Metode Numerik 2 - Universitas Indonesia

Metode Numerik
Imam Fachruddin
Departemen Fisika, Universitas Indonesia
Untuk dipakai dalam kuliah Analisis Numerik
Dapat diunduh dari http://staff.fisika.ui.ac.id/imamf/

Daftar Pustaka:
Metode Numerik
Imam Fachruddin
Departemen Fisika, Universitas Indonesia
• P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley &
Sons, Inc., New York, 1994)
• W. H. Press, et. al., Numerical Recipes in Fortran 77, 2 nd Ed. (Cambridge
University Press, New York, 1992)
(online / free download: http://www.nrbook.com/a/bookfpdf.php)
• R. H. Landau & M. J. Páez, Computational Physics: Problem Solving with
Computers (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997)
• S. E. Koonin, Computational Physics (Addison-Wesley Publishing Co., Inc.,
Redwood City, 1986)

• akar fungsi
Isi
• solusi sistem persamaan linear
• fitting dengan least square
• interpolasi
• integrasi
• persamaan differensial
1
25
49
59
81
109
iii

Contoh:
Akar Fungsi
f(x) = 0 x = ?
1
x - = 0
1
x
akar fungsi f(x)
x 2 = x = 1 dan -1
3x 6-
7x
2 = 3x 7x -6
(3x -2)(x
3) 0
2
+ = + =
Pada dua contoh di atas akar fungsi dapat
dicari secara analitik.
Secara umum, tidak selalu begitu keadaannya.
x = 2/3 dan -3
1

2
Problem:
Sebuah lampu dipasang di pinggir sebuah piringan berjari-jari 10 cm.
Sebuah plat bercelah sempit diletakkan di dekat piringan itu. Tepat di
belakang celah itu dipasang sebuah sensor cahaya yang menghadap tegak
lurus ke celah. Piringan diputar konstan 1 rad/s dan plat beserta sensor
digeser lurus konstan 10 cm/s. Saat ini posisi celah dan lampu seperti pada
gambar 1. Kapan sensor cahaya menerima cahaya terbanyak?
Sensor menerima cahaya terbanyak pada saat posisi lampu dan celah
membentuk garis tegak lurus terhadap plat, seperti pada gambar 2.
r
lampu
gambar 1 gambar 2
ω
celah
plat
v
sensor
x = r cos (ωt) = vt
cos (t) = t
?

Plot cos(x) dan x:
Grafik ini
menunjukkan
bahwa cos(x) = x
pada x sedikit
kurang dari 0.75.
Bisakah lebih akurat lagi?
Cari secara numerik akar fungsi dari
f(x) = cos(x) - x
3

4
Bisection
Prinsip: Kurung akar fungsi di antara dua batas, lalu paruh batas itu
terus menerus sampai batas itu sedemikian sempit dan dengan
demikian lokasi akar fungsi diketahui dengan keakuratan tertentu.
Langkah:
1. Perkirakan akar fungsi (bisa
dengan cara memplot fungsi).
2. Tentukan batas awal yang
mengurung akar fungsi.
3. Belah dua daerah berisi akar fungsi
itu.
4. Tentukan daerah yang berisi akar
fungsi.
5. Ulangi langkah 3 dan 4 sampai
dianggap cukup.
6. Tentukan akar fungsi.
akar fungsi
a df e c b
Batas e, f atau
nilai di
tengahnya bisa
dipilih sebagai
akar fungsi.

• Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:
Jika z merupakan akar fungsi, maka
f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda
tanda.
f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c
ada akar fungsi.
f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c
tidak ada akar fungsi
• Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti:
a c b
Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang
diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.
kesalahan relatif semu =
f(x)
perkiraan sebelum - perkiraan berikut
perkiraan berikut
z
x
5

6
Kesalahan
kesalahan mutlak = | perkiraan – nilai sebenarnya |
kesalahan relatif =
perkiraan – nilai sebenarnya
nilai sebenarnya
Dalam perhitungan numerik, nilai sebenarnya justru sering tidak diketahui, yang
didapat hanya perkiraan terbaik. Karena perkiraan langkah berikut dianggap lebih
akurat, yaitu lebih mendekati nilai sebenarnya, maka kesalahan yang dihitung
yaitu:
kesalahan mutlak semu = | perkiraan sebelum – perkiraan berikut |
kesalahan relatif semu =
perkiraan sebelum - perkiraan berikut
perkiraan berikut

False Position
Prinsip: Di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan
garis lurus. Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol
ditentukan sebagai akar fungsi.
f(x) akar fungsi sebenarnya
akar fungsi yang diperoleh
x
garis lurus sebagai
pengganti f(x)
7

8
Diperoleh:
f(x)
a
c
⎛ x −b
⎞ ⎛ x − a ⎞
p(x) = ⎜ ⎟f(a)
+ ⎜ ⎟f(b) ⎝ a −b
⎠ ⎝ b − a ⎠
p(c) = 0
b
p(x)
af(b) −bf(a)
c =
f(b) − f(a)
x

Langkah:
1. Perkirakan akar fungsi (bisa
dengan cara memplot fungsi).
2. Tentukan batas awal yang
mengurung akar fungsi.
3. Tarik garis lurus penghubung
nilai fungsi pada kedua batas,
lalu cari titik potongnya
dengan garis nol.
4. Geser salah satu batas ke
titik potong itu, sementara
batas lain tidak berubah.
Ulangi langkah 3.
5. Ulangi langkah 4 sampai
dianggap cukup.
6. Titik potong garis nol dan
garis lurus yang terakhir
dinyatakan sebagai akar
fungsi.
f(x)
f(x)
a
af(b) −bf(a)
c =
f(b) − f(a)
c
a
akar fungsi
c
b
b
x
x
9

10
Metode false position juga
menggunakan dua batas seperti
metode bisection. Namun, berbeda
dari metode bisection, pada
metoda false position hanya satu
batas yang berubah.
Pada contoh sebelum ini, batas a
berubah sementara batas b tetap.
Pada contoh berikut terjadi
sebaliknya.
f(x)
a
f(x)
a
c
af(b) −bf(a)
c =
f(b) − f(a)
b
c
b
x
x

Menghitung akar fungsi dengan metode false position,
menggunakan a dan b sebagai batas awal:
• jika batas a tetap, batas b berubah:
af(xi)
− xif(a)
f(x ) − f(a)
( i = 0, 1, 2, ...; x = b)
xi + 1 =
0
i
• jika batas b tetap, batas a berubah:
bf(xi)
− xif(b)
f(x ) − f(b)
( i = 0, 1, 2, ...; x = a)
xi + 1 =
0
i
• kesalahan relatif semu:
∆
rel
=
xi
− x
x
Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu sudah
mencapai / melampaui batas yang diinginkan.
i+
1
i+
1
11

12
Newton-Raphson
Prinsip: Buat garis singgung kurva f(x) di titik di sekitar akar fungsi.
Titik tempat garis singgung itu memotong garis nol ditentukan
sebagai akar fungsi.
f(x)
a
akar fungsi sebenarnya
akar fungsi yang diperoleh
x
p(x) = garis singgung kurva
f(x) di titik f(a)

f(x)
Diperoleh:
a
p(c) = 0
c
p(x) = f(a) + (x −
a)f'(a)
c = a −
p(x)
(f’(a) turunan pertama f(x) pada x = a)
x
f(a)
f'(a)
13

14
Langkah:
1. Perkirakan akar fungsi.
2. Buat garis singgung pada titik
sesuai akar fungsi yang
diperkirakan itu, lalu cari
titik potongnya dengan garis
nol.
3. Titik potong itu merupakan
perkiraan akar fungsi baru.
4. Ulangi langkah 2 dan 3 sampai
dianggap cukup.
5. Titik potong garis nol dan
garis singgung kurva yang
terakhir dinyatakan sebagai
akar fungsi.
f(x)
f(x)
c = a −
a
f(a)
f'(a)
akar fungsi
sebenarnya
c
c
a
x
x

Contoh perkiraan akar
fungsi awal yang baik
perkiraan akar fungsi
makin mendekati akar
fungsi sebenarnya.
Contoh perkiraan akar
fungsi awal yang buruk
perkiraan akar fungsi
makin menjauhi akar
fungsi sebenarnya.
f(x)
f(x)
1
1
2
2
15
x
x

16
Menghitung akar fungsi dengan metode Newton-Raphson:
f(xi)
xi + 1 = xi
−
0
f'(x
)
kesalahan relatif semu:
i
∆
rel
=
( i = 0, 1, 2, ...; x = a)
xi
− x
x
Penghitungan dihentikan jika kesalahan relatif semu sudah
mencapai / melampaui batas yang diinginkan.
i+
1
i+
1

Secant
Kembali ke metode False Position, untuk contoh batas b tetap, akar fungsi
dicari sebagai berikut:
x
1
bf(x0)
− x0f(b)
=
f(x ) − f(b)
0
x
2
bf(x1)
− x1f(b)
=
f(x ) − f(b)
1
x
3
bf(x2)
− x2f(b)
=
f(x ) − f(b)
Pada metode Secant, batas tidak dijaga tetap, melainkan berubah. Akar
fungsi dicari sebagai berikut:
x
1
bf(x0)
− x0f(b)
=
f(x ) − f(b)
0
x
2
bf(x1)
− x1f(b)
=
f(x ) − f(b)
Jadi, mulai dari i = 3, akar fungsi dihitung dengan:
1
x
3
x
i
2
x1f(x2
) − x2f(x1
)
=
f(x ) − f(x )
=
x
i-2
2
f(x
f(x
i-1
i-1
1
) − xi-1f(x
) − f(x )
i-2
i-2
)
17

18
f(x)
f(x)
a
x1
x
x
f(x)
I II
b b
false position secant
x2
x3
f(x)
III III
b
x1
x1
x2
x2
x3
x
x

Akar fungsi pada metode Secant untuk i = 1, 2 bisa dihitung dengan
metode yang lain atau ditebak. Mulai i = 3, akar fungsi dihitung dengan rumus:
x
i
=
x
i-2
f(x
f(x
f(x -1)
− f(xi
x − x
i-1
i-1
) − xi-1f(x
) − f(x )
)
i-2
df(x
dx
i-1
i-2
i -2
i-1
≅ =
i-1
i-2
)
)
Yang menarik, jika i makin besar, maka beda antar dua akar fungsi yang
berturutan semakin kecil, sehingga
f'(x
i-1
)
f(xi-1
) f(xi-2
)
xi xi-1
f(xi-1
)
xi-1
x ⎟
i-2
⎟
⎛ − ⎞
= − ⎜
⎝ − ⎠
x
i
≅
x
i-1
f(xi
−
f'(x
Dengan begitu, metode Secant menyerupai metode Newton-Raphson. Jika
turunan fungsi f(x) sulit diperoleh / dihitung, maka metode Secant menjadi
alternatif yang baik bagi metode Newton-Raphson.
Kesalahan relatif semu dihitung sama seperti pada metode False Position
atau Newton-Raphson.
-1
-1
i-1
)
)
19

20
Kecepatan Konvergensi
Pencarian akar fungsi dimulai dengan perkiraan akar fungsi yang
pertama, lalu diikuti oleh perkiraan berikutnya dan seterusnya sampai
perkiraan yang terakhir, yang kemudian dinyatakan sebagai akar fungsi
hasil perhitungan tersebut. Proses itu harus bersifat konvergen yaitu,
selisih perkiraan sebelum dari yang setelahnya makin lama makin kecil.
Setelah dianggap cukup, proses pencarian akar fungsi berhenti.
x2 x1
> x3
− x2
> x4
− x3
... xn
− xn
− −1
(ε = bilangan kecil)
Kecepatan konvergensi sebuah proses yaitu, kecepatan proses itu untuk
sampai pada hasil akhir.
≤ ε

Contoh pencarian akar fungsi dengan metode Bisection:
a b
Jika
ε x − x
i
≡ i+
1
1
2
i
1
2
x
1
3
akar fungsi
x3
2
x4
x2
, maka dari gambar diperoleh:
ε = x − x , ε = x − x , ε = x − x
ε = ε , ε =
2
1
2
Kecepatan konvergensi bersifat linear: i+
1 i
1
3
1
2
ε
2
3
4
3
ε =
1
2
ε
x
21

22
Pada metode False Position, Newton-Raphson dan Secant akar fungsi dicari
dengan rumus yang bentuknya serupa:
False Position:
Newton-Raphson:
Secant:
x
f(xi)
f(a)
i 1 xi
xi
a ⎟ ⎛ − ⎞
⎜
+ = −
⎝ − ⎠
x i
i+
1
= x
i
f(xi)
−
f'(x
)
f(xi)
f(xi-1
)
i 1 xi
xi
x ⎟
i-1
⎟
⎛ − ⎞
⎜
+ = −
⎝ − ⎠
x i
f(x )
Mengingat dengan berjalannya proses pencarian akar fungsi rumus pada
metode False Position dan terlebih lagi Secant semakin mendekati rumus
pada metode Newton-Raphson, maka akan dibahas kecepatan konvergen
pada metode Newton-Raphson.
i
-1
f(x )
-1
(atau a diganti b)

x
i+
1
= x
i
f(xi)
−
f'(x
)
ekspansi deret Taylor:
i
ε
i
f(xi)
f(xi+
1)
≡ xi
− xi+
1 =
εi
+ 1 = = ?
f'(x
)
f'(x
)
1 2
f(xi+ 1)
= f(xi
−εi
) = f(xi)
−εif'(x
i)
+ εi
f''(xi
) −...
f'(xi 1)
= f'(xi
−εi
) = f'(xi)
−εif''
(xi)
+ ...
ε
i+
1
+
1 2
f(xi)
−εif'(x
i)
+ 2 εi
f''(xi
) −...
=
f'(x
) −ε
f''(x
) + ...
f(xi)
−εif'(x
i)
+
≅
f'(x
)
f''(xi
)
≅ ε
2f'(x
)
i
i
2
i
i
i
1
2
ε
i
2
i
i
i
f''(x
)
Kecepatan konvergensi pada metode Newton-
Raphson (kira-kira demikian juga False Position
dan Secant) bersifat kurang lebih kuadratik:
2
i+
1
f''(xi
)
εi+ 1 ≅ ε
2f'(x
)
Dengan begitu, metode metode Newton-Raphson, False Position dan
Secant lebih cepat dari metode Bisection.
i
2
i
23

24
Contoh hasil pencarian akar fungsi untuk soal cos(x) = x:
metode
Bisection
False Position
Newton-Raphson
Secant
akar
0.7390795
0.7390851
0.7390851
0.7390851
f(akar)
9.3692161E-06
-7.7470244E-09
-7.7470244E-09
-7.7470244E-09
jumlah langkah
Keterangan: • Pencarian akar berhenti jika kesalahan relatif semu
sama atau kurang dari 1.0E-05.
• Batas awal kiri dan kanan untuk metode Bisection,
False Position dan Secant 0.72 dan 0.75.
• Perkiraan akar fungsi pertama untuk metode
Newton-Raphson 0.72.
12
3
4
3

Sistem persamaan linear:
a
a
a
a
11
21
31
⋮
n1
x
x
x
x
1
1
1
1
+ a
+ a
+ a
+ a
12
22
32
⋮
n2
x
x
x
x
2
2
2
2
Solusi Sistem
Persamaan Linear
+ a
+ a
+ a
+ a
13
23
33
⋮
n3
x
x
x
x
3
3
3
3
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
+ a
+ a
+ a
+ a
1n
2n
3n
⋮
nn
x
x
x
x
n
n
n
n
xj = ?
= b
1
= b
2
= b
⋮
3
= b
n
n buah
persamaan
dengan n buah
unknown
x
j
aij dan bi
diketahui
i, j = 1, 2, …, n
25

26
Soal:
Jawab:
2x −3y
+ 2z = −6
− x + 2y −3z
= 2
2x −
2x −
x +
y −
z = 0
3y + 2z = −6
0.5y −2z
= −1
2.5y −2z
= 3
3y + 2z = −6
0.5y −2z
= −1
8z = 8
z = 1
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
−1
+ 2z
y = = 2
0.5
− 6 + 3y −2z
x =
= −1
2
3 persamaan dan
3 unknown
eliminasi x:
pers. (2) + 0.5 pers. (1)
pers. (3) – 0.5 pers. (1)
eliminasi y:
pers. (3) – 5 pers. (2)
substitusi mundur:
pers. (3) mencari z
pers. (2) mencari y
pers. (1) mencari x

Dalam bentuk matriks:
Soal:
Jawab:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
0
2
6
z
y
x
1
1
1
3
2
1
2
3
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
3
1
6
z
y
x
2
2.5
0
2
0.5
0
2
3
2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
8
1
6
z
y
x
8
0
0
2
0.5
0
2
3
2
1
2
2z
3y
6
x
2
0.5
2z
1
y
1
z
−
=
−
+
−
=
=
+
−
=
=
27

Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss mencari solusi sebuah sistem persamaan linear
dengan cara seperti ditunjukkan pada contoh sebelum ini:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
3
2
1
n
3
2
1
nn
n3
n2
n1
3n
33
32
31
2n
23
22
21
1n
13
12
11
b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
n)
...,
k,
j
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
b
a
a
b
b
a
a
a
a
a
b
b
,
a
a
1)
(k
k
1)
-
(k
kk
1)
-
(k
ik
1)
(k
i
(k)
i
1)
-
(k
kj
1)
-
(k
kk
1)
-
(k
ik
1)
-
(k
ij
(k)
ij
i
(0)
i
ij
(0)
ij
=
+
=
−
=
−
=
−
=
=
=
−
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1)
-
(n
n
(2)
3
(1)
2
(0)
1
n
3
2
1
1)
-
(n
nn
(2)
3n
(2)
33
(1)
2n
(1)
23
(1)
22
(0)
1n
(0)
13
(0)
12
(0)
11
b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
halaman berikut
i
ij
(m)
i
(m)
ij
b
a
b
a ,
, ≡
pada langkah ke m
28

1)
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
a
b
x
1)
-
j
-
(n
j
-
n
j,
-
n
n
1
j
-
n
k
k
1)
-
j
-
(n
k
j,
-
n
1)
-
j
-
(n
j
-
n
j
n
1)
-
(n
nn
1)
-
(n
n
n
−
=
−
=
=
∑ +
=
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1)
-
(n
n
(2)
3
(1)
2
(0)
1
n
3
2
1
1)
-
(n
nn
(2)
3n
(2)
33
(1)
2n
(1)
23
(1)
22
(0)
1n
(0)
13
(0)
12
(0)
11
b
b
b
b
x
x
x
x
a
0
0
0
a
a
0
0
a
a
a
0
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Substitusi mundur:
29

30
A X = B atau AX = B
Jadi, metode Eliminasi Gauss terdiri dari dua tahap:
1. triangulasi: mengubah matriks A menjadi matriks segitiga
(matriks B dengan begitu juga berubah)
= =
2. substitusi mundur: menghitung x mengikuti urutan terbalik,
dari yang terakhir ( ) sampai yang pertama ( ) x
xn 1

LU Decomposition
A X = B atau AX = B
Pada metode LU Decomposition, matriks A ditulis ulang sebagai perkalian
matriks L dan U (matriks A diurai menjadi matriks L dan U). Matriks L dan
U merupakan matriks segitiga. Matriks B tidak berubah, karena matriks A
tidak berubah, melainkan hanya ditulis ulang.
U
A X = B
X = B
L
31

32
Langkah:
1. Cari matriks L dan U sehingga A = LU. Matriks B tetap.
A
U
=
L
X = Y
U
2. Definisikan sebuah matriks kolom baru, misalnya Y, yaitu Y = UX, sehingga
LY = B. Lalu hitung y dengan substitusi maju (mulai dari sampai y ).
U
Y =
X
Y = B
L
3. Hitung x dengan substitusi mundur (mulai dari sampai ). x
L
xn 1
U
y1 n
X = B
Jelas bahwa metode LU Decomposition pada prinsipnya
sama dengan metode Eliminasi Gauss: matriks U
merupakan hasil triangulasi matriks A, yang juga
mengakibatkan B berubah menjadi Y.

Mencari matriks L dan U:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nn
n3
n2
n1
33
32
31
22
21
11
l
l
l
l
0
l
l
l
0
0
l
l
0
0
0
l
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
0
0
u
1
0
0
u
u
1
0
u
u
u
1
3n
2n
23
1n
13
12
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nn
n3
n2
n1
3n
33
32
31
2n
23
22
21
1n
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
=
Diperoleh:
…
n)
...,
4,
(j
l
u
l
u
l
a
u
u
l
u
l
u
l
a
n)
...,
3,
(i
u
l
u
l
a
l
l
u
l
u
l
a
n)
...,
3,
(j
l
u
l
a
u
u
l
u
l
a
n)
...,
2,
(i
u
l
a
l
l
u
l
a
n)
...,
2,
(j
l
a
u
u
l
a
n)
...,
1,
(i
a
l
l
a
33
2j
32
1j
31
3j
3j
3j
33
2j
32
1j
31
3j
23
i2
13
i1
i3
i3
i3
23
i2
13
i1
i3
22
1j
21
2j
2j
2j
22
1j
21
2j
12
i1
i2
i2
i2
12
i1
i2
11
1j
1j
1j
11
1j
i1
i1
i1
i1
=
−
−
=
→
+
+
=
=
−
−
=
→
+
+
=
=
−
=
→
+
=
=
−
=
→
+
=
=
=
→
=
=
=
→
=
33

34
Jadi, elemen matriks L dan U dicari menurut:
l
u
l
i1
ij
u
1j
ij
=
=
=
=
a
a
i1
a
l
ij
a
1j
11
ij
−
j−1
∑
l
ii
l
ik
k=
1
−
i−1
∑
secara bergantian:
l
u
ik
k=
1
kj
u
kj
(i =
(j =
(i =
(j = i+
1, ..., n)
2, ..., n)
j, ..., n;
1, ..., n; i
j = 2, ..., n)
1. matriks L kolom 1, matriks U baris 1
2. matriks L kolom 2, matriks U baris 2
3. …
=
2, ..., n -1)
4. matriks L kolom (n-1), matriks U baris (n-1)
5. matriks L kolom n

Substitusi maju untuk menghitung y:
n)
...,
2,
(i
l
y
l
b
y
l
b
y
ii
1
i
1
j
j
ij
i
i
11
1
1
=
−
=
=
∑ −
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
3
2
1
n
3
2
1
nn
n3
n2
n1
33
32
31
22
21
11
b
b
b
b
y
y
y
y
l
l
l
l
0
l
l
l
0
0
l
l
0
0
0
l
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
3
2
1
n
3
2
1
3n
2n
23
1n
13
12
y
y
y
y
x
x
x
x
1
0
0
0
u
1
0
0
u
u
1
0
u
u
u
1
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
Substitusi mundur untuk menghitung x:
1)
n
...,
,
(i
x
u
y
x
y
x
n
1
i
n
j
j
j
i,
n
i
n
i
-
n
n
n
−
=
−
=
=
∑ +
−
=
−
−
1
35

Kembali ke soal
Jawab:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
0
2
6
B
,
1
1
1
3
2
1
2
3
2
A
LU
A =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1
0
0
4
1
0
1
1.5
1
U
,
8
2.5
1
0
0.5
1
0
0
2
L
B
LY
UX,
Y =
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
1
2
3
Y
Y
UX =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
1
2
1
X
B
AX = , dengan .
36

Kasus Beberapa Sistem Persamaan Linear
Pada kasus yang lebih umum bisa saja terdapat beberapa sistem
persamaan linear dengan nilai B yang berlainan, namun memiliki nilai A
yang sama.
Dalam bentuk matriks sistem seperti ini dituliskan sebagai:
A
X = B
atau
AX = B
Keterangan: • A matriks n x n, X dan B matriks n x m, dengan m =
jumlah sistem persamaan linear, n = jumlah persamaan
/ unknown dalam tiap sistem persamaan tersebut
• Tiap kolom matriks X merupakan solusi untuk kolom
yang sama pada matriks B.
Langkah dan rumus pada metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition
berlaku sama untuk kasus ini. Hanya saja, di sini matriks X dan B terdiri
dari beberapa kolom, bukan hanya satu.
37

Contoh dua sistem persamaan linear yang memiliki nilai A sama tapi B berbeda.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n1
31
21
11
n1
31
21
11
nn
n3
n2
n1
3n
33
32
31
2n
23
22
21
1n
13
12
11
b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n2
32
22
12
n2
32
22
12
nn
n3
n2
n1
3n
33
32
31
2n
23
22
21
1n
13
12
11
b
b
b
b
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n2
n1
32
31
22
21
12
11
n2
n1
32
31
22
21
12
11
nn
n3
n2
n1
3n
33
32
31
2n
23
22
21
1n
13
12
11
b
b
b
b
b
b
b
b
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
⋮
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋯
⋯
⋯
38

Metode Eliminasi Gauss:
m)
...,
1,
r
n;
...,
k,
j
b
a
a
b
b
n;
...,
1,
k
i
1;
n
...,
1,
(k
a
a
a
a
a
m)
...,
1,
r
n;
...,
1,
j
(i,
b
b
,
a
a
1)
(k
kr
1)
-
(k
kk
1)
-
(k
ik
1)
(k
ir
(k)
ir
1)
-
(k
kj
1)
-
(k
kk
1)
-
(k
ik
1)
-
(k
ij
(k)
ij
ir
(0)
ir
ij
(0)
ij
=
=
−
=
+
=
−
=
−
=
=
=
=
=
−
−
ir
ij
(m)
ir
(m)
ij
b
a
b
a ,
, ≡
pada langkah ke m
• rumus triangulasi:
• rumus substitusi mundur:
m)
...,
1,
r
1;
n
...,
1,
(j
a
x
a
b
x
m)
...,
1,
(r
a
b
x
1)
-
j
-
(n
j
-
n
j,
-
n
n
1
j
-
n
k
kr
1)
-
j
-
(n
k
j,
-
n
1)
-
j
-
(n
r
j,
-
n
r
j,
n
1)
-
(n
nn
1)
-
(n
nr
nr
=
−
=
−
=
=
=
∑ +
=
−
39

40
Metode LU Decomposition:
• rumus substitusi maju untuk menghitung y (kini Y matriks n x m):
y
y
1r
ir
b
=
l
=
b
1r
11
ir
i 1
∑lij j 1
−
=
(i =
2, ..., n; r
• rumus substitusi mundur untuk menghitung x:
x
x
nr
=
n-i,
r
y
=
nr
y
n−i,
r
−
−
l
ii
y
jr
n
∑ un
−i,
j
j=
n−i+
1
x
(r =
jr
1, ..., m)
(r =
(i =
1,
..., n
=
1, ..., m)
1, ..., m)
−1;
r =
1, ..., m)

Perhatikan metode LU Decomposition, anggap matriks L dan U
telah diperoleh. Jika kemudian terdapat lagi sistem persamaan
linear dengan A sama dan B berbeda, maka matriks L dan U
yang telah diperoleh itu bisa langsung dipakai untuk sistem
persamaan yang baru tersebut.
Kini perhatikan metode Eliminasi Gauss, anggap triangulasi
matriks A sudah dikerjakan. Jika kemudian terdapat lagi
sistem persamaan linear dengan A sama dan B berbeda, maka
hasil triangulasi matriks A yang sudah diperoleh tidak dapat
dipakai untuk sistem persamaan yang baru. Untuk sistem yang
baru tersebut proses triangulasi matriks A harus dilakukan
lagi dari awal.
Hal ini disebabkan, matriks B harus berubah mengikuti proses
triangulasi matriks A, sementara proses penguraian matriks A
menjadi matriks L dan U tidak melibatkan matriks B.
41

42
Catatan:
Dalam rumus-rumus baik pada metode Eliminasi Gauss
maupun LU Decomposition terdapat pembagian oleh elemen
diagonal matriks yaitu, oleh elemen diagonal matriks A pada
metode Eliminasi Gauss, dan elemen diagonal matriks L pada
metode LU Decomposition.
Jika secara kebetulan elemen diagonal itu nol, maka akan
timbul error.
Karena itu, pada setiap langkah dalam proses triangulasi
matriks A (metode Eliminasi Gauss) atau pencarian matriks L
dan U (metode LU Decomposition) perlu dilakukan
pemeriksaan, apakah elemen matriks A atau L yang
bersangkutan sama dengan nol.
Jika bernilai nol, maka baris berisi elemen diagonal nol itu
harus ditukar dengan salah satu baris setelahnya, sehingga
elemen diagonal menjadi bukan nol. Perubahan baris pada
matriks A (metode Eliminasi Gauss) harus disertai
perubahan baris yang sama pada matriks B. Perubahan baris
pada matriks L (metode LU Decomposition) harus disertai
perubahan baris yang sama pada matriks A dan B.

Soal:
Jawab:
⎛ 2 -4 1 3⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
-1 2 3 -2
⎟⎜ x2
⎟ ⎜
2
= ⎟
⎜ 3 -4 1 2⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ ⎟
3 2
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 -3 -1 5⎠ ⎝x4 ⎠ ⎝2⎠ ⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛ x1
⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
0 0 3.5 -0.5
⎟⎜ x2
⎟ ⎜
3
= ⎟
⎜0 2 -0.5 -2.5⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ ⎟
3 -1
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 -1 -1.5 3.5⎠ ⎝x4 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛ x1
⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
0 2 -0.5 -2.5
⎟⎜ x2
⎟ ⎜
-1
= ⎟
⎜0 0 3.5 -0.5⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ ⎟
3 3
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 0 0 2 ⎠⎝ x4
⎠ ⎝ 2⎠
x
x
4
3
= 1
3+
0.5x
=
3.5
4
= 1
⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛ x1
⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
0 2 -0.5 -2.5
⎟⎜ x2
⎟ ⎜
-1
= ⎟
⎜0 0 3.5 -0.5⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ ⎟
3 3
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 -1 -1.5 3.5⎠ ⎝x4 ⎠ ⎝ 1⎠
⎛ 2 -4 1 3 ⎞⎛ x1
⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
0 2 -0.5 -2.5
⎟⎜ x2
⎟ ⎜
-1
= ⎟
⎜0 0 3.5 -0.5 ⎟⎜ x ⎟ ⎜ ⎟
3 3
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0 0 -1.75 2.25⎠ ⎝x4 ⎠ ⎝ 0.5⎠
x
x
2
1
baris 2 ditukar
dengan baris 3
−1
+ 0.5x3
+ 2.5x4
=
= 1
2
2 + 4x2
− x3
−3x4
=
= 1
2
43

44
⎛ 2 -4 1 3⎞
⎜ ⎟
⎜
-1 2 3 -2
A = ⎟
⎜ 3 -4 1 2⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 -3 -1 5 ⎟
⎠
⎟⎟⎟⎟
⎛2⎞ ⎛ 2 0 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎜
2 ⎜−
1 l22
0 0
B = ⎟ L =
⎜2⎟ ⎜ 3 l32
l33
0
⎜ ⎟ ⎜
⎝2⎠ ⎝ 1 l42
l43
l44
⎠
⎛ 2 -4 1 3⎞
⎛ 2
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 3
⎜
3 -4 1 2
A = ⎟ L =
⎜-1 2 3 -2⎟
⎜−
1
⎜ ⎟ ⎜
⎝ 1 -3 -1 5⎠
⎝ 1
⎛2⎞ ⎜ ⎟
⎜
2
B = ⎟
⎜2⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎛ 2
⎜
⎜ 3
L = ⎜−
1
⎜
⎝ 1
baris 2 ¨
baris 3
⎛ 1 −2
⎜
⎜0
1
U = ⎜0
0
⎜
⎝0
0
0 0
2
0
−1
0
3.5
−1.75
0
2
0
−1
l
l
0
0
33
43
0.5
− 0.25
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
2
⎟
⎠
1
0
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
l ⎟
44 ⎠
1.5 ⎞
⎟
−1.25⎟
u ⎟
34 ⎟
1
⎟
⎠
⎛ 1
⎜
⎜0
U = ⎜0
⎜
⎝0
⎛ 2
⎜
⎜−
1
L = ⎜ 3
⎜
⎝ 1
−2
1
0
0
⎛ 1 −2
⎜
⎜0
1
U = ⎜0
0
⎜
⎝0
0
0
0
2
−1
⎛ 2
⎜
⎜ 3
L = ⎜−
1
⎜
⎝ 1
0.5
− 0.25
1
0
l
l
0
0
33
43
0
2
0
−1
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
l ⎟
44 ⎠
0
0
1.5 ⎞
⎟
−1.25⎟
−1/7
⎟
⎟
1
⎟
⎠
0.5
u
1
0
3.5
23
−1.75
1.5⎞
⎟
u24
⎟
u ⎟
34 ⎟
1
⎟
⎠
0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
⎠
l44

Iterasi Jacobi
n
∑ aij j i
j=
1
sistem persamaan linear: x = b (i = 1, ..., n) solusi:
⎛
⎜
bi
−
⎝
Pencarian dihentikan setelah didapat nilai x yang konvergen yaitu, yang tidak
i
atau sedikit berubah dari nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya:
x
1
n
i = ∑ aii
j≠i
(0)
Pencarian solusi dimulai dengan nilai awal xi
(i = 1, …, n) hasil perkiraan /
(1)
tebakan. Dengan nilai tebak awal ini diperoleh nilai perkiraan berikut x melalui:
x
1
a
⎛
⎜
bi
−
⎝
n
(1)
i = ∑
ii j≠i
a
ij
x
(0)
j
⎞
⎟
⎠
(i =
1, ..., n)
Demikian seterusnya berulang-ulang, nilai perkiraan pada langkah ke k diperoleh
dari nilai perkiraan pada langkah ke k-1:
x
1
a
⎛
⎜
bi
−
⎝
n
(k)
i = ∑
ii j≠i
a
ij
x
(k-1)
j
⎞
⎟
⎠
(i =
(k-1)
xi
− < ε, ε = bilangan
x
1 (k)
i
1, ..., n)
kecil
i
a
ij
x
j
45
⎞
⎟
⎠

46
Rumus iterasi Jacobi dapat ditulis:
Iterasi Gauss-Siedel
1 ⎛
(k-1)
= ⎜
bi
−∑
aijxj
−∑
a
aii
⎝ j<
i
j>
i
Jika pada tiap langkah pencarian dilakukan dengan urutan i yang makin besar,
(k)
(k)
maka semua x j<
i sudah diperoleh ketika mencari xi
.
Sebaliknya, jika dilakukan dengan urutan i yang makin kecil, maka semua x j>
(k)
sudah diperoleh ketika mencari x .
i
(k)
(k)
(k)
Karena itu, nilai x j<
i atau x j>
i itu bisa langsung dipakai untuk mencari x , i
sehingga iterasi mencapai nilai konvergen menjadi lebih cepat:
x
x
(k)
i
(k)
i
=
=
1
a
ii
1
a
ii
⎛
⎜
bi
−
⎝
⎛
⎜
bi
−
⎝
j<
i
j<
i
a
a
ij
ij
x
x
(k)
j
(k-1)
j
−
x
j>
i
(k)
i
a
j>
i
ij
a
x
ij
(k-1)
j
Iterasi seperti ini disebut iterasi Gauss-Siedel.
∑
∑
−
∑
∑
x
(k)
j
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(i =
(i =
1, 2, ..., n)
n, ..., 2, 1)
ij
x
(k-1)
j
⎞
⎟
⎠
(k)
i

Kita lihat kembali metode Eliminasi Gauss dan LU Decomposition
untuk mencari solusi sebuah sistem persamaan linear. Pada metode
ini terdapat substitusi mundur dan maju. Pada substitusi mundur
(maju), nilai xi dihitung dari nilai x ( ), sehingga kesalahan
j>
i x j<
i
(ketidakakuratan) pada x j>
i ( x j<
i ) terakumulasi pada xi
. Dengan
kata lain, terjadi perambatan kesalahan.
Pada metode iterasi tidak terdapat perambatan kesalahan seperti
itu. Semua elemen x dilihat secara sama. Pada tiap langkah
dilakukan pemeriksaan konvergensi untuk semua elemen x. Jadi,
untuk tiap elemen x terdapat kesempatan yang sama untuk
mencapai keakuratan yang diinginkan.
Namun, pada metode iterasi ada keharusan menentukan nilai awal,
yang bisa saja sulit dilakukan atau menimbulkan masalah, misalnya
membuat iterasi terlalu lama mencapai konvergensi.
47

f(x)
Data Fitting dengan
Metode Least Square
p(x)
x
Keterangan:
• f( xi
) mewakili data;
i = 1, …, N;
N = jumlah data
• p(x) merupakan fungsi
yang dicocokkan (fitted)
terhadap data f( x )
Sifat fitting:
tidak selalu p( xi ) = f( i )
untuk semua .
x
x
i
i
49

50
Prinsip penentuan fungsi p(x):
• p(x) merupakan polinomial orde m:
p(x) = a
• Selisih antara p(x) dan f(x) untuk titik data tertentu:
∆
i
0
+ a x + a x
1
= f(xi)
− p(xi)
= f(xi)
−∑
=
2
2
+ a x
3
j
3
m
0
+ ... + a
(Secara umum, p(x) juga bisa merupakan polinomial bentuk yang
lain seperti, polinomial Legendre.)
a
j
x
j
i
m
x
m
=
m
∑
j=
0
a
j
x
j
( i = 1, ..., N)
• Jumlah kuadrat selisih antara p(x) dan f(x) untuk semua titik data:
S =
N
∑
i=
1
∆
2
i
=
N
2
∑(
f(x − ) = ∑⎜ i)
p(xi)
f(xi)
−∑
i=
1
N
⎛
⎜
⎝
m
i=
1
j=
0
Fungsi p(x) ditentukan dengan mencari nilai aj
(j = 0, …, m) yang membuat
S bernilai minimum.
a
j
x
j
i
⎞
⎟
⎠
2

a
g(x)
Titik Minimum
dg(x)
dx
x
x=
a
2
Spesial: fungsi kuadratik g(x) = ax + bx + c
dg(x)
= 2ax + b
dx
2
d g(x)
= 2a
2
dx
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
g(a) merupakan titik minimum jika:
dg(x)
dx
x=
a
= 0
dan
d
2
g(x)
dx
2
x=
a
g(x) memiliki satu titik minimun jika a > 0 atau
sebaliknya satu titik maksimum jika a < 0.
> 0
51

52
S merupakan fungsi kuadratik dalam a (j = 0, …, m):
N ⎛
m ⎞ N ⎛ m
j
2 2j
( a , ..., a ) = ⎜f(x
) − a x ⎟ = ⎜ ( a x + )
∑ i ∑
∑ ∑
S 0 m ⎜
j i ⎟ ⎜ j i ...
i=
1 ⎝
j=
0 ⎠ i=
1 ⎝ j=
0
∂S
∂
2
( a , ..., a )
S
0
∂a
k
m
( a , ..., a )
= −2
N
⎛
⎜
f(xi)
−
⎝
m
∑ ∑
i=
1
j=
0
N
∑
i=
1
0 m
2k
= 2 xi
> 0 =
2
∂a
k
a
2
j
x
j
i
⎞
⎟
x
⎠
k
i
( k 0, ..., m)
+ f
( k = 0, ..., m)
2
⎞
(x ⎟ i)
⎟
⎠
S memiliki satu titik minimum pada nilai a (j = 0, …, m) tertentu.
j
j

Mencari (j = 0, …, m):
∂S
( a , ..., a )
0
a
∂a
k
j
m
= −2
m
⎛
⎜
⎝
N
∑ ∑
j=
0 i=
1
N
⎛
⎜
f(xi)
−
⎝
m
∑ ∑
i=
1
j=
0
N
x
j+
k
i
⎞
⎟a
⎠
j
=
N
∑
i=
1
a
j
x
j
i
⎞
⎟
x
⎠
f(x )x
i
k
i
k
i
= 0
j+
k
Definisikan: ckj
≡ ∑xi
bk
≡ ∑f(xi
)xi
i=
1
N
i=
1
k
( k = 0, ..., m)
( k = 0, ..., m)
m
∑ ckj j k
j=
0
maka diperoleh sebuah sistem persamaan linear: a = b ( k = 0, ..., m)
dalam bentuk matrik: C A = B atau CA = B
Jadi, a (j = 0, …, m) diperoleh sebagai solusi persamaan linear CA = B.
j
53

54
Contoh: Terdapat tiga data f(x) yaitu, f(1) = 30, f(2) = 70 dan f(3) = 120.
Cari fungsi p(x) yang dapat melukiskan data itu.
Dari data itu jelas p(x) bukan fungsi linear.
Jadi, dicoba fungsi kuadratik:
⎛ 3
⎜
⎜ 6
⎜
⎝14
p(x) = a + a x + a
6
14
36
0
Sistem persamaan linier untuk mencari aj
:
⎛3
⎜
⎜0
⎜
⎝0
6
1
0
1
14 ⎞⎛a
⎟⎜
36⎟⎜
a
98⎟⎜
⎠⎝
a
14⎞⎛
a0
⎞ ⎛220
⎞
⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
4 ⎟⎜
a1
⎟ = ⎜ 45 ⎟
1 ⎟⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎠⎝
a2
⎠ ⎝ 5 ⎠
Jadi, p(x) 5x(
x + 5)
0
1
2
2
x
2
⎞ ⎛ 220 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟ = ⎜ 530 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝1390
⎠
⎛a
⎜
⎜ a
⎜
⎝ a
0
1
2
⎞ ⎛ 0 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟ = ⎜25⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ 5 ⎠
120
70
30
f(x)
= Cek: p(1) = 30, p(2) = 70,
p(3) = 120
p(x)
1 2 3
OK!
x

Contoh: Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempeng
diukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yang
bervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yang
ditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:
θ [derajat] E [V/cm]
10 0.01794775
15 0.03808997
20 0.05516225
25 0.05598281
30 0.04795629
35 0.04807485
40 0.06273566
45 0.07853982
50 0.07395442
55 0.04201338
Cari fungsi p(x) yang dapat melukiskan data itu.
y
θ
E
55

Dicoba beberapa polinomial dengan orde berbeda, diperoleh:
03
-
1.0339E
S
07
-
0211842E
8.08580979
-
a
05
-
7880805E
3.48780878
a
03
-
8111303E
1.32447838
a
03
-
4853211E
8.98371348
a
3
2
1
0
=
=
=
=
=
05
-
8.1573E
S
08
-
4163944E
1.06395175
-
a
06
-
2596346E
1.36204619
a
05
-
0401015E
5.86233269
-
a
04
-
6358352E
8.80218597
a
03
-
1844471E
1.06199622
a
02
-
4975570E
3.55780065
-
a
5
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
07
-
3.1629E
S
11
-
5740421E
1.87618431
a
09
-
5243949E
3.25286380
-
a
07
-
6890119E
1.91280600
a
06
-
4228010E
3.23048922
-
a
05
-
6865594E
8.98571563
-
a
03
-
1692495E
4.00765809
a
02
-
2868015E
4.63183987
-
a
01
-
7649403E
1.86475453
a
7
6
5
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11
-
1.7528E
S
14
-
5946927E
1.45951183
-
a
12
-
4324134E
3.31744672
a
10
-
0789355E
2.74178633
-
a
09
-
3458547E
8.26282987
a
07
-
8386570E
1.13225450
a
05
-
9268855E
1.36889599
-
a
04
-
8305538E
3.35896109
a
03
-
4407800E
3.40276873
-
a
02
-
5173997E
1.59630008
a
02
-
9248139E
1.75726083
-
a
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
m = 3: m = 5:
m = 7:
m = 9:
56

f(x)
Interpolasi
p(x)
x
Keterangan:
• f( xi
) mewakili data;
i = 1, …, N;
N = jumlah data
• p(x) merupakan fungsi
interpolasi berdasarkan
data f( x )
i
Sifat interpolasi:
p( xi ) = f( i )
untuk semua .
x
x
i
59

60
Interpolasi Lagrange
Digunakan p(x), suatu polinomial berorde m = N – 1, dengan N = jumlah data:
p(x) = a
0
+ a x + a
1
2
x
2
+ ... + a
≅ f(x)
Nilai a (i = 0, …, N-1) ditetukan dengan menetapkan bahwa untuk semua titik
i
data:
) = f(x ) i = 1, ..., N
p(xi i
Jadi, diperoleh persamaan linear:
p(x ) = a
p(x
p(x
...
p(x
1
2
3
N
0
) = a
) = a
0
0
) = a
0
+ a x
1
+ a x
1
+ a x
1
+ a x
1
1
2
3
+ a
N
2
+ a
+ a
2
2
+ a
x
x
x
2
2
1
2
2
2
3
x
N-1
x
N-1
( )
+ ... + a
2
N
+ ... + a
+ ... + a
N-1
N-1
+ ... + a
N-1
x
x
x
N-1
N-1
1
N-1
2
N-1
3
x
N-1
N
= f(x
1
= f(x
= f(x
)
2
3
= f(x
dan ai
(i = 0, …, N-1) diperoleh sebagai solusi dari persamaan linear itu.
)
)
N
)

N = 2:
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
0
x
x
)
f(x
)
f(x
a
x
x
)
f(x
x
)
f(x
x
a
−
−
=
−
−
−
=
)
f(x
x
a
a
)
p(x
)
f(x
x
a
a
)
p(x
2
2
1
0
2
1
1
1
0
1
=
+
=
=
+
=
)
f(x
x
x
x
x
)
f(x
x
x
x
x
p(x) 2
1
2
1
1
2
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
N = 3:
)
f(x
x
a
x
a
a
)
p(x
)
f(x
x
a
x
a
a
)
p(x
)
f(x
x
a
x
a
a
)
p(x
3
2
3
2
3
1
0
3
2
2
2
2
2
1
0
2
1
2
1
2
1
1
0
1
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
2
3
2
1
2
2
1
3
2
1
3
2
3
2
1
2
1
3
1
3
2
2
2
3
2
1
2
2
1
3
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
1
2
3
1
2
3
2
2
1
2
3
2
1
2
2
1
3
2
1
3
2
3
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
2
3
2
0
)x
x
(x
)x
x
(x
)x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
a
)x
x
(x
)x
x
(x
)x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
a
)x
x
(x
)x
x
(x
)x
x
(x
)
f(x
x
)x
x
(x
)
f(x
x
)x
x
(x
)
f(x
x
)x
x
(x
a
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
−
=
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
=
)
f(x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
f(x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
f(x
x
x
x
x
x
x
x
x
p(x) 3
2
3
2
1
3
1
2
3
2
3
1
2
1
1
3
1
3
2
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
61

62
Secara umum, untuk N data
rumus interpolasi Lagrange:
Untuk x = x (k = 1, …, N):
k
l(x , x ) =
k
i
∏
⎛ x
⎜
⎝
x
k
− x
− x
j
j≠i i j
p(x) =
l(x, x )
i
N
∑
i=
1
⎧ ⎛ x ⎞ i − xj
⎪∏⎜
⎟
⎞ ⎪
⎜ ⎟
j≠i ⎝
xi
− xj
⎟ =
⎠
⎟
⎨
⎠ ⎪ ⎛ ⎞
⎜
xk
− xk
⎟
⎪
... ...
⎜ ⎟
⎩ ⎝
xi
− xj
⎠
l(xk , xi)
= δik
p(xk
) = f(xk
)
l(x, x )f(x )
⎛
j
= ∏⎜ ⎜
j≠i xi
− xj
⎝
i
= 1,
= 0,
x − x
i
⎞
⎟
⎠
(i = k)
(i ≠ k)

Perlukah memakai semua N data yang ada?
Pada bagian sebelum ini interpolasi menggunakan seluruh N data f( xi
) yang
tersedia, yang berarti menggunakan polinomial p(x) berorde N-1.
Kini, misal N = 4 dan x berada di sekitar x4
, maka diperoleh:
⎛ x − x2
l(x, x = ⎜ 1)
⎝ x1
− x
l(x, x
3
2
⎛ x − x1
) =
⎜
⎝ x3
− x
1
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x1
− x
3
3
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x3
− x
2
2
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x1
− x
4
4
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x3
− x
⎞
⎟
⎠
l(x, x
2
⎛ x − x1
) = ⎜
⎝ x2
− x
Dapat dilihat bahwa, x ) < l(x, x ) < l(x, x ) < l(x, x ) .
4
4
⎞
⎟
⎠
l(x, x
4
1
⎛ x − x1
) =
⎜
⎝ x4
− x
l(x, 1
2
3
4
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x2
− x
1
3
3
⎞⎛
x − x2
⎟
⎜
⎠⎝
x4
− x
⎞⎛
x − x
⎟
⎜
⎠⎝
x2
− x
2
4
4
⎞⎛
x − x3
⎟
⎜
⎠⎝
x4
− x
Ini berarti, semakin jauh dari x pengaruh data f( xi
) semakin kecil dalam
menentukan nilai p(x). Data yang penting yaitu yang berada di sekitar titik x.
Karena itu, cukup data-data di sekitar titik x yang digunakan.
Dengan kata lain, untuk interpolasi cukup digunakan polinomial p(x) berorde
rendah, contoh berorde 3 (fungsi kubik).
⎞
⎟
⎠
3
⎞
⎟
⎠
63

64
Interpolasi Lagrange Kubik
Interpolasi Lagrange Kubik menggunakan polinomial p(x) berorde 3 sebagai
fungsi interpolasi:
Untuk mencari nilai a (j = 0, 1, 2, 3) diperlukan 4 data f( x ) di sekitar x:
0
Diperoleh
1
2
j
p(x) = a
3
0
+ a x + a
1
2
x
2
+ a
3
x
3
≅ f(x)
( x ≤ x ≤ x ; x = x , x = x , x = x , x = x )
f(x ), f(x ), f(x ), f(x )
+
untuk membentuk sistem persamaan linear:
i
i+
1
2 3
a0 + a1xj
+ a2xj
+ a3xj
= f(xj)
p(x) =
3
∑
j=
0
j
j
0
j
i-1
1
i
i
2
( j = 0, 1, 2, 3)
Langkah pertama dengan begitu, menentukan x (j = 0, 1, 2, 3) dengan
j
melihat posisi x di antara titik data x (i = 1, …, N).
l(x, x
)f(x
)
i
l(x, x ) =
∏
⎛
⎜
x − x
⎜
⎝
x − x
k
k≠ j j k
⎟ ⎞
⎠
i+
1
3
i
2

Catatan:
Karena fungsi interpolasi p(x) dicocokkan dengan data 0 = xi-1
), ... , f(x3
= xi+
maka p(x) berlaku hanya untuk daerah x i-1
≤ x ≤ xi+
2 . Untuk daerah x yang lain
berlaku fungsi interpolasi p(x) yang lain.
f(x 2
Pada batas antara dua daerah yang bersebelahan, masing-masing fungsi
interpolasi p(x) dari kedua daerah berbeda itu menunjukan nilai yang sama,
karena dalam menentukan p(x) selalu dibuat agar p(x) cocok dengan setiap titik
data dalam daerah itu.
pI (x2)
= f(xi+
2)
x
i-1
I
x i+
2
i 5
Dengan kata lain, p(x) bersifat kontinyu. Tetapi, tidak begitu dengan turunannya:
p’(x) bersifat diskontinyu pada batas dua daerah yang bersebelahan.
II
x +
pII (x0)
= f(xi+
2)
65
)

66
Interpolasi Hermite Kubik
Dengan menggunakan polinomial p(x) berorde 3 (kubik), interpolasi
dilakukan di antara dua titik data yang berurutan, yaitu dalam interval
x i ≤ x ≤ xi+
1:
p(x) = a
0
+ a x + a
1
2
x
2
+ a
3
x
3
≅ f(x)
Jadi, yang pertama dilakukan yaitu, menentukan posisi x di antara titik
data x (i = 1, …, N).
p(x ) = a
p(x
i
Untuk mencari aj
(j = 0, 1, 2, 3) diperlukan 4 persamaan, yang ditetapkan
sebagai berikut:
1
2
p'(x
) = a
p'(x
) = a
1
2
0
0
1
) = a
+ a x
1
1
+ a x
1
+ 2a
1
2
+ 2a
2
2
+ a
+ a
x
1
x
2
2
2
x
2
1
x
2
2
+ 3a
+ 3a
+ a
3
+ a
x
3
2
1
x
3
2
2
x
3
3
1
x
3
2
= f(x
= f'(x
= f(x
1
= f'(x
)
2
Jadi, pada interpolasi Hermite diperlukan sebagai data bukan saja f(x)
namun juga turunannya f’(x).
)
1
)
2
)
(x ≤ x ≤ xi
1;
x1
= xi,
x2
= xi
1)
i +
+

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
=
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
3
2
1
2
1
1
2
2
1
2
3
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
3
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
0
)
x
(x
)
(x
f'
)
(x
f'
)
x
(x
)
f(x
)
f(x
2
a
)
x
(x
)
(x
)f'
x
(2x
)
(x
)f'
2x
(x
)
x
(x
)
f(x
)
f(x
)
x
3(x
a
)
x
(x
)
(x
)f'
2x
(x
x
)
(x
)f'
x
(2x
x
)
x
(x
)
f(x
)
f(x
x
6x
a
)
x
(x
)
(x
f'
x
)
(x
f'
x
x
x
)
x
(x
)
)f(x
3x
(x
x
)
)f(x
x
(3x
x
a
j
a
Diperoleh (j = 0, 1, 2, 3) sebagai berikut:
67

68
Dengan aj
(j = 0, 1, 2, 3) yang sudah diperoleh, didapat fungsi
interpolasi p(x) sebagai berikut:
p(x) =
⎛ (x − x1)
⎞⎛
x − x2
h1(x,
x1)
= ⎜
⎜1
−2
(x1
x2)
⎟
⎜
⎝ − ⎠⎝
x1
− x
h (x, x
1
2
∑
j=
1
2
( h (x, x )f(x ) + h (x, x )f'(x
) )
1
⎛ (x − x2)
⎞⎛
x − x1
) = ⎜
⎜1
−2
(x2
x1)
⎟
⎜
⎝ − ⎠⎝
x2
− x
⎛ x − x ⎞ 2
h2
(x, x1)
= (x − x1)
⎜
x1
x ⎟
⎝ − 2 ⎠
⎛ x − x ⎞ 1
h2
(x, x2)
= (x − x2)
⎜
x2
x ⎟
⎝ − 1 ⎠
j
Pada interpolasi Hermite bukan saja p(x) yang dicocokkan dengan data f(x) namun
juga turunannya p’(x) dicocokkan dengan data f’(x). Karena itu, baik p(x) maupun
p’(x) bersifat kontinyu. Ini berbeda dari yang ditemui pada interpolasi Lagrange.
j
2
2
2
j
2
1
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
2
j

Interpolasi Hermite Orde Lebih Tinggi
Interpolasi Hermite tidak terbatas hanya menggunakan polinomial p(x) berorde
3 (kubik), namun dapat juga yang berorde lebih tinggi. Untuk itu diperlukan
lebih banyak data, bukan hanya f(x) dan f’(x) pada titik x dan x i+
1 .
Secara umum fungsi interpolasi Hermite p(x) berupa polinomial berorde (2n - 1)
memerlukan n data f(x) dan n data f’(x):
dengan:
p(x) =
1
2
j
n
∑
j=
1
j
j
j
l(x, x ) =
l'(x
) =
( h (x, x )f(x ) + h (x, x )f'(x
) )
1
h (x, x ) =
∑
j
j
( 1 −2(x
− x )l'(x
) ) l
2
h (x, x ) = (x − x )l (x, x )
⎛
⎜
x − x
⎜
⎝
x − x
1
(x − x )
∏
j
k≠ j j k
k≠ j j k
k
j
⎞
⎟
⎠
2
j
j
2
j
(x, x
j
j
)
i
69

70
Interpolasi Hermite Kubik tanpa Data f’(x)
Interpolasi Hermite memerlukan sebagai data selain f(x) juga f’(x). Pada
beberapa kasus bisa saja data f’(x) tidak tersedia, melainkan hanya data f(x).
Pada kasus ini sebenarnya interpolasi Hermite tidak bisa dipakai. Tetapi, jika
f’(x) bisa diperoleh melalui pendekatan (approximation) maka, interpolasi
Hermite bisa dipakai.
f’( xi
) dapat dihitung sebagai turunan sebuah fungsi kuadratik g(x), yang
dicocokkan dengan data f(x) pada titik-titik x i-1,
xi,
xi+
1 :
g(x) = ax
2
+ bx + c
g(x
g(x ) = f(x )
g(x
i-1
i
i+
1
) = f(x
i
) = f(x
i-1
i+
1
)
)
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(a,
b,
c)
f'(xi ) ≅ g'(xi)
= 2axi
+ b
Dapat dilihat bahwa, proses pencarian f’(x) ini berdiri sendiri, berada di luar
atau bukan bagian dari proses interpolasi Hermite. Dengan begitu, sifat
kontinyu fungsi interpolasi Hermite p(x) dan turunannya p’(x) tidak berubah.

Dari sistem persamaan linear:
)
f(x
c
bx
ax
)
f(x
c
bx
ax
)
f(x
c
bx
ax
1
i
1
i
2
1
i
i
i
2
i
1
-
i
1
-
i
2
1
-
i
+
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
diperoleh:
)
x
)(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
x
)(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
)
x
)(x
x
(x
)
)f(x
x
(x
b
)
x
)(x
x
(x
)
f(x
)
x
)(x
x
(x
)
f(x
)
x
)(x
x
(x
)
f(x
a
i
1
i
1
i
1
i
1
i
i
1
-
i
1
i
i
1
i
i
i
1
i
1
-
i
1
i
1
i
i
1
i
1
i
1
i
i
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
i
1
i
i
i
1
i
1
i
i
1
i
1
i
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
=
−
−
+
−
−
+
−
−
=
+
−
+
+
+
−
+
+
−
−
−
+
+
−
+
+
+
−
+
−
−
−
sehingga:
)
x
(x
)
f(x
x
x
x
x
)
f(x
x
x
1
x
x
1
)
x
(x
)
f(x
x
x
x
x
)
(x
f'
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
-
i
i
i
1
i
i
1
i
i
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
i
i
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≅
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
+
71

maka diperoleh fungsi interpolasi Hermite kubik p(x) sebagai berikut:
∑ =
=
3
0
j
j
j
)
)f(x
x
h(x,
p(x)
)
x
(x
1
x
x
x
x
)
x
(x,
h
)
x
h(x,
)
x
(x
1
x
x
x
x
)
x
(x,
h
x
x
1
x
x
1
)
x
(x,
h
)
x
(x,
h
)
x
h(x,
)
x
(x
1
x
x
x
x
)
x
(x,
h
x
x
1
x
x
1
)
x
(x,
h
)
x
(x,
h
)
x
h(x,
)
x
(x
1
x
x
x
x
)
x
(x,
h
)
x
h(x,
2
3
1
3
1
2
2
2
3
1
2
0
2
0
1
1
2
3
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
3
1
3
2
2
2
0
1
2
1
1
2
1
1
1
1
0
2
0
2
1
1
2
0
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
)
x
x
,
x
x
,
x
x
,
x
x
;
x
x
(x 2
i
3
1
i
2
i
1
1
-
i
0
1
i
i +
+
+
=
=
=
=
≤
≤
( )
∑ =
+
=
2
1
j
j
j
2
j
j
1
)
(x
)f'
x
(x,
h
)
)f(x
x
(x,
h
p(x)
Jika diaplikasikan pada interpolasi Hermite kubik:
72

Interpolasi Spline Kubik
Seperti interpolasi Lagrange, interpolasi Spline kubik juga memerlukan hanya
f(x) sebagai data. Namun, turunan fungsi interpolasi Spline kubik p’(x) dibuat
bersifat kontinyu.
Interpolasi Spline kubik menggunakan polinomial p(x) orde 3, untuk x :
i ≤ x ≤ xi+
1
p(x) = d + c (x − x ) + b(x
− x )
Turunan pertama dan kedua p(x) yaitu:
i
i
p'(x)
p''(x)
i
i
= 2b + 6a (x − x )
Evaluasi pada titik x = x menghasilkan:
dan pada titik x = x : i+
1
i
i
i
i
2
+ a (x − x )
= c + 2b (x − x ) + 3a (x − x )
i
i
i
i
i
i
p ≡ p(x ) = d = f(x ) p''
≡ p''(x
) = 2b
i
i
i
i
i
i
i
i
2
3
≅ f(x)
2 3
i+
1 ≡ p''(xi
+ 1)
= 2bi
+ 6aihi
pi+
1 ≡ p(xi+
1)
= di
+ cihi
+ bihi
+ aihi
= f(xi+
1)
hi
≡ xi+
1
p'' − x
i
i
73

74
Jadi,
d
i
= p
sehingga diperoleh:
i
⎛ p
⎜
⎝
b
i
p''i
=
2
− p
hp''
a
i
p''i
+ 1−p''
i
=
6h
hp''
⎞
⎟
⎠
⎛ p''
−p''
⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
i+
1 i i i+
1 i i
i
2 i+
1 i
p(x) = pi
+ ⎜ − − (x − xi)
+ (x − xi)
+ (x −
hi
6 3 ⎟ 2 ⎜ 6h ⎟
i
p
i
p(x) telah dicocokkan dengan data f(x) di titik-titik batas interval, sehingga
bersifat kontinyu. Untuk membuat p’(x) kontinyu maka dicari ekspresi p’(x)
untuk daerah sebelumnya x ≤ x ≤ x :
p − p
=
− p
h
−
hp''
i-1
p''
h
−
hp''
p''
i
c
i
p''
=
p
i+
1
h
− p
i
i
hip''
i
−
i+
1 i i i+
1 i i
i+
1 i
p'(x) = − − + p''i
(x − xi)
+ (x −
hi
6 3
⎜ 2h ⎟
i
⎛ p''−p''
+ ⎜
⎝
i i-1
i-1
i i-1
i-1
i i-1
p'(x) p''i
-1
(x xi-1
)
(x
hi-1
6 3
⎜ 2h ⎟ −
i-1
+
−
⎛ p''
−p''
⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎞
⎟
⎠
+ 1
+ 2hp''
dan disamakan dengan p’(x) untuk daerah x di titik .
i ≤ x ≤ xi+
1
i x x =
6
i
x
i
x )
2
i-1
)
i
2
x )
i
3

Untuk N = jumlah data, diperoleh:
h
i -1
p''
i-1
+ 2(h
i-1
+ h )p''+
hp''
i
i
i
i+
1
⎛ pi+
1 − pi
pi
− pi
= 6 ⎜ −
⎝ hi
hi-1
2, ..., N -1)
Untuk menghitung p(x) diperlukan p’’(x) di semua N titik data. (N-2) buah
persamaan di atas tidak cukup untuk mendapatkan p’’(x) di semua titik data.
Masih diperlukan 2 persamaan lagi, yang diperoleh dengan mengevaluasi p’(x) di
titik awal x = x1
(memakai ekspresi p’(x) untuk x1 ≤ x ≤ x2
) dan akhir x = xN
(memakai ekspresi p’(x) untuk x ≤ x ≤ x ). Didapat:
(i = 1)
(i = N)
h
N-1
N-1
p''
N-1
+ 2h
N-1
p''
N
-1
⎛ p2
− p1
⎞
2h + = ⎜ − ⎟
1p''1
h1p''
2 6 p'1
⎝ h1
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛ pN
− p
= 6
⎜
⎜p'N
−
⎝ hN-1
Masalah: p’(x) di titik awal x = x dan akhir x = x tidak diketahui, ??
1
Ada dua cara. Pertama yang disebut spline alamiah yaitu, menetapkan p’’(x) di
titik awalx = x dan akhir x = xN
sama dengan nol. Kedua, menebak nilai p’(x) di
1
titik awalx = x dan akhir x = x .
1
N
N
N
(i =
N-1
⎞
⎟
⎠
75

76
Interpolasi Multidimensi
Jika data bergantung pada lebih dari satu variabel, maka dilakukan interpolasi
multidimensi. Metode interpolasi yang telah disampaikan bisa dipakai untuk
melakukan interpolasi multidimensi. Sebagai contoh di sini ditunjukkan
interpolasi 2 dimensi. Untuk dimensi lebih tinggi berlaku cara yang sama.
p(x, y) =
n
m
∑S(x, xi
) ∑
i=
1
j=
1
S(y, y )f(x , y )
Pada contoh di atas, interpolasi menggunakan (n x m) data f(x,y). Interpolasi
dilakukan per dimensi: Untuk satu titik data x tertentu dilakukan interpolasi di
sepanjang sumbu y, hal yang sama dilakukan untuk semua titik data x yang lain.
Prinsip yang sama berlaku untuk interpolasi berdimensi lebih tinggi.
j
i
j

Contoh, interpolasi Lagrange kubik:
∏
∏
∑ ∑
≠
≠
= =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
=
j
s s
j
s
j
i
k k
i
k
i
3
0
i
3
0
j
j
i
j
i
y
y
y
y
)
y
l(y,
x
x
x
x
)
x
l(x,
)
y
,
)f(x
y
l(y,
)
x
l(x,
y)
p(x,
77

78
Kembali ke contoh problem least square:
Kuat medan listrik E di sekitar sebuah benda berbentuk lempeng
diukur pada jarak 10 cm dari pusat massanya dan arah yang
bervariasi. Arah dinyatakan dalam sudut θ terhadap sumbu y yang
ditetapkan sebelum pengukuran. Diperoleh data sebagai berikut:
θ [derajat] E [V/cm]
10 0.01794775
15 0.03808997
20 0.05516225
25 0.05598281
30 0.04795629
35 0.04807485
40 0.06273566
45 0.07853982
50 0.07395442
55 0.04201338
Dengan interpolasi, cari nilai p(x) di sepanjang titik data.
y
θ
E

Menghitung luas daerah di bawah kurva:
f(x)
I =
b
∫
a
f(x) dx
a b
b
N
∫ f(x) dx ≅
a
i=
1
Integrasi
x
f(x)
analitik numerik
∑
w f(x )
i
i
∑ i
w f(x )
i
a b
Integral numerik sering disebut juga sebagai
quadrature; integrasi numerik disebut sebagai
integrasi dgn menjumlah quadrature.
i
81
x

82
Meski tidak terlihat pada rumus akhir, pada integrasi numerik integrand
f(x) diinterpolasi dengan suatu polinomial:
I =
b
N
∫ f(x) dx ≅
a
i=
1
∑
f(x) ≅ p(x)
w f(x )
i
i
polinomial
Dilihat dari titik-titik xi
tempat integrand f(x) dihitung, ada teknik integrasi
numerik yang menggunakan xi berjarak tetap dan ada yang memakai xi
berjarak tidak tetap.
Contoh (akan dibahas):
• quadrature trapezoid, Simpson menggunakan x berjarak sama,
• quadrature Gaussian menggunakan x berjarak tidak sama.
i
i

Quadrature Trapezoid
Kurva integrand f(x) diinterpolasi dengan sebuah garis lurus (f(x) diinterpolasi
dengan fungsi linier / polinomial orde 1):
b
∫
b
∫
N
a
a
i=
1
I = f(x) dx ≅ p(x) dx = ∑wip(x
i),
Untuk menarik garis lurus
diperlukan minimal 2 titik,
dipilih titik f(a) dan f(b):
p(a) = f(a), p(b) = f(b)
f(x)
p(x) = r + sx
b
∫
a
p(x)
p(x) dx
a b
x
83

84
Dengan diketahui hanya p(a) dan p(b) (r dan s tidak dicari), maka integrasi
numerik dikerjakan untuk N = 2:
b
2
∫
a
i=
1
p(x) dx = ∑wip(xi
) = w1p(x1
) + w2p(x2
) = w1p(a)
+ w2p(b)
Mencari dan w :
p(x) = r +
w1 2
sx
r(b-
Rumus quadrature trapezoid:
b
∫
a
(r +
1
a) + s(b
2
w
aw
sx) dx
1
1
2
− a
+
I = ∫
2
w
+ bw
b
a
) = r(w
2
2
f(x) dx
= w (r + sa) + w (r + sb)
1
1
= b - a
1
= (b
2
≅
+ w
2
h
2
2
− a
) + s(aw
2
)
2
( f(a) + f(b) )
1
+ bw
2
)
w1 = w2
=
w1 , w2
= ?
(h = b −
1
2
a)
luas trapezoid (lihat gambar)
(b − a)

Quadrature Simpson & Boole
Cara yang sama seperti pada quadrature trapezoid bisa dipakai untuk polinomial
p(x) orde lebih tinggi. Contoh, quadrature Simpson memakai p(x) fungsi
kuadratik / polinomial orde 2 untuk menginterpolasi integrand f(x):
c
c
∫ f(x) dx ≅ ∫ p(x) dx =
N
a
a
i=
1
I = ∑wip(xi
), p(x) = r + sx + tx
Untuk membuat kurva
kuadratik diperlukan
minimal 3 titik, dipilih titik
f(a), f(b) dan f(c):
p(a) = f(a),
dengan
p(c) = f(c)
p(b) = f(b),
a + c
b =
2
f(x)
p(x)
b
∫
a
p(x) dx
a b
c
2
x
85

)
a
(c
3
1
w
c
w
b
w
a
)
a
(c
2
1
cw
bw
aw
a
-
c
w
w
w
3
3
3
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
−
=
+
+
−
=
+
+
=
+
+
)
w
c
w
b
w
t(a
)
cw
bw
s(aw
)
w
w
r(w
)
a
t(c
3
1
)
a
s(c
2
1
a)
-
r(c
)
tc
sc
(r
w
)
tb
sb
(r
w
)
ta
sa
(r
w
dx
)
tx
sx
(r
3
2
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
3
3
2
2
2
3
2
2
2
1
c
a
2
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
∫
2
tx
sx
r
p(x) +
+
=
a)
(c
3
2
w
a)
(c
6
1
w
w
2
3
1
−
=
−
=
=
Integrasi numerik dikerjakan untuk N = 3:
p(c)
w
p(b)
w
p(a)
w
)
p(x
w
dx
p(x) 3
2
1
3
1
i
i
i
c
a
+
+
=
= ∑
∫ =
?
w
,
w
,
w 3
2
1
=
Mencari :
3
2
1
w
,
w
,
w
86

Diperoleh Rumus quadrature Simpson: I f(x) dx ≅ ( f(a) + 4f(b) + f(c) )
c − a
dengan h = yaitu jarak antar titik x tempat f(x) dihitung:
i
h = b − a = c −b
2
Dengan cara yang sama, menggunakan p(x) polinomial orde 3 diperoleh rumus
3
quadrature Simpson 8 :
d
3h
I = f(x) dx ≅ ( f(a) + 3f(b) + 3f(c) + f(d) ) ⎛ d-
a
⎞
∫ ⎜h
= = b − a = c −b
= d − c⎟
8
a
⎝ 3
⎠
dan dengan p(x) polinomial orde 4 rumus quadrature Boole:
e
I = ∫
a
f(x) dx
≅
2h
45
c
= ∫
( 7f(a) + 32f(b) + 12f(c) + 32f(d) + 7f(e) )
a
h
3
⎛
⎜h
=
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e - a
4
=
=
=
=
87
⎞
b − a⎟
⎟
c −b
⎟
d − c⎟
⎟
e − d⎠

88
Integrasi Komposit
Polinomial orde rendah memadai untuk menginterpolasi sebuah fungsi dalam
daerah yang sempit. Untuk daerah yang lebar diperlukan orde yang lebih tinggi.
Alternatif lain yaitu, membagi daerah fungsi yang lebar itu dalam beberapa
daerah yang sempit, lalu di tiap daerah yang sempit itu digunakan polinomial
orde rendah untuk interpolasi.
Quadrature trapezoid dan Simpson pada dasarnya memadai untuk daerah
integrasi yang sempit, namun dengan membagi daerah integrasi dalam beberapa
daerah yang sempit, maka quadrature trapezoid dan Simpson bisa dipakai juga
untuk daerah integrasi yang lebar. Integral total merupakan jumlah semua
integral untuk daerah yang sempit. Integrasi seperti ini disebut integrasi
komposit.
Bergantung pada integrand f(x), daerah integrasi yang lebar bisa dibagi dalam
beberapa daerah sempit yang sama atau berbeda panjang. Juga, semua integral
untuk daerah yang sempit bisa dihitung menurut rumus quadrature yang sama,
misal semuanya trapezoid, atau berbeda-beda, sesuai kurva di tiap daerah
sempit itu. Kasus sederhana yaitu, bila daerah integrasi dibagi sama panjang
dan untuk tiap daerah digunakan rumus quadrature yang sama.

Contoh, daerah integrasi [a,b] dibagi dalam N bagian sama panjang.
b
a+
d
a+
2d
I = ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx + ... + ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
a
a
a+
d
b-d
b-2d
• integrasi komposit menggunakan quadrature trapezoid
b
b-d
b
I = ∫ f(x) dx ≅ h 2
a
0 N 1 2 N−1
1 [ ( f + f ) + f + f + ... + f ]
b − a
h = , fi
= f(a + ih), i =
N
0, ..., N
• integrasi komposit menggunakan quadrature Simpson
b
2h
I = ∫ f(x) dx ≅ 2 0 2N 1 3 2N−
1 2 4 2N−
3
a
⎛ b − a
⎜d
=
⎝ N
1 [ ( f + f ) + 2(
f + f + ... + f ) + f + f + ... + f ]
b − a
h = , fi
= f(a + ih), i =
2N
0, ..., 2N
2
⎞
⎟
⎠
89

90
Integrasi komposit trapezoid untuk daerah integrasi [a,b] yang dibagi 8
sama panjang:
f(x)
b
a
1 [ ( f + f ) + f + f + f + f + f + f f ]
I = ∫ f(x) dx ≅ h 2 0 8 1 2 3 4 5 6 +
a b
h
7
x

Integrasi komposit yang menggunakan quadrature trapezoid dan Simpson;
daerah integrasi [a,b] yang dibagi 3:
f(x)
b
h1
h2
= ∫ f(x) dx ≅ a a+
h1 c
c c+
h2
2
3
a
( f + 2f + f ) + ( f + 4f f )
I +
trapezoid
a c
b
h1 h1 2h2
b
Simpson
x
91

92
Quadrature Gaussian
Quadrature Gaussian memanfaatkan polinomial yang memiliki sifat orthogonal
dan ternormalisasi sebagai berikut:
Contoh:
O
O
n
=
2n+
1
2
P ,
n
1
n = L n! n,
Ln
P
=
n
b
∫ v(x)On
(x)Om(x)
dx = δnm,
On
(x) =
n
a
i=
0
=
polinomial Legendre
polinomial Laguerre
Dengan quadrature Gaussian, dievaluasi integral berbentuk:
b
∫ =
N
a
i=
1
∑
i
i
1
∫
-1
∑
v(x)f(x)dx w f(x )
, x = ?
n
bx
i
i
O (x)O (x) dx = δ
m
nm
∞
-x
∫ e On
(x)Om(x)
dx =
0
wi i
δ
nm

Mencari xi
:
Anggap integrand f(x) merupakan polinomial orde 2N-1 (atau katakan saja f(x)
diinterpolasi dengan polinomial p(x) orde 2N-1):
2N-1
f(x) ≅ p(x) = ∑
i=
0
a x
i
i
= r(x) + s(x)
s(x) bisa ditulis sebagai = q(x)O (x) dengan q(x) polinomial orde N-1:
s(x) N
q(x) =
N-1
∑
i=
0
dx
i
i
=
N-1
∑
i=
0
cO
(x)
b
∫
N-1
b
∑ ∫
N-1
a
i=
0 a
i=
0
Maka: v(x)s(x)dx = ci
v(x)Oi(x)O
N(x)dx
= ∑ciδ
iN = 0
b
∫
N
N
a
i=
1
i=
1
Secara numerik: v(x)s(x)dx = ∑wis(xi
) = ∑wiq(xi)O
N(xi
) = 0
Mengingat q(x) fungsi sembarang, persamaan terakhir dipenuhi hanya jika
O (x ) 0 (i 1, ..., N) .
N i = =
x = akar polinomial (x) (i = 1, ..., N)
i
dengan
i
i
r(x) =
N-1
∑
i=
0
O N
i
a x ,
i
s(x) =
2N-1
∑
i=
N
a x
i
i
93

94
Mencari wi
:
Untuk integrand f(x) dan s(x), yang merupakan polinomial orde 2N-1 berlaku
integrasi numerik:
b
N
∫ v(x)f(x)dx = ∑wif(x
i)
∫ v(x)s(x)dx = ∑
i=
1
i=
1
a
Integrasi numerik yang sama tentu berlaku juga untuk integrand polinomial orde
lebih rendah, contohnya r(x), yang berorde N-1:
b
N
∫ v(x)r(x)dx = ∑wir(x
i)
,
N-1
r(x) = ∑
a
i=
1
i=
0
b
a
N
a x
i
w s(x )
Dari penurunan rumus quadrature trapezoid, Simpson dll sebelum ini diketahui
bahwa untuk mencari wi
bisa digunakan r(x) sembarang polinomial orde N-1
(koefisien ai
tidak diperlukan). Karena itu, dipilih r(x) yang memudahkan:
r(x) = l(x, xi
) = ∏
≠
⎛ x − x ⎞ j ⎜ ⎟,
⎜ xi
x ⎟
⎝
−
⎠
j i
j
(i, j =
b
N
Diperoleh: ∫ v(x)l(x, xj)dx
= ∑wil(x
i,
xj)
= wj
a
i=
1
1, ..., N)
w
j
b
= ∫ v(x)l(x, x
a
i
i
l(x , x ) = δ
k
j
i
i
)dx
ik
(j =
1, ..., N)

Pada integrasi numerik Gaussian, diperlukan N buah titik evaluasi x untuk i
integrand f(x) ≅ p(x) polinomial orde 2N-1.
Pada integrasi numerik seperti quadrature trapezoid dan Simpson, diperlukan
2N buah titik x untuk integrand f(x) ≅ p(x) polinomial orde 2N-1:
i
trapezoid
Simpson
Simpson
Boole
dst
3
8
: 2N = 2
: 2N = 3
: 2N = 4
: 2N = 5
Secara umum, dengan begitu, quadrature Gaussian memerlukan titik evaluasi
lebih sedikit (separuh) dari yang diperlukan integrasi numerik yang mengikuti
cara seperti quadrature trapezoid dan Simpson.
Bergantung pada keperluan, integrasi komposit juga bisa diterapkan
menggunakan quadrature Gaussian atau campuran quadrature Gaussian dan
yang lain.
95

96
Quadrature Gauss-Legendre
Quadrature Gauss-Legendre menggunakan polinomial Legendre P :
O
n
2n+
1 = P : O n(x)Om
(x) dx = δnm
2
n
Asalnya, quadrature Gauss-Legendre dipakai untuk integral berbatas [-1,1]:
1
∫
-1
1
∫ f(x)dx =
N
-1
i=
1
∑
w f(x )
Namun dengan mengganti variabel integrasi, quadrature Gauss-Legendre dapat
juga dipakai untuk mengevaluasi integral dengan batas bukan [-1,1].
1
∫
N
-1
i=
1
2
Contoh: f(x)dx = ∑wif(xi
) =
b − a
y − a x −(
−1)
x + 1
= =
b − a 1 −(
−1)
2
(transformasi linier)
b
∫
a
f(y)dy
i
i
i
n
b
N
∫ f(y)dy
a
i=
1
1 yi
= 2
u
= ∑uif(y
i)
(xi
+ 1)(b − a) + a
⎛ b − a ⎞
= ⎜ ⎟wi
⎝ 2 ⎠

Contoh dan quadrature Gauss-Legendre untuk beberapa N terkecil:
w
N
2
3
4
5
xi i
±
±
±
±
±
±
x
1
∫ f(x)dx =
N
-1
i=
1
0.577350269189626
0.774596669241483
0.000000000000000
0.861136311594053
0.339981043584856
0.906179845938664
0.538469310105683
0.000000000000000
∑
w f(x )
i
i
w
1.000000000000000
0.555555555555556
0.888888888888889
0.347854845137454
0.652145154862546
0.236926885056189
0.478628670499367
0.568888888888889
97

98
Distribusi xi
pada quadrature Gauss-Legendre tidak merata seperti
distribusi pada quadrature trapezoid dan Simpson. Makin dekat ke batas-batas
integral distribusi makin rapat. Distribusi itu simetris terhadap garis x = 0.
x = -1
Distribusi ini lebih cocok untuk
integrand f(x) yang bentuk kurvanya
lebih tajam di sekitar batas
integral, sementara kurang tajam di
bagian tengah.
Ilustrasi untuk N = 11:
x = 0
x = 1
Untuk f(x) yang berkurva tajam di
bagian tengah dan kurang tajam di
sekitar batas integral diperlukan
beberapa penanganan (mis. membagi
daerah integrasi, redistribusi x dll).
x

Quadrature Gauss-Laguerre
Quadrature Gauss-Laguerre menggunakan polinomial Laguerre L :
1
-x
O n = Ln
: e On
(x)Om(x)
dx = δnm
n!
-x
dipakai untuk integral berbentuk: e f(x)dx = ∑wif(x
i)
∞
∫
0
∞
N
∫
0
i=
1
Contoh dan quadrature Gauss-Laguerre untuk beberapa N:
w
N
2
4
xi i
x
0.585786437626905
3.414213562373095
0.322547689619392
1.745761101158347
4.536620296921128
9.395070912301133
w
0.853553390593274
0.146446609406726
0.603154104341634
0.357418692437800
0.038887908515005
0.000539294705561
n
99

100
Mengganti Variabel Integrasi
Pada topik quadrature Gauss-Legendre terdapat contoh penggantian variabel
integrasi. Penggantian variabel integrasi bisa juga diperlukan pada kasus lain.
Tujuannya, agar evaluasi integral menjadi lebih mudah dan hasilnya baik.
dx
Contoh: I = ∫ 1 +
∞
0
2
x
transformasi:
Lain-Lain
batas integral sampai tak behingga, jika
dievaluasi langsung memerlukan sangat banyak
titik, tidak praktis dan hasilnya bisa saja buruk
1 + y 2
x = , dx = 2
1 − y (1 − y)
I =
1
∫
-1
= 2
(1 − y)
1
∫
-1
2
(1 − y)
2dy
( ) 2
1 +
2
dy
1+
y ( )
1−y
+ (1 + y)
2
dy
quadrature
Gauss-Legendre

Meringkas Daerah Integrasi
Beberapa fungsi bersifat genap, ini memungkinkan daerah integrasi diringkas
menjadi separuhnya (mengurangi jumlah titik evaluasi 2N menjadi N).
Contoh:
fungsi genap: f( −x) = f(x) fungsi ganjil: f( −x)
= −f(x)
•
•
I =
I =
a
= 2
dx
1 + x
∫ = 2 ∑
-a
1
∫
-1
= 2
a
dx
1 + x
i=
1
wi
1 + x
∫ = 2 2 ∑
0
(1 − y)
1
∫
0
2
(1 − y)
dy
2N
2N
i=
N+
1
+ (1 + y)
2
dy
2
i
+ (1 + y)
wi
1 + x
2
2
=
2
i
2N
∑
i=
1
= 2
(1 − y )
2N
∑
i=
N+
1
i
2
(1 − y )
wi
+ (1 + y )
i
2
i
2
wi
+ (1 + y )
i
2
101

102
Beberapa fungsi memiliki simetri, contoh fungsi trigonometri:
sin( −x)
= −sin(x)
cos( −x)
= cos(x)
sin(π ± x) = ∓sin(x)
cos(π ± x) = −cos(x)
Dengan memanfaatkan relasi simetri di atas batas integrasi sebuah integral
tertutup (loop) seperti contoh di bawah dapat diringkas menjadi seperempatnya,
sehingga jumlah titik evaluasi berkurang banyak:
I =
=
=
=
2π
∫ [ f(sin(x − a)) + f(cos(x − a)) ]
0
2π
∫ [ f(sin(x)) + f(cos(x)) ]
0
π
∫
0
π
2
∫
0
imx
im(x+
π)
[ { f(sin(x)) + f(cos(x)) } e + { f( −sin(x))
+ f( −cos(x))
} e ]
[
f(sin(x))
+ f( −sin(x))
e
imx
dx
e
im(x−a)
dx
imx im(π−x)
imx im(2π−x)
( e + e ) + f(cos(x)) ( e + e )
im(π+
x) im(2π−x)
im(π+
x) im(π−x)
( e + e ) + f( −cos(x))
( e + e )]dx
integral tertutup bisa
dimulai dari titik mana saja
dx
telah
dipakai
x = x'+
π
x = −x'

Menangani Singularitas
Kadang ditemui integrand f(x) yang memiliki singularitas dalam daerah
integrasi. Salah satu cara menangani singularitas yaitu subtraksi, yang dimulai
dengan menambahkan integral bernilai nol pada integral yang dihitung.
Contoh:
•
I =
=
=
a
∫
0
a
∫
0
a
∫
0
= −
dx
(1 + x)
dx
(1 + x)
⎛ 1
⎜
⎝ (1 + x)
a
∫
0
x
x
x
−
a
∫
0
−
x
dx + 2
1 + x
dx
1 ⎞
dx +
x
⎟
⎠
a
x
+
a
∫
0
dx
x
a
∫
0
dx
x
singular pada x = 0
ditambah nol
subtraksi pada
integral asal
103

( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
≤
<
−
=
•
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞
∞
b
a
b
a
bf(b)ln
2
1
)
x
(b
dx
f(b)
b
f(x)
x
)
x
(b
f(b)dx
b
)
x
(b
dx
f(b)
b
f(x)
x
)
x
(b
f(b)dx
b
)
x
(b
f(x)dx
x
)
a
b
(0
)
x
(b
f(x)dx
x
I
a
0
2
2
2
2
a
2
2
2
a
0
2
2
2
2
0
2
2
2
a
0
2
2
2
2
2
a
0
2
2
2
singular pada x = b
ditambah nol (lihat *)
subtraksi pada
integral asal
0
x
dx
2b
1
x
b
dx
2b
1
dx
x
b
1
x
b
1
2b
1
)
x
(b
dx
0
0
2
2
=
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
−
∫
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
(*)
104

Quadrature Filon
Bisa saja ditemui integrand f(x) yang sangat berosilasi; dalam jarak yang
pendek f(x) berubah-ubah naik turun. Dengan macam-macam quadrature yang
sudah disampaikan, integrasi menjadi sulit karena dibutuhkan banyak sekali
titik evaluasi. Integral seperti ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus
quadrature Filon (M. Abramowitz & I. A. Stegun, Handbook of Mathematical
Function, Dover Publications, Inc., NY, 1972).
f(x)
x
105

[ ]
( )
∑
∑
∫
=
−
−
=
=
+
−
=
+
+
−
=
n
1
i
1
2i
1
2i
ganjil
0
2n
2
1
n
0
i
2i
2i
genap
ganjil
genap
0
2n
b
a
)
cos(tx
f
C
cos(ta)
f
cos(tb)
f
)
cos(tx
f
C
γ(th)C
β(th)C
sin(ta))
f
sin(tb)
α(th)(f
h
)dx
f(x)cos(tx
Quadrature Filon (tanpa suku kesalahan, yang bisa diabaikan):
[ ]
( )
∑
∑
∫
=
−
−
=
=
+
−
=
+
+
−
=
n
1
i
1
2i
1
2i
ganjil
0
2n
2
1
n
0
i
2i
2i
genap
ganjil
genap
2n
0
b
a
)
sin(tx
f
S
sin(ta)
f
sin(tb)
f
)
sin(tx
f
S
γ(th)S
β(th)S
cos(tb))
f
cos(ta)
α(th)(f
h
)dx
f(x)sin(tx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
−
+
=
2
3
3
2
2
3
2
2
x
cosx
x
sinx
4
γ(x)
x
sin(2x)
x
x
cos
1
2
β(x)
x
x
2sin
2x
sin(2x)
x
1
α(x)
untuk nilai
x kecil:
...
...
...
+
−
+
−
=
−
+
−
+
=
−
+
−
=
11340
x
210
x
15
2x
3
4
γ(x)
567
2x
105
4x
15
2x
3
2
β(x)
4725
2x
315
2x
45
2x
α(x)
6
4
2
6
4
2
7
5
3
)
f(x
f
a
x
x
x
2n
a
b
h
j
j
0
i
1
i
=
=
−
=
−
= +
106

Integrasi Monte Carlo
Mungkin saja cara-cara integrasi numerik yang sudah disampaikan sulit atau
tidak bisa diterapkan untuk mengevaluasi suatu integral. Pada keadaan ini,
integrasi Monte Carlo dapat dipilih.
Integrasi Monte Carlo tidak menggunakan interpolasi seperti pada cara-cara
integrasi numerik sebelum ini. Integral dianggap sebagai satu persegi panjang,
dengan lebar daerah integrasi dan tinggi nilai rata-rata integrand f(x), yang
diperoleh melalui statistik dengan memanfaatkan bilangan acak:
f(x)
(b-a)
a b
x
1
f(x) >=
n
x
i
n
< ∑
i=
1
I =
f(x )
= bilangan acak :
b
n 1
∫ f(x)dx ≅ (b-
a)
n
a
i=
1
i
∑
a ≤ x
i
i
f(x )
≤ b
107

108

Persamaan Differensial
Persamaan differensial (PD) yang dibahas meliputi persamaan differensial
biasa dan persamaan differensial parsial.
Beberapa persamaan differensial merupakan juga persamaan eigenvalue,
contoh persamaan untuk senar gitar (gelombang berdiri). Karena itu, akan
dibahas juga persamaan eigenvalue.
109

110
Persamaan Differensial Biasa
Pada bagian ini disampaikan metode numerik untuk menyelesaikan
persamaan differensial biasa orde 1 dan 2. Dua masalah yang akan
dibahas yaitu:
• PD dengan syarat awal
• PD dengan syarat batas

dy
Bentuk umum PD orde 1: y' = = f(x, y)
dx
Diketahui:
Integrasi:
y(x ) =
y
0
∫ dy =
x
∫
y0 x0
y(x) = y
Dicari y(x) pada titik x x0
h : + =
PD dengan Syarat Awal
PD Orde 1
y
f(x, y)dx
0
0
+
x
∫
x
y(x
0
0
f(x, y)dx
+ h) = y
0
y(x) = ?
+
x + h
0
∫
x
0
f(x, y)dx
Masalah persamaan
differensial
berubah menjadi
masalah persamaan
integral.
Setelah y(x0 + h) didapat, selanjutnya dicari y(x0 + 2h) . Demikian seterusnya.
111

112
Menurut metode Euler:
y(x
f(x,y)
Diperoleh:
0
y
x0 x0 + h
+ hf(x
, y
f(x0, y0)
)
x
+ h) ≅ y0
+ f(x0,
y0)
∫dx
≅
0
0
0
x + h
0
x
0
Metode Euler
y(x)
y0
f(x,y) dianggap
konstan dan
dihitung pada x = x .
x0 x0 + h
x
0
y(x0 + h)
yg diperoleh
y(x0 + h)
sebenarnya

Modifikasi dilakukan dalam memilih
nilai f(x,y) yang dianggap konstan.
Dipilih f(x,y) pada titik 1 x h : =
Diperoleh:
y(x
0
1
1
f(x0 + h, y(x0
+ 2 h))
+ h) ≅
≅
y
y
0
0
+ hf(x
+ hf(x
0
0
+
+
Metode Euler yang Dimodifikasi
1
2
1
2
x 0 2 +
1
dengan y(x0 h) 2 dihitung memakai
metode Euler:
+
1
1
y(x0 + h) ≅ y0
+ hf(x0,
y0)
2
2
2
h, y(x
h, y
0
+
0
1
2
+
1
2
h))
hf(x
0
, y
0
))
f(x,y)
y(x)
y0
x0 x0 + h
1 x0 2 +
h
x0 x0 + h
1 x0 2 +
h
1
1
f(x0 + h, y(x0
+ 2 h))
x
x
2
y(x0 + h)
yg diperoleh
y(x0 + h)
sebenarnya
113

114
Metode Euler yang Lebih Baik (Improved)
Kali ini dipakai nilai f(x,y) yang merupakan rata-rata dari dua nilai f(x,y),
masing-masing pada titik x dan x0 + h :
dengan y(x0 + h) dihitung memakai metode Euler:
Diperoleh:
y(x
0
+ h) ≅
≅
y(x0 + h) ≅ y0
+ hf(x0,
y0)
y
y
0
0
0
[ , y ) + f(x + h, y(x h)) ]
1
2 f(x0 0 0
0 +
Ini sama dengan menggunakan quadrature trapezoid
untuk mengevaluasi integral:
x + h
0
∫
x
0
[ f(x , y ) + f(x + h, y(x + h)) ]
1
f(x, y)dx ≅ h 0 0 0
0
2
+
+
1
2
1
2
h
h
f(x,y)
[ f(x0,
y0)
+ f(x0
+ h, y(x0
+ h)) ]
[ f(x , y ) + f(x + h, y + hf(x , y )) ]
0
0
0
0
0
0
x0 x0 + h
x

Metode Runge-Kutta
Metode Euler dan variasinya sebelum ini sebetulnya termasuk metode Runge-
Kutta, yang menyatakan solusi PD y(x) dalam turunannya f(x,y), yang dihitung
untuk argumen x,y yang bervariasi. Sebuah metode Runge-Kutta disebut
berorde n jika memiliki suku koreksi O(h ) (diperoleh dari ekspansi Taylor):
1 n+
Euler :
y(x
0
+ h) =
y
diperoleh
+ O(h
Menurut hal itu, metode Euler merupakan metode Runge-Kutta orde 1
sedangkan metode Euler yang dimodifikasi dan yang lebih baik (improved)
merupakan metode Runge-Kutta orde 2:
Euler yg dimodifikasi:
Euler yg lebih baik :
y(x
y(x
y(x
0
0
0
+ h) =
+ h) =
+ h) =
y
y
y
0
0
0
+ hf(x
+ hf(x
+
1
2
h
0
0
, y
h, y
n+
1
)
) + O(h
)
hf(x
, y
)) + O(h
3
[ f(x , y ) + f(x + h, y + hf(x , y )) ] + O(h )
Metode Runge-Kutta yang paling banyak digunakan orang yaitu berorde 4,
yang sering diingat sebagai metode Runge-Kutta tanpa tambahan keterangan
‘orde 4’.
+
0
0
1
2
0
0
+
2
1
2
0
0
0
0
0
3
)
0
115

116
Untuk mendapatkan rumus metode Runge-Kutta orde 4, orang bisa memulai
dengan mengevaluasi integral f(x,y) memakai quadrature Simpson:
x + h
0
∫
x
0
dengan:
f(x, y)dx ≅
f
0
≅
1
6
1
6
h
h
= f(x
f = f(x
1
1
1
[ f(x , y ) + 4f(x + h, y(x + h)) + f(x + h, y(x + h)) ]
( f + 2f + 2f + f )
0
0
0
, y
+
0
1
2
0
)
1
0
h, y(x
0
2
+
1
2
3
0
h))
1
f1 dan f2
memiliki nilai berbeda, karena dihitung untuk nilai argumen y(x0 + 2 h)
1
yang berbeda: menurut metode Euler, y(x0 h) 2 dapat diperoleh melalui 2
persamaan:
+
2
f
2
f
3
0
= f(x
= f(x
0
0
2
+
1
2
h, y(x
+ h, y(x
0
0
0
+
1
2
+ h))
(1)
atau
1
1
y(x0
+ 2 h) ≅ y0
+ 2 hf0
1
1
f1
= f(x0
+ 2 h, y0
+ 2 hf0
)
(2)
y
0
≅
≅
y(x
y(x
0
y(x
0
0
+
+
+
1
2
1
2
1
2
h) −
h) −
h) ≅
1
2
1
2
y
hf(x
hf(x
0
+
1
2
0
0
+
+
hf
1
1
2
1
2
h, y(x
h, y
0
0
+
+
1
2
f
2
1
2
hf
h))
0
)
= f(x
0
+
1
2
h, y
h))
0
+
1
2
0
hf)
1

Untuk f , digunakan metode Euler yang dimodifikasi untuk mencari y(x0 + h) :
Jadi, menurut metode Runge-Kutta orde 4:
dengan:
3
y(x
0
+ h) ≅
f
0
= f(x
f = f(x
1
≅
≅
y
y
0
0
y
0
0
0
+ hf(x
+ hf(x
+ hf
0
0
1
6
( f + 2f + 2f f )
y(x + h) = y + h
+
, y
+
0
1
2
)
2
h, y
0
0
0
+
+
+
1
2
1
2
1
2
h, y(x
h, y
hf
0
0
)
+
0
1
2
+
hf)
0
1
2
f
2
f
3
1
h))
1
= f(x
= f(x
f
0
0
3
= f(x
+
2
1
2
+ h, y
3
h, y
0
0
+ h, y
0
+
1
2
+ hf )
2
0
hf)
1
+ hf )
2
117

118
Berangkat dengan quadrature Simpson, orang juga bisa memperoleh rumus
metode Runge-Kutta orde 3:
dengan:
x + h
0
∫
x
0
f(x, y)dx ≅
( f + 4f + f )
1 y(x0 + h) dicari dengan metode Euler dan y(x dengan metode Euler
2
0 + h)
yang dimodifikasi:
1
6
h
0
1
1
f = f(x , y ) f = f(x + h, y(x + h)) f2
= f(x0
+ h, y(x0
+ h))
0
y(x
0
y(x
0
0
+
1
2
0
h) ≅
+ h) ≅
y
y
0
0
1
1
2
hf
+ hf
Jadi, menurut metode Runge-Kutta orde 3:
+
y(x
0
1
0
0
+ h) = y
f
0
2
f = f(x
1
f
2
0
+
= f(x
= f(x
0
0
0
1
6
, y
+
h
0
f
2
1
2
f = f(x
1
2
= f(x
0
0
( f + 4f + f )
0
1
2
)
0
h, y
+ h, y
0
0
1
+
1
2
+ hf)
1
2
hf
0
+
1
2
h, y
+ h, y
)
0
0
+
1
2
+ hf)
1
hf
0
)

PD Orde 2
2
d y
Bentuk umum PD orde 2: y''= = f(x, y, y')
2
dx
Diketahui:
Definisikan fungsi baru u:
y(x ) = y , y'(x
) =
u
u =
0
0
=
y'
y'
0
0
Masalah PD orde 2
berubah menjadi
masalah PD orde 1.
0
y'
0
y'=
u'=
y(x) = ?
u(x, y)
f(x, y, u)
119

120
Contoh penyelesaian dengan metode Euler yang lebih baik (improved):
u(x
0
u'=
+ h) = u
f
Alur perhitungan:
0
1
f(x, y, u)
0
+
= f(x
0
f = f(x
0
1
2
h
, y
1
( f + f ) y(x + h) = y + h(
u + u )
0
0
, u
0
+ h, y
0
)
1
+ hu
0
, u
y0, u0
f0
1
0
0
0
1
)
0
y'=
u
0
u
1
=
u(x, y)
= u
0
y'
0
0
2
+ hf
u h) u(x h), y(x , + +
x + h → x , u(x + h) → u , y(x + h) →
0
0
f1 0
0
y
0
0
0
1

Contoh penyelesaian dengan metode Runge-Kutta orde 4:
( ) ( )
2
0
3
1
2
1
0
2
0
2
1
0
1
0
0
3
2
1
0
6
1
0
0
3
2
0
0
3
2
1
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
0
0
0
3
2
1
0
6
1
0
0
hf
u
u
hf
u
u
hf
u
u
y'
u
u
2u
2u
u
h
y
h)
y(x
y)
u(x,
y'
)
u
,
hu
y
h,
f(x
f
)
u
,
hu
y
h,
f(x
f
)
u
,
hu
y
h,
f(x
f
)
u
,
y
,
f(x
f
f
2f
2f
f
h
u
h)
u(x
u)
y,
f(x,
u'
+
=
+
=
+
=
=
+
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
=
+
+
+
+
=
+
=
0
0 u
,
y 1
u 2
f
2
u 3
u h)
u(x
h),
y(x
,
f 0
0
3
+
+
0
0
0
0
0
0
y
h)
y(x
,
u
h)
u(x
,
x
h
x →
+
→
+
→
+
Alur perhitungan:
1
f
0
f
121

122
PD dengan Syarat Batas
Contoh, gelombang yang merambat di sepanjang tali bisa digambarkan dengan PD
orde 2. Jika ujung-ujung tali itu diikat sehingga tidak bisa bergerak, maka kita
temui kasus PD dengan syarat batas.
terikat terikat
Bentuk umum PD orde 1 & 2 linear:
Diketahui:
x
0
y(x
0
n
(1)
(2)
≤ x ≤ x
) =
y(x ) = y
y'=
f(x, y) = d(x) − e(x)y
y''=
y
0
n
n
g(x, y, y')
= a(x) −b(x)y
− c(x)y'
y(x) = ?
xn
x0
Dicari pada titik xi = x0
+ ih (i = 1, ..., n −1)
dengan h .
n
−
yi y(xi)
=
=

(1)
(2)
y'+
e(x)y = d(x)
y''+
c(x)y'+
b(x)y = a(x)
(1)
(2)
Metode Finite Differences
y'
i+
1 i
i+
i i = i
y''i
≅
2
y''+
c y'+
by
i
e y
i
i
d
i
i
= a
i
(1)
(2)
y
y
i+
1
i+
1
− y
h
i−1
2h
−2y
i
2
y' ≅
i
+ e y
+ y
i
i−1
i
y
y
i+
1
≅ d
+ c
Jadi, pada akhirnya ditemui masalah sistem persamaan linear:
(1)
(2)
− y
i−1
+ 2ehy
⎛ cih
⎞
⎜1
− ⎟y
⎝ 2 ⎠
i
i−1
i
−
+ y
i+
1
≅ 2dh
2 ⎛ cih
⎞
2
( 2 −bh
) y + ⎜1
+ ⎟y
≅ ah
i
i
i
⎝
2
⎠
i+
1
i
− y
i−1
2h
−2y
yang dapat diselesaikan menggunakan metode, contoh, iterasi Jacobi dan
Gauss-Siedel.
i
i
y
h
i+
1
− y
2h
+ y
i−1
i−1
+ by
i
i
≅
123
a
i

124
PD orde 1:
PD orde 2:
Aplikasi Iterasi Jacobi dan Gauss-Siedel pada PD dengan
Syarat Batas
(1)
(2)
Iterasi Jacobi:
y'=
d(x) − e(x)y
y''=
a(x) −b(x)y
− c(x)y'
(1)
(2)
y
y
(k)
i
(k)
i
≅
1
2e
i
h
− y
i−1
(k-1)
(k-1)
( 2dh
+ y − y )
i
i-1
+ 2ehy
⎛ cih
⎞
⎜1
− ⎟y
⎝ 2 ⎠
i+
1
i
i−1
i
−
+ y
i+
1
2 ⎛ cih
⎞
2
( 2 −bh
) y + ⎜1
+ ⎟y
≅ ah
i
≅ 2dh
( ) ⎟ 1 ⎛ 2 ⎛ cih
⎞ (k-1)
⎛ cih
⎞ (k-1)
⎞
≅ ⎜
⎜−
aih
+ ⎜1
− ⎟yi-1
+ ⎜1
+
2
⎟yi+
1
2 −bih
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
Iterasi Gauss-Siedel (contoh untuk i membesar, i = 1, …, n-1):
(1)
(2)
y
y
(k)
i
(k)
i
≅
1
2e
i
h
(k) (k-1)
( 2dh
+ y − y )
i
i-1
i+
1
( ) ⎟ 1 ⎛ 2 ⎛ cih
⎞ (k) ⎛ cih
⎞ (k-1)
⎞
≅ ⎜
⎜−
aih
+ ⎜1
− ⎟yi-1
+ ⎜1
+
2
⎟yi+
1
2 −bih
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
(k)
(k)
Catatan, sesuai syarat batas: y 0 = y0
yn
= yn
i
i
⎝
2
⎠
i+
1
i

Persamaan Differensial Parsial
Pada bagian ini disampaikan metode numerik untuk menyelesaikan
persamaan differensial parsial 2 dimensi tipe eliptik, parabolik
dan hiperbolik.
125

Dicari
distribusi
spasial .
Persamaan Differensial Eliptik
Bentuk umum PD eliptik: )
r
(
ρ
4π
)
r
ψ(
2
−
=
∇
Untuk kasus 2 dimensi: y)
(x,
ρ
4π
y)
ψ(x,
y
x
2
2
2
2
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
Gunakan metode finite differences:
)
y
y
x
x
(h
h
ψ
2ψ
ψ
h
)
y
,
ψ(x
)
y
,
(x
2ψ
)
y
,
ψ(x
y)
ψ(x,
y
h
ψ
2ψ
ψ
h
)
y
,
ψ(x
)
y
,
(x
2ψ
)
y
,
ψ(x
y)
ψ(x,
x
j
1
j
i
1
i
2
1
-
j
i,
j
i,
1
j
i,
2
1
-
j
i
j
i
1
j
i
y
,
x
2
2
2
j
1,
-
i
j
i,
j
1,
i
2
j
1
-
i
j
i
j
1
i
y
,
x
2
2
j
i
j
i
−
=
−
=
+
−
=
+
−
≈
∂
∂
+
−
=
+
−
≈
∂
∂
+
+
+
+
+
+
Diperoleh: [ ]
1
-
j
i,
1
j
i,
j
1,
-
i
j
1,
i
4
1
j
i,
2
j
i,
ψ
ψ
ψ
ψ
ρ
π
h
ψ +
+
+
+
= +
+
ψ
126

h
i-1,j
y
h
ψ0,0
i,j+1
i,j-1
i,j i+1,j
x
Langkah:
1. Buat grid pada bidang xy, dengan jarak
terdekat antar titik h.
2. (Dianggap nilai pada batas-batas bidang
xy diketahui.)
Hitung dengan rumus :
[ ψ + ψ + ψ ψ ]
ψ +
2
1
i, j = h π ρi,
j + 4 i+
1, j i-1,
j i, j+
1
i, j-1
secara berurutan ψi,
j untuk i = 1 & j = 1,
2, 3, ..., lalu i = 2 & j = 1, 2, 3, ..., i = 3 &
j = 1, 2, 3, ... dan seterusnya.
3. Jika dalam langkah 2 ditemui nilai ψ
yang belum diketahui, gunakan nilai
tebakan.
4. Ulangi langkah 2 – 3 sampai dicapai
kestabilan untuk nilai ψ di semua titik:
ψ
(iterasi sebelum)
i, j
− ψ
i, j
(iterasi berikutnya)
i, j
< ε
i, j
(bilangan
127
kecil)

Persamaan Differensial Parabolik
Bentuk umum PD parabolik: t)
,
r
(
ρ
4π
t)
,
r
ψ(
t
Γ
1
2
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∇
Untuk kasus 2 dimensi: t)
(x,
ρ
4π
t)
ψ(x,
t
Γ
1
x 2
2
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
Gunakan metode finite differences:
)
t
t
h
,
x
x
(h
h
ψ
ψ
h
)
t
,
(x
ψ
)
t
,
ψ(x
t)
ψ(x,
t
h
ψ
2ψ
ψ
h
)
t
,
ψ(x
)
t
,
(x
2ψ
)
t
,
ψ(x
t)
ψ(x,
x
j
1
j
t
i
1
i
x
t
j
i,
1
j
i,
t
j
i
1
j
i
t
,
x
2
x
j
1,
-
i
j
i,
j
1,
i
2
x
j
1
-
i
j
i
j
1
i
t
,
x
2
2
j
i
j
i
−
=
−
=
−
=
−
≈
∂
∂
+
−
=
+
−
≈
∂
∂
+
+
+
+
+
+
Diperoleh: ( )
j
1,
-
i
j
i,
j
1,
i
2
x
t
j
i,
j
i,
t
1
j
i,
ψ
2ψ
ψ
h
Γh
ψ
ρ
π
h
4Γ
ψ +
−
+
+
= +
+
Untuk tiap
posisi dicari
perubahan
terhadap
waktu.
ψ
128

ht
t
i-1,j
hx
ψ0,0
i,j+1
i,j i+1,j
x
Langkah:
1. Buat grid pada bidang xt, dengan lebar
untuk arah x dan h untuk arah t.
2. (Dianggap nilai awal dan nilai pada batas-batas
daerah x diketahui.)
Hitung dengan rumus :
t
i, j+
1 = 4Γht
π ρi,
j + ψi,
j + 2 i+
1, j
hx
secara berurutan ψ i, j+
1 untuk j = 0 & i = 1, 2, 3,
..., lalu j = 1 & i = 1, 2, 3, ..., j = 2 & i = 1, 2, 3,
... dan seterusnya.
Kasus khusus:
t
Jika ρ dan nilai pada batas-batas daerah x
tetap (tidak bergantung waktu), maka akan
tercapai suatu waktu t, bahwa ψ i, j+
1 tidak
berubah lagi (atau berubah hanya sedikit,
sehingga dapat diabaikan):
hx
( ψ −2ψ
ψ )
Γh
ψ +
ψi, j 2 ψi,
j 1
+
− +
< ε
(bilangan
kecil)
i, j
i-1,
j
129

)
r
(
ρ
4π
)
r
ψ(
t
c
1
2
2
2
2
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∇
Persamaan Differensial Hiperbolik
Bentuk umum PD hiperbolik:
Untuk kasus 2 dimensi: t)
(x,
ρ
4π
t)
ψ(x,
t
c
1
x
2
2
2
2
2
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
Gunakan metode finite differences:
)
t
t
h
,
x
x
(h
h
ψ
2ψ
ψ
h
)
t
,
ψ(x
)
t
,
(x
2ψ
)
t
,
ψ(x
t)
ψ(x,
t
h
ψ
2ψ
ψ
h
)
t
,
ψ(x
)
t
,
(x
2ψ
)
t
,
ψ(x
t)
ψ(x,
x
j
1
j
t
i
1
i
x
2
t
1
-
j
i,
j
i,
1
j
i,
2
t
1
-
j
i
j
i
1
j
i
t
,
x
2
2
2
x
j
1,
-
i
j
i,
j
1,
i
2
x
j
1
-
i
j
i
j
1
i
t
,
x
2
2
j
i
j
i
−
=
−
=
+
−
=
+
−
≈
∂
∂
+
−
=
+
−
≈
∂
∂
+
+
+
+
+
+
Diperoleh: ( )
j
1,
-
i
j
i,
j
1,
i
2
x
2
t
2
1
-
j
i,
j
i,
j
i,
2
t
2
1
j
i,
ψ
2ψ
ψ
h
h
c
ψ
2ψ
ρ
π
h
4c
ψ +
−
+
−
+
= +
+
Untuk tiap
posisi dicari
perubahan
terhadap
waktu.
ψ
130

Untuk j = 0 diperoleh ψi,1
sebagai berikut:
c h
ψ +
2 2
2 2
i,1 = 4c ht
π ρi,0
+ 2ψi,0
− ψi,-1
+ t
2
hx
i+
1,0
∂
Anggap ψ(x, t) pada semua x dan t = 0 diketahui:
∂t
∂ ψ(xi,
t1
) − ψ(xi,
t−1
ψ(x, t) ≈
∂t
x , t 2h
i 0
t
?
( ψ −2ψ
ψ )
) ψi,1
− ψi,-1
Maka gunakan: = , shg: ψi,-1 = ψi,1
−2bih
t
2h
Dengan demikian:
• untuk j = 0:
• untuk j > 0:
∂
∂
t
i,0
ψ(x, t)
2 2
2 2
t
i,1 = 2c ht
π ρi,0
+ biht
+ ψi,0
+ 2 i+
1,0
2hx
i-1,0
t xi,
t0
c h
ψ +
2 2
2 2
i, j+
1 = 4c ht
π ρi,
j + 2ψi,
j − ψi,
j-1
+ t
2
hx
i+
1, j
= b
( ψ −2ψ
ψ )
( ψ −2ψ
ψ )
c h
ψ +
i,0
i, j
i
i-1,0
i-1,
j
131

132
ht
ψ0,0
t
i-1,0
i-1,j
hx
i,1
i,0 i+1,0
i,j+1
i,j i+1,j
i,j-1
Langkah:
1. Buat grid pada bidang xt, dengan lebar
untuk arah x dan h untuk arah t.
2. (Dianggap nilai awal dan nilai pada batas-batas
daerah x diketahui.)
x
Hitung dengan rumus :
t
c h
ψ +
2 2
2 2
t
i,1 = 2c ht
π ρi,0
+ biht
+ ψi,0
+ 2 i+
1,0
2hx
2 2
2 2
i, j+
1 = 4c ht
π ρi,
j + 2ψi,
j − ψi,
j-1
+ t
2
hx
i+
1, j
secara berurutan ψ i, j+
1 untuk j = 0 & i = 1, 2, 3,
..., lalu j = 1 & i = 1, 2, 3, ..., j = 2 & i = 1, 2, 3,
... dan seterusnya.
hx
( ψ −2ψ
ψ )
( ψ −2ψ
ψ )
c h
ψ +
i,0
i, j
i-1,0
i-1,
j

Persamaan Eigenvalue
Contoh, lagi, gelombang pada tali yang kedua ujungnya diikat. Pada suatu waktu
simpangan di sepanjang tali y(x) memenuhi PD orde 2:
2
d
dx
f(x) 2
y(x) = ky(x)
dengan k berhubungan dengan frekwensi, yang nilainya tidak sembarang, yang
menunjukkan modus gelombang. Untuk tiap-tiap modus/frekwensi/k yang
mungkin, berlaku simpangan y(x) tertentu. Dengan kata lain, k merupakan
eigenvalue untuk eigenfunction y(x). Persamaan di atas disebut persamaan
eigenvalue.
f
Dengan metode Finite Differences, PD di atas menjadi: (y 2 i+
1 −2yi + yi−1)
=
h
yang membentuk persamaan matriks:
⎛⋱
⎜
⎜⋱
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⋱
⋱
fi
2
h
⋱
−2fi
2
h
⋱
fi
2
h
⋱
⋱
⎞
⎟⎛
⋮
⎜
⎟⎜
yi
⎟⎜
⎟ y
⎜
⎟
⋱ ⎜ yi
⎟
⎜
⋱⎠⎝
⋮
−1
i
+ 1
⎞ ⎛ ⋮
⎟ ⎜
⎟ ⎜ yi
⎟ = k⎜
y
⎟ ⎜
⎟ ⎜ yi
⎟ ⎜
⎠ ⎝ ⋮
−1
i
+ 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
i kyi
k = ?
y = ?
133

134
Persamaan eigenvalue:
Jika A matriks n x n, maka i = 1, …, n.
Metode Pangkat (Power Method)
A ui
= λi
ui,
ui
= eigenfunction,
λi
= eigenvalue
Sebagai eigenfunction (atau disebut juga eigenvector), u bersifat orthogonal
i
dan juga komplit yaitu, sembarang fungsi (vector) x dapat dtulis sebagai
kombinasi linear u :
i
orthogonal: u u = δ komplit:
T
i
x =
Bermula dengan sembarang vector x, dilakukan iterasi berikut:
j
A x = y
y → x
(1)
Untuk kali pertama: y = A x = A∑ciu
i = ∑ciAu
i = ∑ciλ
iui
(m) m m
m
Setelah m kali iterasi diperoleh: y = A x = A ∑ciu
i = ∑ciA
ui
= ∑ciλ
ij
n
i=
1
n
i=
1
n
i=
1
n
∑
i=
1
n
i=
1
ciui
n
i=
1
n
i=
1
m
i
u
i

λi
≠k
Anggap λk merupakan eigenvalue terbesar: < 1
λ
Maka, jika m besar (banyak iterasi):
λk
uk
m
(m) m
m
m m⎛
λ ⎞ i
y = A x = ckλk
uk
+ ∑ciλ
i ui
= λk
⎜
⎜cku
k + ∑ci
u m i ≅ c
i k
i k λ ⎟
≠
⎝
≠ k ⎠
diperoleh dengan jalan:
n
T (m) T m
m T
x y = x A x ≅ ckλk
∑ciu
i uk
n
m
≅ ckλk
∑ciδ
ik ≅
i=
1
i=
1
diperoleh dengan jalan:
( ) ( ) 2
m 2 T
m
c λ u u c λ
2
(m) (m)T (m)
y = y y ≅ k k k k ≅
λ k
(m)
Jika k merupakan nilai λ yang diperoleh setelah iterasi sebanyak m kali,
maka iterasi dihentikan setelah dicapai nilai yang konvergen:
λ
−
λ
1
(m- 1)
k
(m)
k
< ε, ε =
k
k
c
2
k
λ
k
bilangan
m
k
kecil
k
k
u ≅
λ
m
k
k
u
k
λ =
y
y
(m)
(m)
x
x
T
T
y
y
(m)
(m-1)
135

136
Untuk mencari eigenvalue terbesar kedua, hilangkan uk
dari perhitungan.
Jadi, dipakai vector awal baru x’:
n
n
( d ≡ c (λ − λ ) )
x'= (A−
λk
) x = ∑ci
(A−
λk
)ui
= ∑ci
(λi
− λk
)ui
= ∑ci
(λi
− λk
)ui
= ∑diu
i i i i k
Iterasi:
i=
1
i=
1
i≠k
A x'=
y'
y'→
x'
(m) m
Setelah m kali iterasi diperoleh: y' = A x'=
∑
i≠
λi
≠k≠l
Anggap λl merupakan eigenvalue terbesar kedua: < 1
λ
(m) m
sehingga setelah banyak iterasi: y' ≅ dlλ
l ul
Memperoleh dan : u
λl l
T (m)
x' y'
λl =
u
T (m-1)
l ≅
x' y'
Pola yang sama berlaku untuk mencari eigenvalue terbesar berikutnya.
k
y'
y'
dλ
i
(m)
(m)
m
i
u
l
i
i≠k

Metode Pangkat Kebalikan (Inverse Power Method)
Dengan metode pangkat didapat eigenvalue terbesar. Untuk mencari eigenvalue
terkecil digunakan metode pangkat kebalikan.
-1
-1
-1
A ui
= λi
ui
A A ui
= λi
A ui
A ui
=
Bermula dengan sembarang vector x, dilakukan iterasi berikut:
A -1
x =
y
y → x
(m) -1
m
Setelah m kali iterasi diperoleh: y = (A ) x = ∑
=
i
n
1
c (λ
(m) -1 m
λ s s s
Jika eigenvalue terkecil, maka setelah banyak kali iterasi:
s
λ s T (m)
Jadi, diperoleh sebagai:
s
T (m-1)
x y
λ = dan : s
x y
i
-1
i
)
m
u ≅
u
λ
i
y
-1
i
u s (m)
y
(m)
u
i
y ≅ c
(λ
)
u
137