8. Előadás: Munkatételek

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat
A számítás első lépése a t = t1
= ∆ t1
időértékhez tartozó elmozdulás, alakváltozás és
feszültség kiszámítása:
u1 = ∆u1
, E1
= ∆E1
, S1
= ∆S1
.
Egy általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett
változókéhoz hasonló módon történik:
u = u + ∆ u , E = E + ∆ E , S = S + ∆ S .
n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+ 1 n+ 1 n n+
1
Az ismeretlen ∆ u n+
1 , ∆En+
1 , ∆S
n+
1 véges növekmények számítására a virtuális
elmozdulások tételét hívjuk segítségül 11 :
− S : δ E dV +
∗
g ⋅δ u dV +
( n)
t ⋅δ u dS =
∫ ∫ ∫ .
1 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 0
0
n+ n+
n+ n+
V V t
S
Itt En+ 1 En ( En+
1)
δ = δ + ∆ δ . Behelyettesítve a növekményi alakokat a tételbe és
rendezve az egyenletet:
∆S : δ E + S : ∆( δ E ) + ∆S : ∆( δ E ) dV =
∫ [ n+ n n n+ n+ n+
]
V0
1 1 1 1 0
∫ ∫ ∫
= g ⋅δ u dV + t ⋅δu dS − S : δE
dV
∗
( n)
0, n+ 1 0 0n+ 1 0 n n 0
V0 t
S0
V0
Feltételezve, hogy ismerjük a t = tn
időponthoz tartozó megoldásokat, ez az
egyenlet csak két ismeretlent ( ∆Sn+1 és ∆( δ En+ 1)
) tartalmaz (megjegyezzük, hogy
esetleges dinamikus hatások esetén egy harmadik ismeretlent is figyelembe kell
venni, hiszen
∗
elemei ilyenkor b + ∆b -től függnek, ahol a növekményi tag
ismeretlen).
g0n+ 1
0n 0n+
1
A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor növekménye az anyagmodellek által
meghatározott (általában nemlineáris) módon függ az alakváltozásoktól (D az anyagi
merevség tenzora, most a nemlinearitás miatt az alakváltozás-tenzor függvénye):
∆
En+
1
n+
1 = ∫
En
ahol Sn+ 1 a En+ 1 En+ 1 En
S D(E): dE
,
∆ ∆ = − nemlineáris függvénye.
Felhívjuk a figyelmet, hogy itt természetesen még csak E n az ismert mennyiség,
∆ En+ 1 az ismeretlen un+ 1
∆ nemlineáris függvénye (emlékeztetőül hivatkozunk a
Green-Lagrange-tenzor definíciójára, lásd a második előadást). Így ∆ Sn+ 1 maga is
∆ un+ 1 nemlineáris függvény lesz (még akkor is, ha D maga nem függne esetleg Etől).
Mindezeket figyelembe véve végeredményben a virtuális elmozdulások tételének
előbb felírt egyenlete az ismeretlen ∆ un+ 1 elmozdulás-növekmény nemlineáris
függvénye lesz. Ennek a változónak iterációs meghatározására például alkalmazható
Newton eljárása.
11 A g vektor feletti csillag arra utal, hogy szükség esetén az esetleges dinamikai terhet ennél az
elemnél kell figyelembe venni.
10.06.22. 12