8. Előadás: Munkatételek

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
8. Előadás: Munkatételek 1 , felcserélhetőségi tételek
Ismétlés
A különböző típusú munkafogalmak definiálását illetve a hozzájuk kapcsolódó munkatételek
(virtuális 2 erők és elmozdulások tétele) megfogalmazását a BSc Szilárdságtan tárgy már
megtette. Emlékeztetőül a (kis alakváltozású rendszerekre) már korábban felírt két tétel (a
koncentrált dinámok hatását a továbbiakban az egyszerűség kedvéért elhagyjuk):
a./ Virtuális elmozdulások tétele:
Egy erőrendszer akkor és csakis akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális
elmozdulás-rendszeren végzett munkája zérus. Más megfogalmazásban:
egyensúlyban levő erőrendszer által végzett virtuális munkák összege zérus:
δ W
ahol
= δ Wk + δ Wb
= 0 , (8.1)
δ W = t ⋅δ u dA + g ⋅δ u dV , g = ρb
k
∫ ∫ (külső virtuális munka), (8.2)
St V
δ δW b = − ∫ σσ
σ : δ ε dV (belső virtuális munka). (8.3)
V
A virtuális elmozdulások tétele az erőrendszerek egyensúlyának szükséges és
elégséges feltétele. A tétel bármilyen anyagú szilárd testre érvényes. Az
egyenletekben t a felületi, g pedig a térfogati erőket jelenti.
b./ Virtuális erők tétele:
Egy elmozdulás-rendszer akkor és csakis akkor geometriailag lehetséges, ha bármely
virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus. Más megfogalmazásban:
kompatibilis elmozdulásrendszer által végzett virtuális kiegészítő munkák összege
zérus:
δ W% ahol
= δ W% k + δ W%
b = 0 , (8.4)
δ W% = u ⋅δ t dA + u ⋅δ g dV , g = ρb
(külső virtuális kiegészítő munka), (8.5)
k
∫ ∫
St V
δ W% = − ε : δσ
dV
b
∫
V
(belső virtuális kiegészítő munka). (8.6)
A virtuális erők tétele az elmozdulások és alakváltozások kompatibilitásának
szükséges és elégséges feltétele. Bármilyen anyagú szilárd testre érvényes, amely kis
elmozdulást végez.
1 A „mechanikai munka” elnevezést először Gaspard-Gustave de Coriolis (1792 – 1843) francia
matematikus és gépészmérnök használta (Coriolis: „Calcul de l'Effet des Machines”, Párizs, 1829).
2 A „Függelék”-ben rövid összefoglaló olvasható a variációszámítás alapvető definícióiról illetve a
virtuális elmozduláshoz kapcsolódó kommentárokról. Javasoljuk ennek tanulmányozását.
10.06.22. 1

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Nagy alakváltozások esetén a virtuális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve
nem, de egyes változóit tekintve formálisan módosul. A módosítás attól függ, hogy
Lagrange-, vagy Euler-rendszerben írjuk fel az alapvető egyenleteket.
A virtuális elmozdulások tétele 3 Euler-bázisban
Az előző előadásban az alapvető egyenletek erős és gyenge alakjának elemzésekor
bemutattuk, hogy az Euler-bázisban a megmaradási egyenletekből a virtuális teljesítmények
elvének nevezett variációs elvhez jutunk. Ez az elv a nemlineáris végeselemes számításoknál
kiválóan megfelel az igen gyors változásokkal járó áramlástani feladatok (folyadékok, gázok)
vizsgálatánál. Olyan – szilárd testeket vizsgáló – mechanikai feladatoknál azonban, ahol
mindenképpen szükséges az Euler-féle leírásmód (például nagyon nagy alakváltozásokkal –
gyűrődésekkel – járó terhelések vizsgálatakor), előnyösebb az impulzus-megmaradási
feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező, hanem az elmozdulásmező variálásával
végrehajtani, és így a – Lagrange-leírásmódnál is felhasznált – virtuális munkák tételét
létrehozni ebben a bázisban. Ennek az átalakítás-variációnak nincs elvi akadálya, hiszen a
variációs feladat létrehozásánál nincs semmilyen megkötés a tesztfüggvény típusára.
Bár a virtuális elmozdulások elméleti alapjaival már a BSc Szilárdságtanban részletesen
foglalkoztunk, most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket, illetve azokat a
sajátosságokat, amelyek a nagy változások leírásmódjához kapcsolódnak.
8.1. ábra: Kezdeti és pillanatnyi konfiguráció
3 A virtuális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok, Johann Bernoulli (1667 –
1748) és fia, Daniel Bernoulli (1700 – 1782) fogalmazták meg. Johann Bernoulli a francia Pierre
Varignon-nak írt, 1715. február 26-i keltezésű levelében írt először virtuális elmozdulásrendszerekről
és azok mechanikai alkalmazásairól (Varignon: „Nouvelle Mécanique”, Vol. 2, pp.
174, Párizs,1725). Fia főleg a variációs elv alkalmazásaival járult hozzá a módszer
népszerűsítéséhez. Ő hívta fel egyébként Euler figyelmét erre a mechanikai modellezési lehetőségre.
Megjegyezzük, hogy magát a „virtuális elmozdulás” elnevezést először Lagrange (róla lásd az első
előadás 4. lábjegyzetét) használta (Lagrange: „Mecanique Analytique”, 1788, Párizs).
10.06.22. 2

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Magának a virtuális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáris feldatok
esetében sem. A (8.1) ábrán látható kezdeti és pillanatnyi (de időben rögzített!) konfigurációt
felhasználva a pillanatnyi konfiguráció kicsiny megváltoztatásával állítjuk elő a virtuális
elmozdulásrendszert:
)
δ u = u − u = εw
, (8.7)
ahol ε kicsiny, nullához tartó paraméter. Írjuk fel most az elmozdulás-variáció gradiensszámításához
szükséges alapvető képleteket:
) )
∇ δ u = ∇u − ∇u, δ ∇ u = ∇u − ∇u ⇒ δ ∇ u = ∇ δu
.
(8.8)
( ) ( ) ( ) ( )
Ha figyelembe vesszük 4 , hogy
∇ u = ∇ uF ⇔
∂ui ∂ui
= F
0
−1 −1
∂x j ∂X
k
k j
∂δui ∂δui
∇ δ u = ∇0 δu F ⇔ = F
∂x ∂X
−1 −1
akkor ( ) ( )
j k
, (8.9)
10.06.22. 3
k j
. (8.10)
A mechanikai feladatoknál szükség lehet a deformációgradiens-tenzor, illetve az adott bázis
jellemzőjének tartott alakváltozás-tenzor (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzor)
variációjának ismeretére is. Írjuk fel most ezeket 5 :
( ) ( u
-1 −1 ∂ δu
∂ δ
i −1 −1 j )
δ F = ∇0 ( δu) , δ F = −F ∇( δu) ⇔ δ Fik = , δ Fk i = −Fk
j . (8.11)
∂X k ∂xi
Az Almansi-Hamel-tenzor variációjának számítását megkönnyíti a Green-Lagrange-féle
alakváltozástenzor variációjának ismerete. Számítsuk ki először ezt 6 :
1 T T 1 T
T
T
δ E = ⎡ ( F ) F F F⎤ ⎡( F 0( u) ) F 0(
u)
⎤
2 ⎣
δ + δ
⎦
= ∇ δ + ∇ δ , (8.12)
2 ⎢⎣ ⎥⎦
majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzort:
−T −1 1 −T T
−1
δ e = F δ EF = ( F ( ∇0 ( δ u) ) + ∇0 ( δ u) F ) =
2
. (8.13)
1 T 1 ⎛ ∂δu j ∂δu
⎞
i
= ( ( ∇( δ u) ) + ∇( δu) ) ⇔ δ ei
j = ⎜ +
2 2 ⎜
⎟
∂xi ∂x
⎟
⎝ j ⎠
Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a
lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének
megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem
elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi
konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek 7 ugyanazok, mint amiket a korábbiakban
alkalmaztunk:
Peremfeltételek: u = u az Su tartományon, t = t az St
tartományon.
Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak):
u x, t = u X , u& x, t = u& X .
( ) ( ) ( ) ( )
t= 0 0 t=
0 0
4 A fontosabb képleteket indexes alakban is megadjuk. Emlékeztetőül a vektormezőkre – általunk
használt – gradiens definíció: ( )
grad u u T
= ∇ ⊗ (lásd a Függelék vonatkozó részét).
5 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
A második képlethez: ( F F I) F F FF F ( u) F F ( u)
δ − ⇒ δ = − δ = − ∇ δ = − ∇ δ .
6 1 ⎛ ∂uk ∂u
⎞
k
Ezt is felírjuk indexes változatban: δ Ei j = ⎜ Fk j + Fk
i ⎟ .
2 ⎜ ∂X i ∂X
⎟
⎝ j ⎠
7
Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk.
0

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő
átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g = ρ b ):
( ) ( )
∫ ∫
⎡⎣ σ : ∇ δu − g − ρu&& ⋅δu⎤⎦ dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.14)
V St
Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az Almansi-
Hamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe 8 :
⎡⎣ σ : δe − ( g − ρu&& ) ⋅δu⎤⎦ dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.15)
∫ ∫
V St
Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a
nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások
tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független
az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.
A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben
Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot.
Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a
néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb
összehasonlíthatóság végett:
T ⎡
⎣P : δF − ( g0 − ρ0u&& ) ⋅δu⎤ ⎦ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0.
(8.16)
∫ ∫
V0 St0
Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is
megadható 9 :
⎡⎣ S : δE − ( g0 − ρ0u&& ) ⋅δu⎤⎦ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0
(8.17)
∫ ∫
V0 St0
ahol S a második Piola-Kirchhoff-féle feszültség-, E pedig a Green-Lagrangealakváltozástenzor.
8. 1 Példa
Vizsgáljuk meg a virtuális elmozdulások tételének segítségével egy tehermentes állapotában
L oldalhosszúságú (homogén, izotrop, lineárisan rugalmas anyagú) kocka triaxiális terhelés
hatására kialakuló mechanikai állapotát. A felületi terhelés intenzitása a három tengely
, p és p p , az új (egyelőre ismeretlen) oldalhosszakat jelöljük
irányában 1 2 3
1 L, η2
L és η3L
η -lel. A változások tetszőlegesen nagyok lehetnek.
A tömeg- és tehetetlenségi erőket elhanyagoljuk, az anyagállandókat (E, G, ν ) ismerjük. A
tételt most Lagrange-rendszerben írjuk fel.
A mozgásokat leíró alapegyenletek és a kezdeti feltételek:
8
A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus
és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus
Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus.
9
A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a
σ : δ e dV = S : δ E dV0
összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva.
10.06.22. 4

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
x1
= η1X
1,
x2
= η2
X 2 , x3
= η3
X 3 ⇒ u1
= x1
− X 1,
u2
= x2
− X 2 , u3
= x3
− X 3
u = ( η −1)
X , u = ( η −1)
X , u = ( η −1)
X .
1
8.2. ábra:
A kocka térfogatváltozása
1
1
2
2
u 1 ( X 1 = 0)
= 0,
u2
( X 2 = 0)
= 0,
u3
( X 3 =
2
3
10.06.22. 5
3
Számítsuk ki először a mozgásegyenletek segítségével a Green-Lagrange
alakváltozás tenzor elemeit (megjegyezzük, hogy a főértékek most megegyeznek a
nemzérus komponensekkel) :
E
11
3
0)
2
1 2
= E1
= ( η1
−1)
, E22
= E2
= ( η2
−1)
, E33
2
2
= E
E = E = E = 0 .
1 2
3
3
12
23
31
=
0.
1
= ( η
2
−1)
,
A virtuális elmozdulások tételének Lagrange-rendszerben való felírásához a Green-
Lagrange-tenzor mellett még szükségünk van a második Piola-Kirchhoff-tenzor
elemeire. Ezeket a – fizikai tartalmú – Cauchy-feszültségtenzor segítségével írjuk fel:
A gradiens-tenzor és inverze:
⎡ 1 ⎤
⎢ 0 0 ⎥
η1
⎡η1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥
−1
⎢ 1 ⎥
F =
⎢
0 2 0
⎥
⎢
η
⎥
, F = ⎢ 0 0 ⎥ , J = η1η2η3 .
η2
⎢ 0 0
⎢ ⎥
⎣ η ⎥ 3 ⎦ ⎢ 1 ⎥
⎢ 0 0 ⎥
⎣ η3
⎦
Innen:
η2η3 η3η1 η1η2 S11 = S1 = σ 1, S22 = S2 = σ 2 , S33 = S3
= σ3
,
η1 η2 η3
ahol felhasználtuk a korábban levezetett (lásd a negyedik előadást)
−1 −T
S = J F σ F
összefüggést. Megjegyezzük, hogy most a feladat sajátossága miatt kicsit tömörebben
is kiszámíthatók a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemei. Először megadjuk a
jelenlegi helyzetnek megfelelő determináns-számítás másféle változatát:
⇒

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
dV 0
J = = ,
dV0
ρ
ρ
majd ezt felhasználva indexes alakban írjuk fel az átváltást:
ρ0 ∂X
∂X
i j
S ji = σl
k .
ρ ∂xk ∂xl
A feladat eredménye (elemekre bontva a számításból adódó értékeket):
2
ρ0
⎛ dX 1 ⎞
S 11 = S1
= ⎜
⎟
ρ ⎝ dx1
⎠
dV
σ1
=
dV0
1
2
η1
η1η2η
3
= σ 2
η1
η3η1
S 22 = S 2 = σ 2 , S33
η
η1η2
= S3
= σ3
.
η
2
10.06.22. 6
3
1
η2η
=
η
Következő lépésként magukat a Cauchy-feszültségeket kell meghatároznunk. Ehhez a
számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzorra is, ez
azonban kifejezhető a Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor segítségével. A
kétféle alakváltozás-tenzor kapcsolatát a gradiens-tenzor felhasználásával lehet
megadni:
1 T
1 -T
-1 1 T -T
-1
E = ( F ⋅ F - I)
és e = ( I - F ⋅ F ) ⇒ e = ( F ⋅ F - F ⋅ F ) − E .
2
2
2
A deformáció-gradiens tenzort már az előbb felírtuk, így az Almansi-Hamel-tenzor
három nemzérus eleme egyszerűen számítható:
1 2 1 1 2 1
e11 = e1 = ( η 2 1 − 1) = E 2 1, e22 = e2 = ( η 2 2 − 1) = E 2 2,
2η1 η1 2η2
η2
1 2 1
e33 = e3 = ( η 2 3 − 1) = E 2 3 .
2η3
η3
A Cauchy-tenzor elemeit ezek után a Hooke-féle anyagmodell segítségével kapjuk,
mivel lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételeztünk fel a modellről. A Hookemodell
egyenletei itt is érvényesek, hiszen most az anyagi linearitást a nagy
alakváltozásokra is kiterjesztettük:
E ⎡ ν
⎤ E ⎡ ν
⎤
σ1 =
1 ( 1 2 3)
, 2
2 ( 1 2 3)
,
1 ⎢
e + e + e + e σ =
1 2
⎥ 1 ⎢
e + e + e + e
+ ν
+ ν 1 2
⎥
⎣ − ν
⎦ ⎣ − ν
⎦
E ⎡ ν
⎤
σ 3 =
⎢
e3
+ ( e1
+ e2
+ e3
)
1+
ν
⎥
.
⎣ 1−
2ν
⎦
Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) Piola-
Kirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az
Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is:
η2η3 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S1 = ⎢ E 2 1 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥
,
η 1 1+ ν ⎣η1 1− 2ν
⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η1η3 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S2 = ⎢ E 2 2 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥
,
η 2 1+ ν ⎣η2 1− 2ν
⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
η2η2 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
S3 = ⎢ E 2 3 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥
.
η 3 1+ ν ⎣η3 1− 2ν
⎝ η1 η2 η3
⎠⎦
1
3
σ
1
,

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrangealakváltozások
helyére pedig azok részletes értékét:
η2η3 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S1
= ⎢1 + ν − − ν ,
2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
η1 1− 2ν
⎣ η1 ⎝ η2 η3
⎠⎦
η1η3 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S2
= ⎢1+ ν − − ν 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
,
η2 1− 2ν
⎣ η2 ⎝ η1 η3
⎠⎦
η2η1 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
S3
= ⎢1+ ν − − ν 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
.
η3 1− 2ν
⎣ η3 ⎝ η2 η1
⎠⎦
A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés:
S ⋅δE = S1δ E1 + S2δ E2 + S3δ E3
, ahol δ E1 =η1 δη1 A teljes térfogati integrál ezek után:
, δ E2 = η2 δη2 , δ E3
= η3 δη 3 .
− S ⋅δ E dV = − S δ E + S δ E + S δE
3
L .
∫
V0
( )
0 1 1 2 2 3 3
A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell
figyelembe venni:
δ u = X δη , δ u = X δη , δ u = X δη ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3
q = − p , q = − p , q = − p ,
(1) (2) (3)
1 2 3
A
q = q = − η η p , q = − η η p , q = −η η p .
(1) (1) (2) (3)
0
A0
2 3 1 0 3 1 2 0 1 2 3
A külső virtuális munka ezeknek megfelelően:
(1) (1)
q δ u dA +
(2) (2)
q δ u dA +
(3) (3)
q δ u dA
3
= L
(1) (2) (3)
q δη + q δη + q δη
∫ ∫ ∫
( )
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3
(1)
A0 (2)
A0 (3)
A0
A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva:
(1)
−S η + q
(2)
δη + −S η + q
(3)
δη + −S η + q δη = .
( ) ( ) ( )
1 1 0 1 2 2 0 2 3 3 0 3 0
Ennek a kifejezésnek bármilyen δη1 , δη2 , δη3 variációra teljesülnie kell, így a három
zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez
jutunk. Ezekbe helyettesítsük be a II. Piola-Kirchhoff-feszültségekre illetve a felületi
terhekre korábban kapott értékeket:
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1 + ν − − ν p
2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
= − 1,
1− 2ν
⎣ η1 ⎝ η2 η3
⎠⎦
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1+ ν − − ν p
2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
= − 2 ,
1− 2ν
⎣ η2 ⎝ η1 η3
⎠⎦
G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤
⎢1+ ν − − ν p
2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥
= − 3 .
1− 2ν
⎣ η3 ⎝ η2 η1
⎠⎦
Ebből a három ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszerből határozható meg a
η , η és η . Megjegyezzük, hogy az egyenletrendszer
keresett 1 2 3
1
, 2
η1
1
2
η2
1
és 2
η3
ismeretlenjeit x,y és z paraméterekkel helyettesítve ez a feladat lineáris
egyenletrendszerre vezethető vissza. A paraméteres megoldás zárt alakban is
10.06.22. 7

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
8.2. Példa
felírható, de nehézkes volta miatt előnyben részesítik a numerikus esetekre
alkalmazott számításokat.
Ha a p1 = p2 = p3 = p hidrosztatikus állapotot vizsgáljuk, akkor η 1 = η 2 = η 3 = η és
így az egyenletrendszer helyett egyetlen kifejezéssel van dolgunk:
1+ ν ⎛ 1 ⎞
G ⎜1− p
2 ⎟ = − ,
1− 2ν ⎝ η ⎠
amelynek megoldása:
1
1 2(1 2 ) p
η =
.
+ − ν
E
Ha a nyírási rugalmassági modulus helyett a K térfogatváltozási modulust 10
használjuk anyagállandónak, akkor az alábbi összefüggéshez jutunk (lásd az alatta
levő 8.3-as ábrát):
p 1 ⎛ 1 ⎞
= ⎜ −1
2 ⎟
3K 2 ⎝ η ⎠ .
8.3. ábra: A lineáris és a nemlineáris térfogatváltozás összehasonlítása
Az ábrán látható lineáris közelítés úgy értelmezhető, mint az η − ra kapott képlet
sorba fejtett kifejezése szerinti, a magasabb rendű tagokat elhanyagoló vizsgálat:
p ⎡ 3 p ⎤
1 − η= (1− 2 ν) 1 (1 2 ) ...
E ⎢
− − ν +
⎣ 2 E ⎥
⎦ .
Megjegyezzük, hogy az η = 1 értékhez végtelen nagy térfogatváltozási-modulus és
ν = 0,
5 értékű Poisson-tényező tartozik.
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy 1D nemlineáris feladat végeselemes modellezéséhez
szükséges alapegyenleteket megadni a Lagrange-féle leírásmód alapján
Az 1D szerkezet végeselemes számítását a Lagrange-féle leírásmódnál felírt virtuális
X , X tartományban elhelyezkedő
munkák tétele segítségével végezzük el. Az [ ]
10
A térfogatváltozási modulus a hidrosztatikus feszültség és térfogatváltozás közötti kapcsolatot
fejezi ki. A rugalmassági modulus és a Poisson-tényező ismeretében a következőképpen számítható:
K = E /(3 − 6 ν ) .
10.06.22. 8
a b

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
szerkezetet a végeselemes technikában szokásos módon e = 1,..., ne
elemre osztjuk.
Egy elemen m darab csomópontot veszünk fel, így összesen nN csomópontunk lesz.
Az I-edik csomópont koordinátáját jelöljük I X -vel, az egy elemen belüli 1 ,
e e
⎡
⎣X X ⎤ m ⎦
tartományt pedig Ω e -vel.
8.4. ábra. Az 1D szerkezet elemekre osztása
Az egyszerűség kedvéért az „1”-es csomópont lesz az előírt elmozdulás perempontja
és az n N jelű pont pedig az előírt feszültségeké (megjegyezzük, hogy a végeselemes
technikában szokásos módon ezeket a peremfeltételeket majd csak a modellezés
utolsó fázisában vesszük figyelembe).
Az elmozdulásfüggvény és variációjának szokásos végeselemes közelítése:
nN nN
∑ ∑ ,
u( X , t) = N ( X ) u ( t), δu( X ) = N ( X ) δu
I I I I
I = 1 I = 1
ahol NI ( X ) a
0
C -folytonos bázisfüggvényeket, uI ( t ) pedig a csomóponti
elmozdulásokat jelöli. A bázisfüggvényeknek most is ki kell elégíteniük az
N ( X ) = δ feltételt. Fontos tudnunk, hogy a csomóponti változók mindig a t
I J I J
paraméter függvényei, még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a „valódi”
időt, de lehet egy egyszerű monoton növekvő változó, például teherparaméter). Ettől
csak a csomóponti virtuális elmozdulások esetében van eltérés, I u δ értékei nem
függnek az időtől.
A most bevezetett közelítések segítségével írjuk fel a virtuális munka egyes
komponenseit (az 1D esetre itt felhasznált, nemlineáris hatásokat tartalmazó virtuális
munkatételt korábban már részletesen levezettük!):
Xb b = ∫ , X 0
nN = ∑
Xb
I ∫ I , X 0
nN
= ∑ I
b
I =
T b
,
X a
I = 1 X a
I = 1
δW δu A P dX δu N A P dX δu f δ u f
X n X ⎛ ⎞
δW = δu ρ A b dX + δu A t = δu N ρ A dX + N A t = δ u f
⎜ Γt
⎟
⎝ ⎠
b N
b
0 0
T k
∫ 0 0 ( 0 ) ∑ ⎜ ∫ 0 0 ( 0 ) ⎟ ,
k x I I I x
X a Γt
I = 1 X a
Xb n X
N b
nN
∫ ∑ ∫ ∑
δ W = δu ρ A uɺɺ dX = δu N ρ A uɺɺ ( t) N dX = δ u M a =δu
f .
kin 0 0 I I 0 0 J J
Xa I= 1 Xa
J = 1
T T kin
A kinetikus virtuális munka képletében szereplő tömegmátrix képlete:
I J
Xb ∫ 0 0 I J
Xb
∫ 0 0
T
.
Xa Xa
M = ρ A N N dX vagy M = ρ A N N dX
Az a vektor a gyorsulási jellemzőket tartalmazza ( a = uɺɺ).
A virtuális munkatétel
képletébe behelyettesítve ezeket az összefüggéseket, a következő egyenletrendszert
kapjuk:
10.06.22. 9

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
nN
∑
I=
1
b k kin
( )
δu f − f + f = 0, ∀δu −ra
.
I I I I
Ez az egyenlet valóban mindig zérus, hiszen I=1-nél 1 u δ zérus a peremfeltételek
miatt, míg a többi csomópontnál a zárójeles kifejezés lesz nulla. Elhagyva a
tetszőleges virtuális elmozdulásfüggvényt, mátrix alakban a következő szemidiszkrét
(a térben diszkrét, az időben azonban folytonos) egyenletrendszert írhatjuk fel:
k b
f = f − f = M a .
Ezt a kifejezést a mozgás egyenletének hívják a mechanikában, és alapvető
fontosságú a nemlineáris feladat végeselemes vizsgálatában. Az egyenletrendszerben
az előírt elmozdulási peremfeltételt már figyelembe vettük. Matematikai jellegét
tekintve nN − 1 darab másodrendű közönséges differenciálegyenletből áll,
amelyeknek független változója a t idő- (vagy teher-) paraméter.
Megjegyezzük, hogy a számításokban az M tömegmátrix gyakran nem diagonál (ezt
hívják a mechanikában konzisztens tömegmátrixnak), így a mozgásegyenlet nem
egyezik meg pontosan az f = M a alakú II. Newton-törvénnyel, mivel az I-edik
csomópontnál levő erő is okozhat gyorsulást a J-edik csomópontnál.
Fontos tudnunk, hogy ha a konzisztens tömegmátrix helyett diagonál felépítésű
tömegmátrixot kívánunk használni, akkor a szakirodalomban ajánlott többféle
lehetőség valamelyikét kell választanunk (lásd részletesebben a „Nemlineáris
végeselemmódszer” című MSc tárgy vonatkozó fejezeteit).
A fenti mozgásegyenlethez előírt kezdeti feltételeket legtöbbször a csomóponti
elmozdulás-és sebességváltozók figyelembevételével adjuk meg:
u (0) = u ( X ), ∀I − re, uɺ (0) = uɺ ( X ), ∀I −re
.
I 0 I I 0 I
Megjegyezzük, hogy egy t = 0 pillanatban nyugalomban lévő és deformálatlan testnél
ezek a kezdeti feltételek az u (0) = 0 és uɺ (0) = 0 ( ∀I −re)
alakot öltik.
I I
Ha a kezdeti feltételek sokkal bonyolultabbak (például időben változó értékeket írunk
elő), akkor a csomóponti elmozdulások és sebességek értékeinek a kezdeti adatokhoz
történő illesztését a legkisebb négyzetek módszere segítségével külön ki kell
számítanunk. Ilyenkor az u ( X ) kezdeti adathalmaz és a végeselemes interpolációból
adódó ∑ NI ( X ) uI
(0) értékek különbségének négyzetét minimalizáljuk:
X
b
1 ⎛ ⎞
M ( u( 0 ) ) = ⎜ uI (0) NI ( X ) −u0 ( X ) ⎟ ρ 0 A0 dX = min
2 ∫ ⎜∑ ⎝
⎟
!
⎟⎠
Xa
I
A sűrűséget hagyományosan azért szokták beépíteni a fenti kifejezésbe, hogy a
tömegmátrixot felhasználhassák a számításban. A minimumfeltételt alkalmazva a
hibára a következőt kapjuk:
Xb
∂M
⎡ ⎤
= NK ( X ) ⎢ uI (0) NI ( X ) −u0 ( X ) ⎥ ρ 0 A0 dX = 0
∂uK (0) ∫ ⎢∑ .
⎥
X
I
a ⎣ ⎦
Ha itt felhasználjuk a tömegmátrix korábbi definícióját, akkor az egyenlet az alábbi
alakra hozható:
10.06.22. 10
2

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
8.3 Példa
M u(0) = g, ahol g = N ( X ) u ( X ) ρ A dX .
0 0 0
10.06.22. 11
Xb
∫
K K
Xa
A kezdeti sebességek csomóponti értékeinek illesztését teljesen hasonló módon kell
számítani.
Mivel ennél a példánál az alapvető cél az volt, hogy a virtuális munkatétel
segítségével illusztráljuk a végeselemes módszer használatát, nem térünk ki a
gyakorlati számításoknál gyakrabban alkalmazott technikára, azaz az egy elem
szintjén végzett műveletek végrehajtásának elemzésére. Erre vonatkozóan újból az
előbb említett „Nemlineáris végeselemmódszer” című tárgyra hívjuk fel a figyelmet.
Vizsgáljuk meg, hogy egy általános nemlineáris mechanikai feladatnál hogyan lehet a
számítás iterációs algoritmusát megadni a virtuális elmozdulások tételével.
Tételezzük fel, hogy az egyszerűség kedvéért most is kizárjuk a dinamikus hatásokat,
de egyébként az alakváltozások jelen esetben is tetszőlegesek lehetnek (második
Piola-Kirchhoff feszültségtenzort, Green-Lagrange alakváltozástenzort és Lagrange
leírásmódot használunk).
8.5. ábra:Iterációs algoritmus
A terheket fokozatosan rakjuk rá a szerkezetre a fenti ábrán látható módon. Az ábrán
látható P általános teherszimbólum, t pedig jelenthet időváltozót, de képviselhet
valamilyen általános teherparamétert is. A példa további részében időparaméterként
hivatkozunk rá. Az első időlépésben ∆ t1 = t1
−t
0 , ∆P1
= P1
− P0
( a”0” indexű tagok
általában zérus értékűek), egy általános lépésnél pedig
t = t 1 −t
, ∆P
= P − P .
∆ n n+
n n n+
1
n

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
A számítás első lépése a t = t1
= ∆ t1
időértékhez tartozó elmozdulás, alakváltozás és
feszültség kiszámítása:
u1 = ∆u1
, E1
= ∆E1
, S1
= ∆S1
.
Egy általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett
változókéhoz hasonló módon történik:
u = u + ∆ u , E = E + ∆ E , S = S + ∆ S .
n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+
1
Az ismeretlen ∆ u n+
1 , ∆En+
1 , ∆S
n+
1 véges növekmények számítására a virtuális
elmozdulások tételét hívjuk segítségül 11 :
− S : δ E dV +
∗
g ⋅δ u dV +
( n)
t ⋅δ u dS =
∫ ∫ ∫ .
1 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0
0
n+ n+
n+ n+
V V t
S
Itt En+ 1 En ( En+
1)
δ = δ + ∆ δ . Behelyettesítve a növekményi alakokat a tételbe és
rendezve az egyenletet:
∆S : δ E + S : ∆( δ E ) + ∆S : ∆( δ E ) dV =
∫ [ n+ n n n+ n+ n+
]
V0
1 1 1 1 0
∫ ∫ ∫
= g ⋅δ u dV + t ⋅δu dS − S : δE
dV
∗
( n)
0, n+ 1 0 0n+ 1 0 n n 0
V0 t
S0
V0
Feltételezve, hogy ismerjük a t = tn
időponthoz tartozó megoldásokat, ez az
egyenlet csak két ismeretlent ( ∆Sn+1 és ∆( δ En+ 1)
) tartalmaz (megjegyezzük, hogy
esetleges dinamikus hatások esetén egy harmadik ismeretlent is figyelembe kell
venni, hiszen
∗
elemei ilyenkor b + ∆b -től függnek, ahol a növekményi tag
ismeretlen).
g0n+ 1
0n 0n+
1
A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor növekménye az anyagmodellek által
meghatározott (általában nemlineáris) módon függ az alakváltozásoktól (D az anyagi
merevség tenzora, most a nemlinearitás miatt az alakváltozás-tenzor függvénye):
∆
En+
1
n+
1 = ∫
En
ahol Sn+ 1 a En+ 1 En+ 1 En
S D(E): dE
,
∆ ∆ = − nemlineáris függvénye.
Felhívjuk a figyelmet, hogy itt természetesen még csak E n az ismert mennyiség,
∆ En+ 1 az ismeretlen un+ 1
∆ nemlineáris függvénye (emlékeztetőül hivatkozunk a
Green-Lagrange-tenzor definíciójára, lásd a második előadást). Így ∆ Sn+ 1 maga is
∆ un+ 1 nemlineáris függvény lesz (még akkor is, ha D maga nem függne esetleg Etől).
Mindezeket figyelembe véve végeredményben a virtuális elmozdulások tételének
előbb felírt egyenlete az ismeretlen ∆ un+ 1 elmozdulás-növekmény nemlineáris
függvénye lesz. Ennek a változónak iterációs meghatározására például alkalmazható
Newton eljárása.
11 A g vektor feletti csillag arra utal, hogy szükség esetén az esetleges dinamikai terhet ennél az
elemnél kell figyelembe venni.
10.06.22. 12

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
A módszer elvét a következő ábra szemlélteti egyváltozós függvény esetére (a
mechanikai modell lehet például egy nemlineáris viselkedésű húzott rúd). Az iteráció
alapelve:
8.6. ábra:
Az algoritmus
részletei
u
( m+
1)
n+
1
= u
10.06.22. 13
( 0)
n+
1
+
Megjegyezzük, hogy az ábrán R-rel jelölt tagokat reziduum-nak (maradékvektor,
hibavektor) nevezzük. Többváltozós rendszerre alkalmazva a Newton-eljárást:
Az ismeretlen
∑ + m 1
i=
1
∆ u
( i)
n+
1
m+
1
( m+
1)
( 0)
( i)
n+ 1 = u n+
1 + ∑ ∆u
n+
1
i=
1
( m+
1)
, illetve u n+
1
( m)
( m+
1)
= u n+
1 + ∆u
n+
1
∆
( + 1)
+ 1
m
n
u .
u számítására ismét felhasználjuk a virtuális elmozdulások
tételét. Az előző alkalmazásban szereplő ∆S n+ 1 : ∆( δEn+ 1)
tagot a linearizálás
érdekében elhagyjuk, így az új egyenlet az új változókkal:
( m+ 1) ( m+ 1) ( m) ( m+
1)
⎡
⎣∆S n+ 1 : δ En+ 1 + S n+ 1 : ∆( δ En 1 ) ⎤ + ⎦ dV0 =
∗
g0, n+
1 ⋅δ u dV0
+
Az itteni
∫ ∫
V0 V0
S tag az
( + 1)
∆ + 1
m
n
∫ ∫ .
+ t ⋅δu dS − S : δE
dV
( n) ( m) ( m)
0n+ 1
n+ 1 n+
1 0
St V0
( m+
1)
En+
1
∫ D(E) : dE
kifejezés
( m)
En+
1
( m)
( m)
( m+
1)
változatából számítható (itt E n+ 1 = E(
u n+
1)
és E n+
1
( m+
1)
= E(
u n+
1 ) ):
( m+ 1) ( m) ∆ S = D
( m+ 1)
: ∆ E ,
( m) ( m)
ahol D = D( E ) , és
u -hez tartozó linearizált
( m)
n+ 1
n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
( m+
1)
( m+
1)
( m)
( m)
( m+
1)
( m)
∆E = E(
u ) − E(
u ) = E(
u + ∆u
) − E(
u ) .
n + 1
n+
1
n+
1 n+
1 n+
1
n+
1

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben
szereplő
( m+
1)
∆(
δE
) alakváltozást.
( + 1)
∆ m
u -nek a virtuális elmozdulások tétele
n+
1
segítségével történő meghatározása után
( m+
1)
n+
1
10.06.22. 14
n+
1
u is számítható, majd ezt követően
( m+
1)
n+
1
E számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk:
( m+
1)
En+
1
( m+
1)
n+ 1 =
(0)
n+ 1 + ( : d , ahol
(0)
n+ 1 =
( Sn )
n ,
(0)
n+ 1 =
( Sn
)
n
∫
S S D E) E E E S S
(0)
En+
1
Megjegyezzük, hogy a feszültségmódosítás integrál-kifejezését szokás
trapézszabállyal közelíteni:
( m+
1)
En+
1
1 (0) ( m+ 1) ( m+
1) (0) ( 0)
( 0)
( m+
1)
( m+
1)
∫ D( E) : dE≈
( Dn+ 1 + Dn+ 1 ) : ( En+ 1 −E
n+
1)
, D n+
1 = D(
E n+
1)
, Dn+
1 = D(
E n+
1 ) .
2
(0)
En+
1
A virtuális erők tétele 12
Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások
esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most
nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában
kitérünk egy lehetséges alkalmazására.
8.3 Példa
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk
meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú
eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban
csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk.
8.7. ábra: Belső-külső nyomással terhelt vastagfalú cső
12 A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron
(1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és
munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében
(„Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli
Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez
a tétel első publikációja.

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Írjuk fel hengerkoordináta-rendszerben a virtuális erők tételét:
− ∫ ( δσr
ε r + δσϑε
ϑ + δσ zε
z + δτr
ϑγ
r ϑ + δτϑ
zγ
ϑ z + δτ z r γ z r ) dV +
V
∫ ∫ .
+ ( δ g u + δ g u + δ g u ) dV + ( δ p u + δ p u + δ p u ) dA=
0
r r ϑ ϑ z z r r ϑ ϑ z z
V Ae
Jelen esetben u = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε = 0,
ϑ rϑ rϑ ϑ z ϑ z z r z r
illetve
σr ϑ = 0 , σϑ
z = 0 és σ z r = 0 .
Mivel a példában = 0,
így σ = 0 , vagyis síkbeli, szimmetrikus feszültségállapotot
σ0 z
kell vizsgálnunk. Jelöljük ur - t u -val, és írjuk fel újból a virtuális erők tételének
egyszerűsödött alakját:
− ( δσ ε + δσ ε ) dV+ δ pu dA=
0
∫ ∫ .
r r ϑ ϑ
V Ae
Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata:
1
ε r = ( σ r
E
1
− νσ ϑ ) , ε ϑ = ( −νσ
r + σϑ
) .
E
Behelyettesítve ezeket a virtuális erők tételébe:
−
⎡
⎢
δσr ⎣
1 1
⎤
( σr − νσ ϑ) + δσϑ ( −νσ r + σ ϑ)
dV
E E
⎥
+
⎦
δ p u dA = 0
∫ ∫ .
V Ae
Az utolsó tagban u a megoszló teher irányában létrejövő elmozdulást jelenti.
A feszültségek és a belső nyomás kapcsolatát rugalmasságtani megoldások alapján
(lásd pl. Bezuhov: Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba c. könyvét
vagy Handbook of the solutions of elasticity c. munkát) írhatjuk fel:
2
2
⎡⎛
r ⎤ ⎡ ⎤
a ⎞
⎛ ra
⎞
⎢⎜
⎟ −1⎥
pb
⎢⎜
⎟ + 1⎥
pb
⎢⎣
⎝ r ⎠ ⎥⎦
⎢ ⎥
,
⎣⎝
r ⎠
σ σ =
⎦
r =
.
2
ϑ
2
⎛ ra
⎞
⎛ ra
⎞
⎜
⎟ −1
⎜
⎟ −1
⎝ ri
⎠
⎝ ri
⎠
A virtuális feszültségek és a virtuális terhelés ennek megfelelően:
2 2
⎡⎛ ra ⎞ ⎤ ⎡⎛ ra
⎞ ⎤
⎢⎜ ⎟ −1⎥ δ pb ⎢⎜ ⎟ + 1⎥
δpb
⎢⎝ r ⎠ ⎥ ⎢⎝ r ⎠ ⎥
δσ r =
⎣ ⎦
, δσ , p p
2 ϑ =
⎣ ⎦
δ =δ
2
b .
⎛ r ⎞ ⎛ a r ⎞ a
⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1
⎝ ri ⎠ ⎝ ri
⎠
Figyelembe véve, hogy dV = 2 rπh
dr és Ae
= 2ri
πh
, majd minden egyes tagot
behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet:
2
1 r ⎡ ⎛ i r ⎞ ⎤
a
− ⎢(1 − ν ) + (1 + ν) p 0
2
⎜ ⎟ ⎥ b δ pb + uδ pb
= .
E ⎛ r ⎞ ⎢ r
a
i ⎥
1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎜ ⎟ −
⎝ ri
⎠
Elosztva b p δ -vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás
függvényében:
10.06.22. 15

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Az idegen munkák tétele
2
⎛ r ⎞ a
⎜ ⎟ −1
ri E
pb =
⎝ ⎠
u . 2
ri ⎛ r ⎞ a
1 − ν + (1 + ν) ⎜ ⎟
⎝ ri
⎠
Vizsgáljunk meg két különböző, nem összetartozó („idegen”) valódi erőrendszert, kis
elmozdulásokkal és alakváltozásokkal, valamint lineárisan rugalmas anyagi viselkedéssel.
Az egyes munkák számításánál most koncentrált dinámok hatását is figyelembe vesszük.
Az első rendszer elemeit „egyes”, a másikét „kettes” indexszel jelöljük.
f , g , q ⇒ σ ⇒ ε
-1
= D ⋅ σ ⇒ u , e , (8.18)
1
1
1
1
-1
f 2 g 2 , q 2 ⇒ σ 2 ⇒ ε 2 = D ⋅ σ 2 ⇒
1
10.06.22. 16
1
1
2
1
, u , e . (8.19)
Számítsuk ki először az „első” halmaz általánosított erőinek a „második” halmaz
általánosított elmozdulás rendszerén végzett idegen munkáját, majd ugyanezt végezzük el
fordítva: a „második” rendszer adja az általánosított erőket, az „első” pedig az általánosított
elmozdulásokat:
W1 2,
K = f1 ⋅ e 2 + q1
⋅ u 2 dA+
g1
⋅u
2 dV , W1
2,
B = − σ1
⋅ ε 2 dV , (8.20)
∫
A
∫
∫ ∫
V
∫ g 2 ⋅u
1 dV W21,
B = −∫
W21 , K = f 2 ⋅e
1 + q 2 ⋅ u1
dA+
, σ 2 ⋅ ε1
dV . (8.21)
A
V
A virtuális elmozdulások tételét mindkét esetben figyelembe véve:
W W = , W + W = 0 . (8.22)
12 , K + 12,
B 0 21,
K 21,
B
Írjuk fel most részletesen W 12 , B értékét:
-1
-1
∫ σ 1 ⋅ ε 2 dV = −∫
ε 2 ⋅ σ1
dV = − ∫ ( D ⋅ σ 2 ) ⋅ σ 1 dV = − ∫ σ 2 ⋅ D ⋅ σ dV =
W12 , B = −
1
V V V V
2
= −∫
2 ⋅ 1 dV = W21,
B ε σ (8.23)
V
Ebből az egyenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést írhatunk fel:
W = (8.24)
K K
W 12 , 21,
A mechanikában ezt az egyenlőséget Betti 13 -tételnek, vagy más néven külső idegen
munkák egyenlőségének hívják. Az itt használt gondolatmenettel összesen 10 tétel
fogalmazható meg:
a./ Virtuális munkatétel alapján:
W = − W , W = W , W = W . (8.25)
12, K 12, B 12,B 21,B 12, K 21, K
b./ Virtuális kiegészítő munkatétel alapján:
W % = -W% , W% 12, B = W% 21, B , W% 12, K = W%
21, K . (8.26)
12,K 12,B
c./ Vegyes tételek alapján:
W = W% , W % = -W , W = − W% , W% = W . (8.27)
12, B 21, B 12,K 21,B 12, K 21, K 12, K 21, K
13 Enrico Betti (1823 -1892) kiváló olasz matematikus.

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Mindhárom csoportban vastaggal kiemeltünk egy tételt („a”/2, „b”/1, „c”/2), ezekkel
gyakorlati fontosságuk miatt külön foglalkozunk.
Felcserélhetőségi tételek
Az alábbi három tételnél feltételezzük, hogy g és q zérus.
a./ Külső elmozdulások felcserélhetősége (Maxwell 14 -féle felcserélhetőségi tétel):
Az alkalmazott két erőrendszer mindegyikét alkossa egyetlen egy egységdinám (erő
vagy nyomaték): F1 = 1 és F2
= 1.
Felhasználva a „b/1” alatti tételt és behelyettesítve
ezt az erőrendszert:
W% = W% ⇒ e F = e F ⇒ e =e . (8.28)
12, K - 12, B 1 2 2 1 12 21
A tételben szereplő változónál az első index a helyet, a második index az okot jelöli,
lásd az alábbi ábrát:
8.8. ábra: Maxwell tétele
A tételt elsősorban elmozdulási hatásábrák készítésére használják.
b./ Belső erők felcserélhetősége (Kossalka 15 -féle első felcserélhetőségi tétel):
A tételt statikailag határozatlan tartóknál alkalmazzák igénybevételek számítására. Az
alkalmazott elmozdulások legyenek egységnyi értékűek.
W = W ⇒ − M ϑ = − S u ⇒ S = M . (8.29)
12, B 21, B
1 2 2 1 12 21
A tétel magyarázatához ad segítséget az alábbi ábra:
8.9.ábra: Kossalka első tétele
c./ Belső erő és külső elmozdulás felcserélhetősége (Kossalka-féle második
felcserélhetőségi tétel):
14 James Clerk Maxwell (1831 – 1879) skót matematikus és fizikus, a legnagyobb tudósok egyike.
Sokat foglalkozott mechanikai témájú feladatokkal is.
15 Kossalka János (1871–1944) kiváló magyar hídépítő mérnök. Ő tervezte például az Árpád-hidat
is.
10.06.22. 17

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Az első rendszerben az alkalmazott elmozdulás, a másodikban pedig az alkalmazott
erő legyen egységnyi:
W% = −W ⇒ S u = e f ⇒ S =e . (8.30)
12, K 21, B 2 1 1 2 12 21
A tétel magyarázatához lásd az alábbi ábrát:
8.10. ábra: Kossalka második tétele
A tételt igénybevételi hatásábra kinematikus módon történő készítéséhez
használják, hiszen ilyenkor az igénybevételi hatásábra egy adott keresztmetszetben az
igénybevételnek megfelelő egységnyi relatív elmozdulásból származó lehajlási ábra
lesz.
Elmozdulási hatásábrák
Egy tartószerkezet valamely K pontjának K ( ) C η elmozdulási hatásábráját a tartón
végigmenő függőleges egységerő hatásából úgy számítjuk, hogy a K ponton a C
elmozdulásnak megfelelő Q =1 terhet (erőt, erő-párt, nyomatékot, nyomaték-párt)
működtetünk, és meghatározzuk a tartón végigmenő egységerő támadáspontjainak
függőleges eltolódási ábráját (lásd a Maxwell-féle felcserélhetőségi tételt).
Ez a függőleges eltolódási ábra megadja a keresett elmozdulási hatásábrát.
8.11. ábra: Virtuális dinámok felvétele elmozdulási hatásábrákhoz
10.06.22. 18

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
8.4 Példa
Határozzuk meg a tartó „C” csuklóba befutó rudak végeinek „nagyított” relatív elfordulási
hatásábráját:
Megoldás:
A relatív elfordulási hatásábra számításához a C csuklóban elhelyezett egységnyi nyomatékpárból
keletkező függőleges eltolódási ábrát kell kiszámítanunk. Ezt a nyomatékábrát és a
ingarudakban keletkező rúderőket a lenti ábrán már megrajzoltuk.
A hajlítási merevség az egész tartón állandó, az inerciasugár négyzete 1,6.
8.12. ábra: Elfordulási hatásábra számításának első lépése
A függőleges eltolódási ábrát úgy fogjuk meghatározni, hogy először kiszámítjuk a
„3” jelű pont abszolút mozgásait (függőleges eltolódását és abszolút elfordulását), ezt
követően meghatározzuk a C csuklónál keletkező relatív elfordulást és végül ezek
ismeretében az összes többi pont függőleges eltolódását.
A ϑ C relatív elfordulás meghatározásához az egységnyi nyomaték-párból kapott
igénybevételeket kell „önmagukkal” integrálni, hiszen ilyenkor a virtuális hatást
ugyancsak egy egységnyi nyomaték-párral kell megadnunk. Megjegyezzük, hogy az
inerciasugár négyzetére azért van szükségünk, hogy az ingarudakban keletkező
normálerők hatását is ugyanúgy EI x nagyítással tudjuk figyelembe venni (mivel a
rugalmassági modulus ugyanakkora a gerendánál és az ingarudaknál, annak hatása a
I x
nagyításnál kiejthető, az hányados pedig nem más, mint az inerciasugár
A
négyzete).
6⋅1
2 3⋅1
2
ϑ
C = + 12⋅1⋅1+
+ 1,
6⋅
2 3 2 3
2 ⋅3(
10.06.22. 19
2
6
2
6
+
2
6
2 1 1
) + 1,
6⋅
3⋅
= 16,
288 kNm
6 3 3
2

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
A „3”-as pont nagyított függőleges eltolódásának számításához a pontba függőleges
egységerőt iktatunk, majd az ebből kapott igénybevételeket integráljuk az egységnyi
nyomaték-párból kapott hatásokkal:
8.13. ábra: Függőleges eltolódás számítása
6⋅
3 1
2 2 2 2
3
e3 y = + 1,
6⋅3⋅
2 ( − ) = 2,
25kNm
2⋅
2 2
6 2 6 2
A „3”-as pont nagyított abszolút elfordulásának meghatározásához a pontba
egységnyi nyomatékot helyezünk:
8.14. ábra: Elfordulás számítása
3 ⋅ 1 2 3 1 2 3 1 3 ⋅ 1 2 3 1
ϕ 3 = − + 3 ⋅ ( + ) + ( + ) −
2 ⋅ 2 3 8 2 8 8 2 2⋅ 2 8 8 3
1 3 ⋅1 ⋅1 ⋅2 2 3 ⋅ 2 2 2 1 1
−6⋅1⋅ − −1,6 ⋅3⋅ 2( + ) −1,6 ⋅3 ⋅ ⋅
4 2 ⋅4 ⋅ 3 6 24 6 24 3 12
2
ϕ 3 = −1,
5105 kNm .
A többi pont eltolódásának meghatározása:
3⋅1 e1
y = 2, 25 + 1,51⋅ 6 − ⋅ 5 = 7,56( ↓)
2⋅ 2
3⋅1 e2
y = 2,25 + 1,51 ⋅3 − ⋅ 2 = 5,28( ↓)
2⋅ 2
1 3⋅1 e4
y = 2,25 −1,51 ⋅3 − 3⋅ ⋅1,5 − ⋅ 1 = −5, 28( ↑)
2 2⋅ 2
1 3
e 5 y = 2,25 −1,51 ⋅6 − 3⋅ ⋅4,5 − ⋅ 4 − 3⋅1⋅ 1,5 = −21,06( ↑ )
2 4
3 3
e 6 y = 2,25 −1,51 ⋅9 − ⋅7,5 − ⋅7 − 3⋅ 4,5 + 16,288 ⋅3 − 3⋅ 1,5 = 3,024( ↓
)
2 4
10.06.22. 20
.

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Felhasznált irodalom:
3 3
e 7 y = 2,25 −1,51 ⋅12 − ⋅10,5 − ⋅10 − 9⋅ 4,5 + 16,288 ⋅ 6 = 18,1( ↓ )
2 4
3 3
e 8 y = 2, 25 −1,51 ⋅15 − ⋅1,5 − ⋅13 −12 ⋅ 6 + 16,288 ⋅ 9 = 24,192( ↓ ) .
2 4
A relatív elfordulási hatásábra alakja:
8.15. Az elfordulási hatásábra
1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy. : Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.
2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994.
3./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952.
4./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000.
5./ Holzapfel, G. A. : Nonlinear solid mechanics, Wiley, 2000.
10.06.22. 21