3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások ...

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
A 3.2 alatti sajátérték-feladatok karakterisztikus egyenleteinek megoldásából adódik a 3-3
darab főnyúlás (vagy fajlagos főalakváltozás), majd ezek segítségével a 3-3 darab főirány
vektor. Megjegyezzük, hogy a főnyúlások segítségével a Green-Lagrange- és az Almansi-
Hamel-féle tenzorok főértékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( i λ a b tenzor, 0i λ
pedig a C tenzor sajátértékeinek négyzetgyökét jelöli):
1 2 1 2
Ei ( λ 0 i 1) és ei
( 1 λ i ) .
2 2
−
= − = − (3.7)
A főértékek és főirány vektorok felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzorok is
(emlékezzünk a Függelékben a spektrál-felbontásról leírtakra):
2 2 2
2 2 2
C= λ n ⊗ n + λ n ⊗ n + λ n ⊗n
b = λ n ⊗ n + λ n ⊗ n + λ n ⊗ n (3.8)
01 01 01 02 02 02 03 03 03 ,
1 1 1 2 2 2 3 3 3 ,
E = E n ⊗ n + E n ⊗ n + E n ⊗n , e = e n ⊗ n + e n ⊗ n + e n ⊗n
.
1 01 01 2 02 02 3 03 0 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
Abban az esetben, ha az alakváltozások kicsik, a „főalakváltozások” elnevezés helyett
elfogadottabb a „főnyúlás” név használata. Az ε tenzor sajátértékei ebben az esetben ezeket
a főnyúlásokat jelentik, értéküket pedig (elsősorban más mechanikai számításokhoz való
kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagyságuk szerinti sorrendbe rendezni:
ε ≥ ε ≥ ε (3.9)
3.1 Példa
1 2 3
Határozzuk meg a második előadás 2.3/b példájában szereplő nyírási feladatnál a
deformációs tenzorokhoz tartozó főnyúlásokat és a főirányokat!
A gradiens-tenzort, valamint a C és b tenzorokat már a 2.3-as példában kiszámítottuk:
⎡1 F =
⎢
⎢
0
⎢⎣ 0
k
1
0
0⎤ ⎡1 0
⎥
, C=
⎢
⎥ ⎢
k
1⎥⎦ ⎢⎣ 0
k
2
1+ k
0
2
0⎤ ⎡1+ k
0
⎥ ⎢
⎥
, b = ⎢ k
1⎥⎦ ⎢
⎣ 0
k
1
0
0⎤
⎥
0 ⎥ .
1⎥
⎦
A sajátérték-feladatokhoz tartozó determinánsok a C és b tenzor esetében:
2
1− λ k 0
2 2
1+ k − λ k 0
0
k 1+ k − λ 0 = 0, k 1− λ 0 = 0 .
2 2
0
2
2
− λ0 2
− λ
0 0 1 0 0 1
A karakterisztikus egyenlet felírásából azonnal észrevehető, hogy a két sajátértékfeladat
ugyanazokat a sajátértékeket szolgáltatja, mivel az invariánsok értéke megegyezik:
2 2
I = I = 3 + k , I = I = 3 + k , I = I = 1.
0,1 1 0,2 2 0,3 3
Ennek figyelembevételével:
2 2
λ 0,i = λ i .
A főnyúlások (most már csak egyféle módon jelölve őket):
2 1 2 1 2
λ 1,2 = 1+ k ± k 1 + k , λ 3 = 1.
2 4
A főirányok már különbözőek lesznek. A sajátértékfeladat felhasználásával adódó
koordináták a kezdeti és a pillanatnyi állapotban:
10.06.20. 2