Feladatok

Egy keret térfogatának kiszámításához vágjuk szét a keretet két
26 cm hosszú, és két 14 cm hosszú rúdra! Ezek a rudak téglatestek,
térfogatuk összege egy keret térfogata:
V = 2 ¡ 26 ¡ 3 ¡ 4 + 2 ¡ 14 ¡ 3 ¡ 4 = 624 + 336 = 960 (cm 3 ).
Egy keret térfogatát másképp is kiszámíthattuk volna. A külsõ téglatest
térfogatából vonjuk ki a belsõ, kivágott téglatest térfogatát:
V = 26 ¡ 20 ¡ 4 µ 20 ¡ 14 ¡ 4 = 2080 µ 1120 = 960 (cm 3 )!
A két keret együttes térfogata: 2 ¡ 960 = 1920.
3cm
14 cm
26 cm 3cm
4cm
26 cm 14 cm
20 cm 26 cm
4cm
4cm
20 cm 14 cm
Elõfordul, hogy a számításokhoz szükséges adatokat a testek egymáshoz
viszonyított helyzetébõl olvashatjuk le.
2. példa
Egy 40 cm átmérõjû henger alakú fatörzsbõl a lehetõ legnagyobb
négyzet keresztmetszetû gerendát vágják ki. Hány százalék a levágott
rész (szelezék), ha a fatörzs 4,5 m magas
a
Megoldás
A szelezék a gerendák kivágásakor keletkezõ
hulladék, amely a henger alakú fatörzs és a gerenda
térfogatának különbségeként adódik.
a
40 cm
A gerenda térfogatának meghatározásához
szükségünk van az alapél hosszára.
A hengerbõl kivágható legnagyobb négyzet alapú hasáb alaplapja
a henger kör alakú alaplapjába írható négyzet. Így a négyzet átlója
a kör átmérõje, azaz 40 cm.
A négyzet oldalát a-val jelölve a Pitagorasz-tétel alapján:
a 2 + a 2 =40 2
2a 2 = 1600
a 2 = 800
a = 800 = 2 ¡ 400 = 2 ¡ 400 = 2 ¡ 20 » 28,28 (cm)
A hulladék és a fatörzs térfogatának aránya:
2
2
20 ¡ p ¡ 450 µ ( 2 ¡ 20)
¡ 450 p µ 2
= » 036 , .
2
20 ¡ p ¡ 450
p
Tehát a fatörzs 36%-a a szelezék.
Megjegyzés: A térfogatok arányánál egyszerûsítettünk a fatörzs hoszszával,
sõt a sugár négyzetével is. Ez azt jelenti, hogy az arány független
a fatörzs méretétõl.
V fatörzs
= r 2 ¡ p ¡ M
V gerenda
= a 2 ¡ M
A megoldáshoz szükséges adatokat a meglevõkbõl kiszámíthatjuk.
187