8. Előadás: Munkatételek

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás <strong>Előadás</strong>vázlat dV 0 J = = , dV0 ρ ρ majd ezt felhasználva indexes alakban írjuk fel az átváltást: ρ0 ∂X ∂X i j S ji = σl k . ρ ∂xk ∂xl A feladat eredménye (elemekre bontva a számításból adódó értékeket): 2 ρ0 ⎛ dX 1 ⎞ S 11 = S1 = ⎜ ⎟ ρ ⎝ dx1 ⎠ dV σ1 = dV0 1 2 η1 η1η2η 3 = σ 2 η1 η3η1 S 22 = S 2 = σ 2 , S33 η η1η2 = S3 = σ3 . η 2 10.06.22. 6 3 1 η2η = η Következő lépésként magukat a Cauchy-feszültségeket kell meghatároznunk. Ehhez a számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzorra is, ez azonban kifejezhető a Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor segítségével. A kétféle alakváltozás-tenzor kapcsolatát a gradiens-tenzor felhasználásával lehet megadni: 1 T 1 -T -1 1 T -T -1 E = ( F ⋅ F - I) és e = ( I - F ⋅ F ) ⇒ e = ( F ⋅ F - F ⋅ F ) − E . 2 2 2 A deformáció-gradiens tenzort már az előbb felírtuk, így az Almansi-Hamel-tenzor három nemzérus eleme egyszerűen számítható: 1 2 1 1 2 1 e11 = e1 = ( η 2 1 − 1) = E 2 1, e22 = e2 = ( η 2 2 − 1) = E 2 2, 2η1 η1 2η2 η2 1 2 1 e33 = e3 = ( η 2 3 − 1) = E 2 3 . 2η3 η3 A Cauchy-tenzor elemeit ezek után a Hooke-féle anyagmodell segítségével kapjuk, mivel lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételeztünk fel a modellről. A Hookemodell egyenletei itt is érvényesek, hiszen most az anyagi linearitást a nagy alakváltozásokra is kiterjesztettük: E ⎡ ν ⎤ E ⎡ ν ⎤ σ1 = 1 ( 1 2 3) , 2 2 ( 1 2 3) , 1 ⎢ e + e + e + e σ = 1 2 ⎥ 1 ⎢ e + e + e + e + ν + ν 1 2 ⎥ ⎣ − ν ⎦ ⎣ − ν ⎦ E ⎡ ν ⎤ σ 3 = ⎢ e3 + ( e1 + e2 + e3 ) 1+ ν ⎥ . ⎣ 1− 2ν ⎦ Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) Piola- Kirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is: η2η3 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤ S1 = ⎢ E 2 1 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥ , η 1 1+ ν ⎣η1 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3 ⎠⎦ η1η3 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤ S2 = ⎢ E 2 2 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥ , η 2 1+ ν ⎣η2 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3 ⎠⎦ η2η2 E ⎡ 1 ν ⎛ 1 1 1 ⎞⎤ S3 = ⎢ E 2 3 + ⎜ E 2 1 + E 2 2 + E 2 3 ⎟⎥ . η 3 1+ ν ⎣η3 1− 2ν ⎝ η1 η2 η3 ⎠⎦ 1 3 σ 1 ,
Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás <strong>Előadás</strong>vázlat Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrangealakváltozások helyére pedig azok részletes értékét: η2η3 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ S1 = ⎢1 + ν − − ν , 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ η1 1− 2ν ⎣ η1 ⎝ η2 η3 ⎠⎦ η1η3 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ S2 = ⎢1+ ν − − ν 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ , η2 1− 2ν ⎣ η2 ⎝ η1 η3 ⎠⎦ η2η1 G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ S3 = ⎢1+ ν − − ν 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ . η3 1− 2ν ⎣ η3 ⎝ η2 η1 ⎠⎦ A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés: S ⋅δE = S1δ E1 + S2δ E2 + S3δ E3 , ahol δ E1 =η1 δη1 A teljes térfogati integrál ezek után: , δ E2 = η2 δη2 , δ E3 = η3 δη 3 . − S ⋅δ E dV = − S δ E + S δ E + S δE 3 L . ∫ V0 ( ) 0 1 1 2 2 3 3 A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell figyelembe venni: δ u = X δη , δ u = X δη , δ u = X δη , 1 1 1 2 2 2 3 3 3 q = − p , q = − p , q = − p , (1) (2) (3) 1 2 3 A q = q = − η η p , q = − η η p , q = −η η p . (1) (1) (2) (3) 0 A0 2 3 1 0 3 1 2 0 1 2 3 A külső virtuális munka ezeknek megfelelően: (1) (1) q δ u dA + (2) (2) q δ u dA + (3) (3) q δ u dA 3 = L (1) (2) (3) q δη + q δη + q δη ∫ ∫ ∫ ( ) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3 (1) A0 (2) A0 (3) A0 A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva: (1) −S η + q (2) δη + −S η + q (3) δη + −S η + q δη = . ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2 2 0 2 3 3 0 3 0 Ennek a kifejezésnek bármilyen δη1 , δη2 , δη3 variációra teljesülnie kell, így a három zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez jutunk. Ezekbe helyettesítsük be a II. Piola-Kirchhoff-feszültségekre illetve a felületi terhekre korábban kapott értékeket: G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎢1 + ν − − ν p 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ = − 1, 1− 2ν ⎣ η1 ⎝ η2 η3 ⎠⎦ G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎢1+ ν − − ν p 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ = − 2 , 1− 2ν ⎣ η2 ⎝ η1 η3 ⎠⎦ G ⎡ 1− ν ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎢1+ ν − − ν p 2 ⎜ + 2 2 ⎟⎥ = − 3 . 1− 2ν ⎣ η3 ⎝ η2 η1 ⎠⎦ Ebből a három ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszerből határozható meg a η , η és η . Megjegyezzük, hogy az egyenletrendszer keresett 1 2 3 1 , 2 η1 1 2 η2 1 és 2 η3 ismeretlenjeit x,y és z paraméterekkel helyettesítve ez a feladat lineáris egyenletrendszerre vezethető vissza. A paraméteres megoldás zárt alakban is 10.06.22. 7
Page 1 and 2: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 5: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 21: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el

8. Előadás: Munkatételek

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?