8. Előadás: Munkatételek

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat Nagy alakváltozások esetén a virtuális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve nem, de egyes változóit tekintve formálisan módosul. A módosítás attól függ, hogy Lagrange-, vagy Euler-rendszerben írjuk fel az alapvető egyenleteket. A virtuális elmozdulások tétele 3 Euler-bázisban Az előző előadásban az alapvető egyenletek erős és gyenge alakjának elemzésekor bemutattuk, hogy az Euler-bázisban a megmaradási egyenletekből a virtuális teljesítmények elvének nevezett variációs elvhez jutunk. Ez az elv a nemlineáris végeselemes számításoknál kiválóan megfelel az igen gyors változásokkal járó áramlástani feladatok (folyadékok, gázok) vizsgálatánál. Olyan – szilárd testeket vizsgáló – mechanikai feladatoknál azonban, ahol mindenképpen szükséges az Euler-féle leírásmód (például nagyon nagy alakváltozásokkal – gyűrődésekkel – járó terhelések vizsgálatakor), előnyösebb az impulzus-megmaradási feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező, hanem az elmozdulásmező variálásával végrehajtani, és így a – Lagrange-leírásmódnál is felhasznált – virtuális munkák tételét létrehozni ebben a bázisban. Ennek az átalakítás-variációnak nincs elvi akadálya, hiszen a variációs feladat létrehozásánál nincs semmilyen megkötés a tesztfüggvény típusára. Bár a virtuális elmozdulások elméleti alapjaival már a BSc Szilárdságtanban részletesen foglalkoztunk, most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket, illetve azokat a sajátosságokat, amelyek a nagy változások leírásmódjához kapcsolódnak. 8.1. ábra: Kezdeti és pillanatnyi konfiguráció 3 A virtuális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok, Johann Bernoulli (1667 – 1748) és fia, Daniel Bernoulli (1700 – 1782) fogalmazták meg. Johann Bernoulli a francia Pierre Varignon-nak írt, 1715. február 26-i keltezésű levelében írt először virtuális elmozdulásrendszerekről és azok mechanikai alkalmazásairól (Varignon: „Nouvelle Mécanique”, Vol. 2, pp. 174, Párizs,1725). Fia főleg a variációs elv alkalmazásaival járult hozzá a módszer népszerűsítéséhez. Ő hívta fel egyébként Euler figyelmét erre a mechanikai modellezési lehetőségre. Megjegyezzük, hogy magát a „virtuális elmozdulás” elnevezést először Lagrange (róla lásd az első előadás 4. lábjegyzetét) használta (Lagrange: „Mecanique Analytique”, 1788, Párizs). 10.06.22. 2
Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik előadás Előadásvázlat Magának a virtuális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáris feldatok esetében sem. A (8.1) ábrán látható kezdeti és pillanatnyi (de időben rögzített!) konfigurációt felhasználva a pillanatnyi konfiguráció kicsiny megváltoztatásával állítjuk elő a virtuális elmozdulásrendszert: ) δ u = u − u = εw , (8.7) ahol ε kicsiny, nullához tartó paraméter. Írjuk fel most az elmozdulás-variáció gradiensszámításához szükséges alapvető képleteket: ) ) ∇ δ u = ∇u − ∇u, δ ∇ u = ∇u − ∇u ⇒ δ ∇ u = ∇ δu . (8.8) ( ) ( ) ( ) ( ) Ha figyelembe vesszük 4 , hogy ∇ u = ∇ uF ⇔ ∂ui ∂ui = F 0 −1 −1 ∂x j ∂X k k j ∂δui ∂δui ∇ δ u = ∇0 δu F ⇔ = F ∂x ∂X −1 −1 akkor ( ) ( ) j k , (8.9) 10.06.22. 3 k j . (8.10) A mechanikai feladatoknál szükség lehet a deformációgradiens-tenzor, illetve az adott bázis jellemzőjének tartott alakváltozás-tenzor (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzor) variációjának ismeretére is. Írjuk fel most ezeket 5 : ( ) ( u -1 −1 ∂ δu ∂ δ i −1 −1 j ) δ F = ∇0 ( δu) , δ F = −F ∇( δu) ⇔ δ Fik = , δ Fk i = −Fk j . (8.11) ∂X k ∂xi Az Almansi-Hamel-tenzor variációjának számítását megkönnyíti a Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor variációjának ismerete. Számítsuk ki először ezt 6 : 1 T T 1 T T T δ E = ⎡ ( F ) F F F⎤ ⎡( F 0( u) ) F 0( u) ⎤ 2 ⎣ δ + δ ⎦ = ∇ δ + ∇ δ , (8.12) 2 ⎢⎣ ⎥⎦ majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzort: −T −1 1 −T T −1 δ e = F δ EF = ( F ( ∇0 ( δ u) ) + ∇0 ( δ u) F ) = 2 . (8.13) 1 T 1 ⎛ ∂δu j ∂δu ⎞ i = ( ( ∇( δ u) ) + ∇( δu) ) ⇔ δ ei j = ⎜ + 2 2 ⎜ ⎟ ∂xi ∂x ⎟ ⎝ j ⎠ Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek 7 ugyanazok, mint amiket a korábbiakban alkalmaztunk: Peremfeltételek: u = u az Su tartományon, t = t az St tartományon. Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak): u x, t = u X , u& x, t = u& X . ( ) ( ) ( ) ( ) t= 0 0 t= 0 0 4 A fontosabb képleteket indexes alakban is megadjuk. Emlékeztetőül a vektormezőkre – általunk használt – gradiens definíció: ( ) grad u u T = ∇ ⊗ (lásd a Függelék vonatkozó részét). 5 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 A második képlethez: ( F F I) F F FF F ( u) F F ( u) δ − ⇒ δ = − δ = − ∇ δ = − ∇ δ . 6 1 ⎛ ∂uk ∂u ⎞ k Ezt is felírjuk indexes változatban: δ Ei j = ⎜ Fk j + Fk i ⎟ . 2 ⎜ ∂X i ∂X ⎟ ⎝ j ⎠ 7 Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk. 0
Page 1: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 5 and 6: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el
Page 21: Bojtár: Mechanika MSc Nyolcadik el

8. Előadás: Munkatételek

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?