8. Előadás: Munkatételek

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben szereplő ( m+ 1) ∆( δE ) alakváltozást. ( + 1) ∆ m u -nek a virtuális elmozdulások tétele n+ 1 segítségével történő meghatározása után ( m+ 1) n+ 1 10.06.22. 14 n+ 1 u is számítható, majd ezt követően ( m+ 1) n+ 1 E számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk: ( m+ 1) En+ 1 ( m+ 1) n+ 1 = (0) n+ 1 + ( : d , ahol (0) n+ 1 = ( Sn ) n , (0) n+ 1 = ( Sn ) n ∫ S S D E) E E E S S (0) En+ 1 Megjegyezzük, hogy a feszültségmódosítás integrál-kifejezését szokás trapézszabállyal közelíteni: ( m+ 1) En+ 1 1 (0) ( m+ 1) ( m+ 1) (0) ( 0) ( 0) ( m+ 1) ( m+ 1) ∫ D( E) : dE≈ ( Dn+ 1 + Dn+ 1 ) : ( En+ 1 −E n+ 1) , D n+ 1 = D( E n+ 1) , Dn+ 1 = D( E n+ 1 ) . 2 (0) En+ 1 A virtuális erők tétele 12 Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában kitérünk egy lehetséges alkalmazására. 8.3 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk. 8.7. ábra: Belső-külső nyomással terhelt vastagfalú cső 12 A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében („Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez a tétel első publikációja.
Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat Írjuk fel hengerkoordináta-rendszerben a virtuális erők tételét: − ∫ ( δσr ε r + δσϑε ϑ + δσ zε z + δτr ϑγ r ϑ + δτϑ zγ ϑ z + δτ z r γ z r ) dV + V ∫ ∫ . + ( δ g u + δ g u + δ g u ) dV + ( δ p u + δ p u + δ p u ) dA= 0 r r ϑ ϑ z z r r ϑ ϑ z z V Ae Jelen esetben u = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε = 0, γ = 2ε = 0, ϑ rϑ rϑ ϑ z ϑ z z r z r illetve σr ϑ = 0 , σϑ z = 0 és σ z r = 0 . Mivel a példában = 0, így σ = 0 , vagyis síkbeli, szimmetrikus feszültségállapotot σ0 z kell vizsgálnunk. Jelöljük ur - t u -val, és írjuk fel újból a virtuális erők tételének egyszerűsödött alakját: − ( δσ ε + δσ ε ) dV+ δ pu dA= 0 ∫ ∫ . r r ϑ ϑ V Ae Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata: 1 ε r = ( σ r E 1 − νσ ϑ ) , ε ϑ = ( −νσ r + σϑ ) . E Behelyettesítve ezeket a virtuális erők tételébe: − ⎡ ⎢ δσr ⎣ 1 1 ⎤ ( σr − νσ ϑ) + δσϑ ( −νσ r + σ ϑ) dV E E ⎥ + ⎦ δ p u dA = 0 ∫ ∫ . V Ae Az utolsó tagban u a megoszló teher irányában létrejövő elmozdulást jelenti. A feszültségek és a belső nyomás kapcsolatát rugalmasságtani megoldások alapján (lásd pl. Bezuhov: Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba c. könyvét vagy Handbook of the solutions of elasticity c. munkát) írhatjuk fel: 2 2 ⎡⎛ r ⎤ ⎡ ⎤ a ⎞ ⎛ ra ⎞ ⎢⎜ ⎟ −1⎥ pb ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ pb ⎢⎣ ⎝ r ⎠ ⎥⎦ ⎢ ⎥ , ⎣⎝ r ⎠ σ σ = ⎦ r = . 2 ϑ 2 ⎛ ra ⎞ ⎛ ra ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1 ⎝ ri ⎠ ⎝ ri ⎠ A virtuális feszültségek és a virtuális terhelés ennek megfelelően: 2 2 ⎡⎛ ra ⎞ ⎤ ⎡⎛ ra ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ −1⎥ δ pb ⎢⎜ ⎟ + 1⎥ δpb ⎢⎝ r ⎠ ⎥ ⎢⎝ r ⎠ ⎥ δσ r = ⎣ ⎦ , δσ , p p 2 ϑ = ⎣ ⎦ δ =δ 2 b . ⎛ r ⎞ ⎛ a r ⎞ a ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −1 ⎝ ri ⎠ ⎝ ri ⎠ Figyelembe véve, hogy dV = 2 rπh dr és Ae = 2ri πh , majd minden egyes tagot behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet: 2 1 r ⎡ ⎛ i r ⎞ ⎤ a − ⎢(1 − ν ) + (1 + ν) p 0 2 ⎜ ⎟ ⎥ b δ pb + uδ pb = . E ⎛ r ⎞ ⎢ r a i ⎥ 1 ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎜ ⎟ − ⎝ ri ⎠ Elosztva b p δ -vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás függvényében: 10.06.22. 15
Page 1 and 2: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 13: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 21: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el

8. Előadás: Munkatételek

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?