8. Előadás: Munkatételek

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő
átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g = ρ b ):
( ) ( )
∫ ∫
⎡⎣ σ : ∇ δu − g − ρu&& ⋅δu⎤⎦ dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.14)
V St
Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az Almansi-
Hamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe 8 :
⎡⎣ σ : δe − ( g − ρu&& ) ⋅δu⎤⎦ dV − t ⋅δ u dS = 0 . (8.15)
∫ ∫
V St
Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a
nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások
tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független
az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.
A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben
Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot.
Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a
néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb
összehasonlíthatóság végett:
T ⎡
⎣P : δF − ( g0 − ρ0u&& ) ⋅δu⎤ ⎦ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0.
(8.16)
∫ ∫
V0 St0
Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is
megadható 9 :
⎡⎣ S : δE − ( g0 − ρ0u&& ) ⋅δu⎤⎦ dV0 − t0 ⋅δ u dS0
= 0
(8.17)
∫ ∫
V0 St0
ahol S a második Piola-Kirchhoff-féle feszültség-, E pedig a Green-Lagrangealakváltozástenzor.
8. 1 Példa
Vizsgáljuk meg a virtuális elmozdulások tételének segítségével egy tehermentes állapotában
L oldalhosszúságú (homogén, izotrop, lineárisan rugalmas anyagú) kocka triaxiális terhelés
hatására kialakuló mechanikai állapotát. A felületi terhelés intenzitása a három tengely
, p és p p , az új (egyelőre ismeretlen) oldalhosszakat jelöljük
irányában 1 2 3
1 L, η2
L és η3L
η -lel. A változások tetszőlegesen nagyok lehetnek.
A tömeg- és tehetetlenségi erőket elhanyagoljuk, az anyagállandókat (E, G, ν ) ismerjük. A
tételt most Lagrange-rendszerben írjuk fel.
A mozgásokat leíró alapegyenletek és a kezdeti feltételek:
8
A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus
és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus
Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus.
9
A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a
σ : δ e dV = S : δ E dV0
összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva.
10.06.22. 4