Termostatistik

Termostatistik
Pascasarjana S2 Kimia Fisik
1

Pustaka:
G. M. Barrow, Physical Chemistry, 4th ed., McGraw-Hill, Tokyo 1979.
M. Alonso, and E. J. Finn, University Physics Vol. III, Quantum and Statistical
Physics, Addison-Wesley, Tokyo 1979.
2

1. PENDAHULUAN
Yang dibahas dalam kuliah ini:
sifat-sifat kolektif atau makroskopik dari sistem partikel dengan
menggunakan fisika statistik .
Besaran-besaran makroskopik suatu sistem: suhu (T), tekanan (p),
volume (V).
Termostatistik:
1. Klasik: Statistik Boltzmann
2. Kuantum: Statistik Fermi-Dirac dan Statistik Bose-Einstein
3

Isi kuliah:
• Statistik klassik: kesetimbangan secara statistik, distribusi Maxwell-
Boltzmann, suhu dan kesetimbangan suhu, gas ideal.
• Entropy dan hukum termodinamika kedua, entropy dan panas, proses dalam
kaitannya dengan entropy.
• Sifat-sifat termal gas: persamaan keadaan gas ideal dan gas ril, kapasitas
panas gas ideal monoatom dan poliatom, prinsip ekipartisi energi.
• Statistik kuantum: distribusi Fermi-Dirac, gas elektron, aplikasi untuk elektron
dalam logam; distribusi Bose-Einstein, gas foton, kapasitas panas padatan,
gas ideal menurut statistk kuantum.
4

2. STATISTIK BOLTZMANN
2.1 Kesetimbangan Statistik
Tinjau N buah partikel dalam suatu sistem yang terisolasi.
Dengan N buah partikel, misalkan n 1
buah berenenrgi E 1
, n 2
buah berenergi
E2, dan seterusnya.
Jadi: N=n 1
+n 2
+n 3
+………atau
N
=
∑
n 1
, n 2
, n 3
………disebut partisi atau distribusi
i
n i
E 3
n 3
Jika tidak ada interaksi antara partikel-partikel,
energi total sistem:
U=n 1
E 1
+n 2
E 2
+…….. atau
konstan karena terisolasi
U = ∑n E i
i
i
E 2
E 1
n 2
n 1
Jika ada interaksi
∑
∑
U = niEi
+
1
2
i
i≠
j
E
ij
5

Karena interaksi antara partikel-partikel atau tumbukan antara partikel-partikel
partisi bisa berubah.
Dapat diasumsikan adanya suatu partisi yang lebih baik daripada partisipartisi
lain.
Secara fisis pada suatu sistem yang memiliki sejumlah partikel dengan total
energi tertentu, terdapat suatu partisi paling mungkin (most probable
partition).
Jika partisi itu tercapai, sistem itu disebut setimbang secara statistik.
Masalah:
Bagaimana menemukan partisi paling mungkin dari suatu sistem yang
terisolasi.
Atau, bagaimana ditemukan hukum distribusi
Jika itu diperoleh, tugas selanjutnya adalah menentukan metoda untuk
menurunkan sifat-sifat sistem yang dapat diamati secara makroskopik.
6

2.2 Hukum Partisi Boltzmann
Tinjau suatu sistem dari sejumlah partikel yang identik (sama struktur dan
komposisi) tapi dapat dibedakan satu sama (diketahui perbedaan satu sama
lain).
Asumsi 1: Semua tingkat energi berpeluang sama untuk ditempati partikel.
Asumsi 2: Peluang suatu partisi sebanding dengan jumlah cara yang berbeda
dengan mana partikel-partikel bisa didistribusikan di antara tingkattingka
energi yang ada untuk menghasilkan partisi itu.
Tinjau partisi sebagai berikut:
E 5 n 5 =4
E 4
n 4 =1
E 3
E 2
E 1
n 3 =2
n 2 =0
n 1 =3
7

Misalkan jumlah seluruh partikel N.
Dalam pengisian tingkat energi E 1
, jumlah cara untuk memasukkan 3 dari N
buah partikel adalah
N(
N
−1)(
N
− 2)
=
N!
( N − 3)!
Jika tanda pada ketiga partikel: a, b, c maka ada 3!=6 urutan pengisian
yang berbeda yakni abc, bac, cab, bca, acb, cba.
Tapi keenam urutan itu isinya sama; jadi ada 3! partisi yang sama.
Oleh sebab itu, jumlah cara berbeda untuk memasukkan 3 dari N buah
partikel ke E 1
adalah:
N!
3!( N − 3)!
Secara umum, jumlah cara berbeda memasukkan n 1
dari N buah partikel
ke tingkat energi E 1
adalah
N!
n !( N −
1
n 1
)!
8

Setelah memasukkan n 1
buah partikel ke E 1
, maka yang tersisa adalah N-n 1
buah.
Jika kita ingin memasukkan n 2
dari N-n 1
partikel ke E 2
, maka jumlah cara berbeda
adalah:
( N − n1
)!
n !( N − n − n
2
1
2
)!
Dengan cara yang sama, jumlah cara berbeda memasukkan n 3
dari (N-n 1
-n 2
)
buah partikel ke E 3
adalah
( N − n1
− n2
)!
n !( N − n − n − n
3
1
2
3
)!
Jumlah cara berbeda untuk mengisikan n 1
partikel ke E 1
, n 2
partikel ke E 2
, n 3
partikel ke E 3
dan seterusnya hingga ke tingkat terakhir secara berturut-turut,
adalah
P
=
N!
n !( N −
1
n 1
)!
x
n
N!
P =
n1!
n2!
n3!.............
( N − n1
)!
!( N − n − n
2
1
2
)!
( N − n1
− n2
)!
x
n !( N − n − n − n
3
1
2
3
x...........x..........
)!
9

Bisa terjadi tingkat-tingkat energi itu memiliki peluang yang berbeda, misalnya
g 1
adalah peluang suatu partikel untuk menempati E 1
; jadi peluang n 1
buah
n1
partikel menempati E 1
adalah:
g
1
Jika g 2
peluang suatu partikel untuk menempati E2, maka peluang n2 buah
partikel menempati E 2
adalah: n2
g
2
Jadi, total peluang untuk partisi tersebut:
P
=
N ! g
n
1
n
1
1
! n
g
2
n
2
2
! n
g
3
n
3
3
!.....
......
Inilah peluang suatu distribusi (partisi) dalam statistik Maxwell-Boltzmann
untuk sistem partikel yang identik tapi dapat dibedakan.
Jika partikel-partikel itu identik dan tak dapat dibedakan, maka persamaan
P
=
g
n
n
1
1
1
g
! n
n
2
2
2
g
! n
n
3
3
3
.....
!.....
10

Masalah selanjutnya adalah:
Bagaimana cara menentukan keadaan setimbang yang berkaitan dengan
partisi paling mungkin, yakni harga P maksimum.
P maksimum jika perubahan dP=0 untuk perubahan dn 1
, dn 2
, dn 3
,….
Secara matematik, lebih mudah memaksimumkan ln P.
P
=
g
n
n
1
1
1
g
! n
n
2
2
2
g
! n
n
3
3
3
.....
!.....
[ ln( n !) + ln( n !) + ln( !) .......]
ln P = n ln g1
+ n2
ln g
2
+ n3
ln g3
+ ..... −
1
2
n3
lnP
= n
1
+
Sifat logaritma natural: ln (n!)=n ln n - n,
1
= −n
= N
lng
1
1
ln( n
−∑
+ n
1
n
/ g
i
2
1
ln( n
lng
2
) − n
i
2
/ g
+ n
i
ln( n
)
3
lng
2
3
/ g
2
+ ..... −
) − n
3
[(
n lnn
− n ) + ( n lnn
− n ) + ( n lnn
− n ) + ....]
1
ln( n
3
/ g
3
1
1
2
) −........
+ ( n
1
2
+ n
2
2
+ n
3
3
+ ......)
3
3
11

Selanjutnya, diferensial
d(ln
P)
= −
= −
= −
∑
∑
i
∑
i
i
( dn
( dn
i
( dn
i
i
)ln( n
)ln( n
)ln( n
i
i
i
/ g
/ g
/ g
i
i
i
) −
) −
) −
∑
∑
i
∑
i
i
n d(ln
n
n
i
i
dn
( dn
i
i
i
) / n
/ g
i
)
i
)
Agar P mencapai maksimum, d(ln P)=0
∑
i
Karena N tetap maka, dn i
= 0
d(ln P)
= −∑[ln(
ni
/ gi
)] dni
=
i
0
Karena energi total sistem tetap:
∑ E dn i i
= 0
i
U = n E + n E + ......... =
1
1
2
2
∑
i
n i
E i
12

Untuk memenuhi ketiga persamaan di atas, diperkenalkan tetapan α dan β
sedemikian hingga berlaku
∑
i
∑
i
⎡ ⎛ n ⎞
⎤
i
⎢ln ⎜
⎟ dni
+ α dni
+ β Ei
dni
⎥ = 0
⎣ ⎝ gi
⎠
⎦
[ln( n / g ) + α + βE ] dn = 0
i
i
ln( n / g ) α + βE
=
i
i
+
i
Dengan demikian maka partisi paling berpeluang adalah:
i
i
0
n
i
=
g
i
e
−α−β
E i
Sekarang bisa dinyatakan:
N
= −α−
βE i −α
∑ ni
= ∑ g
ie
= e ∑
=
i
e
−α
Z
i
i
g
i
e
− βE
i
Z
= ∑ g e
−
i
i
βE
i
Z disebut fungsi partisi.
13

Jadi, partisi dengan peluang maksimum adalah
n
i
=
N
Z
g
i
e
− βE i
Inilah yang disebut hukum partisi (distribusi) Maxwell-Boltzmann.
Defenisi harga rata-rata besaran fisis yang bergantung energi, misalnya F(E),
adalah:
1
F
ave
= ∑niF(
Ei
)
N
i
Pada keadaan setimbang (partisi paling berpeluang):
F
ave
=
1
Z
∑
i
g
i
F(
E
i
) e
−βE i
n
i
=
N
Z
g
i
e
− βE i
14

Contoh 1:
Jika partikel-partikel dalam suatu sistem hanya bisa berenergi E 1
=-ε dan
E 2
= ε, dengan peluang penempatan g 1
=g 2
=1 yang sama, tentukanlah
energi rata-rata satu partikel.
Fungsi partisi:
Z
= ∑ g e
−
Dari
i
F
ave
=
1
Z
∑
Z
= e
energi rata-rata satu partikel:
E
i
ave
=
βE
i
g
i
F(
E
−βE
1 −βE2
βε −βε
+ e = e + e =
i
) e
−βE i
−βE1
−βE
( g E e + g E e )
1
2
1 1
2 2
Z
i
βε −
−ε
e + ε e
=
2cosh βε
βε
E
ave
=
1
Z
∑
−βEi
− 2ε
sinh βε
=
= −ε
tanh βε
2cosh βε
i
g
i
E
i
e
2cosh βε
15

Contoh 2:
Suatu sistem dari 4000 partikel memiliki tiga tingkat energi E 1
=0, E 2
=ε dan
E 3
=2ε dengan peluang penempatan yang sama g 1
=g 2
=g 3
.
(a) Bandingkanlah peluang-peluang relatif dari partisi di mana 2000 partikel
menempati tingkat energi E 1
, 1700 pada tingkat energi E 2
dan yang 300
pada tingkat energi E 3
, dengan partisi yang dihasilkan oleh perpindahan
satu partikel dari tingkat energi E 2
ke tingkat E 1
dan satu partikel ketingkat
E 3
.
(b) Tentukanlah partisi paling berpeluang (keadaan setimbang).
(a) Karena g sama utk semua tingkatan energi.
P
=
g
n
1
1
1
g
n
2
n ! n
2
2
g
! n
n
3
3
3
......
!.....
→ P
=
N
g
n1! n2!
n3!
P
A
P
P
B
A
4000
g
=
;
2000 !1700 !300 !
2000 ! 1700 ! 300 !
=
2001 ! 1698 !301 !
4000
g
P
B
=
;
2001 !1698 !301 !
1700 x1699
=
= 4,8
2001 x 301
16

P
A
P
P
B
A
4000
g
=
;
2000 !1700 !300 !
2000 ! 1700 ! 300 !
=
2001 ! 1698 !301 !
4000
g
P
B
=
;
2001 !1698 !301 !
1700 x1699
=
= 4,8
2001 x 301
Perpindahan dua partikel menyebabkan perbandingan peluang itu cukup
besar; itu menunjukkan bahwa partisi A dan B jauh dari partisi paling
berpeluang (jauh dari setimbang statistik).
17

(b) Partisi paling berpeluang
n
i
=
g
i
e
− α − βE i
Total partikel N =n 1 +n 2 +n 3 =4000
n 1 = ge -α e -0 =ge -α ; n 2 = ge -α e -βε =n 1 e -βε ; n 3 =ge -α e -2βε =n 1 e -2βε
n
n
1
1
+
n
1
e
(1 + e
− βε
− βε
+
+
n
e
1
e
−2
βε
−2
βε
= 4000
) = 4000
Misalkan
x
−βε
2
= e n1 (1 + x + x ) = 4000
Total energi U=n 1
0+n 2
ε +n 3
2ε=2300ε konstan karena terisolasi
n
n
1
1
e
− βε
( e
ε
− βε
+
+
n
1
e
2e
−2
βε
−2
βε
2ε
) =
= 2300ε
2300
2
n1 ( x + 2x
) =
2300
18

2
n1
(1 + x + x )
=
2
n ( x + 2x
)
57x
n
1
1
=
2
+ 17x
− 23 = 0 →
2300
x + 2x
2
=
4000
2300
2277;
→ 2300(1 +
n
x = 0,5034
2
=
1
x + x
n x = 1146;
2
) = 4000( x + 2x
n
3
=
n
1
x
2
= 577
2
)
Jika dari E 2
satu partikel pindah ke E 1
dan satu pindah ke E 3
:
P
A
P
P
B
A
=
=
4000
g
;
2277!1146!577!
1146x1145
2278x578
=
P
B
0,9966
=
4000
g
;
2278!1144!578!
Hampir tidak ada perubahan peluang
Artinya, keadaan setimbang statistik
atau partisinya paling berpeluang.
19

2.3 Temperatur (suhu)
Hukum partisi (distribusi) Maxwell-Boltzmann:
dengan fungsi partisi:
Z
= ∑ g e
−
i
i
βE
i
n
i
=
N
Z
g
i
e
− βE i
Energi total:
U
=
∑
i
n
i
E
i
=
N
Z
∑
i
g
i
E
i
e
− βE
i
E e
i
−βEi
= −
d
d
β
(
−βEi
e )
U
N d ⎛
βE ⎞ N dZ 1 dZ d
i
= − ⎜∑ gie
− ⎟ = −
= (ln Z )
Z dβ ⎝ i ⎠ Z dβ Z d β d β
U = − N
d
dβ
(ln Z )
Inilah hubungan antara energi total dan fungsi partisi suatu sistem
dalam kesetimbangan statistik.
20

Energi rata-rata satu partikel:
E ave
=
U
N
= −
d
(ln Z)
dβ
Jadi, parameter β merupakan karakteristik energi dalam sistem. Oleh sebab
itu, β diungkapkan dengan besaran yang disebut suhu absolut T (Kelvin),
seperti
1
β =
kT
k=1,3805x10 -23 J/K disebut
konstanta Boltzmann.
Ini hanya berlaku untuk sistem partikel dalam kesetimbangan statistik..
Fungsi partisi (Z) dalam kaitannya dengan suhu adalah:
Z
= ∑ g
i
i
e
−E
/ kT
Partisi paling berpeluang (hukum distribusi Maxwell-Boltzmann) :
i
n
i
=
N
Z
g
i
e
− E
i
/ kT
21

Energi total:
U = − N
β =
=
dβ
1
kT
d
dT
→
d
dβ
(ln Z )
dβ
1
= −
dT kT
d 2
dT
= −kT
dβ
2
d
dT
U =
kNT
Energi rata-rata satu partikel:
E ave
=
U
N
=
2
kT
d
dT
2
(ln
d
dT
Z )
( ln Z )
Secara umum, harga rata-rata suat besaran partikel F(E)
− E −E kT
F =
1 ∑
i
1
→ = ∑
i /
ave
giF(
Ei
) e
β Fave
giF(
Ei
) e
Z i
Z i
22

Contoh 3:
Tentukan ratio antara dua bilangan okupasi pada pada suhu-suhu 100K, 300K dan
1000K, jika beda energinya
(a) ΔE=10 -4 eV (setara dengan energi rotasi molekul),
(b)ΔE=5x10 -2 eV (setara dengan energi vibrasi molekul), dan
(c)ΔE=3 eV (setara dengan energi eksitasi elektron dalam atom). Andaikan g=1.
Distribusi Boltzmann:
n −(
E − E ) / kT − E / kT
n
1
=
e
n
=
− E
2 2 1
Δ
k=1,3805x10 -23 J/K;
i
=
N
Z
g
i
e
e
i
/ kT
100 K→kT=1,3805 x 10 -23 J/K x 100 K=1,3805 x 10 -21 J=0,863 x 10 -2 eV
300 K →kT=3x0,863 x 10 -2 eV=2,589 x 10 -2 eV
1000K →kT=10x0,863 x 10-2 eV=8,63 x 10 -2 eV
n 2
n 1
ΔE
E 2
E 1
23

ΔE=10 -4 eV (setara dengan energi rotasi molekul), pada suhu 100K, 300K dan
1000K.
n
n
2 −10
−4
/( 0,863 x10
−2
)
= e
=
1
ΔE
(eV)
0,9885
100K
n 2
/n 1
300K
1000K
10 -4
5x10 -2
3
0,9885
0,003
3x10 -164 =0
0,9962
0,145
8x10 -49 =0
0,9988
0,56
8x10 -16 =0
Contoh4:
Suatu sistem molekul polar di tempatkan dalam medan listrik uniform, tetapi
terisolasi dari gangguan luar. Turunkanlah polarisasi sistem sebagai fungsi
suhu.
24

Misalkan momen dipol listrik setiap molekul:
p r
o
Energi suatu molekul yang dipolnya berorientasi
dengan sudut θ terhadap medan adalah:
p o
dθ
dΩ
r r
E ( θ ) = − p o
. E = − p E
o
cos
θ
θ
E
p o
cosθ
Energi ini tidak diskrit, tapi kontinu terhadap sudut θ.
Sudut ruang yang dibentuk antara θ dan θ+dθ adalah
dΩ=2π sin θ dθ. Misalkan 0 ≤ θ≤π, maka fungsi partisi Z:
Z
∑
−Ei
/ kT
−E = gie
Z = ∫ e
(θ ) / kT
dΩ
i
Z
=
π
∫
0
e
poE cosθ
/ kT
2π
sinθ
dθ
=
kT
4π
p E
o
⎛
sinh⎜
⎝
p
o
kT
E
⎟
⎠
⎞
25

26
Dipol rata-rata:
∑
−
=
i
kT
E i
i
i
ave
e
E
F
g
Z
F /
)
(
1
( )
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
= ∫
E
E
E
E
E
E
E
o
o
o
o
o
o
o
o
θ/kT
p o
o
ave
p
kT
kT
p
p
kT
E
p
E
p
kT
kT
p
p
kT
kT
p
kT
d
e
p
Z
p
coth
sinh
4
sinh
cosh
/
4
sin
2
cos
1
0
cos
π
π
θ
θ
π
θ
π
Ini disebut rumus Langevin.

p
ave
=
p
o
⎛
⎜coth
⎝
poE
kT
−
kT
p E
o
⎞
⎟
⎠
Untuk E besar sekali atau T rendah sekali→ p o
E>>kT, maka coth p o
E/kT≈1 dan
kT/p o
E ≈ 0. Maka
p
ave
= p o
artinya, semua molekul terorientasi //E .
Untuk E kecil sekali atau T besar sekali →p o
E

2.4 Kesetimbangan suhu
Tinjau suatu sistem terisolasi mengandung dua macam kelompok partikel.
Melalui tumbukan atau interaksi lainnya, energi bisa berpindah antar partikel
kedua kelompok, tetapi total energi tetap saja.
n 1
, E 1
n 2
, E 2
n’ 1
, E’ 1
n ' 2 , E’ 2
N
= ∑
i
n i
= konstan
U
= ∑ ni
Ei
+ ∑ n'
i
i
i
E
N' = ∑n'
i
=
i
'
i
=
konstan
konstan
Peluang suatu partisi atau distribusi merupakan perkalian
P
=
g
n
1
1
1
g
n ! n
n
2
2
2
g
! n
n
3
3
3
.....
!.....
x
g'
n'
1
n'
1
1
g'
! n'
n'
2
2
2
g'
! n'
3
n'
3
3
.....
!.....
28

Kesetimbangan sistem
n
i
=
N
Z
g
i
e
−βEi
n'
j
=
N'
Z'
g'
j
e
−βE'
j
Z dan Z’ adalah fungsi partisi masing-masing;
β sama bagi kedua partisi→ dua sistem partikel yang berbeda dan berinteraksi
dalam kesetimbangan statistik harus memiliki suhu yang sama
n
i
=
N
Z
g
i
e
−E
i
/ kT
n'
j
=
N
Z
'
'
g'
j
e
− E '
j
/ kT
29

2.5 Aplikasi pada Gas Ideal
Gas ideal dipandang sebagai:
• Molekul-molekul monoatom → energi rotasi dan vibrasi diabaikan
• Jarak antar molekul cukup renggang→ energi potensial antar molekul
diabaikan.
• Energi hanyalah kinetik saja
Sebuah partikel gas dalam kubus bersisi a mempunyai komponen-komponen
momentum:
p x
=m 1
(h/2a); p y
=m 2
(h/2a); p z
=m 3
(h/2a);
di mana m 1
, m 2
, m 3
adalah bilangan-bilangan bulat positif
Energi kinetik:
p
2m
h
8ma
2
2
2
2 2 2
E = = κ ; κ = m
2
1
+ m
2
+
Jelas bahwa untuk kubus yang besar, tingkat-tingkat energi sangat dekat
yang secara praktis membentuk spektrum energi kontinu.
m
2
3
30

Fungsi partisnya diungkapkan dalam bentuk integral
Z
=
∞
∫
0
e
−E
/ kT
g( E)
dE
g(E)dE menyatakan jumlah keadaan molekul dalam daerah energi E dan E+dE.
Tinjaulah sebuah bola dengan jari-jari κ. Jumlah keadaan dengan energi antara
0 dan E untuk suatu oktan (m 1
, m 2
, m 3
selalu positif) adalah:
3 / 2
3 π ⎛ 8mE
⎞ 8πV
1 4
3 1/ 2 3 / 2
;
8 ( 3 πκ ) = V ⎜ = (2m
) E
2
⎟
3
N ( E)
=
V = a
6 ⎝ h ⎠ 3h
2
dN(
E)
4πV
(2m
3 ) 1/
1/ 2
g( E)
= → g(
E)
dE = dN(
E)
=
E dE
3
dE h
3
Fungsi partisi :
Z
=
4πV
(2m
h
3
3 2
) 1/
∞
∫
0
E
1/ 2
e
−E
/ kT
dE
31

Misalkan x=E 1/2
∞
∫
0
E
1/ 2
e
−E
/ kT
dE
=
2
∞
∫
0
x
2
e
−x
2
/ kT
dx
=
1
2
π ( kT )
3
Fungsi partisi :
Z =
V ( 2 π mkT
h
3
)
3 / 2
Inilah fungsi partisi gas ideal monoatom sebagai fungsi suhu dan volume gas.
Energi rata-rata satu partikel gas:
U
E ave
= =
N
ln Z = C +
3
2 ln
kT
kT
E ave
2 kT 3
=
2
d
dT
(ln
d(ln
Z)
→
dT
Z )
3
=
2T
32

Energi total:
U =
3 kNT = 3
2
2
nRT
Ingat bilangan Avogadro: N A
=6,0225x10 23 /mole, maka n=N/N A
adalah
jumlah mole dari gas, dan
R
=
kN
A
= 8,314
= 1,986
J
mole
kalori
−1
K
mole
−1
−1
K
−1
=
5,1894
x10
19
eV
mole
−1
K
−1
33

Ingat hukum partisi (distribusi) Maxwell-Boltmann:
n
i
=
N
Z
g
i
e
−E
/ kT
i
Untuk kasus kontinu, g i
diganti dengan
g( E)
dE =
4πV
(2m
h
3
3 2
) 1/
E
1/ 2
dE
maka jumlah molekul dengan energi di antara E dan E+dE, adalah
dn =
N
Z
e
N
Z
4πV
(2m
3 1/ 2
−E / kT
) 1/ 2 −E
/ kT
g(
E)
dE =
E e
3
h
dE
dengan
Z =
V
(2πmkT
h
3
3 /
)
2
34

dn 2πN
1/ 2 −E
/ kT
= E e
3/ 2
π
dE
( kT )
dn/dE
5000
4500
4000
3500
3000
2500
100K
Ini merupakan rumus Maxwell untuk
distribusi energi dari molekul dalam suatu
gas ideal.
2000
1500
1000
500
300K
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E (10 -2 eV)
Distribusi kecepatan:
dn
dv
=
=
=
dn
dE
mv
dE
dv
⎛
4πN
⎜
⎝
2πN
( πkT
)
2
=
m
πkT
mv
3 / 2
⎞
⎟
⎠
dn
dE
1
2
3 / 2
v
mv
2
e
2
e
−mv
2
/ 2
−mv
2
/ 2
kT
kT
dn/dv
5000
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
100K
800 K
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
35

36
kT
m
N
e
e
m
kT
kT
m
N
dv
dn
m
kT
v
e
kT
mv
v
v
dv
dn
dv
d
dv
dn
maks
m
kT
mv
maks
π
π
π
2
2
2
2
0
2
0
jika
1
1
2
3/
2
/
2
2
−
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Contoh 5:
Tentukan harga maksimum dn/dE pada suatu suhu tertentu. Demikian juga
harga maksimum dn/dv.
( )
( )
kT
N
e
e
kT
kT
N
dE
dn
kT
E
e
kT
E
E
dE
dn
dE
d
dE
dn
maks
m
kT
E
maks
2
1/
2
1/
2
3/
2
1/
2
1/
2
1
2
3/
2
1
/
2
1/
2
1/
2
1
2
2
0
1
0
jika
π
π
π
−
−
−
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Contoh 6:
Tentukalah harga rata-rata kecepatan v ave
dan kecepatan rms v rms
.
v
ave
v
1
N
⎛
= 4π
⎜
⎝
rms
=
2
( v )
⎛
= 2π
⎜
⎝
⎛
= 2π
⎜
⎝
=
ave
∫
=
v dn
m
2πkT
m
2πkT
m
2πkT
2
( v )
2
m
ave
E
=
⎞
⎟
⎠
1
N
3/ 2 ∞
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
ave
3/ 2 ∞
3/ 2
=
∞
∫
0
∫
0
∫
0
dn
v dv
dv
v
3
e
u e
⎛ 2kT
⎜
⎝ m
2
m
⎛
⎜
⎝
−mv
2
/ 2
kT
−mu
/ 2kT
3
2
⎞
⎟
⎠
2
kT
=
⎞
⎟
⎠
dv;
du;
8kT
π m
3kT
=
m
u = v
∞
∫
0
→ v
2
u e
rms
→ du = 2v dv
−au
du
1
=
2
a
3kT
=
m
37

3. ENTROPI
3.1 Entropi dan Hukum Termodinamika II
Jika sistem, meskipun terisolasi, tidak dalam kesetimbangan maka dapat
diasumsikan bahwa sistem itu ada dalam suatu partisi (distribusi) yang
peluangnya lebih rendah dari pada dalam kesetimbangan.
Namun, karena interaksi antara molekul-molekul, maka sistem tidak setimbang itu
akan menuju keadaan setimbang dengan distribusi yang paling mungkin. Dalam
keadaan itu harga P atau ln P tidak bisa meningkat lagi (maksimum).
Proses suatu sistem dari keadaan tidak-setimbang menuju keadaan setimbang
(distribusi yang paling mungkin) berkaitan dengan entropi sistem (S):
S
=
k
ln
P
k adalah konstanta Boltzmann. k=1,3805x10 -23 J/K;
Entropi suatu sistem berbanding lurus dengan logaritma peluang P dari partisi
yang berkaitan dengan keadaan sistem itu.
38

Jika sistem terisolasi mencapai keadaan setimbang statistik, P maksimum,
maka S maksimum.
Proses-proses yang bisa terjadi adalah proses-proses dengan dS=0. Prosesproses
ini jelas merupakan proses-proses reversibel, karena sistem terisolasi
itu dalam keadaan setimbang.
Jika suatu sistem terisolasi tidak dalam kesetimbangan, maka secara alami
sistem itu akan berkembang dalam arah di mana entropinya meningkat, karena
sistem itu harus menuju keadaan setimbang statistik (P maksimum): dS>0.
Proses ini disebut irreversibel.
Hukum termodinamika kedua adalah: proses-proses yang paling
mungkin bisa berlangsung dalam suatu sistem terisolasi adalah prosesproses
di mana entropi bisa meningkat ataupun tetap.
39

Contoh proses yang selalu mengambil satu arah (irreversibel) adalah
fenomena transport seperti difusi molekuler dan penghantaran kalor.
Dalam kedua kasus itu entropi sistem meningkat.
Difusi berlangsung dalam arah di mana konsentrasi cenderung disamakan
untuk menghasilkan sistem yang homogen.
Proses sebaliknya, perubahan spontan dari suatu sistem homogen menjadi
tidak-homogen yang berkaitan dengan penurunan entropi tak pernah teramati.
Contoh 1.
Turunkanlah entropi dalam keadaan setimbang statistik.
Dari
ln P = N − ∑ ni
ln( ni
/ g
i
)
i
N
=
∑
i
n i
S = k ln P = kN −
Dalam setimbang statistik:
k
∑
n
i
i
=
n
i
N
Z
ln( n
g
i
e
i
/
−E
i
g
i
/ kT
)
40

ln( ni / g
i
) = ln( N / Z)
− Ei
/ kT
,
Jadi,
S
⎡
= k⎢
⎣
1
=
T
∑
i
∑
i
n
i
n
i
E
i
E
i
/ kT ) +
+
k
∑
i
n
i
ln( Z / N)
[ N ln( Z / N)
+ N ]
+
N
⎤
⎥
⎦
S
U ⎛ Z ⎞
= + kN ⎜ ln + 1⎟
T ⎝ N ⎠
Mengingat: ln (N!)=N ln N-N, maka akhirnya
S
=
U
T
+
k
N
Z
ln N !
41

Contoh 2:
Tentukanlah entropi gas ideal dalam kesetimbangan statistik.
Untuk gas ideal, energi dalam:
U =
3
2
V (2πmkT
dan fungsi partisinya: Z =
3
h
S
S
U ⎛ Z ⎞
= + kN⎜ln + 1⎟
T ⎝ N ⎠
=
5
2
kN
⎛VT
= kN ln
⎜
⎝ N
⎞
⎟ +
⎠
S o
3 /
)
V (2πmkT
)
+ kN ln
3
h N
3 / 2
πmk
kNT
2
3 / 2
3 / 2
(2 )
5 2 kN kN ln
3
S o
+
= konstanta
h
Persamaan S seperti di atas disebut
persamaan Sackur-Tetrode.
42

Contoh 3:
Jelaskanlah perubahan entropi suatu gas ideal selama proses ekspansi bebas.
Jika suatu tabung yang mengandung gas dihubungkan dengan tabung lain yang
kosong, gas akan mengalami ekspansi bebas. Proses ini adalah irreversibel, dan
kesetimbangan dirusak untuk sementara waktu hingga tercapai kesetimbangan
akhir.
V V V V
1 2 1
2
Entropi ketika tabung belum dihubungkan adalah:
3 / 2
⎛VT
⎞
S = kN
⎜ +
N
⎟
1
ln
⎝ ⎠
S o
Setelah dihubungkan, beberapa waktu kemudian tercapai kesetimbangan
dengan volume dua kali semula. Entropinya adalah:
3 / 2
⎛ VT ⎞
S = kN
⎜ +
N
⎟
2
ln 2
⎝ ⎠
S o
43

Suhu tidaklah berubah, karena energi kinetik rata-rata molekul-molekul gas ideal
tidak berubah; molekul-molekul hanya bergerak dalam volume yang lebih besar
saja. Perubahan entropi dalam proses itu adalah:
ΔS
=
S2 − S1
= kN ln2 >
0
Jadi, proses irreversibel itu sebagai proses yang alami menghasilkan
peningkatan entropi gas.
Situasi yang sama dapat ditinjau dari segi peluang:
Jadi,
atau
P2
ΔS = S2 − S1
= k ln P2
− k ln P1
= k ln = kN
P
P
ln
P
P
P
2
1
2
=
1
= N ln 2 = ln 2
2
N
N
1
ln 2
Karena N sangat besar, maka P 2
>>P 1
.
44

3.2 Entropi dan Kalor
Andaikanlah suatu sistem dalam keadaan setimbang statistik mengalami
suatu transformasi infinitesimal (perubahan sangat kecil) karena berinteraksi
dengan lingkungannya.
Interaksi itu menimbulkan perubahan bilangan partisi n i
dan akibatnya juga
perubahan energi keadaan E i
.
Jadi, perubahan energi-dalam adalah:
U
=
∑ niEi
→ dU = ∑ Eidni
+ ∑
i
i
Suku pertama, merupakan perubahan energi-dalam karena perubahan
distribusi di tingkat-tingkat energi yang ada.
Suku kedua merupakan perubahan energi-dalam karena pergeseran
tingkat-tingkat energi.
i
n
i
dE
i
45

Hukum Termodinamika I:
Jika sistem terisolasi mengalami perubahan kecil, maka perubahan
energi-dalam (dU) sama dengan selisih kalor (đQ) yang memasuki
(diserap oleh) sistem dengan kerja (đW ) yang dilakukan oleh sistem
itu.
dU = dQ − dW
dQ
Tanda garis menyatakan perubahan yang sangat kecil.
Sehubungan dengan perubahan-perubahan tadi,
dU
dW
dQ
= ∑
i
E i
dn i
Kalor yang terkait dengan perubahan energi yang
karena ada molekul yang melompat dari satu tingkat
ke tingkat energi lain.
dW
= −∑n i
dE i
i
Kerja sistem yang terkait dengan perubahan tingkattingkat
energi.
Untuk proses yang reversibel:
dS =
dQ
T
46

47
Bukti:
Z
dZ
kN
dT
T
U
T
dU
dS
N
Z
kN
T
U
S
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
2
1
ln
kT
E
i
i
i
e
g
Z
/
−
∑
= ∑ ⎥ ⎦ ⎤
⎢
⎣
⎡
+
= −
→
−
−
i
kT
Ei
i
i
kT
Ei
i
i
dT
e
g
kT
E
e
g
kT
dE
dZ
/
2
/
dT
T
U
T
dW
Z
dZ
kN
E dT
n
T
n dE
T
E dT
e
g
Z
N
T
dE
e
g
Z
N
T
Z
dZ
kN
i
i
i
i
i
i
i
i
kT
Ei
i
i
i
kT
Ei
i
2
2
/
2
/
1
1
1
1
+
=
+
= −
+
= −
∑
∑
∑
∑
−
−
T
dQ
T
dW
dU
dT
T
U
T
dW
dT
T
U
T
dU
dS
=
+
=
+
+
−
= 2
2

3.3 Proses-proses dalam kaitannya dengan Entropi
Perubahan entropi dari keadaan 1 ke keadaa 2 melalui proses reversibel
dS
=
dQ
T
→
S
2
−
S
1
=
2
∫
1
dQ
T
Untuk proses isotermal, T=konstan:
2
1 Q
S
2
− S1
= dQ = → Q = T ( S
2
− S
T
∫
T
1
Kalor diserap→Q>0, S 2
>S 1
(entropi naik)
Kalor dilepas→Q

Transformasi reversibel:
dS
=
dQ
T
→ Q
2
= ∫T dS
1
T
1
T
2
T 1
2
T 2
1
T 2
T 1
S 1
S 2
S
Luas yang diarsir adalah Q>0
Sistem menyerap kalor
S 1
S 2
S
Luas yang diarsir adalah Q

Siklus:
Q
= ∫T
dS
T
A
T
A
Q
Q
B
B
Q>0, proses siklis menyerap kalor
S
Q

Contoh 4:
Suatu siklis terdiri dari dua proses isotermal dan dua proses adiabatik
yang urutannya berselang-seling. Ini disebut mesin Carnot.
T
T 1
A
Q 1
B
D
Q 2
C
Q
Q
1
2
= T ( S
1
= T
2
2
( S
2
− S
1
− S
1
)
)
S
S
S
S
S
B
C
D
A
−
−
−
S
S
S
− S
A
B
C
D
=
=
=
=
Q
T
0
0
1
1
Q
−
T
2
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬0
⎪
⎪
⎪
⎭
=
T 2
S 1
S 2
Q1
Q
2
Q1
Q
− → =
T1
T2
T1
T2
Sifat mesin Carnot
2
51

AB :0 = Q
BC : ΔU
DA:
ΔU
ΔU
ΔU
Q
W
1
BC
BC
− Q
ABCDA
+ ΔU
= −ΔU
2
BC
CD : 0 = −Q
DA
=
1
= W
−W
DA
= Q
( T −T
)( S − S )
AB
DA
+ W
BC
0 = Q −W
→W
= Q
1
AB
= −W
2
−W
= −W
BC
CD
DA
2
1
− Q
2
2
+ W
−W
1
CD
ABCDA
= Q
+ W
DA
= W
T
T 1
A
B
T 2 D
C
S 1
S 2
S
Efisiensi=perbandingan kerja yang dihasilkan dan kalor yang diserap.
W
η =
Q1
Q
=
Q
1
=
( T1
−T2
)( S2
− S1)
T1
−
=
T1
( S2
− S1) T1
T
2
52

4. SIFAT-SIFAT TERMAL
4.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal
Hubungan antara perubahan fungsi partisi dengan kerja yang dilakukan
oleh sistem serta perubahan suhunya
dW=pdV
dZ/Z=d(ln Z)
dZ dW U
kN = + dT Hal 47
2
Z T T
pdV U
kN d(ln Z)
= +
2
T T
Pada suhu tetap, (T tetap), dT=0:
p
dT
⎡∂(ln
Z)
⎤
= kNT
⎢
⎣ ∂V
⎥
⎦
Persamaan ini menghubungkan tekanaan (p) dalam sistem dengan suhunya
(T), volumenya (V), dan struktur internalnya (Z). Jadi persamaan ini bisa disebut
sebagai persamaan keadaan sistem.
T
53

Untuk gas ideal, fungsi partisi
Z
∂Z
∂V
= Vc
=
c
→
∂Z
Z∂V
=
c
Z
∂(ln
Z)
→
∂V
V (2πmkT)
Z =
3
h
1
=
V
3 / 2
p
=
⎡∂(ln
Z)
⎤
kNT
⎢
⎣ ∂V
⎥
⎦
T
kNT
p = → pV = kNT =
V
nRT
54

4.2 Persamaan Keadaan Gas Ril
Gas ril, gaya-gaya antar molekul dan keterbatasan ukuran molekul harus
diperhitungkan.
Gaya antar molekul terbatas pada jarak yang sangat pendek; semakin
besar volume per molekul (semakin besar jarak antar molekul), tekanan
suatu gas ril akan mendekati tekanan gas ideal.
Atas dasar pandangan ini maka tekanan suatu gas ril dapat diungkapkan
sebagai deret:
p
=
RT
⎛
⎜
⎝
n
V
⎞
⎟
⎠
+
⎛
A⎜
⎝
n
V
⎞
⎟
⎠
2
⎛
+ B⎜
⎝
n
V
⎞
⎟
⎠
3
+ ........
A, B,……, adalah besaran-besaran karakteristik setiap gas yang disebut
koefisien-koefisien virial.
Koefisien-koefisien itu bergantung pada suhu dan kuatnya gaya antar
molekul.
Secara eksperimen, pengukuran p pada berbagai suhu dan volume dapat
menghasilkan A(T), B(T),……
55

Dengan metoda statistik, defenisikan
lnς
=
∂
N ln Z − ln N!
=
( lnς
) = N( ∂ ln Z )
ς =
ς disebut fungsi partisi besar (grand partition function) dari sistem
partikel
Z N
N!
N ln Z − N ln N +
N
ln (N!)=N lnN - N
Maka tekanan
p
=
⎡∂(ln
Z)
⎤
kNT
⎢
⎣ ∂V
⎥
⎦
T
p
=
⎡∂(lnς ) ⎤
kT
⎢
⎣ ∂V
⎥
⎦
T
Untuk gas ideal fungsi itu adalah:
ς
1 ⎡V
(2πmkT
)
⎢
N!
⎣ h
=
3
3 / 2
⎤
⎥
⎦
N
56

Untuk gas ril di mana ada interaksi antar molekul
ς
3 / 2
N
E p / kT
= dV1dV2........
dVN
1 ⎡(2πmkT
)
⎢ 3
N!
⎣ h
∑
E =
i j
∏
, e e =
p
E p ij
i<
j
Karena E p,ij
itu cukup kecil, maka
⎤
⎥
⎦
∫∫....
∫ e
−
∑
−E
p , ij / kT
−E
p / kT
−
= < E p,
ij / kT
e
i<
j
e
− E p , ij
/ kT
=
1
−
E
kT
p , ij
+
1
2
⎛
⎜
⎝
E
p , ij
kT
⎞
⎟
⎠
2
−
.......
=
1
+
f
ij
f
ij
=
−
E
p , ij
kT
+
1
2
⎛
⎜
⎝
E
p , ij
kT
⎞
⎟
⎠
2
−
.......
57

−E
/ kT
= ∏(1
+ f ) = 1+
∑ + ∑
ij
fij
e p ∫∫ ∫ ∑ ∑
i< j
i<
j
i<
j<
k
f
ij
f
ik
+ .......
∫∫....
∫
−E
kT
e p /
dV1dV2........
dVN
= .... (1 + fij
+ fij
fik
+ ...). dV1dV2........
dVN
i< j i<
j<
k
∫∫ ∫ ........
.... 1dV 1dV2
dV N
= V
N
∫∫ ∫∑
i<
j
N −2
.... f . dV ≈ 1
1 dV2........
dV N(
N −1)
V f12dV1dV
ij
N
2
∫∫
12
2
58

⎡
⎤
12
4 βV
1 ⎣ 2 ⎦ 1
2
∫∫ f dV1dV
2
= ∫∫ ⎢ f12
πr
dr ⎥dV1
= ∫ βdV1
=
1
2
β =
∞
∫
0
f
2
12
4πr
dr
Jika N cukup besar maka ,
r adalah jarak antara molekul ke-1 dan
molekul ke-2
1
2 N −1)
N ( = N
1
2
2
∫∫....
∫∑
∫∫ ∫∑
i<
j
f
ij
. dV dV
1 2........
dV
N
≈
1
2
N
2
V
N −1
1
.... fij
f
kl
dV1dV2........
dVN
N V ∫ f f dV dV dV dV
i<
j
8
k<
l
1 4 N −2
2
≈ N V β
β
4 N −4
≈
12 34 1 2 3 4
8
59

60
( )
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
kT
E
N
V
N
V
h
mkT
N
V
N
V
N
V
h
mkT
N
V
N
V
N
V
h
mkT
N
dV
dV dV
e
h
mkT
N
p
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
∫∫ ∫
2
1
)
(2
!
1
.....
2
2
1
)
(2
!
1
.....
)
(2
!
1
........
....
)
(2
!
1
3
2
3/
2
2
2
1
2
3
2
3/
2
2
4
8
1
1
2
2
1
3
2
3/
2
1
/
3
2
3/
β
π
β
β
π
β
β
π
π
ς
N
N
V
N
h
mkT
V
N
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
1
)
(2
!
1
3
2
3 /
β
π
ς

⎛ Nβ
⎞
lnς
= N lnV
+ N ln⎜1
+ ⎟ +
⎝ 2V
⎠
F(
T )
⎛ ∂(lnς
) ⎞
p = kT⎜
⎟
⎝ ∂V
⎠
⎛
= kT
⎜
⎝
⎛
= RT
⎜
⎝
N
V
n
V
2
N β
− +
2
2V
−
T
2
n N
2V
A
2
3 2
N β
3
8V
β n
+
3
⎞ ⎛ 1 Nβ
+ ....
⎟ = NkT
⎜ − +
2
⎠ ⎝V
2V
2 2
N
Aβ
3
8V
⎞
+ ...
⎟
⎠
2 2
N β
3
8V
nRT
2
3
Jika dibandingkan dengan p = + A(
n / V ) + B(
n / V ) + ........
V
A( T)
= −
B
1
2
RTN
A
2 2
( T ) =
1
8 RTN
A
β
β
=
∞
∫
0
f
12
4
πr
2
dr
β
⎞
+ ....
⎟
⎠
N A
adalah bilangan Avogadro dan
β adalah interaksi antar molekul
61

Contoh 1
Hitunglah koefisien virial kedua untuk kasus suatu gas yang mengandung molekulmolekul
berbentuk bola padat berjari-jari r o
; energi potensial antara dua molekul 0
jika r>2r o
dan ∞ jika r2r o
,
dan E p,12
=∞ untuk r2r o
, dan f 12
=-1 untuk r

p
=
=
nRT
V
nRT
V
+
A(
n
⎡
⎢1
+
⎢⎣
bn
V
/ V
+
)
2
1
2
+
⎛
⎜
⎝
B ( n
bn
V
⎞
⎟
⎠
/ V
2
)
3
+
⎤
+ .... ⎥
⎥⎦
Contoh 2
Perluaslah perhitungan di atas dengan
mengandaikan interaksi lemah untuk r>2r o
.
Untuk r2r o
, interaksi
lemah diungkapkan oleh E p,12
/kT

A(
T)
= −
1 3
RTN β = −
1
RTN ( −32
πr
+ α / kT)
= RTb−
a
2
A
3
2
b = N
16
A
( 3 πro
); a =
1 2 N
Aα
2
A
3
o
p
2
nRT n ( RTb − a)
= +
2
B(T) diabaikan
V V
Koefisien a dan b disebut konstanta van der Waals. Konstanta untuk berbagai
gas ril ditampilkan dalam tabel di bawah ini.
Zat
a
Nm 4 kg -2 mole -2
b
m 3 kg -1 mole -1
Helium
Hidrogen
Neon
Nitrogen
Oksigen
Ammonia
Karbon dioksida
Sulfur dioksida
Air (H 2
O)
3446
24,68
21,28
140,4
137,4
421,2
362,8
678,1
551,9
0,02370
0,02661
0,01709
0,03913
0,03183
0,03707
0,04267
0,05636
0,03049
64

4.3 Kapasitas Kalor
Kapasitas kalor suatu zat pada volume tetap dan pada tekanan tetap masingmasing
didefenisikan:
C
V
=
1
n
⎛
⎜
⎝
∂U
∂T
⎞
⎟
⎠
V
,
C
p
=
1
n
⎛
⎜
⎝
∂H
∂T
⎟
⎠
⎞
p
U-energi dalam
H=U+pV adalah entalpi zat tersebut.
Gas ideal monoatom
U=3/2 nRT →C V
= 3/2 R
pV=nRT→H=5/2 nRT→C p
=5/2 R
R=12,472 J mole -1 K -1
γ = C p
/C V
=5/3.
pV=nRT→ ln p+ln V=ln nR+ ln T →
dp
p
+
dV
V
=
dT
T
65

dU
=
dQ
−
dW
→ dU=TdS-pdV
dU=nC V
dT →
dp
p
+
dV
V
=
dT
T
nC
→
V
dp
p
dT
T
dV
= dS − nR
V
γ
dV
pV
+ γ
V
=
=
konstanta.
dS
nC V
→
dT
T
=
=
dS
nC
dS
nC
V
V
−
R
C
V
dV
V
− ( γ −1)
dV
V
ln p+γ ln V=S/(nC V
)+ ln (konstanta)
pV γ
S / nCV
= e
× konstanta
Dalam suatu proses adiabatik reversibel,
pV
γ
= konstant
66

Gas ideal diatom
Untuk gas ideal dengan molekul diatom, selain energi kinetk ada pula
energi rotasi yakni:
2
h l(
l + 1)
E rot
=
2I
di mana I=momen inersia molekul, l bilangan kuantum orbital. Untuk suatu
harga l ada 2l+1 buah orientasi berbeda (m l
) dengan energi yang sama
Jadi peluang menempati suatu keadaan adalah g i
=2l+1.
Oleh sebab itu, dalam keadaan setimbang distribusi yang sesuai statistik
Maxwell-Boltzmann adalah:
n
rot
=
N
Z
rot
(2l
+ 1) e
−h
2
l(
l+
1) / 2IkT
=
N
Z
rot
(2l
+ 1) e
−l(
l+
1) Θ
r
/ T
Θ
=
2
h
2Ik
disebut suhu karakteristik rotasi.
67

Fungsi partisi rotasi adalah:
Z
U
dengan l>>1:
U
rot
rot
rot
Z
=
=
rot
∑
l
kNT
∞
= ∫
0
(2l
+ 1) e
2
d(ln
Z
−l
dT
2
Θ
−l(
l+
1) Θ
rot
/ T
)
r
2le
dl
r
=
/ T
T
Θ
d(ln
Zrot
)
ln Zrot
= lnT
− ln Θr
→ =
dT
2 d(ln
Z
rot
)
kNT
dT
= U rot
=kNT=nRT.
Jadi total energi dalam adalah:
r
1
T
U
= U
+ U
=
3
nRT + nRT =
5
tr rot 2
2
nRT
kapasitas kalor volume tetap: C V
=5/2 R.
68

Vibrasi molekul diatom dapat dipandang sebagai gerak harmonik sederhana; jadi
energi vibrasinya:
E vib
= ( ν + 1 2) hω;
ν = 0,1,2,....
sehingga dalam keadaan setimbang distribusi yang sesuai statistik
Maxwell-Boltzmann adalah:
n
vib
=
N
Z
vib
e
N
=
Z
−( ν + 1/ 2) hω / kT −(
ν + 1/ 2) Θ
vib
e
v
/ T
Θv = hω /
k
disebut suhu karakteristik vibrasi
Fungsi partisi vibrasi adalah
Z
vib
=
∑
ν
e
−(
ν+
1/2) Θ
v
/ T
= e
−Θ
v
/2T
∑
ν
e
−ν
Θ
v
/ T
karena exp(-Θ v
/T)

Z
vib
=
e
−Θ
1−
e
v
/ 2T
−Θ
v
/ T
lnZ
vib
= −Θ
v
/ 2T
−
ln( 1
−e
−Θ
v
/T
)
U
vib
=
=
kNT
1
2
2
kNΘ
d(ln
Z
v
+
dT
e
)
kNΘ
Θ
vib
v
/ T
=
v
−1
kNT
2
⎛
⎜
⎝
Θ
2T
v
2
+
Θ
e
v
Θ /
v
2
/ T ⎞
⎟
T
−1
⎠
1
2
hω
atau
1
2
kΘ v
energi vibrasi keadaan dasar suatu molekul
2
kN Θ v
1 energi vibrasi keadaan dasar suatu N molekul
e
Θ
v
/ T
−1
=
(1 + Θ
v
/ T
+ .........) −1
= Θ
v
/ T
+ .........
70

U
vib
≈
1
2
kNΘ
v
+
kNT
=
nRT
⎛
⎜1
+
⎝
Θ
v
2T
Jadi, pada suhu yang cukup tinggi, Θ / 2T

5. STATISTIK KUANTUM
Ada dua macam statistik kuantum di mana partikel-partikel
dipandang identik dan tak dapat dibedakan :
- Statistik Fermi-Dirac untuk partikel berspin s=1/2
Partikel disebut Fermion; misalnya elektron
Mengikuti prinsip eksklusi Pauli
-Staistik Bose-Einstein untuk partikel berspin s=0, 1.
Partikel disebut boson; misalnya foton, inti helium
Tidak mengikuti prinsip eksklusi Pauli.
Untuk kedua macam statisti di atas akan dibahas:
- Hukum distribusi dan contoh aplikasinya masing-masing.
72

5.1 Hukum distribusi Fermi-Dirac
Elektron bebas mempunyai spin s=1/2, sehingga bilangan kuantum
magnetiknya m s
=±1/2; dalam keadaan tidak ada medan magnet elektron
memiliki 2 keadaan yang berenergi sama (degenerate). Jadi g i
=2.
Elektron dalam atom memiliki fungsi keadaan yang ditandai dengan
bilangan-bilangankuantum: n , l,
ml,
s,
m s
Untuk suatu harga l ada (2l +1) buah harga m l
; sedangkan dengan s=1/2,
ada dua harga m s
=1/2, -1/2. Jadi, tanpa medan magnet, ada 2(2 l +1) buah
keadaan yang degenerate. Jadi g i
= 2(2 l +1).
Berdasarkan prinsip Pauli, untuk suatu pasangan
ditempati oleh satu elektron. Jadi n i
≤g i
.
n l,
m , s,
,
l
m s
hanya bisa
Jika tingkat energi, E i
, akan diisi dengan n i
buah elektron, maka dengan
degenerasi g i
, jumlah cara mengisikan partikel adalah: g i
(g i-
1) (g i
-2)……..
(g i
-n i
+1) atau
( g
i
gi
!
− n
i
)!
73

Karena partikel-partikel tak dapat dibedakan maka jumlah cara itu harus
disempurnakan menjadi
gi
!
n !( g − n
i
i
i
)!
Peluang partisi dari n 1
, n 2
, n 3
,……, masing-masing di tingkat energi E 1
, E 2
,
E 3
,….. adalah
P
=
n
1
g
!( g
1
!
− n
1
1
)! n
2
g
!( g
2
2
!
− n
2
)! n
3
g
!( g
3
3
!
− n
3
gi!
....... = ∏
)! n !( g − n
i
i
i
i
)!
ln P
Ingat:
= ∑[
g
i
i
ln
ln( x!)
g
i
−
= x ln
n
i
ln n
x − x
i
−
( g
i
−
n
i
)ln( g
i
−
n
i
)]
Partisi paling berpeluang diperoleh jika d(ln P)=0
74

− d(ln P)
= ∑[ln
ni
− ln( gi
− ni
)] dni
=
i
0
Dengan
∑
i
ln n
g
i
∑ ni
= N ∑ dni
= 0
i
i
∑ ni
Ei
= U ∑ Eidn i
= 0
i
[ ln n − ln( g − n ) + α + βE
]
i
ni
− n
i
i
− ln( g
=
e
i
−
i
− n
i
i
i
.
( α + βE
)
[ ]
Ei
1+
e = gi
( α + β ) −( α + β ) ( α + β )
( )
Ei
i
) + α + βE
→
n
i
n
i
=
i
g
i
=
α + βEi
e
g
i
− n
dn
= 0 → ln
g
i
+1
i
e
=
0
i
ni
− n
Ei
i
→
= −
n
i
i
75

Maxwell-Boltzmann, β=1/kT dan misalkan E F
=-αkT maka hukum distribusi
Fermi-Dirac
dan
n
i
n
g
i
=
( E −E
) / kT
i
i
e
=
e
i
g
F
( E −E
i
F
1
) / kT
+ 1
+ 1
disebut fungsi distribusi Fermi-Dirac
jika
( E E ) / kT
lim i −
E < E e F
= 0→
n =
i
F
T →0
i
g
i
penuh
E i
kosong T=0
jika
E 〉 E
i
F
lime
T →0
( E i −E F ) / kT
= ∞→ n
i
= 0
Energi E F
memberikan indikasi sebagai energi maksimum
elektron dalam sistem pada T=0.
penuh
E F
Energi ini sama dengan energi Fermi dalam logam dan zat padat lainnya.
Pada suhu tinggi partikel-partikel mengisi keadaan-keadaan berenergi >E F
,
dengan pindahnya partikel-partikel dari tingkat-tingkat energi di
bawah E F
76

5.2 Gas elektron
E i
Logam
Pita konduksi
Pita valensi
Penuh elektron
E F
Elektron-elektron dalam pita konduksi bebas
bergerak; ini disebut gas elektron.
n i
kontinu→jadi harus bicara dn
Distribusi Fermi-Dirac :
n
i
i
=
( E −E
) / kT
e
i
g
F
+ 1
dn
g(
E)
dE
=
( E−E
) / kT
e
F
+ 1
g(E) dE merupakan jumlah keadaan (tingkat energi) dalam daerah energi
E dan E+dE.
77

Sebagaimana gas ideal
g( E)
dE =
8πV
(2m
h
3
3 2
) 1/
E
1/ 2
dE
faktor 2 dimasukkan karena spin elektron (m s
=±½).
dn
dE
dn/dE
8πV
(2m
3
)
1/ 2
1/ 2
=
3
( E−E
) / kT
h
T=0
e
E
F
+ 1
T rendah
T tinggi
E F
E
Ini merupakan distribusi energi dari elektron bebas menurut statistik Fermi-Dirac.
78

Jumlah elektron N:
dn
dE
8πV
(2m
=
3
h
3 2
) 1/
Pada T=0
1/ 2
E
dn/dE
T=0
N
N
8πV
(2m
=
3
h
16πV
(2m
=
3
3h
3 2
) 1/
3
)
1/ 2
E F
∫
0
E
1/ 2
3 / 2
E F
dE
E F
E
Energi Fermi:
E F
=
2
h ⎛ 3N
⎜
8m
⎝ πV
⎞
⎟
⎠
2 / 3
79

Contoh 1
Dalam logam Na, setiap atom menyumbangkan satu elektron valensi.
Jumlah elektron per satuan volume, N/V, sama dengan jumlah atom Na
per volume dalam logam itu.
N
V
ρN
A
= =
= 2,54x10
M
23gram/mol
3
23
0,971gram/cm
x6,02x10
atom/mol
22 −3
cm
Jadi,
E F
=
2
h ⎛ 3N
⎜
8m
⎝ πV
⎞
⎟
⎠
2 / 3
E F
=
(6,63x10
8x9,1x
10
−34
−31
Js)
kg
2
⎛ 3
⎜ x2,54x10
⎝ π
22
cm
−3
⎞
⎟
⎠
2 / 3
=
3,12eV
80

Contoh 2
Hitunglah energi total dari N buah fermion pada suhu rendah T=0.
U = ∫Edn
= ∫E
dn
dE
dE
Pada T=0
dn
dE
=
8πV
(2m
3
h
3 2
) 1/
E
1/ 2
3 −3/
2
NE F
5
U
3 1/ 2 EF
8πV
(2m
)
=
3
h
∫
0
E
3 / 2
dE
=
16πV
(2m
5h
3
3
)
1/ 2
E
5 / 2
F
Dengan
E F
=
2
h ⎛ 3N
⎜
8m
⎝ πV
⎞
⎟
⎠
2 / 3
U =
3
5
NE F
81

Contoh 3
Rumuskanlah kecepatan rata-rata elektron-elektron pada suhu T=0 di
dalam logam.
1 1 dn
v ave
= ∫ vdn = ∫v
dE
N N dE
Pada T=0
dn
dE
8πV
(2m
=
3
h
3 2
) 1/
Jika elektron dipandang sebagai gas, E=1/2mv 2 , v=(2E/m) 1/2 .
E
1/ 2
v
ave
1/ 2
E
(2/ m)
dn 1/ 2 16πVm
F
= E dE
3
N
∫ =
dE Nh
∫
0
8πVm
= E
3
Nh
2
F
EdE
82

5.3 Elektron dalam logam.
Energi potensial sebuah elektron di
dalam logam dan di permukaan
adalah seperti gambar (a).
eφ
B
E
Energi potensial dekat permukaan
diwakili oleh kurva AB. Pada suhu
normal, pita konduksi diisi oleh
elektron-elektron hingga batas energi
Fermi E F
seperti kurva distribusi
dalam gambar (b).
E F
A
a) b)
dn/dE
Energi eφadalah energi minimum yang diperlukan untuk melepaskan sebuah
elektron dari logam. Dalam kasus efek fotolistrik, elektron dilepaskan jika
foton hν≥eφ. Besaran φadalah potensial yang disebut fungsi kerja dari logam.
Pada suhu tinggi, beberapa elektron menempati keadaan di atas energi
E F
(lihat gambar (b)). Pada suhu yang cukup tinggi beberapa elektron
memperoleh energi sebesar E=E F
+eφ sehingga lepas dari logam. Proses
ini disebut emisi termionik, dan merupakan dasar bagi tabung elektron.
Besarnya rapat arus termolistrik dihitung sebagai berikut:
83

j
=
evdn
∫ =
V
e 2
Vm
1/ 2
∫
E
1/ 2
dn
dE
dE
v
⎛ 2E
⎞
= ⎜ ⎟⎠
⎝ m
1/ 2
dn
dE
8πV
(2m
3
h
3
)
1/ 2
1/ 2
=
( E−E
) / kT
e
E
F
+ 1
j
EF + eφ
16π
me
=
3
h
∫
EF
4πme
= ( kT )
3
h
2
e
e
( E−EF
) / kT
−eφ
/ kT
E
dE
+ 1
Persamaan rapat arus di atas disebut persamaan Richardson-Dushman.
Fungsi kerja φ bergantung pada jenis logam.
84

5.4 Hukum distribsi Bose-Einstein
Kita sudah kenal sistem elektron (fermion) yang memenuhi prinsip eksklusi
Pauli. Untuk sistem ini, fungsi keadaan yang menggambarkan sistem partikel
bersifat anti-simetrik terhadap pertukaran elektron.
Ada sistem yang mengandung partikel-partikel yang tak memenuhi prinsip
eksklusi Pauli. Artinya, jumlah partikel pada suatu keadaan kuantum tidak
terbatas sehingga fungsi keadaan yang menggambarkan sistem partikel adalah
simetrik terhadap pertukaran partikel. Partikel-partikel ini disebut boson.
Contoh: semua partikel dengan spin bulat seperti foton (s=0) dan inti helium
(s=1).
Sama halnya dengan fermion, partikel-partikel boson itu identik dan tak dapat
dibedakan. Peluang menempati tingkat energi E i
adalah g i
yakni derajat
degenerasinya.
Untuk menentukan partisinya, mula-mula harus dievaluasi jumlah susunan tak
terbedakan dari n i
buah partikel dalam g i
buah keadaan dengan tingkat energi
E i
, yang menghasilkan fungsi-fungsi gelombang simetrik.
85

Termpatkanlah n i
buah partikel boson dalam satu baris dan didistribusikan
dalam g i
buah keadaan kuantum. Susunan yang mungkin sebagai berikut:
•••
••
••••
•••
••
•
•
••••
•
••
•••
•••
•
••
n i
=3, g i
=2 menghasilkan 4 cara
n i
=4, g i
=2 menghasilkan 5 cara
terbedakan
86

••••
••••
••••
•••
•
•••
••
••
•
n i
=4, g i
=3 menhasilkan 15 cara
terbedakan
••
••
••
•
•
•
•
•
•••
••
•
••
•
•••
•
••
••
Rumus umum untuk n i
dan g i
:
g
i
( n
i
+ g
n!
g
i
i
!
−1)!
•
•••
•••
•
87

Total jumlah cara yang tak terbedakan dari pembentukan partisi n 1
, n 2
, n 3
, …..
masing-masing pada tingkat energi E 1
, E 2
, E 3
,……adalah
P
( n1
+ g1
−1)!
( n2
+ g 2 −1)!
( n3
+ g3
−1)!
= .......... =
n !( g −1)!
n !( g −1)!
n !( g −1)!
Π
1
1
2
2
3
3
i
( n
i
i
+
g
n !( g
i
i
−1)!
−1)!
Untuk memperoleh partisi dengan kemungkinan paling besar maka terlebih
dahulu
∑
ln P = ln[( n + g −1)!]
− [ln n ! + ln( g −1)!
]
Dengan rumus Stirling, ln x! = x ln x – x,
i
i
i
i
i
ln P =
=
∑
∑
i
i
[( n
[( n
i
i
+
+
− n
g
g
i
i
−1)ln(
n
i
ln n
−1)ln(
n
i
+ n
i
i
+
+
i
− ( g
g
g
i
i
−1)
− ( n
i
−1)ln(
g
−1)
− n
i
i
+
i
ln n
i
g
i
−1)
−1)
+ ( g
− ( g
i
i
−1)]
−1)ln(
g
i
−1)]
88

Agar maksimum, d ln P = [ − ln( n + g −1)
+ ln n ] dn = 0
Dengan menerapkan syarat
ln
∑
i
∑
i
n
i
n
i
=
E
i
− ∑ i i
i i
N
→
= U
→
∑
i
∑
i
dn i
i
= 0
E i
dn i
= 0
− ln( n + g − 1) + ln n + α + βE
=
n
i
n
i
+
g
i
i
i
= −α
− βE
i
∴ ni
=
α + E i / kT
e
g
i
→
−1
i
n
i
n
i
+
g
i
=
i
e
0
−α −βEi
β=1/kT
hukum distribusi Bose-Einstein
Bose-Einstein tidak menyatakan secara khusus arti dari α itu.
89

Sebagai perbandingan, di bawah ini diperlihatkan ketiga fungsi distribusi.
Jenis Statistik
Fungsi distribusi,
n i
/g i
Keterangan
Boltzmann-Maxwell
e
−
E i
/ kT
Klasik;
Fermi-Dirac
e
( E −E
i
F
1
) / kT
+ 1
Kuantum; Fungsi keadaan
anti-simetrik thd pertukaran
partikel.n i
≤g i
Bose-Einstein
1
+ E i / kT
e α
−1
Kuantum; Fungsi keadaan
simetrik thd pertukaran
partikel.
90

5.5 Gas Ideal
Kebanyakan molekul mempunya spin nol atau spin bulat sehingga dapat
dipandang sebagai kumpulan partikel yang memenuhi statistik Bose-Einstein.
n
i
dn
=
g
i
/( e
α + Ei / kT
g(
E)
dE
=
α + E i / kT
e
−1
−1)
g(
E)
dE
=
4πV
(2m
h
3
3 2
) 1/
E
1/ 2
dE
dn
=
4πV
(2m
h
3
3
)
1/ 2
e
E
1/ 2
α + E / kT
dE
−1
Misalkan x=E/kT, dan mengingat fungsi partisi Z=V(2pmkT) 3/2 /h 3 , maka
N
=
∫
dn
=
2Z
π
∞
∫
0
e
x
1/ 2
α + x
−
dx
1
91

α positif:
e
N
1 −α
−x
−α
−x
−1
−α
−x
−α
−
= (1 − ) = ( +
2 x
e e e e e
α + x
=
−1
Ze
−α
⎛
⎜
⎝
+
2
1
1
3 / 2
Pendekatan pertama,
Pendekatan kedua,
e
−α
−α
e =
⎞
+ ..... ⎟
⎠
N
Z
+ .......)
e
−α
=
N
Z
⎛
⎜1+
⎝
2
−1
1 −α
N 1 N
e ≈
3 / 2
3/ 2
Z Z
⎞
+ .... ⎟
⎠
⎛
⎜1−
⎝
Ini menggambarkan kebergantungan α terhadap N dan Z (atau T).
2
⎞
+ .... ⎟
⎠
92

Energi total gas adalah
U
=
∞
∞
3 / 2
2ZkT
x
− ⎛ 1 −
∫ = ∫ =
3
α
α
Edn
dx
⎜1
+ + .......
+
2 kTZe
e
α x
5 / 2
π e − 1
⎝ 2
0
0
⎞
⎟
⎠
U
⎛ 1 N
= 3
2 kNT ⎜1
− − .......
5 / 2
⎝ 2 Z
⎞
⎟
⎠
Maxwell-Boltzmann, di mana U=3/2 kNT
Jadi pengaruh kuantum statistik Bose-Einstein adalah pengurangan energi..
Karena p=2/3 U/V maka tekanan dirumuskan sebagai
p
kNT ⎛ 1 N ⎞
= ⎜1−
− ....... ⎟
5 / 2
V ⎝ 2 Z ⎠
memperlihatkan pengurangan tekanan.
Efek kuantum terhadap gas ideal ini disebut degenerasi gas.
93

5.6 Kapasitas zat padat
Dalam zat padat, vibrasi satu atom berdampak terhadap atom tetangganya;
secara keseluruhan vibrasi berlangsung secara kolektif.
Vibrasi kolektif itu membentuk gelombang berdiri dalam zat padat;
frekuensinya membentuk spektrum diskrit dengan spasi yang sangat kecil
sehingga dapat dipandang kontinu. Karena vibrasi itu berkaitan dengan sifat
elastik bahan, maka gelombangnya menjalar dengan kecepatan bunyi,
secara transversal dan longitudinal.
Misalkan kecepatannya masing-masing v l
dan v t
; misalkan pula g(ν)dν
sebagai jumlah modus-modus berbagai vibrasi dalam daerah frekuensi
antara ν dan ν+dν.
Untuk gelombang transversal berlaku
untuk gelombang longitudinal
g
t
8πV
2
gt
( ν ) dν
= ν dν
3
vt
4πV
2
( ν ) dν
= ν dν
3
v
l
94

Jumlah keseluruhan modus dalam daerah frekuensi antara ν dan ν+dν:
g(
ν ) dν
=
⎛ 1
4π
V ⎜
⎝ vl
3
+
2
v
3
t
⎞
2
⎟
ν dν
⎠
Jika N adalah jumlah atom dalam zat padat, maka modus vibrasi harus
digambarkan dalam 3N buah posisi koordinat atom. Jadi, jumlah modus
vibrasi adalah 3N, sehingga
3N
3N
=
ν
o
∫
⎛
⎜
1
g(
ν ) dν
= 4πV
⎝ vl
+
3 3
0
vt
2
⎟ ⎞
⎠
ν
o
∫
0
2
ν dν
⎛ 1 2 ⎞
3
ν o
= 4πV
⎜ ⎟
+ di mana ν
3 3
v v
o
disebut frekuensi cut-off.
⎝ 3
l t ⎠
Jadi, jumlah keseluruhan modus dalam daerah frekuensi antara ν dan ν+dν:
g( ν ) dν
=
9N
2
ν dν
3
ν
o
95

Modus-modus vibrasi elastik dalam zat padat dapat dipandang sebagai gas
fonon.
Energi sebuah fonon adalag hν di mana ν adalah frekuensi vibrasi elastik.
Karena semua fonon identik, dan karena jumlahnya dengan energi sama tidak
terbatas, maka dalam keadaan setimbang suhu fonon memenuhi statistik Bose-
Einstein.
Jadi dengan α=0, jumlah fonon berenergi hν dalam daerah frekuensi antara ν
dan antara ν +dν dalam kesetimbangan suhu pada T adalah
dn
=
e
g(
ν ) dν
hν
/ kT
−1
=
9N
ν
3
o
e
2
ν dν
hν
/ kT
−1
Total energi vibrasi dalam daerah frekuensi itu adalah
U
=
N
∫
hν
dn
=
9Nh
ν
νo
∫
3
ν dν
hν
/ kT
e −
3
o
1
0 0
96

Kapasitas kalor zat padat pada volume tetap adalah
C
V
2 νo
= 1 ⎛ ∂U
⎞ 9N
A
h
⎜ ⎟ =
T
V
ν
okT
∫
Ν 3 2
⎝ ∂ ⎠
0
4
ν e
hν
/ kT
(
hν
/ kT
e −1)
2
dν
di mana N menyatakan jumlah mole dan N A
=N/N adalah bilangan Avogadro.
Dengan Θ D
=hν o
/k adalah suhu Debey, kN A
=R, dan x=hν/kT maka
C
V
⎛
= 9R
⎜
⎝
T
Θ
D
⎞
⎟
⎠
3
ΘD
/ T
∫
0
x
4
e
x
( e ) dx
x 2
−1
Kurva C V
sebagai fungsi T/ Θ D
adalah sebagai berikut
C V
/R
3
0 0.5 1.0 1.5 2.0 T/Θ D
97

Dari kurva di atas terlihat bahwa pada suhu Θ D
atau di atasnya, kapasitas
kalor semua zat adalah 3R ; hal ini sesuai denga hukum Dulong-Peti yang
dikemukakan pada abad 19.
Ini juga sesuai dengan prinsip ekipartisi energi, karena kT>> hν o
=kΘ D
, maka
energi dalam adalah
1 ⎛ ∂U
⎞ ⎛ ∂U
⎞
CV = ⎜ ⎟ →⎜
⎟ = 3RN →U
= 3NRT
= 3NkT
Ν ⎝ ∂T
⎠ ⎝ ∂T
⎠
V
V
Dalam prinsip ekipartisi energi dalam termodinamika, energi vibrasi
atom per derajat kebebasan adalah kT, sehingga dengan 3 derajat
kebebasan energi itu 3kT.
98