sebessége v r , gyorsulása a r (mindkettő vízszintes). A propeller hossza l, szögsebessége ω.
Mekkora a propeller csúcsán lévő pont sebessége és gyorsulása?
v = ? m/s, , a = ? m/s 2
(v r = 320 km/h, a r = 2,1 m/s 2 , l = 1,8 m, ω = 120 rad/s)
v � =108m/s
v n =88,88m/s
v=139,9m/s=503,5km/h
Egy vasúti kocsi r sugarú ívben v sebességgel halad. A nyomtáv b, a súlypont l magasan van
a sínkorona felett.
a)Mekkora legyen a külső sínszál túlemelése, hogy a keréknyomások egyenlőek legyenek?
b)Mekkora sebességnél billen ki a kocsi?
h = ? mm, , v b = ? m/s
(r = 650 m, v = 72 km/h, b = 1,5 m, l = 1,6 m)
a) tg�=0,06273
������=3,589°
a h =2,1m/s 2
a n =12960m/s 2
a=12960m/s 2
b) a n =5,372m/s 2
v=59,09m/s=212,7km/h
A vízben süllyedő anyagi pontra ható közegellenállás a sebességgel arányos: E = k·m·v.
Határozzuk meg a vízmélységet a T süllyedési idő ismeretében!
¨x�k x=g
x h=c e �t
− k t
xh=C 1�C 2 e
xinh= g
k t
x�t �= g g
−
k k 2 �1−e−k t �
Egy r sugarú gömb tetejéről v sebességgel elindul lefelé egy m tömegű anyagi pont. Milyen
0
magasan van a kör középpontjához képest, amikor elválik a test a körpályától?
h(r, v , m) = ?
0 ha v =0: h=2r/3 �=28,19°
0
Egy m 1 tömegű vasúti kocsit kapcsolunk össze az álló, m 2 tömegű kocsival. A mozgó kocsi
sebessége az ütközés előtt v 0 .
Mekkora az összekapcsolt szerelvény közös sebessége?
Mekkora átlagos erő lép fel a t ideig tartó ütközés során?
v 1 = ? m/s, F átl = ? kN
(m 1 = 60 t, m 2 = 40 t, v 0 = 1,5 m/s, t = 0,5 s)
v=0,9m/s
F=72kN
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.

Mekkora úton áll meg az m tömegű anyagi pont, ha v 0 kezdősebességgel halad felfelé az α
hajlásszögű lejtőn?
s = ? m
(m= 1020 kg, v 0 = 100 km/h, α = 10°)
v 0 =27,78m/s
s=226,5m
A két kocsiból álló vasúti szerelvény sebessége v. Az első kocsi tömege m 1 , a hátsó kocsié
m 2 . Fékezéskor állandó F erő hat mindkét kocsira.
Mennyi idő alatt áll meg a szerelvény?
Mekkora erő ébred a kapcsoló elemben?
t = ? s, S = ? kN
(m 1 = 15 t, m 2 = 20 t, v = 100 km/h, F = 25 kN)
Mekkora v 0 sebsséggel kell a μ 1 menetellenállású vagont
elindítani a B pontból, hogy a C pontban álljon meg?
Mekkora féktávolság kell a v 1 kezdősebességű, μ 2
menetellenállású kocsi fékezéséhez, hogy a C pontban
megálljon? (Fékezéskor a súrlódási együttható f.)
v 0 = ? m/s, x = ? m
(e 1 = 10‰, e 2 = 4‰, e 3 = 0‰, μ 1 = 6 N/kN, μ 2 = 2 N/kN,
v 1 = 0 m/s, f = 0,01, l 1 = 100 m, l 2 = 100 m, l 3 = 200 m)
v 0 =27,78m/s
t=19,45s
S=-3,576kN
B
v B =4,43m/s
x=60m
e 1
e 2 e 3
l 1 l 2 l 3
Milyen teljesítményű motorra van szükség a G súlyú metrószerelvény egyenletes gyorsulással történő
mozgatásához, ha s út megtétele alatt akarjuk elérni a v utazósebességet? (A menetellenállás μ.)
Mekkora a fékút f súrlódási tényező esetén?
P = ? kW, s = ? m f
(G = 1000 kN, s = 100 m, v = 72 km/h, e = 20 ‰ e = 20 ‰
μ = 4 kN/MN, f = 0,2)
Hogyan alakulnak a fenti válaszok, ha
a pálya kialakítása az ábrán láthatónak
l=100m l=100m
megfelelő?
a) F=207,87kN
P=4157,5kW
s=99,94m
b) F=187,57kN
P=3757kW
s=89,2m
A lejtővel párhuzamos, felfelé mutató F(t) erővel elindítunk felfelé egy G súlyú testet.
Mennyi ideig gyorsítsuk, hogy T idő után v legyen a sebessége?
Mekkora a sebessége a gyorsulási szakasz végén?
T F = ? s, v max = ? m/s
(F(t) = 1 + 0,1 t [kN], ahol t az indulástól eltelt idő másodpercben, G = 50 kN, v = 72 km/h, T = 2 perc.
A lejtő esése e = 6‰, menetellenállás μ=4 N/kN.)
Az m tömegű test h magasságból v 0
kezdősebességgel elindul, és leesik a 4-4
rugóval megtámasztott A és B lapokra.
Mekkora az A lap függőleges elmozdulása?
x A = ? cm
(m = 10 kg, h = 1,5 m, v 0 = 4 m/s,
h 1 = 15 cm, h 2 = 30 cm
k A = 1 kN/m, k B = 0,25 kN/m)
Ha csak A lenne,
s=0,328m>0,15m lenne
(pláne nem -0,279)
h 1
h 2
k A
Ha A és B:
s=0,316m>0,15m (de
nem -0,217)
k A
v 0
A
k B
x = ?
T=47,78s (nem -67,78)
v=27,08m/s
B
k B
m
k B
k B
k A
k A
h
C
19.
20.
21.
22.
23.
24.

Az m tömegű testet a C csigán átvetett
kötél végére ható állandó F erővel
húzzuk felfelé a súrlódásmentes
csőben. A kiindulási helyzetben a
rugó nyúlásmentes.
Mekkora az F erő, ha h magasságot
elérve a test sebessége v?
F = ? N
(m = 6 kg, h = 2,0 m, k = 100 N/m,
α = 45°, v = 1,5 m/s,
a csiga súrlódásmentes, a tömege
elhanyagolható.)
h h
m
k
α
C
s F =1,185m
F=273,8N
Az α hajlásszögű lejtőn lecsúszó m tömegű csomagot k rugóállandójú rugó segítségével állítjuk meg. A
rugót előfeszítjük, a kezdeti összenyomódása x. A csomag sebessége l távolságra a rugótól v 0 a lejtőn
lefelé. A súrlódási együttható a csomag és a lejtő között f.
Mekkora a rugó legnagyobb összenyomódása, amikor a csomag megáll?
Δx max = ? mm
(α = 20°, m = 75 kg, k = 25 kN/m, x = 100 mm, l = 10 m, v 0 = 6 m/s, f = 0,2)
�x max =0,3604m
(de nem -0,5514)
F
25.
26.

Az ábrán megadott mechanikai redszernél
nyúlásmentes kötelek egyik végükön
rögzítve vannak az adott tárcsákhoz, vagyis
a kötelek a tárcsákon nem csúsznak meg. Az
A tömegpont gyorsulása állandó a A , kezdeti
sebessge v A0 .
a) Mekkora a C pont gyorsulása a kezdeti
időpontban? a C0 =?
b) Mekkora a B pont sebessége, és milyen a
helyzete 3 s után? v B (3)=?, s B (3)=?
c) Hányszor fordul el a henger 3 s alatt?
φ(3)=?
(r = 1,2 m, R = 1,8 m, a = 3 m/s A
Az r sugarú henger alakú merev testnek tekinthető
kereket M nyomatékkal halljuk meg.
a) Mekkora legyen a súrlódási tényező értéke
ahhoz, hogy a kerék ne csússzon meg? f = ?
b) Mekkora utat tesz meg álló helyzetből indulva a
súlypont 10 s alatt? x = ? S
c) Mekkora utat tesz meg álló helyzetből indulva a
súlypont 10 s alatt, ha a súrlódási együttható
f = 0,05? x = ? S 2 ,
v = 5 m/s)
A0
(G = 200 N, M = 30 Nm, r = 0,3 m, λ = 0,1 m.)
Határozzuk meg a kötélerőket és a haladó
mozgást végző testek gyorsulását! A
kötélsúrlódás kellően nagy, hogy a kötél
a csigán ne csússzon meg.
a = ?, S i = ? (i=1,2,3)
(G 1 = 30 N, G 2 = 50 N, G 3 = 20 N,
G cs = 15 N, r = 0,12 m)
Határozzuk meg az l hosszúságú, G súlyú
rúd szöggyorsulását és a reakcióerőt, ha a
test a nyugalmi helyzetből az F erő
hatására mozgásnak indul!
κ = ?, A = ?
(G = 500 N, F = 300 N, l = 1,2 m)
l
B A
G 1
S 1
A
S
M
r
R
r
r
f, λ
a S
C
G cs
S 2
S 3
F
G 2
G 3
v A0
a A
a)
a Cn =13,89m/s 2
a C � =3m/s 2
a C0 =14,21m/s 2
b)
v B �3�=9,333m/s 2
sB�3�=19m c)
��3�=15,83rad
a)
a =1,09m/s S 2
F S =22,22N
f ≥0,111
b)
x S�10�=54,5m c)
a =0,4905m/s s 2
x s =24,53m
a=3,65 m/s 2
S 1 =41,16N
S 2 =43,96N
S 3 =12,56N
A y =500N
�=14,72rad/s 2
A x =−150 N���
41.
42.
43.
44.

Mennyi idő alatt fog megállni a v 0
kezdősebességgel elindított rendszer?
t = ?
Mekkora a rúderő és a henger tiszta
gördüléséhez szükséges súrlódási
tényező minimális értéke? S = ?, f 1min = ?
m 1 = 210 kg, m 2 = 180 kg, r = 0,4 m,
λ = 0,05 m, v 0 = 8 m/s, f 2 = 0,4, α = 10°
m 1 , r
�
v 0
λ, f 1
Egy m tömegű, r sugarú tekegolyó az elhajítás pillanatába nem forog
és v 0 sebességgel kezdi meg a mozgását.
Határozzuk meg azt a távolságot, ahonnan a golyó tiszta gördülést
végez, ha a gördülési ellenállás elhanyagolható, a súrlódási tényező
pedig f.
m 1 = 6,4 kg, r = 0,1 m, v 0 = 6 m/s, f = 0,2
s = ?
Az r sugarú henger csúszásmentesen
gördül felfelé. A kezdő időpontban a
súlypont sebessége v S1 . Mekkora út
megtétele után áll meg a henger? s = ?
r = 0,25 m, λ = 0,05 m, v S1 = 14 m/s,
α = 30°,
f elég nagy
A v S0 súlyponti kezdősebességgel mozgó
testet egyenletes lassulással 10 s alatt
állítjuk meg.
Mekkora a fékpofákat összenyomó erő?
F = ?
Mekkora súrlódási tényező szükséges a
tiszta gördüléshez? f = ?
G =5,05 kN, r = 0,75 m, λ = 0,05 m,
v S0 = 36 km/h, α = 30°, f F = 0,2
m, r
Mekkora F erő szükséges az ω szögsebességgel
0
forgó m tömegű, r sugarú henger megállításához,
ha a lassulás egyenletes és t ideig tart?
F = ?
b
f
c
m, r
F
f F
ω 0
�
F
G, r
v S0
�
s
v S1
λ, f
f F
λ, f
F
f 2
m 2
F= m r � 0 c
2t f b
N 1 =2029 N
N 2 =1739 N
�=101,45Nm
F s2=695,6N
S=285,4N
a=0,5756m/s 2
t=13,90s
F s1 =193,2N
f 1 ≥0,0952
t= 2v 0
7fg =0,8737s
s=4,493m
s=22,25m
N=4,373kN
� =0,2187kNm
v S0 =10m/s
F=7,514kN
F s =3,040kN
f ≥0,6952
45.
46.
47.
48.
49.

Az ábrán látható rendszer
magára hagyva megindul, és
tisztán gördülni kezd. A
gördülő ellenállást
elhanyagoljuk.
Írjuk fel a mozgó részek
sebességét a megtett út
függvényében! v(s) = ?
s, v
Az ábrázolt állapotban a k merevségű
rugó terheletlen. A rúd a kezdeti
időpontban ω 1 kezdeti szögsebességgel
forog az alsó végpontja körül.
Mekkora a rúd szögsebessége a
vízszintes helyzeten való áthaladáskor?
m = 30 kg, l = 2,4 m, k = 3 kN/m
ω 1 =10 rad/s
m,r
Az ábrán látható rendszerben egy m tömegű
testet egy csigán átvetett kötél végére
függesztett m tömegű testtel vontatunk
felfelé. A csiga tömege m, sugara r.
A kötél nem nyúlik meg, a csigán nem
csúszik meg, tömege elhanyagolható.
A súrlódási együttható f.
Mekkora erő ébred a kötél két ágában?
m= 8 kg, r = 0,24 m, f = 0,07, α = 30°
S bal = ?, S jobb = ?
k
l/2
��
�
m
m
m,r
Egy merev test A és B pontja egyenletes körmozgást
végez. A t 0 =0 időpontban az A pont az origóban, a B pont
az x-tengelyen, x = 3 m-nél található. A két pont
sebessége ekkor v A0 és v B0 .
Adja meg az A és B pont helyzetét, sebesség és
gyorsulásvektorát t = 1 s időpontban!
v A0=[ 0,8
0,0] m/s , vB0=[ 0,8
0,6] m/s
Milyen H magasságból kell leengednünk
egy matchboxot a pályán, hogy az r
sugarú hurkon való áthaladás közben
végig érintkezzen a pályával?
Az ellenállások elhanyagolása mellett
tekintsük a matchboxot
a) anyagi pontnak,
b) egy hengernek, ami tisztán gördül,
c) egy golyónak, ami tisztán gördül!
H
a
�
ω 1
f
m,r
���
l/2
l/2
m,r
v s = � 4gs�sin�−sin ��
7
�l=0,2929l
� 2 =9,302rad/s
m a a=1,724,m/s 2
S j =64,69N
S b =57,79N
forgástengely yP =4m-nél
�=0,2rad/s ,��1�=11,46°
� A =11,46°,� B =48,32°
r A =[ 0,7949
0,0797] m , r B =[ 3,734
0,675] m
v =[ A 0,7841
0,1589] m
s ,v =[ 0,6650
B
0,7469] m
s
a A =[ −0,0318
0,1568 ] m
s 2 ,aB =[
−0,1494
0,1330 ] m
s 2
r
a) H=2,5r
b)H=2,75 r
c) H=2,7 r
50.
51.
52.
53.
54.

Egy m 1 tömegű test utolér egy m 2 tömegű testet. A két test
egyenesen és centrikusan ütközik, a visszapattanási
együttható e.
Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket, ha az ütközés
előtti sebességek v 1 , és v 2 !
m 1 = 10 kg, m 2 = 8 kg, e = 0,3,
v 1 = 8 m/s, v 2 = 6 m/s
u 1 = ? m/s, u 2 = ? m/s
Egy m 1 tömegű test utolér egy m 2 tömegű testet. A két test
egyenesen és centrikusan ütközik. Az ütközés után az
eredetileg gyorsabb test sebessége u 1 .
Mekkora az ütközés előtt lassabb test sebessége az ütközés
után? Mennyi a visszapattanási együttható?
m 1 = 8 kg, m 2 = 10 kg, u 1 = 8 m/s
Az ütközés előtti sebességek: v 1 = 10 m/s, v 2 = 8 m/s
u 2 = ? m/s, e = ?
Egy m tömegű test egyenesen, centrikusan nekiütközik egy
merevnek tekinthető falnak. Mekkora lesz a sebessége az
ütközés után, ha a visszapattanási együttható e.
m= 8 kg, az ütközés előtti sebesség: v = 10 m/s, e = 0,6
u = ? m/s
Egy m 1 tömegű test egyenesen, centrikusan ütközik a vele
szemben haladó m 2 tömegű testtel. A visszapattanási
együttható e.
Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket, ha az ütközés
előtti sebességek v 1 , és v 2 !
m 1 = 10 kg, m 2 = 8 kg, e = 0,3,
v 1 = 8 m/s, v 2 = 6 m/s
u 1 = ? m/s, u 2 = ? m/s
Egy m 1 tömegű test egyenesen, centrikusan ütközik a vele
szemben haladó m 2 tömegű testtel. Az ütközés után a
nehezebb test sebessége u 1 , az eredeti iránnyal megegyező.
Mekkora a könnyebb test sebessége az ütközés után? Mennyi
a visszapattanási együttható?
m 1 = 10 kg, m 2 = 8 kg, u 1 = 1 m/s
Az ütközés előtti sebességek: v 1 = 10 m/s, v 2 = 8 m/s
u 2 = ? m/s, e = ?
Egy m 1 tömegű test egyenesen, centrikusan ütközik az álló m 2
tömegű testtel. Az ütközés után a nehezebb test sebessége u 2 ,
az eredeti iránnyal megegyező.
Mekkora a könnyebb test sebessége az ütközés után? Mennyi
a visszapattanási együttható? Mennyi az ütközés miatti
energiaveszteség?
m 1 = 8 kg, m 2 = 10 kg, u 2 = 6 m/s
Az ütközés előtti sebesség: v 1 = 10 m/s
u 1 = ? m/s, e = ?
ΔE = ? J
u 1 =6,844m/s���
u 2 =7,444m/s���
e=0,8
u 2 =9,6m/s���
u=−6m/s���
u 1 =−0,089m/s���
u 2 =�4,111m/s���
u 2 =3,25m/s���
e=0,125
v 1 =2,5m/s���
e=0,35
�E=−195 J
81.
82.
83.
84.
85.
86.

Az m tömegű test v sebességgel halad, majd
nekiütközik a rugalmasan megtámasztott m 0 tömegű
testnek. Határozza meg a k merevségű rugó maximális
összenyomódását és a rugóerő maximális értékét, ha az
ütközés:
a) rugalmas!
b) rugalmatlan (e=0,6)!
c) képlékeny!
m = 20 kg, v = 10 m/s, m 0 = 100 kg, k = 80 kN/m
A súrlódás elhanyagolható.
x max = ? m, F max = ? N
a) V =3,33m/s
x max =0,1179m
F max =9428N
b) V =2,67m/s
x max =0,09428m
F max =7542N
Mekkora a vasbeton védőhíd dinamikus terhe, ha h
magasságból egy G súlyú test esik rá?
A védőhíd egy b széles és m magas téglalap
keresztmetszetű gerenda, rugalmassági modulusza E,
fajsúlya γ, Az ütközés képlékeny.
L = 8 m, h = 1,8 m, b = 1,5 m, m = 28 cm
E = 2·10 7 kN/m 2 , γ = 25 kN/m 3
F d = ? kN
G0 =40,8kN
48 EI
k= =5145kN/m
3
L
est =0,000233m
F d =26,44kN
v
m m 0
h
c) V=1,67m/s
x max =0,06455m
F max =5164N
E, γ
L
G
k
87.
88.

Egy m tömegű gépet k merevségű rugalmas ágyazatra
helyezünk. Mekkora az így kapott csillapítatlan
egyszabadságfokú rendszer sajátkörfrekvenciája és az
önrezgésszáma?
m = 2 t, k = 4000 kN/m
ω 0 = ? rad/s, n 0 = ? Hz
Egy gép és a hozzá mereven kapcsolt alaptest együttes súlya
G. Határozzuk meg a sajátkörfrekvenciát, ha a gépet az
alaptesttel együtt k merevségű rugalmas ágyazatra
helyezzük!
G = 40 kN, k = 4000 kN/m
ω 0 = ? rad/s, n 0 = ? Hz
Egy m tömegű gépet k merevségű rugalmas ágyazatra
helyezünk. Mekkora az így kapott egyszabadságfokú
rendszer sajátkörfrekvenciája és az önrezgésszáma, ha a γ
szerkezeti csillapítást figyelembe vesszük?
m = 1,2 t, k = 14 000 kN/m, γ = 0,05
* * = ? rad/s, n0 = ? Hz
ω 0
Egy gép és a hozzá mereven kapcsolt alaptest együttes súlya
G. Határozzuk meg a csillapított sajátkörfrekvenciát és
önrezgésszámot, ha a gépet az alaptesttel együtt k merevségű
rugalmas ágyazatra helyezzük, és a logaritmikus
dekrementum 0,1!
G = 50 kN, k = 40 MN/m
* * = ? rad/s, n0 = ? Hz
ω 0
Kéttámaszú tartón az m tömeg rezgését
vizsgáljuk. Számítsa ki a helyettesítő
rugómerevséget és a sajátkörfrekvenciát!
a = 3 m, b = 2 m, EI = 2×105 Nm2 E, I
m = 360 kg
k = ? kN/m, ω 0 = ? rad/s
Kéttámaszú tartón az m tömeg
rezgését vizsgáljuk. Számítsa ki a
helyettesítő rugómerevséget és a
sajátkörfrekvenciát!
a = 3 m, b = 4 m, E = 200 GPa,
I = 10 -3 m 4 , m = 2500 kg
k = ? kN/m, ω 0 = ? rad/s
Konzoltartón az m tömeg rezgését
vizsgáljuk. Számítsa ki a helyettesítő
rugómerevséget és a sajátkörfrekvenciát!
l = 4 m, EI = 2×10 5 kNm 2
m = 480 kg
k = ? kN/m, ω 0 = ? rad/s
m
a b
a b
E, I
E, I
l
� 0 =44,72rad/s
n 0 =7,118Hz
e 0 =1cm
n 0 ≈5Hz
� 0 ≈31,4 rad/s
�� 0 =31,32rad/s�
� 0 =108,0rad/s
*
�0=107,91rad/s *
n0=17,18Hz �0 =88,59rad/s
�=0,0318
*
�0=88,58rad/s *
n0=14,10Hz m
m
f =6,667/EI
k=30kN/m
� 0 =9,128rad/s
f =21/EI
k=95257 kN/m
� 0 =195,2rad/s
f =21,33/EI
k=9375kN/m
� 0 =4,419rad/s
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.

Egy egyszabadságfokú csillapítatlan rendszerben a mozgás
kezdeti feltételeket kielégítő függvénye:
x�t �=0,2cos �13t ��0,4 sin�13 t� [m]
Határozza meg az x(0) és v(0) kezdeti feltételek értékét!
Egy egyszabadságfokú csillapított rendszerben a mozgás
kezdeti feltételeket kielégítő függvénye:
x�t �=e −0,01t �0,2 cos �50 t��0,4 sin�50 t�� [m]
Határozza meg az x(0) és v(0) kezdeti feltételek értékét!
Egy egyszabadságfokú csillapítatlan rendszerben a mozgás
differenciálegyenletének általános megoldása:
x�t �= Acos �30 t��B sin�30 t �
Határozza meg az A és B paraméterek x(0) = 12 cm és
v(0) = 2 cm/s kezdeti feltételeket kielégítő értékét!
Egy egyszabadságfokú csillapított rendszerben a mozgás
differenciálegyenletének általános megoldása:
x�t �=e −0,02 t � Acos �24 t ��B sin�24 t��
Határozza meg az A és B paraméterek x(0) = 10 cm és
v(0) = 3 cm/s kezdeti feltételek értékét!
Egy egyszabadságfokú rendszer sajátkörfrekvenciája ω 0 , a belső csillapítás
γ.
Mekkora lehet az F(t) = F 0 cos ωt függvénnyel megadott harmonikus
gerjesztőerő nyomán kialakuló állandósult rezgésből a talajra átadódó erő
maximuma?
ω 0 = 50 rad/s, γ = 0,05, F 0 = 12 kN, ω = 25 rad/s
F d = ?
Kéttámaszú tartón az m tömegre F(t) harmonikus
gerjesztőerő működik. (A csillapítás elhanyagolható.)
Számítsa ki az m tömeg amplitudóját az állandósult
rezgés során!
Számítsa ki a tartón az önsúly és az állandósult
rezgésrész hatására ébredő maximális
hajlítónyomaték értékét!
a = 3 m, b = 2 m, EI = 2×10 5 Nm 2 , m = 360 kg
F(t) = 7,2 sin 12t [kN]
max x = ? m, M = ? kNm
d d
Kéttámaszú tartón az m tömegre F(t)
harmonikus gerjesztőerő működik.
Számítsa ki az m tömeg amplitudóját az
állandósult rezgés során és a tartón az
önsúly és az állandósult rezgésrész
hatására ébredő maximális nyíróerő
értékét!
a = 4 m, b = 2 m, EI = 105 kNm2 , m =
5,6 t
A logaritmikus dekrementum értéke:
0,15
F(t) = 6,6 sin 60t [kN]
max x = ? m, T = ? kNm
d d
E, I
x �0�=0,2m
v �0�=5,2m/s
x �0�=0,2m
v �0�=19,998m/s
A=12cm
B=0,06667cm
A=10 cm
B=0,1333cm
a b
�=1,333
F d =16kN
F(t)
105-ből:k=30kN/m, � 0 =9,128rad/s
x st =0,24 m, �=1,374, x d =0,330m
F max =mg�F d =13,42kN, M max =26,85kNm
E, I
F(t)
m
a b
f =3,556/EI , k =28,121kN/m, � 0 =70,86rad/s
�=0,0477, � 0
* =70,84rad/s, �=3,498
x d =0,000821m, T max =520,15kN
m
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.

Egy h magasságú torony dinamikai modellje az ábrán látható. A
felső pontját vízszintesen kitérítve, majd hirtelen elengedve a
torony rezgésbe jön, rezgésideje mérések alapján T 0 .
A torony tetején lévő harang harangozás közben F(t) vízszintes
gerjesztőerőt fejt ki a toronyra.
Mekkora lesz a torony tetejének legnagyobb vízszintes
kitérése, illetve a befogásnál fellépő maximális hajlítónyomaték
az állandósult rezgés kialakulásakor?
(A csillapítás hatása elhanyagolható)
h = 42 m, m = 14 t, T 0 = 1,8 sec, F(t) = 2,2 sin 3t [kN]
x d = ? cm, M d = ? kNm
Egy h magasságú antenna redukált tömegét a teljes m ö tömeg
egyharmadával közelítjük. Az antenna sajátkörfrekvenciája ω 0 .
Számítsuk ki az állandósult rezgésrészből a befogási
keresztmetszetben ébredő maximális hajlítónyomatékot, ha a
támasz z(t) függvény szerint rezeg vízszintesen.
(A csillapítás hatása elhanyagolható)
h = 12 m, m ö = 240 kg, ω 0 = 30 rad/s, z(t) = 12 sin 10t [cm]
M d = ? kNm
Kéttámaszú tartó mindkét alátámasztása
függőlegesen z(t) függvény szerint rezeg.
Ennek hatására az m redukált tömeg
rezgésbe jön. Mekkora legyen a tartó
hajlítómerevsége, hogy az m tömeg
amplitúdója ne haladja meg az x max értékét
az állandósult rezgés során!
a = 6 m, b = 3 m, m = 2560 kg, x max = 5 cm
z(t) = 6,6 sin 20t [cm]
A csillapítás elhanyagolható
EI = ? kNm 2
E, I
h
h
m
a b
Kéttámaszú tartón az m tömegre h magasságból ráejtünk
egy másik m tömegű testet. A két test képlékenyen
ütközik, majd rezgés alakul ki.
Mekkora a leejtett test ütközés előtti és utáni sebessége?
Mekkora a legnagyobb lehajlás a tartó jobb oldali végén?
(A csillapítás hatása elhanyagolható.)
a = 6 m, b = 3 m, EI = 105 kNm4 m
, m = 500 kg,
h
h = 1,5 m
v =? m/s, u =? m/s
E, I m
x = ? m
max
a b
Egy egyszabadságfokú csillapítatlan rendszerben a rezgés
amplitúdója a. A kezdeti t=0 időpontban a kitérés x 0 . Írjuk
fel a kitérést az idő függvényében!
a = 13 cm, x 0 = 5 cm, ω 0 = 23 rad/s
x(t) = ?
Egy egyszabadságfokú csillapítatlan rendszerben a rezgés
amplitúdója a. A kezdeti t=0 időpontban a sebesség v 0 . Írjuk
fel a kitérést az idő függvényében!
a = 6 cm, v 0 = 5 cm/s, ω 0 = 2,4 rad/s
x(t) = ?
m = m ö /3
F(t)
m
� 0 =3,491rad/s
�=3,826
k=170,6kN/m
x d =4,93 cm
M max =353,5kNm
m=80kg
k=72kN/m
x g =1,5cm
F d =1,08 kN
M d =12,96kN
��5/6,6(

Egy l hosszúságú, R sugarú körkeresztmetszetű konzol
dinamikai modellje az ábrán látható. A szabad végét
vízszintesen kitérítve vízszintes, függőlegesen kitérítve
függőleges rezgésbe kezd.
Határozzuk meg a kétféle rezgéshez tartozó helyettesítő
rugómerevséget és a sajátkörfrekvenciákat!
(A csillapítás hatása elhanyagolható)
l = 4,5 m, m = 14 t, E = 210 GPa, R = 15 cm
k v = ? kN/m, ω v = ? rad/sec, k f = ? kN/m, ω f = ? rad/sec
Kéttámaszú tartón az m tömegre F(t) harmonikus
gerjesztőerő működik. (A csillapítás elhanyagolható.)
Mekkora m tömeg esetén fordulhat elő, hogy az
állandósult rezgés során az állandósult rezgésrész
hatására ébredő maximális hajlítónyomaték ne haladja
meg:
a) 8 kNm-t?
b) 20 kNm-t?
a = 4,2 m, b = 1,8 m, EI = 2×10 5 Nm 2 ,
F(t) = 7,2 sin 12t [kN]
m = ? kg
Egy egyszabadságfokú csillapítatlan rendszerben a kezdeti
t=0 időpontban a kitérés x 0 , a kezdeti sebesség v 0 , t=1 sec
időpontban a kitérés x 1 , a kezdeti sebesség v 1 . Írjuk fel a
kitérést az idő függvényében!
x 0 = 5 cm, v 0 = 20 cm/s, x 1 = 6 cm, v 1 = 15 cm/s
x(t) = ?
E, I
a b
l
m
F(t)
m
121.
122.
123.

a) Állítsuk elő a rendszer tömegmátrixát!
b) Állítsuk elő a rendszer merevségi mátrixát!
c) A rendszer első sajátvektora v 1 . Számítsuk ki az ehhez a
sajátvektorhoz tartozó sajátkörfrekvenciát!
d) A rendszer második sajátkörfrekvenciája ω 02 . Számítsuk
ki az ehhez a sajátkörfrekvenciához tartozó rezgésalakot!
e) Normáljuk a harmadik sajátvektort (v 3 ) a tömegmátrixra!
0,2561] , � 02 =3,410 rad/s , v 3 =[
v 1 =[0,6054
0,5672
0,4961
1,000
−0,6399
0,3552
−0,0680]
x 1
17 kN/m
x 2
16 kN/m
x 4
15 kN/m
7 t
3 t
23 kN/m
�01 0 0 0
9] =[
−17 −19 0
0,5353
0 7 0 0 −17 �56 −23 −16
M=[3
t K =[�36
0 0 5 0 −19 −23 �73 −31 v
0,3462
2
−0,2786
0 0 0 0 −16 −31 �109]kN/m
a) Állítsuk elő a rendszer tömegmátrixát!
b) Állítsuk elő a rendszer merevségi mátrixát!
c) Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáit!
d) Számítsuk ki a rendszer tömegmátrixra normált
sajátvektorait!
m 1 = 30 t, m 2 = 10 t, k 1 = 100 MN/m, k 2 = 30 MN/m,
30 0
M=[ 0 10] t
130000 −30000
K =[ −30000 30000 ] kN/m
� 01 =�1811=42,55rad/s
� 02 =�5523=74,31rad/s
a) Állítsuk elő a rendszer tömegmátrixát!
b) Állítsuk elő a rendszer merevségi mátrixát!
c) Számítsuk ki a rendszer sajátkörfrekvenciáit!
d) Számítsuk ki a rendszer tömegmátrixra normált
sajátvektorait!
a = b = c = 2 m, m 1 = 2 t, m 2 = 1 t, EI = 10 4 kNm 2
2 0
M=[ 0 1] t
E, I
F= 1 4/3 −2
12000 3000
EI [ −2 8 ] kN/m, K =[ 3000 2000] kN/m
x 2
x 1
9 t
5 t
31 kN/m
47 kN/m
19 kN/m
x 3
2 =1,502� �01 =1,226rad/s
−0,7183] ,v 3 =[
k 2
k 1
m 2
m 1
v = 1 1
�93,63 [ 1
2,523]
v = 2 1 1
�44,14 [ −1,189]
m 1
x 1
a b
� 01 =�1085=32,94rad/s
� 02 =�6915=83,16rad/s v 1 = 1
0,3911
−0,2502
0,1389
−0,0266]
=[ 0,1033
0,2607]
=[ 0,1505
c
−0,1790]
m 2
1
�12,74 [ −3,277] −0,9181]
v = 2 1
�2,372 [ 1
0,61] =[ 0,649
−0,396]
x 2
=[ 0,2802
150.
151.
152.

Határozzuk meg az ábrán látható rendszer
elmozdulásait a megadott gerjesztőerő hatására
kialakuló állandósult rezgés során!
a = b = c = 2 m, m 1 = 2 t, m 2 = 1 t, EI = 10 4 kNm 2
q 1 (t) = 1 sin 40t [kN], q 2 (t) = 2 sin 40t [kN]
K −� 2 8800 3000
M=[ 3000 400 ]
x=[ �1,2
sin40t [mm]
−3,76]
�K −� 2 M� −1 =
Mekkora m 1 tömeg esetén lesz az m 2 pont
elmozdulása az állandósult rezgésből nulla?
Mekkora lesz ebben a rendszerben az m 1 pont
elmozdulása?
Számítsuk ki ennek a rendszernek a
sajátkörfrekvenciáit és sajátvektorait!
a = b = c = 2 m, m 2 = 1 t, EI = 10 4 kNm 2
q 1 (t) = 1 sin 40t [kN], q 2 (t) = 2 sin 40t [kN]
x 1 =0,6667m
m 1 =8,4375 t
� 01 =25,27rad/s
� 02 =52,76rad/s
Adott egy három szabadságfokú rendszer
tömeg- és merevségi mátrixa, valamint a
sajátkörfrekvenciái. Adottak továbbá a t=t 0
időponthoz tartozó kezdeti elmozdulások és
sebességek.
Számítsuk ki ennek a rendszernek a
tömegmátrixra normált sajátvektorait!
Határozzuk meg a kezdeti értékeket kielégítő
elmozdulásfüggvényt!
[
1
1
v = 1 3,7686
�101,05
2,6218]
3
=[
0,0995
0,3749
E, I
m 1
q 1 (t)
a b
1 400 −3000
−5480000 [ −3000 8800 ]
c
q 2 (t)
x=� �−2,107�
1085 v �1,301�
1�−2,116�� 6915 v2 �0,143��
sin �t
E, I
0,2608] ,v 2 =
1
[
1
1,1199
�17,60
−1,2638]
[ ai b ] i =[ cos�0i t0 −sin� 0it
][ 0
sin � t cos� t 0i 0 0i 0 V T M x �t � 0 i
V T x �t �=∑ v i �ai cos �0i t�b isin �0i t �
i=1
M ˙x �t 0�/� 0ii]
a 1 =−0,1870 ,a 2 =−0,3788 ,a 3 =−0,2162
b 1 =−0,4260 ,b 2 =−0,3479 ,b 3 =−0,2789
m 1
q 1 (t)
a b
v 1 =[ −0,2743
0,6044 ]
� 01 =6,489rad/s
� 02 =8,317rad/s
� 03 =10,43rad/s
c
v 2 =[ 0,2081
0,7967]
m 2
q 2 (t)
0 0
6]
−60 20
M=[3
0 4 0 t ,K =[300
−60 240 −80]kN/m
0 0 20 −80 360
=[
0,2384
0,2669
m 2
x �1�=[ 0,1
]
1,2
−0,2 , ˙x �1�=[
0,0
0,0 −1,8]
−0,3012] ,v 3 =
1
1
−0,3786
�4,607[
] =[
0,4659
] −0,1764
0,1722 0,0802
V T [
−0,2701
]
M x �1�= −0,1420
0,2809
V T M ˙x �1�=[ −2,458
] 4,111
0,811
153.
154.
155.