8. Előadás: Munkatételek

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
nN
∑
I=
1
b k kin
( )
δu f − f + f = 0, ∀δu −ra
.
I I I I
Ez az egyenlet valóban mindig zérus, hiszen I=1-nél 1 u δ zérus a peremfeltételek
miatt, míg a többi csomópontnál a zárójeles kifejezés lesz nulla. Elhagyva a
tetszőleges virtuális elmozdulásfüggvényt, mátrix alakban a következő szemidiszkrét
(a térben diszkrét, az időben azonban folytonos) egyenletrendszert írhatjuk fel:
k b
f = f − f = M a .
Ezt a kifejezést a mozgás egyenletének hívják a mechanikában, és alapvető
fontosságú a nemlineáris feladat végeselemes vizsgálatában. Az egyenletrendszerben
az előírt elmozdulási peremfeltételt már figyelembe vettük. Matematikai jellegét
tekintve nN − 1 darab másodrendű közönséges differenciálegyenletből áll,
amelyeknek független változója a t idő- (vagy teher-) paraméter.
Megjegyezzük, hogy a számításokban az M tömegmátrix gyakran nem diagonál (ezt
hívják a mechanikában konzisztens tömegmátrixnak), így a mozgásegyenlet nem
egyezik meg pontosan az f = M a alakú II. Newton-törvénnyel, mivel az I-edik
csomópontnál levő erő is okozhat gyorsulást a J-edik csomópontnál.
Fontos tudnunk, hogy ha a konzisztens tömegmátrix helyett diagonál felépítésű
tömegmátrixot kívánunk használni, akkor a szakirodalomban ajánlott többféle
lehetőség valamelyikét kell választanunk (lásd részletesebben a „Nemlineáris
végeselemmódszer” című MSc tárgy vonatkozó fejezeteit).
A fenti mozgásegyenlethez előírt kezdeti feltételeket legtöbbször a csomóponti
elmozdulás-és sebességváltozók figyelembevételével adjuk meg:
u (0) = u ( X ), ∀I − re, uɺ (0) = uɺ ( X ), ∀I −re
.
I 0 I I 0 I
Megjegyezzük, hogy egy t = 0 pillanatban nyugalomban lévő és deformálatlan testnél
ezek a kezdeti feltételek az u (0) = 0 és uɺ (0) = 0 ( ∀I −re)
alakot öltik.
I I
Ha a kezdeti feltételek sokkal bonyolultabbak (például időben változó értékeket írunk
elő), akkor a csomóponti elmozdulások és sebességek értékeinek a kezdeti adatokhoz
történő illesztését a legkisebb négyzetek módszere segítségével külön ki kell
számítanunk. Ilyenkor az u ( X ) kezdeti adathalmaz és a végeselemes interpolációból
adódó ∑ NI ( X ) uI
(0) értékek különbségének négyzetét minimalizáljuk:
X
b
1 ⎛ ⎞
M ( u( 0 ) ) = ⎜ uI (0) NI ( X ) −u0 ( X ) ⎟ ρ 0 A0 dX = min
2 ∫ ⎜∑ ⎝
⎟
!
⎟⎠
Xa
I
A sűrűséget hagyományosan azért szokták beépíteni a fenti kifejezésbe, hogy a
tömegmátrixot felhasználhassák a számításban. A minimumfeltételt alkalmazva a
hibára a következőt kapjuk:
Xb
∂M
⎡ ⎤
= NK ( X ) ⎢ uI (0) NI ( X ) −u0 ( X ) ⎥ ρ 0 A0 dX = 0
∂uK (0) ∫ ⎢∑ .
⎥
X
I
a ⎣ ⎦
Ha itt felhasználjuk a tömegmátrix korábbi definícióját, akkor az egyenlet az alábbi
alakra hozható:
10.06.22. 10
2