3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások ...

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások felbontása
fizikai tartalmuk alapján. A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó
alapvető tételek
Főnyúlások, fajlagos főalakváltozások:
A test minden egyes pontjában található három olyan (egymásra merőleges) tengely, amely
tengelyekhez nem tartoznak nyírási alakváltozások. Ezeket a tengelyeket alakváltozási
főirányoknak, a velük megegyező irányú nyúlásokat pedig deformációs tenzorok esetében
főnyúlásoknak, alakváltozás tenzoroknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük 1 .
Vizsgáljunk meg például egy-egy vonalelemet a kezdeti és a pillanatnyi bázisban, jelölje ezek
irányvektorát n0 és n . Legyen t0 és t ezekre merőleges, de egyébként tetszőleges irányú
vektor. A két eredeti irányvektor akkor esik egybe a (kezdeti, illetve pillanatnyi állapothoz
tartozó) főirányokkal, ha (most E tenzort használva példaként):
n0 ⋅E ⋅n0 ≠ 0 és n0 ⋅E⋅ t0
illetve n⋅e ⋅n ≠ 0 és n⋅e ⋅ t = 0 .
= 0 ,
(3.1)
1
Az alakváltozás-tenzorokra felírt egyenletekből következik, hogy E és C, valamint e és b −
2
főirányai megegyeznek. Jelölje λ 0 C-nek az n0 -hoz tartozó sajátértékét, így ha például a
deformációs tenzorokat a főtengelyek irányába vetítjük, akkor ugyanazt a vektort kell
kapnunk, mintha a főnyúlások négyzetét szoroznánk az adott normálvektorral:
2 −1 −2
n ⋅C= λ n és n⋅ b = λ n .
(3.2)
0 0 0
Innen kapjuk a főnyúlások meghatározására szolgáló sajátérték-feladatokat:
2
C- λ I ⋅ n = 0 és
2
b -λ I ⋅n
= 0.
(3.3)
( 0 ) 0 ( )
A sajátérték-feladatokhoz tartozó karakterisztikus egyenletek általános alakja:
ˆ3 ˆ2 − λ + I λ − I ˆ λ + I = 0 ,
(3.4)
1 2 3
ahol az I i együtthatók a feladat invariánsai. Például a deformációs tenzorok esetében:
1 2 2
I1 = tr C vagy I1= tr b , I2 = ⎡( tr C) − tr C ⎤
2 ⎣ ⎦
1 2 2
vagy I2
= ⎡( tr b) − tr b ⎤ ,
2 ⎣ ⎦
I3 = det( C) vagy I3
= det( b) .
(3.5)
Ugyanezek az invariánsok természetesen a sajátértékek segítségével is számíthatók. Például a
Green-Lagrange-tenzor főértékeivel 2 :
I1 = 3+ 2( E1 + E2 + E3 ) , I2 = 3+ 4( E1 + E2 + E3 ) + 4 ( E1E2 + E2E3 + E3E1 ) ,
I = 1+ 2E 1+ 2E 1+ 2 E .
(3.6)
( )( )( )
3 1 2 3
A 3.4 alatti karakterisztikus egyenletben szereplő " λ ˆ " jelölés arra utal, hogy az egyenlet
általános alakú, alkalmas bármelyik sajátérték számítására. Megjegyezzük, hogy ha a (3.4)-es
egyenlettel nem a deformációs tenzorok, hanem valamelyik alakváltozás-tenzor főértékeit
kívánjuk meghatározni, akkor nem a főnyúlások négyzeteit, hanem a fajlagos
főalakváltozásokat kapjuk eredményként.
1 A mérnöki gyakorlatban az egyszerűség kedvéért gyakran mindkét esetben ugyanazt a „főnyúlás”
elnevezést használják.
2
Az átalakításnál a C = I + 2E
kapcsolati összefüggést vettük figyelembe.
10.06.20. 1

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
A 3.2 alatti sajátérték-feladatok karakterisztikus egyenleteinek megoldásából adódik a 3-3
darab főnyúlás (vagy fajlagos főalakváltozás), majd ezek segítségével a 3-3 darab főirány
vektor. Megjegyezzük, hogy a főnyúlások segítségével a Green-Lagrange- és az Almansi-
Hamel-féle tenzorok főértékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( i λ a b tenzor, 0i λ
pedig a C tenzor sajátértékeinek négyzetgyökét jelöli):
1 2 1 2
Ei ( λ 0 i 1) és ei
( 1 λ i ) .
2 2
−
= − = − (3.7)
A főértékek és főirány vektorok felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzorok is
(emlékezzünk a Függelékben a spektrál-felbontásról leírtakra):
2 2 2
2 2 2
C= λ n ⊗ n + λ n ⊗ n + λ n ⊗n
b = λ n ⊗ n + λ n ⊗ n + λ n ⊗ n (3.8)
01 01 01 02 02 02 03 03 03 ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3 ,
E = E n ⊗ n + E n ⊗ n + E n ⊗n , e = e n ⊗ n + e n ⊗ n + e n ⊗n
.
1 01 01 2 02 02 3 03 0 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Abban az esetben, ha az alakváltozások kicsik, a „főalakváltozások” elnevezés helyett
elfogadottabb a „főnyúlás” név használata. Az ε tenzor sajátértékei ebben az esetben ezeket
a főnyúlásokat jelentik, értéküket pedig (elsősorban más mechanikai számításokhoz való
kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagyságuk szerinti sorrendbe rendezni:
ε ≥ ε ≥ ε (3.9)
3.1 Példa
1 2 3
Határozzuk meg a második előadás 2.3/b példájában szereplő nyírási feladatnál a
deformációs tenzorokhoz tartozó főnyúlásokat és a főirányokat!
A gradiens-tenzort, valamint a C és b tenzorokat már a 2.3-as példában kiszámítottuk:
⎡1 F =
⎢
⎢
0
⎢⎣ 0
k
1
0
0⎤ ⎡1 0
⎥
, C=
⎢
⎥ ⎢
k
1⎥⎦ ⎢⎣ 0
k
2
1+ k
0
2
0⎤ ⎡1+ k
0
⎥ ⎢
⎥
, b = ⎢ k
1⎥⎦ ⎢
⎣ 0
k
1
0
0⎤
⎥
0 ⎥ .
1⎥
⎦
A sajátérték-feladatokhoz tartozó determinánsok a C és b tenzor esetében:
2
1− λ k 0
2 2
1+ k − λ k 0
0
k 1+ k − λ 0 = 0, k 1− λ 0 = 0 .
2 2
0
2
2
− λ0 2
− λ
0 0 1 0 0 1
A karakterisztikus egyenlet felírásából azonnal észrevehető, hogy a két sajátértékfeladat
ugyanazokat a sajátértékeket szolgáltatja, mivel az invariánsok értéke megegyezik:
2 2
I = I = 3 + k , I = I = 3 + k , I = I = 1.
0,1 1 0,2 2 0,3 3
Ennek figyelembevételével:
2 2
λ 0,i = λ i .
A főnyúlások (most már csak egyféle módon jelölve őket):
2 1 2 1 2
λ 1,2 = 1+ k ± k 1 + k , λ 3 = 1.
2 4
A főirányok már különbözőek lesznek. A sajátértékfeladat felhasználásával adódó
koordináták a kezdeti és a pillanatnyi állapotban:
10.06.20. 2

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
⎛ 1 1 ⎞ 2
e1 + ⎜ k ± 1+
k ⎟e
2
2 4
n0,(1,2) =
⎝ ⎠
, n0,(3)
= e3,
1 2 1 2
2 + k ± k 1+
k
2 4
⎛ 1 1 ⎞ 2
e1 + ⎜ − k ± 1+
k ⎟e
2
2 4
n(1,2) =
⎝ ⎠
, n(3)
= e3
.
1 2 1 2
2 + k m k 1+
k
2 4
Az eltérés nagyságrendjének érzékeltetésére k=0,5-nél megadjuk a behelyettesítés után kapott
numerikus értékeket:
λ = 1,28 , λ = 0,781 ,
3.2 Példa
1 2
n = 0,615e + 0,788 e , n = 0,788e − 0,615 e ,
0,(1) 1 2 0,(2) 1 2
n = 0,788e + 0,615 e , n = 0,615e − 0,788 e .
(1) 1 2 (2) 1 2
Egy egységnyi oldalú kocka pontjai az x tengellyel párhuzamosan tolódnak el:
u = k y e1.
Határozzuk meg az ε és E tenzorokat, a lineáris rotációs tenzort, a „z” tengely körül 45
fokkal elforgatott rendszerben számított E tenzort, valamint a lineáris alakváltozás-tenzor
főértékeit és főirányait!
3.4. ábra: Nyírási hatások
a./ A kis alakváltozások tenzorai:
⎡0 ∇ 0u
= k e2 ⊗ e1 =
⎢
⎢
k
⎢⎣ 0
0
0
0
⎡
⎢ 0
0⎤
⎢
0
⎥ ⎢ k
⎥
→ε =
⎢ 2
0⎥⎦
⎢
⎢
0
⎢⎣ k
2
0
0
⎤
0⎥ ⎥
0 ⎥ ,
⎥
0
⎥
⎥
⎥⎦ ⎡
⎢ 0
⎢
−k
R = ⎢
⎢ 2
⎢
⎢
0
⎢⎣ k
2
0
0
⎤
0⎥
⎥
0 ⎥ .
⎥
0
⎥
⎥
⎥⎦
b./ A Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor (a
bővíteni):
T
( ∇ 0u)
⋅(
∇ 0u)
taggal kell
10.06.20. 3

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
⎡
⎢
0
⎢
⎢
k
E =
⎢ 2
⎢0
⎢
⎣
k
2
2
k
2
0
⎤
0
⎥
⎥
0⎥
.
⎥
0⎥
⎥
⎦
Az elforgatáshoz szükséges vektorok az új bázisban:
e 1 =
1
[ 1
2
1
T
0]
, e2
=
1
[ −1
2
1
T
0]
, e3
= [ 0 0
T
1]
.
Az elforgatás elemenként:
E 11
= e 1 ⋅E
⋅ e1
=
1
1
2
1
⎡0
1
0
⎢
2 ⎢
k
⎢⎣
0
k
2
k
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
⎡1⎤
2
1 ⎢ k k
1
⎥
= +
2 ⎢ ⎥ 2 4
⎢⎣
0⎥⎦
2
k k
E 2 2 = e 2 ⋅E⋅
e2
= − +
2 4
2
k
, E12
= e1
⋅ E⋅
e2
=
4
, stb.
[ ] ,
c./ A lineáris alakváltozás-tenzorhoz tartozó sajátérték-feladat determinánsa:
−ε
k
2
0
k
2
−ε 0
2
2 k
= 0 → − ε( −ε + ) = 0 .
4
0 0 −ε
Innen:
ε 1 =
k
2
, ε 3
k
= −
2
, ε 2 = 0 .
A főirányok:
n0 1 =
1
[ 1
2
1 0 ] , n0 3 =
1
2
[ − 1 1 0 ] , n 0 2 = [ 0 0 1 ] .
Alakváltozás-tenzorok felbontása fizikai hatások alapján
A Függelékben a matematikai összefoglalónál már említettük, hogy minden másodrendű
tenzor felbontható két speciális tenzor összegére:
A = αI
+ dev A,
(3.10)
ahol α =
1
tr A . Az első tag neve: gömbi tenzor, a másodiké deviátor tenzor.
3
Alakváltozás-tenzorokra alkalmazva a fentieket:
E = E + E , ε = ε + ε , D = D + D , stb. (3.11)
g d g d g d
A gömbi tag a test adott pontjában létrejövő bázisirányú átlagos nyúlásokat, a deviátoros rész
pedig a pontban létrejövő nyírási alakváltozásokat (szögtorzulásokat) jellemzi. A gömbi
tagot mechanikai tartalma alapján hidrosztatikus alakváltozás tenzornak is nevezik.
Fontos tudnunk, hogy egyes esetekben (pl. rugalmasan összenyomhatatlan vagy képlékeny
anyagoknál) az alakváltozás-tenzorok ilyen típusú felbontása nem alkalmas különleges
10.06.20. 4

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
állapotok (pl. az izochor – magyarul térfogatállandó – mozgás) leírására (a változást leíró
növekmény tenzoroké ( E, D & ) azonban igen!), ezért ilyenkor szorzatalakú felbontást
használnak 3 . Például (itt J a gradiens-tenzor determinánsa):
1 1
3 3
g J d J .
−
F= Fg ⋅Fd , ahol F = I , F = F
(3.12)
Alakváltozás-tenzorok és geometriai egyenletek különböző típusú
közelítések esetén
a./ Nagy alakváltozások (most csak a Lagrange-leírásmódot használjuk a továbbiakban):
1 T T
E = ( ( ∇ 0u) +∇ 0u + ∇0u ⋅( ∇ 0u)
) .
2
(3.13)
b./ Kis elmozdulások és kis alakváltozások:
Szokásos feltétel a „kicsi” jelzőre az alakváltozásoknál és elmozdulásoknál:
1
1
E = ( E:
E)
2 ≤ 0,
01,
= ( R : R)
2 ≤ , 01,
∇ u

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
egyenletekre különböző típusú közelítések adhatók. Például kiindulva a „pontos” Green-
Lagrange-tenzorból, írjuk fel azt a következőképpen (lásd még az (1.20)-as képletet):
1 T 1
E= ε + H H=ε + ( ε− R) ⋅ ( ε+ R)
,
2 2
(3.19)
ahol R a „b” pontban felírt lineáris rotációs tenzor. Figyelembe véve az ε ⋅ ε

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
Ezek az egyenletek azt fejezik ki, hogy az alakváltozások függvényei között szigorú
matematikai kapcsolat létezik. Ha például egy háromdimenziós testnél az alakváltozások
meghatározása során a gondolatban végtelen sok kis elemi hasábra felosztott tartománynál a
hat alakváltozási komponenst egymástól függetlenül határozzuk meg, akkor az egyes (ezen
alakváltozások hatására deformálódott) hasábokból nem tudunk „összerakni” egy folytonosan
deformálódott tömör testet, számtalan „hézag” vagy éppen „átfedés” fog jelentkezni a
csatlakozó felületek között. A kompatibilitási egyenletek éppen ennek az ellentmondásnak a
kiküszöbölésére születtek.
Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezeket az egyenleteket elsősorban a különböző
mechanikai megoldási technikák (erőmódszer, feszültségfüggvényes eljárások) bemutatásakor
fogjuk majd használni.
Alakváltozás-tenzorok előállítása hengerkoordináta-rendszerben
Írjuk fel először a Green-Lagrange-féle változatot, majd utána a kicsiny alakváltozásokhoz
tartozó tenzort.
A számításhoz használt hengerkoordináta-rendszert láthatjuk a 3.1-es ábrán. Az egyes
változók közötti kapcsolat:
r = R + u, ϑ = θ + α , z = Z + w,
(3.26)
ahol u az R irányban, w pedig a Z irányban létrejövő eltolódás, α pedig a szög változása.
3.1. ábra: A hengerkoordináta-rendszer alapvető paraméterei
Az anyagi rendszerben levő P pont környezetének elemien kicsiny távolságban levő bármely
tetszőleges Q pontjánál az elemi szál hossznégyzete az alábbi módon számítható:
2 2 2 2 2
dS = dR + R dθ + dZ . (3.27)
Ugyanezt a számítást megismételhetjük a pillanatnyi konfigurációban is p környezetét
figyelembe véve:
2 2 2 2 2
ds = dr + r dϑ + dz . (3.28)
10.06.20. 7

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
Figyelembe véve, hogy (most indexes jelöléssel):
∂u i
dxi = dX i +
∂X j
⎛ ∂u
⎞ i
dX j = ⎜ δ i j + ⎟ dX j ,
⎜ ∂X
⎟
⎝ j ⎠
(3.29)
az egyes növekmények az Euler-féle rendszerben a következőképpen írhatók fel:
⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u
dr = ⎜1 + ⎟ dR + dθ + dZ,
⎝ ∂R ⎠ ∂θ ∂Z
∂α ⎛ ∂α ⎞ ∂α
dϑ = dR + ⎜1 + ⎟ dθ + dZ,
∂R ⎝ ∂θ ⎠ ∂Z
∂w ∂w ⎛ ∂w
⎞
dz = dR + dθ + ⎜1 + ⎟ dZ .
∂R ∂θ ⎝ ∂Z
⎠
(3.30)
Helyettesítsük be ezeket a tagokat az előző egyenletbe, ahol az elemi hossz távolságát az
euleri rendszerben számítottuk, és határozzuk meg a két rendszerben kapott értékek
különbségét, rögtön egyenlővé téve ezt a kifejezést a Green-Lagrange-tenzor
komponenseivel:
2 2
ds − dS
2 2 2 2
= 2Ei jdX i dX j = 2( E R RdR + E θ θR
dθ + E Z ZdZ
+
+ 2( E dR R dθ + E Rdθ dZ + E dZ dR)).
(3.31)
R θ θ Z Z R
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor egyes elemei ennek megfelelően:
2 2 2
∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E R R = + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂R 2 ⎢⎣ ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R
⎠ ⎥⎦
E
θθ
u ⎛ u ⎞ ∂α
= + ⎜1+ ⎟ +
R ⎝ R ⎠ ∂θ
2
2
2 2 2 2
⎧ ⎫
1 ⎪ u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎤ ⎛ u ⎞ ⎛ ∂α ⎞ ⎪
+ ⎨ + 1 ,
2 2 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎬
2 ⎪⎩ R R
⎣⎢ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎦⎥
⎝ R ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎪⎭
2 2
∂w 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E Z Z = + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂Z 2 ⎢⎣ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z
⎠ ⎥⎦
1 ⎧∂u 2 ∂α ⎡ ∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E Rθ
= ⎨ + ( R + u) + + ( R + u)
+ ⎬
2R
∂θ ∂R ⎢∂R ∂θ ∂R ∂θ ∂R ∂θ ⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
,
1 ⎧ 2 ∂α ∂w ⎡∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E θZ
= ⎨( R + u) + + + ( R + u)
+ ⎬
2R
∂Z ∂θ ⎢ ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z
⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
,
( ) 2
1 ⎧ ∂u ∂w ⎡ ∂u ∂u ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E Z R = ⎨ + + + R + u + ⎬
2R
∂Z ∂R ⎢∂Z ∂R ∂Z ∂R ∂Z ∂R
⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
.
(3.32)
Ha most is végrehajtjuk azt a linearizálást, amit a derékszögű koordinátarendszerben felírt ε
tenzornál már elvégeztünk, vagyis
R → r, θ → ϑ, Z → z , (3.33)
tovább tekintetbe vesszük, hogy a ϑ irányú v eltolódásfüggvény segítségével
v
α = , (3.34)
r
akkor a kis alakváltozások tenzorának elemei a hengerkoordináta-rendszerben a következők
lesznek:
10.06.20. 8

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
∂u ε r = , ε ϑ
∂r u 1 ∂v = + ,
r r ∂ϑ
∂w
ε z = ,
∂ z
(3.35)
1 ⎛ 1 ∂u ∂v v ⎞ 1 ⎛ ∂v 1 ∂w ⎞ 1 ⎛ ∂w ∂u
⎞
ε r ϑ = ⎜ + − ⎟, ε ϑ z = ⎜ + ⎟, ε z r = ⎜ + ⎟.
2 ⎝ r ∂ϑ ∂r r ⎠ 2 ⎝ ∂z r ∂ϑ ⎠ 2 ⎝ ∂r ∂z
⎠
Abban a különleges esetben, amikor – kis alakváltozásokat feltételezve – az alábbi feltételek
is fennállnak:
∂u ∂v
w = 0, = 0, = 0 , (3.36)
∂z ∂z
az egyszerű sík alakváltozási állapothoz jutunk. Ilyenkor a kis alakváltozások tenzorának
független elemei a következők lesznek:
∂u u 1 ∂v
ε r = , ε ϑ = + , ε z = 0,
(3.37)
∂r r r ∂ϑ
1 ⎛ 1 ∂u ∂v
v ⎞
ε r ϑ = ⎜ + − ⎟,
ε ϑ z = 0, ε z r = 0.
2 ⎝ r ∂ϑ ∂r
r ⎠
Egy másik speciális változathoz jutunk forgásszimmetrikus mechanikai feladatok esetében.
Ilyenkor a feltételek:
∂u ∂w
v = 0, = 0, = 0 . (3.38)
∂ϑ ∂ϑ
Ezt figyelembe véve az alakváltozás-komponensek:
∂u u ∂w
ε r = , ε ϑ = , ε z = ,
(3.39)
∂r r ∂z
1 ⎛ ∂w ∂u
⎞
ε r ϑ = 0, ε ϑ z = 0, ε z r = ⎜ + ⎟.
2 ⎝ ∂r ∂z
⎠
A gyakorlás kedvéért megadjuk a hengerkoordináta rendszerben számítható kis
alakváltozások tenzorának egy másik számítási módját is:
Számítsuk ki először a sugár-és érintő irányú egységvektorokat transzformálás segítségével:
er ( ϑ ) = e1 cosϑ + e2 A szükséges deriváltak:
sin ϑ , eϑ = −e1 sin ϑ + e2 cos ϑ , ez = e3
. (3.40)
∂er ∂ϑ
= −e1 sin ϑ + e2 cos ϑ = eϑ ,
∂eϑ
∂ϑ
= −e1 cosϑ −e2 sin ϑ = −er
. (3.41)
Hengerkoordináta-rendszerben az elmozdulásvektor és a ∇ operátor az egységvektorok
segítségével:
u = urer + uϑ eϑ + uz
ez ,
∂ 1
∇ = er + eϑ ∂r r
∂ ∂
+ ez
∂ϑ ∂z
. (3.42)
Innen (a deriválásoknál a tömörség kedvéért az indexes jelölésmódot használjuk):
∇ u =
Ennek felhasználásával az
⎡ ur, r ⎢
⎢1 ⎢
( ur, ϑ − uϑ )
⎢r ⎢
ur, z ⎣
uϑ, r
1
( uϑ, ϑ + ur )
r
uϑ, z
u ⎤ z, r ⎥
1 ⎥
u ⎥
z,
ϑ
r ⎥
u ⎥
z, z ⎥⎦
.
(3.43)
10.06.20. 9

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
1 T
ε = ( ∇u
+ ( ∇u)
) =
2
alakváltozás-tenzor egyes elemei:
⎡ εr ⎢
⎢εϑ r
⎢
⎢⎣ ε z r
ε r ϑ
εϑ ε z ϑ
εr
z ⎤
⎥
εϑ
z ⎥
⎥
ε z ⎥⎦
(3.44)
εr = ur, r; εϑ =
1
( ur + uϑ , ϑ );
r
1 ⎡1 ⎤
ε z = uz, z; εr ϑ = εϑ
r = ( ur , ϑ uϑ ) uϑ
, r ;
2 ⎢
− +
r
⎥
⎣ ⎦
ε ϑ z = ε z ϑ =
1 ⎡1 ⎤
⎢ uz , ϑ + uϑ , z ⎥
2 ⎢⎣ r
⎥⎦
; ε r z = ε z r =
1
( ur, z
2
+ uz,
r ) . (3.45)
A kis alakváltozások tenzorának előállítása 2D polárkoordinátarendszerben
Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk,
most azonban – a két dimenzió adta egyszerűsítések miatt – az elemi hasábok elmozdulási
képét felhasználva állítjuk elő a tenzor elemeit.
Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-tenzorra itt kapott elemeket természetesen az előző
pontban felírt eredmények további egyszerűsítésével is számíthatjuk, de most inkább a
grafikus alapú „szemléletesebb” módszert választjuk.
3.2. ábra: Alakváltozások polárkoordináta-rendszerben
Az ábrák vázlatait felhasználva:
10.06.20. 10

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
( ∂v
∂u
( + ) Θ − Θ ) dΘ
u v r u d rd
1 ∂
ε = , ε = ε + ε =
+
∂Θ
u v
r Θ Θ Θ
= +
∂r
rdΘ
rdΘ
r r ∂Θ
,
(3.46)
ε r Θ = γ r Θ
u v
= γ rΘ + γ rΘ
=
( ∂u ) dΘ ∂Θ
r dΘ +
∂v ∂r −
v
r
=
1
r
∂u ∂Θ
+
∂v
∂r
−
v
.
r
Mivel most nincs z irányú változás, az összes többi tenzorkomponens zérus.
A kis alakváltozások tenzorának előállítása gömbkoordináta-rendszerben
Tartályok, héjak és más különleges szerkezetek vizsgálatánál szükség lehet ilyen típusú
leírásmódra.
Csak a kis alakváltozások tenzorának számítását mutatjuk be az ábrán látható r, α, θ
bázisban 7 a levezetés részleteinek mellőzésével (u, v, és w a három bázisiránynak megfelelő
eltolódásfüggvényeket jelentik):
3.3. ábra: Gömbkoordináta-rendszer
∂u 1 ∂v u 1 ∂v u cotg θ
ε r = , ε θ = + , ε α = + + w ,
∂r r ∂θ r r sin θ ∂α r r
1 ⎛ 1 ∂u v ∂v ⎞ 1 ⎛ 1 ∂u w ∂w
⎞
ε r α = ⎜ − + ⎟, ε r θ = ⎜ − + ⎟,
2 ⎝ r sin θ ∂α r ∂r ⎠ 2 ⎝ r ∂θ r ∂r
⎠
2 2
7 2 2 2 2 2
Egy elemi szál hossznégyzete ebben a rendszerben: dS dr r sin ( d ) r ( d )
= + θ α + θ .
(3.47)
10.06.20. 11

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
1 ⎛ 1 ∂v v cotg θ 1 ∂w
⎞
ε αθ = ⎜ − + ⎟ .
2 ⎝ r ∂θ r r sin θ ∂α ⎠
Kis alakváltozások számítása általános görbevonalú koordinátarendszerben
Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben
s , s , s tengelyeknek megfelelő ii egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:
felvett 1 2 3
3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer
i j ⋅ ik
= δ j k . (3.48)
Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk:
∂i j
⋅ i j
∂s = 0,
∂i j
⋅ ik ∂s ∂ik
= − ⋅i
j .
∂s
(3.49)
m m m
Részletesen felírva az egyes egységvektorok s1, s2, s 3 irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:
⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤ ⎡i1 ⎤
∂ ⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥ ∂
1 2 ,
⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥ ∂
2 2 ,
⎢
i
⎥
2 K
⎢
i
⎥
3 2 .
s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
1 s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
2 s ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
(3.50)
∂ ∂ ∂ 3
⎢⎣ i ⎥ 3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ 3 ⎦ ⎢⎣ i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ ⎢ 3 ⎦ ⎣i ⎥ 3 ⎦
Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok
az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):
⎡i1, s ⋅i 1 1 i1, s ⋅i 1 2 i1, s ⋅i ⎤ ⎡
1 3 i1, s ⋅i 2 1 i1, s ⋅i 2 2 i1, s ⋅i
⎤
2 3
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
K =
1 ⎢i2, s ⋅i 1 1 i2, s ⋅i 1 2 i2, s ⋅ i
1 3 ⎥ , K =
2 ⎢i 2, s ⋅i 2 1 i2, s ⋅i 2 2 i2, s ⋅i
2 3 ⎥ ,
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣
i3, s ⋅i 1 1 i3, s ⋅i 1 2 i3, s ⋅i 1 3 ⎦ ⎣
i3, s ⋅i 2 1 i3, s ⋅i 2 2 i3, s ⋅i
2 3 ⎦
(3.51/a)
⎡i1, s ⋅i 3 1 i1, s ⋅i 3 2 i1, s ⋅i
⎤
3 3
⎢ ⎥
K = i
3 ⎢ 2, s ⋅i 3 1 i2, s ⋅i 3 2 i2, s ⋅i
3 3⎥
,
⎢ ⎥
⎢⎣ i3, s ⋅i 3 1 i3, s ⋅i 3 2 i3, s ⋅i
3 3 ⎥⎦
vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással):
10.06.20. 12

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
⎡ 0 k13 −k12 ⎤ ⎡ 0 k23 −k22 ⎤ ⎡ 0 k33 −k32
⎤
K =
⎢
k 0 k
⎥
, K
⎢
k 0 k
⎥
, K
⎢
k 0 k
⎥
⎢
−
⎥
=
⎢
−
⎥
=
⎢
−
⎥
. (3.51/b)
1 13 11 2 23 21 3 33 31
⎢⎣ k12 −k11 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k22 −k21 0 ⎥⎦ ⎢⎣ k32 −k31
0 ⎥⎦
Ezeket a tenzorokat hívják az adott bázis görbületi tenzorainak. Segítségükkel végezhető el
minden – az adott bázishoz tartozó – fontos mechanikai művelet, így például az
alakváltozások számítása az eltolódásokból. Mielőtt tovább folytatnánk ezek meghatározását,
gyakorlásul megadjuk a korábbiakban már vizsgált hengerkoordináták esetén ezen görbületi
tenzorok értékét:
∂ s = ∂r, ∂ s = r∂ϑ, ∂ s = ∂z
1 2 3
A k21 -es elem számításának részletei:
k
i = sin ϑ i + cos ϑ i , i = cosϑi − sin ϑ i , i = i .
1 x y 2 x y 3 z
⎡0 0 0 ⎤
K = K
1 3 = 0, K =
⎢
0 0 1/ r
⎥
.
2 ⎢
−
⎥
⎢⎣ 0 1/ r 0 ⎥⎦
∂i ⎡1 ∂
⎤
= i =
⎢ ( i y cos θ − i z sin θ) ⎥ ( i y sin θ + i z cos θ ) =
⎣ ⎦
21
2
∂s2 3
r ∂θ
1 2 1
( i y sin i z cos )
(3.52/a)
(3.52/b)
= −
r
θ + θ = −
r
A számítás gömbkoordináta-rendszer esetén is hasonló módon végezhető el, de ennek
részleteire most nem térünk ki, csak a görbületi tenzorok végső alakját adjuk meg:
⎡ 0
K =
⎢
1 ⎢
0
⎢⎣ 1/ r
0
0
0
−1/ r⎤ ⎡ 0
0
⎥
, K3 0, K
⎢
⎥
= = 1/( r tan )
2 ⎢
− θ
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
1/( r tan θ)
0
1/ r
0 ⎤
−1/
r
⎥
⎥
. (3.52/c)
0 ⎥⎦
Folytassuk az alakváltozás-komponensek számítását. Deriváljuk most az
u = u1i1 + u2i 2 + u3i3
(3.53)
alakban megadható elmozdulásvektort az egyes koordináták szerint, figyelembe véve a
láncszabály szerinti deriválást és a (3.51) alatti görbületi tenzorokat:
∂ u ∂u1 ∂u2
∂u3
= i1 + i2 + i3 + i1 ( u3k12 − u2k13 ) + i2 ( u1k13 − u3k11 ) + i3
( u2k11 − u1k12 ) ,
∂s ∂s ∂s ∂s
1 1 1 1
∂ u ∂u ∂u
∂u
= i + i + i + i − + i − + i −
∂s ∂s ∂s ∂s
( u k u k ) ( u k u k ) ( u k u k )
1 2
3
1 2 3 1 3 22 2 23 2 1 23 3 21 3 2 21 1 22
2 2 2 2
∂ u ∂u ∂u
∂u
= i + i + i + i ( u k − u k ) + i u
∂s ∂s ∂s ∂s
i
k − u k + u k − u k
1 2
3
1 2 3 1 3 32 2 33 2
3 3 3 3
Az alakváltozások most már egyszerűen számolhatók:
∂u
∂u
ε = ⋅ i = + u k − u k
11
∂s1 1
1
∂s1
3 12 2 13
,
( ) ( )
1 33 3 31 3 2 31 1 32 .
1 ⎛ ∂u ∂u
⎞ 1 ⎛ ∂u2 ∂u
⎞
1
ε 12 = ⎜ ⋅ i2 + ⋅ i1
⎟ = ⎜ + + u1k13 − u3k11 + u3k22 − u2k23 ⎟,
2 ⎝ ∂s1 ∂s2 ⎠ 2 ⎝ ∂s1 ∂s2
⎠
10.06.20. 13
,
(3.54)

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
1 ⎛ ∂u ∂u
⎞ 1 ⎛ ∂u3 ∂u
⎞
1
ε 13 = ⎜ ⋅ i3 + ⋅ i1
⎟ = ⎜ + + u2k11 − u1k12 + u3k32 − u2k33 ⎟,
2 ⎝ ∂s1 ∂s3 ⎠ 2 ⎝ ∂s1 ∂s3
⎠
ε
∂u
= ⋅ i
∂u
= + u k − u k ,
22
∂s2 2
2
∂s2
1 23 3 21
1 ⎛ ∂u ∂u
⎞ 1 ⎛ ∂u3 ∂u
⎞
2
ε 23 = ⎜ ⋅ i3 + ⋅ i2
⎟ = ⎜ + + u2k21 − u1k22 + u1k33 − u3k31 ⎟,
2 ⎝ ∂s2 ∂s3 ⎠ 2 ⎝ ∂s2 ∂s3
⎠
ε
∂u
= ⋅ i
∂u3
= + u2k31 − u1k32 ∂s
.
33 3
∂s3
Felhasznált irodalom:
3
(3.55)
1./ Sokolnikoff, I. S. : Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1956.
2./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, Wien, 2000.
3./ Taber, L. A. : Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004.
4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, Budapest,
1952.
5./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F. : Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Wiley, 2004.
10.06.20. 14