3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások ...

Bojtár: Mechanika MSc Harmadik előadás Előadásvázlat
Figyelembe véve, hogy (most indexes jelöléssel):
∂u i
dxi = dX i +
∂X j
⎛ ∂u
⎞ i
dX j = ⎜ δ i j + ⎟ dX j ,
⎜ ∂X
⎟
⎝ j ⎠
(3.29)
az egyes növekmények az Euler-féle rendszerben a következőképpen írhatók fel:
⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u
dr = ⎜1 + ⎟ dR + dθ + dZ,
⎝ ∂R ⎠ ∂θ ∂Z
∂α ⎛ ∂α ⎞ ∂α
dϑ = dR + ⎜1 + ⎟ dθ + dZ,
∂R ⎝ ∂θ ⎠ ∂Z
∂w ∂w ⎛ ∂w
⎞
dz = dR + dθ + ⎜1 + ⎟ dZ .
∂R ∂θ ⎝ ∂Z
⎠
(3.30)
Helyettesítsük be ezeket a tagokat az előző egyenletbe, ahol az elemi hossz távolságát az
euleri rendszerben számítottuk, és határozzuk meg a két rendszerben kapott értékek
különbségét, rögtön egyenlővé téve ezt a kifejezést a Green-Lagrange-tenzor
komponenseivel:
2 2
ds − dS
2 2 2 2
= 2Ei jdX i dX j = 2( E R RdR + E θ θR
dθ + E Z ZdZ
+
+ 2( E dR R dθ + E Rdθ dZ + E dZ dR)).
(3.31)
R θ θ Z Z R
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor egyes elemei ennek megfelelően:
2 2 2
∂u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E R R = + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂R 2 ⎢⎣ ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R ⎠ ⎝ ∂R
⎠ ⎥⎦
E
θθ
u ⎛ u ⎞ ∂α
= + ⎜1+ ⎟ +
R ⎝ R ⎠ ∂θ
2
2
2 2 2 2
⎧ ⎫
1 ⎪ u 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂w ⎞ ⎤ ⎛ u ⎞ ⎛ ∂α ⎞ ⎪
+ ⎨ + 1 ,
2 2 ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ + ⎜ + ⎟ ⎜ ⎟ ⎬
2 ⎪⎩ R R
⎣⎢ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎦⎥
⎝ R ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎪⎭
2 2
∂w 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ 2 ⎛ ∂α ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤
E Z Z = + ⎢⎜ ⎟ + ( R + u)
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ,
∂Z 2 ⎢⎣ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z
⎠ ⎥⎦
1 ⎧∂u 2 ∂α ⎡ ∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E Rθ
= ⎨ + ( R + u) + + ( R + u)
+ ⎬
2R
∂θ ∂R ⎢∂R ∂θ ∂R ∂θ ∂R ∂θ ⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
,
1 ⎧ 2 ∂α ∂w ⎡∂u ∂u 2 ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E θZ
= ⎨( R + u) + + + ( R + u)
+ ⎬
2R
∂Z ∂θ ⎢ ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z ∂θ ∂Z
⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
,
( ) 2
1 ⎧ ∂u ∂w ⎡ ∂u ∂u ∂α ∂α ∂w ∂w⎤
⎫
E Z R = ⎨ + + + R + u + ⎬
2R
∂Z ∂R ⎢∂Z ∂R ∂Z ∂R ∂Z ∂R
⎥
⎩ ⎣ ⎦⎭
.
(3.32)
Ha most is végrehajtjuk azt a linearizálást, amit a derékszögű koordinátarendszerben felírt ε
tenzornál már elvégeztünk, vagyis
R → r, θ → ϑ, Z → z , (3.33)
tovább tekintetbe vesszük, hogy a ϑ irányú v eltolódásfüggvény segítségével
v
α = , (3.34)
r
akkor a kis alakváltozások tenzorának elemei a hengerkoordináta-rendszerben a következők
lesznek:
10.06.20. 8