Diktat kuliah.pdf - Fisika Universitas Padjadjaran

DAFTAR ISIHalamanKATA PENGANTAR ..............................................................................................DAFTAR ISI ...........................................................................................................DAFTAR TABEL ....................................................................................................iiiivDAFTAR GAMBAR ...............................................................................................BAB 1 LASER ....................................................................................................1.1. Interaksi cahaya dengan materi .......................................................... 11.2. Ide dasar dari Laser ............................................................................ 31.3. Komponen dasar Laser ..................................................................... 51.4. Sifat-sifat berkas cahaya Laser .......................................................... 71.5. Tipe-tipe cahaya Laser ....................................................................... 11BAB 2 JENIS-JENIS CAHAYA LASER .......................................................... 122.1. Laser zat padat .................................................................................... 122.2. Laser dye ............................................................................................ 172.3. Laser semikonduktor .......................................................................... 212.4. Laser gas ............................................................................................. 24BAB 3 OPTIKA BERKAS CAHAYA LASER (BEAM OPTICS) ................. 303.1. Gelombang paraksial .......................................................................... 313.2. Berkas Gauss (Gaussian Beam) ......................................................... 323.3. Transmisi melalui suatu lensa tipis .................................................... 373.4. Berkas Hermite-Gauss ....................................................................... 393.5. Berkas Laguerre-Gauss ...................................................................... 423.6. Berkas Bessel ..................................................................................... 42BAB 4 PANDU GELOMBANG PLANAR ....................................................... 454.1. Pandu gelombang logam .................................................................... 464.2. Pandu gelombang planar dielektrik ................................................... 524.3. Pandu gelombang dua-dimensi .......................................................... 604.4. Kopling optik kedalam pandu gelombang ......................................... 63BAB 5 SERAT OPTIK (FIBER OPTICS) ........................................................ 745.1. Step-index fiber .................................................................................. 755.2. Graded-index fiber ............................................................................. 835.3. Atenuasi dan dispersi ......................................................................... 88v1ii

HalamanBAB 6 SWITCHING OPTIK ........................................................................... 1026.1. Switching ........................................................................................... 1026.2. Switching elektronik ........................................................................... 1036.3. Switching opto-mekanik .................................................................... 1046.4. Switching elektro-optik ...................................................................... 1056.5. Switching akusto-optik ....................................................................... 1066.6. Switching magneto-optik ................................................................... 1086.7. All-optical switching .......................................................................... 1096.8. Divais bistable-optics ......................................................................... 115BAB 7 KRISTAL FOTONIK ............................................................................ 1187.1. Konsep dasar kristal fotonik .............................................................. 1197.2. Pembentukan PBG (dispersion relation) ........................................... 1207.3. Cacat pada kristal fotonik .................................................................. 1367.4. Aplikasi kristal fotonik ....................................................................... 138REFERENSI ........................................................................................................... 143iii

DAFTAR TABELHalamanTabel 2.1. Konfigurasi elektronik dari beberapa elemen tanah jarang dan logam 13transisi yang sering digunakan sebagai material aktif laser ................Tabel 2.2. Parameter optik dan spektroskopi laser rubi pada temperatur kamar.. 13Tabel 2.3. Parameter optik dan spektroskopi laser dimana ion Nd 3+ sebagaidoping pada beberapa material host..................................................... 14Tabel 2.4. Parameter optik dan spektroskopi beberapa laser kuasi tiga level....... 15Tabel 2.5. Parameter optik dan spektroskopi dari laser Ti:Safir, Cr:LiSAF danCr:LiCAF.............................................................................................. 16Tabel 2.6. Parameter optik dan spektroskopi dari tipikal media laser dye ........... 20Tabel 7.1. Perbandingan konsep kristal fotonik dan kristal biasa ........................ 119iv

DAFTAR GAMBARHalamanGambar 1.1. Tiga jenis interaksi cahaya dengan materi, yaitu (a). absorpsi, (b).emisi spontan dan (c). emisi terstimulasi........................................... 1Gambar 1.2. Fluks cahaya input datang F melewati bahan menjadi F + dF akibatabsorpsi dan emisi terstimulasi.......................................................... 4Gambar 1.3. Skema dasar dari Laser ..................................................................... 5Gambar 1.4. Skema laser (a). three-level, dan (b). four-level ............................... 6Gambar 1.5. Contoh gelombang EM dengan waktu koherensi τ 0 ......................... 8Gambar 1.6. Difraksi berkas cahaya laser untuk kasus koheren ruang sempurna... 8Gambar 1.7. Proyeksi sudut ruang yang dipancarkan ............................................ 9Gambar 1.8. Diameter berkas laser D dan sudut difraksi θ.................................... 10Gambar 1.9. Pemfokusan berkas cahaya laser oleh lensa dengan numericalapertur NA menghasilkan intensitas yang tinggi................................ 11Gambar 2.1. Struktur kimia dari beberapa dye (a). 3,3’ diethylthiatricarbocyanineiodide, (b). rhodamine 6G, dan (c). coumarine 2 17Gambar 2.2. Penampang absorpsi σ a , penampang emisi singlet-singlet σ e danpenampang absorpsi triplet-triplet σ T , dari larutan rhodamine 6Gdalam etanol ........................................................................................ 18Gambar 2.3. (a). Tipikal tingkatan-tingkatan energi pada larutan dye. Keadaansinglet dan triplet ditunjukkan pada kolom terpisah. (b) Diagramtingkat energi suatu dye ...................................................................... 19Gambar 2.4. Prinsip kerja laser semikonduktor ...................................................... 21Gambar 2.5. (a). Struktur pita laser semikonduktor sambungan p-n, dan (b) 22tegangan maju yang diberikan pada sambungan ................................Gambar 2.6. Tingkatan-tingkatan energi dari laser He:Ne ..................................... 25Gambar 2.7. Tingkatan-tingkatan energi atom tembaga untuk proses laser ........... 26Gambar 2.8. Tingkatan-tingkatan energi argon untuk laser .................................... 27Gambar 2.9. Tingkatan-tingkatan energi dalam laser He:Cd .................................. 28Gambar 3.1. Normalisasi intensitas berkas I/I 0 sebagai fungsi dari jarak radial rpada beberapa jarak aksial berbeda : (a). z = 0, (b) z = z 0 , dan (c) z =2z 0 ........................................................................................................ 33Gambar 3.2 Jari-jari berkas W(z) mempunyai nilai minimum W 0 pada waist (z =0), 2W0pada z = ± z 0 , dan meningkat secara linier dengan z......... 35Gambar 3.3 Kedalaman fokus dari berkas Gauss .................................................. 36Gambar 3.4. Transmisi berkas Gauss pada suatu lensa tipis .................................. 37Gambar 3.5. Kombinasi dua buah lensa untuk memperlebar berkas cahaya Gauss(teleskop) ............................................................................................ 39Gambar 3.6. Beberapa orde-terendah dari fungsi Hermite-Gauss: (a) G 0 (u), (b)G 1 (u), (c) G 2 (u), dan (d) G 3 (u)............................................................. 41Gambar 3.7. Distribusi intensitas beberapa orde terendah dari berkas Hermite- 42Gauss dalam transverse-plane. Orde ( l ,m)ditunjukkan dalamsetiap kasus..........................................................................................v

Gambar 4.13. Modus dari pandu gelombang logam persegipanjang dikarakterisasioleh suatu jumlah nilai k x dan k y yang diskrit, seperti yangdigambarkan oleh titik-titik................................................................. 60Gambar 4.14. Geometri dari pandu gelombang dielektrik persegipanjang. Nilainilaik x dan k y untuk modus ditunjukkan oleh titik-titik...................... 62Gambar 4.15. (Atas). Berbagai tipe geometri pandu gelombang: (a) strip; (b)embedded-strip; (c) rib atau ridge; (d) strip-loaded. Daerah yanglebih gelap menunjukkan indeks bias yang lebih tinggi. (Bawah).Konfigurasi piranti-piranti optik dari pandu gelombang: (a) straight;(b) S-bend; (c) Y-branch; (b) Mach-Zehnder; (e) directionalcoupler; (f) intersection atau cross...................................................... 63Gambar 4.16. Kopling dari suatu berkas optik ke dalam suatu pandu gelombang.... 64Gambar 4.17. Prisma kopler ..................................................................................... 66Gambar 4.18. Kopling antara dua pandu gelombang yang sejajar. Pada z 1 , cahayaterpusat dalam pandu gelombang-1, pada z 2 cahaya terbagi antaradua pandu gelombang dan pada z 3 , akan terpusat dalam pandugelombang-2........................................................................................ 67Gambar 4.19. Pertukaran daya secara periodic antara pandu gelombang-1 dan -2... 69Gambar 4.20. Pertukaran daya antara pandu gelombang-1 dan -2 untuk kasusphase matched..................................................................................... 69Gambar 4.21. Kopler-kopler optik: (a). switching antara daya dari satu pandugelombang ke pandu gelombang lain; (b). kopler 3-dB...................... 70Gambar 4.22. Kebergantungan dari rasio daya transfer pada parameter mismatch... 71Gambar 5.1. Pandu gelombang dielektrik silinder atau fiber .................................. 74Gambar 5.2. Geometri, profil indeks bias dan tipikal berkas-berkas dalam: (a).multimode step-index fiber, (b). single-mode step-index fiber dan(c). multimode graded-index fiber ...................................................... 75Gambar 5.3. Trajektori berkas-berkas meridional yang terletak di dalam bidangyang memotong sumbu serat optik...................................................... 76Gambar 5.4. Suatu berkas terpelintir (skewed ray) terletak dalam suatu bidangoffset dari sumbu fiber dengan jarak R. Berkas dicirikan oleh sudutsudutθ dan φ. Berkas ini mengikuti trajektori (lintasan) heliksdidalam suatu kulit silinder dengan jari-jari R dan a........................... 77Gambar 5.5. (atas). Sudut θa dari fiber. Berkas dengan sudut tersebut dipandudengan TIR. NA adalah numerical aperture dari fiber. (bawah).Kapasitas cahaya yang dikumpulkan ke dalam fiber dengan NAyang besar lebih banyak daripada oleh NA yang kecil....................... 78Gambar 5.6. Sistem koordinat silinder .................................................................... 79Gambar 5.7. Contoh distribusi radial u(r) yang diberikan oleh pers. (5.9) untukl = 0 dan l = 3.................................................................................... 81Gambar 5.8. Geometri dan profil indeks bias graded-index fiber .......................... 83Gambar 5.9. Berkas-berkas terpandu didalam core suatu fiber graded-index. (a).berkas meridional berada dalam bidang meridional didalam silinderdengan jari-jari R 0 . (b) Suatu berkas terpelintir mengikuti trajektorisuatu heliks didalam dua selubung silinder dengan jari-jari r l danR l .......................................................................................................84vii

Gambar 5.10. (a). Vektor gelombang k = (k r , k φ , k z ) dalam sebuah sistemkoordinat silinder. (b). Gelombang bidang-kuasi mengikuti arahsuatu berkas (heliks)............................................................................ 86Gambar 5.11. Kebergantungan koefisien atenuasi α dari gelas silika pada panjanggelombang λ 0 . Koefisien atenuasi minimum pada 1,3 µm (α ~ 0, 3dB/km) dan pada 1,55 µm (α ~ 0,16 dB/km)...................................... 89Gambar 5.12. Pelebaran pulsa akibat dispersi modus (modal dispersion) ................ 90Gambar 5.13. Koefisien dispersi D λ dari gelas silika sebagai fungsi dari panjanggelombang λ 0 ....................................................................................... 92Gambar 5.14. Profil-profil indeks bias untuk mengurangi efek dispersi kromatikdan skematik koefisien dispersi yang bergantung pada panjanggelombang (kurva putus-putus) dan kombinasi dispersi material dankoefisien dispersi pandu gelombang untuk serat optik (a).dispersion-shifted dan (b). dispersion-flattened ................................. 94Gambar 5.15. Respon dari fiber multimode terhadap pulsa tunggal (single pulse) .. 96Gambar 5.16. Pelebaran pulsa optik pendek setelah transmisi melalui beberapatipe fiber (serat optik) yang berbeda. Lebar pulsa yangditransmisikan dibentuk oleh dispersi modus dalam fiber multimode(step-index dan graded-index). Dalam fiber single-mode, lebarpulsa ditentukan oleh dispersi material dan dispersi pandugelombang. Pada kondisi tertentu dengan intensitas pulsa yangtinggi (soliton), pulsa dapat merambat melalui fiber nonlinier tandapelebaran. Hal ini sebagai hasil dari seimbangnya antara dispersimaterial dan self-phase modulation (indeks bias yang bergantungpada intensitas cahaya)........................................................................ 98Gambar 5.17. Pelebaran pulsa pendek dalam medium linier dengan dispersianomali; panjang gelombang pendek dari komponen B mempunyaikecepatan group yang lebih besar, karenanya menjalar lebih cepatdibandingkan dengan panjang gelombang yang lebih panjang darikomponen R. (b). Dalam medium nonlinier, self-phase modulation(n 2 > 0), mengakibatkan pergeseran frekuensi negatif dalam pulsa Rdan pergeseran frekuensi positif dalam pulsa B, sehingga pulsaberbentuk chirped tetapi bentuk pulsanya tak berubah. Jika pulsachirped menjalar dalam medium linier, maka pulsa akan dikompres.Namun jika mediumnya adalah medium nonlinier dispersif (c),maka pulsa akan dikompres, diperlebar atau dijaga konstan (soliton)bergantung pada besar dan tanda dari dispersi dan efek nonliniermedium................................................................................................ 99Gambar 5.18. Penjalaran pulsa Gauss dalam medium linier dan soliton dalammedium nonlinier. (a) pulsa Gauss mengalami pelebaran pulsasedangkan soliton tidak mengalami pelebaran pulsa sepanjang arahperambatannya, (b) pada intensitas tinggi berkas laser tidakmengalami pelebaran dan pelemahan karena efek soliton ................. 101Gambar 6.1. Contoh elemen swtiching, (a) 1 x 1, (b) 1 x 2, dan (c) 2 x 2. Unitkontrol berfungsi untuk mengkontrol elemen sesuai dengan yangdikehendaki.......................................................................................... 102viii

Gambar 6.2. Proses switching sinyal optik menggunakan switching elektronik.Fotodetektor digunakan untuk mengkonversi sinyal optik menjadisinyal elektronik (O/E), sedangkan sinyal elektronik dikonversimenjadi sinyal optik (E/O) menggunakan LED (Light EmittingDiode). Tahapan konversi sinyal menyebabkan waktu switchingmenjadi lebih lama dan kerugian daya (power loss)........................... 104Gambar 6.3. Switching opto-mekanik, dimana sinyal optik diswitchmenggunakan sistem mekanik. Keterbatasan utama sistemswitching ini adalah waktu yang relatif lama (mili-detik)................... 104Gambar 6.4. Contoh penggunaan switching elektro-mekanik pada sambunganserat optik input pada 5 (lima) serat optik output. Index matchingliquid digunakan agar kopling memiliki efisiensi yang tinggi............ 105Gambar 6.5. Switching elektro-optik dengan konfigurasi (a). Mach-Zehnderinterferometer, dan (b). Directional coupler. Tegangan yangdiberikan pada bahan elektro-optik mengakibatnya perbedaan fasasehingga output dapat diatur dengan tegangan yang diberikan........... 105Gambar 6.6. Defleksi sinyal optik oleh grating bunyi ............................................ 106Gambar 6.7. Proses defleksi cahaya oleh bunyi, mengikuti hukum Bragg ............. 107Gambar 6.8. Hubungan antara reflektansi dengan sudut cahaya datang padadivais switching akusto-optik.............................................................. 108Gambar 6.9. Contoh suatu switching dengan 4 x 4 magneto-optic crossbar.......... 109Gambar 6.10. All-optical switching menggunakan Mach-Zehnder interferometerdengan material yang memiliki efek optik Kerr.................................. 110Gambar 6.11 Fiber optik nonlinier dan anisotropi digunakan sebagai retardasifasa untuk all-optical switching........................................................... 111Gambar 6.12. Switching dengan material kristal cair (liquid crystal), dimanaliquid crystal mengontrol cahaya input .............................................. 111Gambar 6.13. All-optical switching menggunakan divais directional coupler,dimana intensitas input yang berbeda dipisahkan pada masingmasingoutput...................................................................................... 112Gambar 6.14. Hubungan antara rasio daya transfer dengan phase mismatch ........... 112Gambar 6.15. Limit pada energi dan waktu untuk all-optical switching. Energiswitching harus diatas garis 100 foton. Jika switching dilakukanberulang, maka energi dan waktu switching berada di sebelah kanangarus heat transfer. Limit untuk divasi elektronik berbahansemikonduktor adalah garis 1 µW, 20 fJ dan 20 ps............................ 114Gambar 6.16. Kurva bistabilitas optik, dimana satu nilai input memiliki dua buahnilai output. Kurva ini banyak digunakan untuk switching dan flipflopspada gerbang logika optik.......................................................... 115Gambar 6.17. Prinsip kerja flip-flops berdasarkan kurva histeresis (bistabilitasoptik) ................................................................................................... 115Gambar 6.18. Gerbang logika AND .......................................................................... 116Gambar 6.19. Penggunaan kurva bistabilitas untuk gerlang logika optik AND.Nilai output akan berharga satu (1), jika kedua inputnya bernilaisatu (1)................................................................................................. 116Gambar 6.20. Penggunaan kurva bistabilitas optik sebagai penguat cahaya input.... 117ix

Gambar 6.21. Penggunaan kurva bistabilitas sebagai pembentuk dan pembatasintensitas sinyal optik input................................................................. 117Gambar 7.1. Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D. Warna menggambarkan materialdielektrik dengan permitivitas atau indeks bias yang berbeda............ 118Gambar 7.2. Perambatan medan dalam kristal fotonik 1D ..................................... 123Gambar 7.3. Pembentukan PBG pada kristal fotonik 1D. Hubungan dispersiuntuk keistal 1D seragam (kiri), dan efek dari perubahanpermitivitas menyebabkan split pada batas daerah Brilloin k = ± π/a 125Gambar 7.4. Struktur kristal fotonik 2D, dimana indeks bias bervariasi padaarah-x, dan –y, namun seragam dalam arah-z..................................... 126Gambar 7.5. Kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dielektrikdengan permitivitas ε a dan jari-jari r a dalam udara (ε b ) membentukkisi persegi dengan kosntanta kisi a ................................................... 128Gambar 7.6. Struktur pita kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolomdielektrik dalam udara dengan kisi persegi (square lattice) ............... 130Gambar 7.7. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D persegi dengan lubang-lubangudara dalam bahan dielektrik dan zona Brilloin, dan (b) struktur pitapada polarisasi TM. Daerah yang diarsir merah menunjukkan PBG. 131Gambar 7.8. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D heksagonal dan zona Brilloin, dan(b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garisbiru putus-putus menunjukkan polarisasi TM .................................... 131Gambar 7.9. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D yang terdiri dari lubang-lubangudara dalam bahan dielektrik membentuk kisi heksagonal dan zonaBrilloin, dan (b) struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasiTE dan garis biru putus-putus menunjukkan polarisasi TM .............. 132Gambar 7.10. Struktur pita kristal fotonik 2D dengan lubang-lubang udara dalambahan dielektrik yang membentuk kisi heksagonal (ε a = 12 dan r a /a= 0,3). Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru untukpolarisasi TM. Bandgap terjadi untuk kedua polarisasi ..................... 133Gambar 7.11. Beberapa struktur kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich (fcc miripintan), (b). Woodpile atau Lincoln/log like, dan (c). Tetragonalsquare spiral (Sajeev John).................................................................. 133Gambar 7.12. Struktur pita dari kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich, dan (b).Tetragonal square spiral...................................................................... 134Gambar 7.13. (a). Struktur kristal fcc dari bola-bola silika, (b). Foto SEM strukturkristal hasil eksperimen ...................................................................... 134Gambar 7.14. (a). Prosedur pembuatan inverted opal, (b). Foto SEM inverted opalsilikon dan struktur pitanya (bawah), yang menunjukkanterbentuknya bandgap sempurna (taken from A. Blanco, et al.,Nature 405 (2000), p.437) .................................................................. 135Gambar 7.15. Struktur pita kristal fotonik 3D inverted opal silikon hasilperhitungan (atas) dan hasil pengukuran dalam dua-arah yangberbeda (bawah). Garis merah menunjukkan polarisasi TE danhitam untuk polarisasi TM (taken from Y. A. Vlasov et al., Nature414, (2001), p. 289) ............................................................................ 136x

Gambar 7.16.Gambar 7.17.Gambar 7.18.Gambar 7.19.Gambar 7.20.Gambar 7.21.Gambar 7.22.Pengaruh penyisipan defect pada struktur pita bandgap (a). Pointdefect, dan (b) Line defect................................................................... 137Hasil eksperimen dan kurva resonansi dari (a) point defect untukaplikasi resonator [taken from J.S. Foresi, et al, Nature 390 (1997),p. 14], dan (b). Line defect untuk pandu gelombang [taken from S.Olivier et al, Optical and Quantum Electronics 34 (2002), p.171]...... 138Kristal fotonik untuk aplikasi laser; (a). 1D dari material MEH-PPV[taken from M. Gaal et al., Adv. Mater 15 (2003), p.1165], dan (b)2D dari material InGaAsP [taken from O. Painter et al, Science 284(1999), p. 1819]................................................................................... 139Foto pandu gelombang dengan sudut 120 0 pada kristal fotonik 2D(kiri), dan hasil pengukuran refleksi cahaya. Tampak bahwa cahayadengan panjang gelombang sekitar 1 µm dapat ditransmisikan[taken from M. Tokushima et al, Appl. Phys. Lett. 76 (2000), p.952] ..................................................................................................... 140Disain, foto SEM dan hasil pengukuran spektrum filter add-drop[taken from S. Noda et al, Nature 407 (2000), p.608] ........................ 140(a) Disain all-optical diode dan perhitungan transmitansi sebagaifungsi dari frekuensi, dan (b) Karakteristik all-optical diode [takenfrom S. Mingaleev & Y. Kivshar, J. Opt. Soc. Am. B 19 (2002),p.2241] ................................................................................................ 141(a). Foto SEM struktur kristal fotonik (kiri) dan hasil pengukuran,simulasi PBG (kanan), dan (b). Hasil pengukuran transmitansi padadefect mode (551 nm) sebagai dungsi dari intensitas pumping(bagian kiri adalah hasil pengukuran dan kanan adalah hasilsimulasi), sedangkan bagian kanan adalah perubahan transmitansisebagai fungsi dari waktu tunda (delay) ............................................. 142xi

BAB 1LASERLaser merupakan singkatan dari Light Amplification by Stimulated Emission ofRadiation, yaitu terjadinya proses penguatan cahaya oleh emisi radiasi yangterstimulasi. Ada tiga prinsip interaksi antara cahaya dengan materi, yaitu abosrpsi,emisi spontan dan emisi terstimulasi. Dalam bab ini, akan dibahas proses emisiterstimulasi dan beberapa persyaratan material agar terjadi emisi terstimulasi.1.1. Interaksi cahaya dengan materiPada dasarnya ada tiga macam bentuk interaksi yang terjadi antara cahayadengan materi, yaitu absorpsi, emisi spontan dan emisi terstimulasi. Pandang dua buahtingkatan energi E 1 dan E 2 , dimana E 2 > E 1 , seperti ditunjukkan pada Gb. 1.1.Gambar 1.1. Tiga jenis interaksi cahaya dengan materi, yaitu (a). absorpsi, (b). emisispontan dan (c). emisi terstimulasi.Adapun pengertian dari masing-masing proses di atas adalah sebagai berikut :(a). Absorpsi adalah proses tereksitasinya elektron dari tingkatan energi E 1 ke E 2akibat penyerapan foton dengan energi hν > (E 2 - E 1 ), dimana h adalah konstantaPlanck 6,626 x 10-34 J.s(b). Emisi spontan adalah proses meluruhnya elektron yang tereksitasi di tingkatanenergi E 2 ke tingkatan energi E 1 . Karena E 2 > E 1 , maka proses peluruhan akanmelepaskan energi yang berupa :1

♦ Emisi radiatif (memancarkan foton dengan energi = E 2 – E 1 )♦ Emisi non-radiatif ( tidak memancarkan foton)(c). Emisi terstimulasi adalah proses yang melibatkan elektron-elektron yang sudahberada di E 2 distimulasi/dirangsang oleh foton yang datang untuk meluruh ke E 1 ,sehingga akan memperkuat energi cahaya yang datang (amplification bystimulated emission of radiation)Assumsikan Ni adalah jumlah molekul/atom persatuan volume yang mendudukitingkat energi ke-i pada waktu t (populasi level-i), maka probabilitas/kemungkinanterjadinya proses absorpsi dan emisi adalah sebagai berikut :(1). AbsorpsiLaju transisi polulasi dari tingkatan energi-1 ke tingkatan energi-2 :⎛ dN1 ⎞⎜ ⎟ = −W12N1⎝ dt ⎠adengan W 12 adalah laju absorpsi yang didefinisikan sebagai :(1.1)W F12= σ12 (1.2)dimana σ 12 adalah penampang absorpsi, dan F adalah fluks foton (cm -2 det -1 ).(2). Emisi SpontanEmisi spontan merupakan laju transisi populasi dari tingkatan energi-2 ke energi-1⎛ dN2 ⎞N2⎜ ⎟ = −AN2= −⎝ dt ⎠spτsp(1.3)dengan A adalah laju emisi spontan atau disebut juga koefisien Einstein (det -1 ),dan τ sp = A -1 = lifetime emisi spontan (det). Untuk emisi non-radiatif berlaku :⎛ dN2 ⎞ N2⎜ ⎟ = −⎝ dt ⎠nrτnrdimana τ nr = lifetime emisi spontan (det).(1.4)Perbedaan antara emisi spontan dan emisi non-radiatif adalah pada lifetimenya,dimana nilai τ sp hanya bergantung pada transisi tertentu, sedangkan τ nr bergantungpada transisi tertentu dan keadaan media sekelilingnya.2

(2). Emisi TerstimulasiEmisi terstimulasi sama dengan emisi spontan, dimana terjadi laju transisi dari E 2ke E 1 :⎛ dN⎜⎝ dt⎞2⎟ = −W21N2⎠st(1.5)dengan W 21 adalah laju emisi terstimulasi (det -1 ) yang didefinisikan sebagai :W21 = σ21F(1.6)dimana σ 21 adalah penampang emisi terstimulasi, dan F adalah fluks foton (cm -2det -1 ).Proses emisi terstimulasi dicirikan oleh emisi terstimulasi dan absorpsi, dimanamenurut Einstein:gg22Wσ2121= g W11= g σ1212(1.7)dengan g 1 adalah jumlah degenerasi di tingkatan energi-1, dan g 2 adalah jumlahdegenerasi di tingkatan energi-21.2. Ide Dasar dari LaserEmisi pada Laser adalah emisi terstimulasi. Pandang suatu sistem yang terdiri daridua tingkatan energi E1 dan E2 (E2 > E1), dengan jumlah populasi masing-masing N2dan N1. Suatu cahaya dengan fluks F datang ke dalam sistem melewati suatu elemenpanjang dz, maka fluks output menjadi F + dF, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 1.2.Bila suatu foton datang dengan fluks F ke dalam bahan, maka akan terjadi perubahanfluks sebesar dF akibat absorpsi dan emisi terstimulasi. Jika foton yang datangmempunyai penampang lintang S, maka perbedaan foton yang datang dan yang keluardari daerah dz adalah SdF.3

Gambar 1.2. Fluks cahaya input datang F melewati bahan menjadi F + dF akibatabsorpsi dan emisi terstimulasi.SdF merupakan perbedaan emisi spontan dan absorpsi di daerah dz persatuan waktu,yang didefinisikan sebagai :( W N W ) SdFSdF=21 2−12(1.8)Dari persamaan-persamaan (1.1), (1.5), (1.6), dan (1.7), maka diperoleh :SdF =dF = σ( W N − W )⎪⎧⎛ dN= ⎨⎜⎪⎩ ⎝ dt2121⎡F⎢N⎣122⎞⎟⎠ag−g⎛ dN− ⎜⎝ dt2112SdF2⎞⎟⎠sp⎤N1⎥ dz⎦⎪⎫⎬Sdz⎪⎭(1.9)Persamaan (1.9), mempunyai arti fisis sebagai berikut :(a). Bahan bersifat sebagai penguat cahaya (optical amplifier), jika :dFdz> 0makaN 2> N 1yang berarti inversi populasi (N 2 > N 1 ).(b). Bahan bersifat sebagai penyerap cahaya (optical absorber), jika :dF< 0dzmakaN 2< N 1Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa material yang dapat digunakan sebagaibahan aktif Laser adalah material yang memiliki inversi populasi.4

1.3. Komponen Dasar LaserPada persamaan (1.9), populasi pada keadaan kesetimbangan termal(ekuilibrium), populasi-populasi digambarkan oleh statistik Boltzmann. JikaeN2adalah berturut-turut populasi pada kesetimbangan termal, maka :eN1daneN2 g2⎛ E2− E1⎞= exp−⎜ ⎟(1.10)eN1g1⎝ kT ⎠dengan k adalah konstanta Boltzmann dan T adalah temperatur absolut dari material.e ePada kesetimbangan termal, berlaku N2< g2N1/ g1, dimana ini terjadi pada kondisie eyang umum/normal. Namun jika kondisi ketidaksetimbangan dicapai ( N2> g2N1/ g1),maka material berperilaku sebagai penguat (amplifier), yang berarti terjasi inversipopulasi. Sehingga material ini dapat digunakan sebagai bahan aktif dari Laser.Jika frekuensi transisi = ( E )/kT0E2−1ν berada pada daerah gelombang mikro,maka tipe material penguat ini disebut maser amplifier, dan jika berada pada daerahoptik, maka disebut laser amplifier.Untuk membuat suatu osilator dari amplifier, maka diperlukan suatu feedbackpositif yang sesuai. Dalam daerah gelombang mikro, hal ini dilakukan denganmenempatkan bahan aktif dalam resonant cavity yang memiliki frekuensi ν 0 . Dalamkasus Laser, feedback sering diperoleh dengan menempatkan bahan aktif diantara duacermin pemantul (reflecting mirrors), seperti cermin bidang yang sejajar (Gambar 1.3).outputcermin-1bahan aktifcermin-2Gambar 1.3. Skema dasar dari LaserDalam kasus ini, gelombang bidang EM menjalar dalam arah yang tegak lurus daricermin, sehingga terjadi pemantulan oleh kedua cermin, dan dikuatkan pada setiaplintasan melalui bahan aktif. Jika cermin-2 dibuat transparan sebagian, maka berkascahaya output akan diperoleh dari cermin-2.5

Agar dapat diproduksi inversi populasi dalam bahan aktif, maka interaksi antaracahaya dengan material/bahan harus cukup kuat, mungkin dengan menggunakan lampuberintensitas cukup tinggi pada frekuensi ν = ν 0 . Karena pada kesetimbangan termal( / g ) ( N )N > , absorpsi lebih dominan daripada emisi terstimulasi, maka cahaya1 1 2g2datang akan lebih banyak menghasilkan transisi 1→2 daripada 2→1, sehinggadiharapkan akan terjadi inversi populasi. Namun kenyataannya tidak pernah terjadi(setidaknya pada kasus steady state). Jika g 2 N 2 = g 1 N 1 , proses absorpsi dan emisiterstimulasi saling mengkompensasi, sehingga material menjadi transparan. Keadaanini disebut two-level saturation. Populasi inversi tidak akan pernah bisa dihasilkan olehmaterial dengan dua tingkatan energi (two-level).Agar terjadi inversi populasi, maka harus dilakukan pada three-level atau fourlevel,seperti ditunjukkan pada Gb. 1.4.pumping3 3fast decayfast decay22pumpinglaserlaser1fast decay(a)1(b)0Gambar 1.4. Skema laser (a). three-level, dan (b). four-levelDalam laser three-level, atom-atom tereksitasi ke tingkatan/level-3, kemudian meluruhdengan cepat ke level-2, sehingga inversi populasi terjadi antara level-2 dan level-1,maka terjadilah laser. Dalam laser four-level, atom-atom tereksitasi dari keadaan dasar(level-0) ke level-3, kemudian meluruh secara cepat ke level-2 dan terjadi inversipopulasi antara level-2 dan level-1, sehingga terjadi emisi terstimulasi (laser).Peluruhan cepar dapat terjadi dari level-1 ke level-0 yang umumnya non-radiatif. Jikadibandingkan antara kedua sistem laser diatas, maka jelas, bahwa inversi populasi lebihmudah terjadi pada four-level daripada three-level laser.6

1.4. Sifat-sifat Berkas Cahaya LaserSifat cahaya laser dicirikan oleh monokromatik, koheren, terarah danbrightness.1.4.1. MonokromatikMonokromatis artinya hanya satu frekuensi yang dipancarkan. Sifat inidiakibatkan oleh :• Hanya satu frekuensi yang dikuatkan [ν = (E 2 -E 1 )/h]• Susunan dua cermin yang membentuk cavity-resonant sehingga osilasihanya terjadi pada frekuensi yang sesuai dengan frekuensi cavity.1.4.2. Koheren(a). Koheren ruang (spatial coherence)Pandang dua buah titik P 1 dan P 2 dimana pada waktu t = 0 terletak padabidang muka gelombang cahaya/EM yang sama. Andaikan E 1 (t) dan E 2 (t)adalah medan-medan listrik pada kedua titik tadi. Pada t = 0 perbedaan fasakedua medan ini adalah nol. Jika perbedaan fasa ini dapat dipertahankanpada t > 0, maka dikatakan koheren ruang sempurna (perfect spatialcoherence). Jika titik P1 dan P2 terletak pada beberapa titik memilikikorelasi fasa yang baik (perbedaan fasanya kecil), maka disebut koherenruang sebagian (partial spatial cohenrence).(b). Koheren waktu (temporal coherence)Pandang medan listrik suatu gelombang EM pada titik P pada waktu t dan t+ τ. Jika pada sembarang waktu τ yang diberikan, perbedaan fasa antara duamedan tetap sama seperti pada waktu t, maka dikatakan terjadi koherenwaktu sepanjang waktu τ. Jika hal ini terjadi pada sembarang nilai τ, makagelombang EM dikatakan koheren waktu sempurna (perfect temporalcoherence). Jika hanya terjadi untuk waktu delay τ, dimana 0 < τ < τ 0 ,maka gelombang EM dikatakan koheren waktu sebagian dengan waktukoherense τ 0 . Contoh suatu gelombang EM dengan waktu koherensi τ 0ditunjukkan pada Gb. 1.5, dimana medan listrik mengalami lompatan fasapada interval waktu τ 0 .7

Gambar 1.5. Contoh gelombang EM dengan waktu koherensi τ 0 .1.4.3. Keterarahan (Directionality)Merupakan konsekuensi langsung ditempatkannya bahan aktif dalam cavityresonant, dimana hanya gelombang yang merambat dalam arah yang tegak lurusterhadap cermin-cermin yang dapat dipertahankan dalam cavity.(a). Kasus koheren ruang sempurnaPada jarak tertentu masih terjadi divergensi akibat difraksi, sepertiditunjukkan pada Gb. 1.6.Gambar 1.6. Difraksi berkas cahaya laser untuk kasus koheren ruangsempurna8

Prinsip Huyghens : muka-muka gelombang pada layar dapat diperolehakibat superposisi dari gelombang-gelombang yang dipancarkan oleh tiaptitik di apertur D, maka sudut difraksi diungkapkan oleh :Dβλ=Dθ (1.11)dimana λ adalah panjang gelombang laser, D adalah diameter celah dan βadalah koefisien numerik. Suatu berkas cahaya dimana divergensinyadapat diungkapkan dalam bentuk θ D diatas disebut diffraction limited.(a). Kasus koheren ruang parsialDivergensi lebih besar daripada nilai minimum untuk difraksi, dimana :βλθ =(1.12)( ) 1/ 2S cdimana S c adalah luas koherensi yang berperilaku sebagai apertur batasterjadinya superposisi koheren dari wavelets elementer.Sebagai kesimpulan, bahwa berkas output laser harus dibuat dalam batasdifraksi (diffraction limited).1.4.4. Brightness (Kecemerlangan)Brightness suatu sumber cahaya didefinisikan sebagai daya yang dipancarkanpersatuan luas permukaan persatuan sudut ruang (lihat Gb. 1.7).Gambar 1.7. Proyeksi sudut ruang yang dipancarkanDaya yang dipancarkan dP oleh permukaan luas dS ke sudut ruang dΩ di sekitartitik OO’:9

dP = BcosθdSdΩ(1.13)Faktor cos θ secara fisis merupakan proyeksi dS para bidang ortogonal terhadaparah OO’. B adalah brightness sumber pada titik O dalam arah OO’. Besaran inibergantung pada koordinat θ. Bila B merupakan suatu konstanta, maka sumbercahaya dikatakan isotropik (sumber Lambertian).Berkas laser dengan daya P mempunyai diameter berkas D dan divergensi θ(biasanya θ

dengan D L adalah diameter lensa dan f adalah panjang fokus lensa. Pemfokusanberkas cahaya laser dengan lensa diperlihatkan pada Gb. 1.9.Gambar 1.9. Pemfokusan berkas cahaya laser oleh lensa dengan numericalapertur NA menghasilkan intensitas yang tinggi.Suatu berkas laser bahkan dengan daya yang sedang (mW) mempunyaibrightness beberapa orde yang lebih tinggi dibandingkan dengan sumber cahayakonvensional. Hal ini diakibatkan oleh sifat keterarahan yang tinggi.1.5. Tipe-tipe Cahaya LaserCahaya laser dalam dibedakan berdasarkan bentuk fisik bahan aktif, panjanggelombang dan durasi berkas yang dipancarkan. Berdasarkan bentuk fisik bahan aktif,laser dibedalan menjadi laser zat padat, zat cair dan gas. Sedangkan berdasarkanpanjang gelombang yang dipancarkan maka terdapat beberapa jenis laser, seperti laserUV (ultra-violet), visible, dan infra merah. Berdasarkan surasi berkas cahaya, laserdibedakan menjadi laser kontinu (continous wave laser) dan pulsa (pulsed laser).Disamping itu, ada bentuk khusus dari jenis laser, yaitu laser elektron bebas (freeelectronLASER) dimana bahan aktifnya terdiri dari elektron-elektron bebas denganbergerak melewati susunan medan magnet yang periodik.11

BAB 2JENIS-JENIS CAHAYA LASERCahaya laser dapat dibedasakan berdasarkan bahan aktif yang dipakai, yaitu zatpadat, dye/cair, semikonduktor, dan gas. Dalam bab ini akan dibahas sekilas jenis-jenislaser berdasarkan bahan aktif yang digunakan, yang sudah diproduksi secara masal dandikomersialisasikan.2.1. Laser Zat PadatTerminologi laser zat padat secara umum adalah laser yang bahan aktifnyamemiliki impuritas ion-ion pada material host dielektriknya (dalam hal ini berbentukkristal atau gelas). Ion-ion yang terletak di dalam elemen transisi barisan teratas padaTabel Periodik, khususnya tanah jarang (rare earth, RE) atau ion-ion loram transisisering digunakan sebagai impuritas aktif. Sedangkan material yang umum digunakanuntuk kristal induk (host) adalah golongan oksida seperti Al 2 O 3 , atau flourida sepertiYLiF 4 (YLF).Material oksida lebih keras dan memiliki sifat mekanik dan teromekanik yanglebih baik, jika dibandingkan dengan material fluorida. Sedangkan material gelasmemiliki temperatur melting yang lebih rendah daripada kristal, sehingga prosespembuatannya lebih mudah dan lebih murah. Namun, gelas memiliki konduktivitastermal yang lebih rendah, sehingga sifat menakin dan termomekaniknya kurang baik.Secara umum, impuritas bahan aktif adalah bahan RE yang memiliki strukturelektronik 4f N 5s 2 5p 6 5d 0 6s 2 , eperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.1, dimana atom Xedigunakan sebagai perbandingan. Jika suatu RE dimasukkan ke dalam material host,dua elektron dalam 6s dan satu elektron dalam 4f digunakan untuk ikatan ionik,sehingga RE memberikan 3 ion terionisasi untuk material host (contoh menjadi Nd 3+ ).Elektron-elektron yang tersisa dalam orbit 4f (N – 1) akan membentuk jumlahtingkatan-tingkatan energi yang besar, yang akan terpecah menjadi tiga jenis interaksi,yaitu interaksi Coulomb, kopling spin-orbit dan interaksi medan-medan kristal.12

Tabel 2.1. Konfigurasi elektronik dari beberapa elemen tanah jarang dan logamtransisi yang sering digunakan sebagai material aktif laser.AtomKonfigurasi elektronXenon, Xe (Kr) 4d 10 5s 2 5p 6Neodymium, Nd (Xe) 4f 4 5d 0 6s 2Holmium, Ho (Xe) 4f 11 5d 0 6s 2Erbium, Er (Xe) 4f 12 5d 0 6s 2Thulium, Tm (Xe) 4f 13 5d 0 6s 2Ytterbium, Yb (Xe) 4f 14 5d 0 6s 2Chromium, Cr (Ar) 3d 5 4s 1Titanium, Ti (Ar) 3d 2 4s 2Cobalt, Co (Ar) 3d 7 4s 2Nickel, Ni (Ar) 3d 8 4s 22.1.1. Laser RubiLaser rubi merupakan jenis laser pertama yang beroperasi. Laser ini tersiri darikristal alam Al 2 O 3 (corundum), dimana beberapa ion Al 3+ digantikan oleh ion-ion Cr 3+ .Jika material Al 2 O 3 tidak dicampur dengan material lain, maka akan membentuk kristaltak berwarna atau disebut safir. Sedangkan untuk material aktif, kristal ditumbuhkandengan campuran antara Al 2 O 3 dan Cr 2 O 3 (0,05% berat), sehingga memberikan warnapink akibat dari absorpsi ion Cr 3+ pada daerah violet dan hijau. Laser rubi dapatmemancarkan panjang gelombang 694,3 nm dan 692,9 nm. Parameter optik danspektroskopi dari laser rubi pada temperatur kamar diperlihatkan pada Tabel 2.2.Tabel 2.2. Parameter optik dan spektroskopi laser rubi pada temperatur kamarSifat-sifat laserNilai dan satuanDoping Cr 2 O 30,05 % beratKonsentrasi Cr 3+1,58 x 10 19 ion/cm3Panjang gelombang laser 694,3 nm dan 692,9 nmLebar pita 11 cm -1Lifetime pada excited state 3 ms13

2.1.2. Laser NeodymiumTipe laser ini merupakan laser yang paling populer. Sebagai material hostdigunakan kristal Y 3 Al 5 O 12 (Yttrium Aluminium Garnet, YAG) dimana beberapa ionY 3+diganti oleh ion Nd 3+ . Disamping material YAG, material lain yang banyakdigunakan sebagai host untuk laser neodymium adalah fluorida (YLiF 4 ), vanadate(YVO 4 ), posfat dan gelas silika. Konsentrasi umum doping ion Nd 3+ adalah sekitar 1%atomik. Karakteristik beberapa laser neodymium ditunjukkan pada Tabel 2.3.Tabel 2.3. Parameter optik dan spektroskopi laser dimana ion Nd 3+ sebagai dopingpada beberapa material host.Nd:YAGλ = 1064 nmNd:YVO 4λ = 1064 nmNd:YLFλ = 1053 nmNd:gelasλ = 1054 nm(posfat)Doping Nd 1% atomik 1% atomik 1% atomik 3,8 % beratdari Nd 2 O 3penampang SE(10 -19 cm 2 )Lifetime padaexcited state (µs)2,8 7,6 1,9 0,4230 98 450 300Laser Nd:YAG dapat beroperasi pada kontinu dan pulsa, yang dipompa olehlampu atau laser semikonduktor AlGaAs. Laser ini banyak digunakan untuk berbagaiaplikasi, seperti : pemrosesan material (drilling dan welding), aplikasi medis (laserNd:YAG kontinu dengan daya 50 Watt digunakan untuk evaporasi jaringan dankoagulasi), aplikasi scientific dan militer.Laser Nd:gelas sering digunakan dalam peralatan militer dan sebagai laserpenguat untuk sistem energi sangat tinggi seperti untuk eksperimen reaksi fusi, sepertiyang digunakan di lawrence Livermore national Laboratory, USA dan Perancis.14

2.1.3. Laser YAG lainDisamping Nd:YAG, ada beberapa laser dimana YAG digunakan sebagaimaterial aktif laser yang didoping oleh ion-ion lain, seperti ion Yb, Er, Tm dan Ho.Laser Yb:YAG merupakan contoh laser kuasi tiga-level yang paling populer, dimana iaberosilasi pada panjang gelombang 1030 nm. Laser ini merupakan pesaing dari laserNd:YAG. Disamping laser YAG ada beberapa campuran doping, seperti Yb dan Eryang didoping pada material host dari gelas. Parameter optik dan spektroskopi darilaser kuasi tiga-level ditunjukkan pada Tabel 2.4.Tabel 2.4. Parameter optik dan spektroskopi beberapa laser kuasi tiga levelNd:YAGλ = 946 nmYb:YAGλ = 1030 nmTm:Ho:YAGλ = 2091 nmYb:Er:gelasλ = 1540 nm(posfat)Doping atom 1,1 % atomik 6,5 % atomik - -penampang SE(10 -20 cm 2 )penampang absorpsi(10 -20 cm 2 )Lifetime pada excitedstate (ms)2,4 1,8 0,9 0,80,296 0,12 0,153 0,80,23 1,16 8,5 8Laser Yb:YAG memiliki beberapa kelebihan dibandingkan laser Nd:YAG padabeberapa aplikasi yang menggunakan panjang gelombang sekitar 1000 nm. Hal inikarena beberapa keunggulan laser Yb:YAG, seperti very low quantum defect, lifetimepada upper state yang lama sehingga cocok untuk Q-switching, doping yang tinggitidak menyebabkan quanching pada fluoresensi, bandwidth emisi yang lebar (86 cm -1 )sehingga cocok untuk operasi mode-locking, serta luas penampang SE yang kecil.Laser Yb:Er:gelas memiliki banyak potensi dalam aplikasi komunikasi optikdan untuk pengukuran optik dalam ruang hampa dimana keselamatan mata sangatdiperlukan. Laser Tm:Ho:YAG banyak digunakan untuk pengukuran jarak jauh(remote) dari kecepatan angin di atmosfir.15

2.1.4. Laser Titaniun SafirLaser titanium safir (Ti:Al 2 O 3 ) merupakan jenis laser zat padat tunable (panjanggelombang yang dipancarkan dapat diubah) yang paling banyak digunakan. Laser inidapat dioperasikan pada rentang pita yang lebar (∆λ ≈ 400 nm), sehingga memberikanlebar-pita (bandwidth) yang paling besar. Material Ti:safire dibuat dengan mendopingkristal Al 2 O 3 dengan Ti 2 O 3 (konsentrasi 0,1 – 0,5 % berat), sehingga beberapa ion Ti 3+menggantikan kedudukan ion-ion Al 3+ . Laser titanium safie dapat dibuat dalam bentukkontinu (cw) atau pulsa. Beberapa parameter optik dan spektroskopi dari laser titaniumsafir ditunjukkan pada Tabel 2.5.2.1.5. Laser Cr:LiSAF dan Cr:LiCAFLaser Cr:LiSAF (Cr 3+ :LiSrAlF 6 ) dan laser Cr:LiCAF (Cr 3+ :LiCaAlF 6 )merupakan jenis laser zat-padat tunable yang paling banyak dikembangkan saat ini.Kedua material ini menawarkan rentang tuning yang lebar dan dapatdipompa/dibangkitkan dengan lampu flash atau laser dioda. Dalam kedua jenis lasertersebut, ion-ion Cr 3+ menggantikan beberapa ion Al 3+ .Laser Cr:LiSAF digunakan sebagai sumber laser lampu flash atau laser diodayang memberikan panjang gelombang sekitar 850 nm dan lebar garis (linewidth) gainyang besar sehingga membuat material ini menarik untuk digunakan sebagaipembangkit pulsa femtodetik. Aplikasi lain dari laser ini adalah untuk spektroskopidan monitoring polusi. Tabel 2.5 menunjukkan perbandingan sifat optik danspektroskopi laser Ti:safir, Cr:LiSAF dan Cr:LiCAF.Tabel 2.5. Parameter optik dan spektroskopi dari laser Ti:Safir, Cr:LiSAF danCr:LiCAFParameter medium aktif Ti:Safir Cr:LiSAF Cr:LiCAFDoping (%) 0,1 sampai 15 sampai 15Panjang gelombang puncak (nm) 790 850 780Rentang tuning (nm) 660 - 1180 780 - 1010 720 – 840Penampang emisi σ e (10 -20 cm 2 ) 28 4,8 1,3Lifetime pada excited state (µs) 3,2 67 17016

2.2. Laser DyeLaser dye menggunakan medium aktif yang terdiri dari larutan dye organikdalam pelarut cair, seperti etil, metil-alkohol, gliserol dan air. Dye organik merupakanmolekul-molekul poliatomik yang mengandung rantai ikatan konjugasi ganda yangpanjang [contoh (-CH=)n)]. Umumnya, laser dye termasuk ke dalam salah satugolongan berikut:1. Dye polymethine, yang memberikan osilasi laser pada daerah merah dan inframerah(0,7 – 1,5 µm), sebagai contoh 3,3’ diethyl thiatricarbocyanine iodide (Gb.2.1(a)) yang berosilasi pada panjang gelombang puncak, λ p = 810 nm).2. Dye xanthene, dimana laser beroperasi pada panjang gelombang cahaya tampak,sebagai contoh dye rhodamine 6G (Gb. 2.1(b)) dengan λ p = 590 nm.3. Dye coumarine, dimana ia berosilasi pada daerah hijau-biru (400 – 500 nm), sebagaicontoh coumarine 2 (Gb. 2.1(c)) yang berosilasi pada daerah biru (λ p = 450 nm).Gambar 2.1. Struktur kimia dari beberapa dye (a). 3,3’ diethyl thiatricarbocyanineiodide, (b). rhodamine 6G, dan (c). coumarine 2.17

Organik dyes umumnya memiliki pita absorpsi dan fluoresensi yang lebar tanpaadanya fitur yang tajam; pita fluoresensi umumnya bergeser ke panjang gelombangyang lebih panjang daripada pita absorpsi (Stokes-shift), sehingga memungkinkanorganik dyes ini digunakan untuk tunable laser. Gambar 2.2. menunjukkan contohkarakteristik absorpsi dan emisi dari rhodamine 6G dalam larutan etanol.Gambar 2.2. Penampang absorpsi σ a , penampang emisi singlet-singlet σ e danpenampang absorpsi triplet-triplet σ T , dari larutan rhodamine 6G dalam etanolUntuk memahami pembentukan fitur pada Gb. 2.2, umumnya kita harusmempelajari tingkatan-tingkatan energi pada molekul dye. Tipikal dari tingkatantingkatanenergi dari molekul dye dalam larutan diperlihatkan pada Gb. 2.3. Absorpsiterjadi karena penyerapan energi datang (berupa foton), yang membuat elektronelektronpada tingkat energi dasar S 0 tereksitasi ke dalam tingkatan-tingkatan energitereksitasi singlet S 1 . Karena pada setiap tingkatan energi baik S 0 maupun S 1 , terdiridari beberapa tingkatan energi, maka elektron-elektron yang tereksitasi akan meluruhke tingkat energi yang paling dasar pada S 1 dengan lifetime yang relatif cepat (orde msatau µs). Elektron-elektron tadi meluruh ke tingkat energi pada S 0 sehinggamemancarkan foton (emisi), atau ada kemungkinan juga elektron dari S 1 pindah ketingkat energi tiplet T 1 . Dari T 1 ada dua kemungkinan proses yang terjadi, yaitu pindahke tingkatan energi yang lebih besar T 2 atau meluruh kembali ke tingkatan energi dasar18

S 0 . keseluruhan proses itu digambarkan pada Gb. 2.3(b), yang sering disebut diagramJablonski.Gambar 2.3. (a). Tipikal tingkatan-tingkatan energi pada larutan dye. Keadaan singletdan triplet ditunjukkan pada kolom terpisah. (b) Diagram tingkat energi suatu dyeJika kita amati proses pada diagram Jablonski diatas, maka ada 3 prosespeluruhan yang melibatkan tingkatan energi S 1 dan T 1 , yaitu :1. Waktu paruh (lifetime) dari emisi spontan S 1 → S 0 , dengan konstanta τ sp .2. Laju transisi intersystem crossing dari S 1 ke T 1 (S 1 → S 0 ), dengan konstanta k ST3. Lifetime pada tingkatan energi T 1 , dengan konstanta τ T .Sehingga, jika kita asumsikan bahwa keseluruhan lifetime adalah τ, maka :1τ=1τsp+ kST(2.1)Karena elemen matrik dari dipol yang besar, maka lifetime dari emisi spontan beradapada daerah nanodetik (contoh τ sp untuk rhodamine 6G adalah 5 ns). Disamping itukarena k -1 ST umumnya jauh lebih lama dibandingkan dengan τ sp (untuk rhodamine 6Gsekitar 100 ns), maka peluruhan molekul dari S 1 ke S 0 terjadi secara fluoresensi.Dengan demikian quantum yield dari fluoresensi (jumlah foton yang dipancarkan olehfluoresensi dibagi dengan jumlah molekul yang tereksitasi ke S 1 ) yang didefinisikansebagai :19

τφ =(2.2)τ spmenjadi berharga mendekati satu. Lifetime pada keadaan triplet τ T bergantung padalarutan dye, khususnya pada jumlah oksigen yang terlarut, yang umumnya sekitar 10 -7detik dalam larutan oksigen tersaturasi sampai 10 -3 atau lebih untuk larutandeoksigenasi. Tipikal rentang parameter optik dan spektroskopi dari media laser dyeditunjukkan pada Tabel 2.6.Tabel 2.6. Parameter optik dan spektroskopi dari tipikal media laser dyeParameter medium aktifNilaiPanjang gelombang (nm) 320 - 1500Konsentrasi (molar) 10 -3 – 10 -4Rapat molekul Nt (10 19 mol/cm 3 ) 0,1 – 1Penampang emisi singlet (10 -16 cm 2 ) 1 – 4Penampang tiplet (10 -16 cm 2 ) 0,5 – 0,8Lebar pita (bandwidth) (nm) 25 – 50Lifetime total t (ns) 2 – 5Laju transisi intersystem crossing k -1 ST (ns) ≈ 100Lifetime keadaan triplet τ T (s) 10-7 – 10-3Indeks bias 1,3 – 1,4Kemampuan tunable panjang gelombang dan mencakup spektral yang lebar,laser dye banyak digunakan untuk membangkitkan laser pulsa, sehingga laser dyememegang peranan yang penting dalam berbagai aplikasi. Khususnya laser dye banyakdigunakan dalan aplikasi scientific, baik sebagai sumber laser, pektroskopi atau untukgenerator laser pulsa femtodetik dengan ketelitian atau resolusi tinggi. Aplikasi lainadalah pada biomedik (perlakuan retinopati diabetes atau beberapa penyakitdermatologis), dan laser fotokimia.20

2.3. Laser SemikonduktorLaser semikonduktor merupakan golongan laser yang sangat penting saat ini,bukan hanya karena berbagai aplikasi secara langsung, namun juga sebagai pembangkituntuk laser zat padat. material aktif laser semikonduktor menggunakan materialsemikonduktor direct-gap, sehingga semikonduktor elementer seperti silikon dangermanium tidak dapat digunakan. Mayoritas bahan semikonduktor untuk lasermerupakan kombinasi antara golongan IIIA pada Tabel periodik (Al, Ga, In) dangolongan IVA (N, P, As, SB), sehingga membentuk compound III-IV, seperti GaAs,InGaAsP, AlGaAs. Laser ini memiliki panjang gelombang sekitar 630 nm – 1600 nm.Baru-baru ini dikembangkan laser InDaN yang dapat memancarkan cahaya padapanjang gelombang biru (~ 400 nm). Disamping itu ada juga beberapa laser yangmenggunakan kombinasi golongan II-VI (CdSe, ZnS) yang memancarkan panjanggelombang daerah hijau-biru.Prinsip kerja laser semikonduktor dapat dijelaskan dengan bantuan Gb. 2.4.,yang menunjukkan pita valensi V dan pita konduksi C yang dipisahkan oleh energi gapEg. Untuk semikonduktor non-degenerate, pita valensi terisi penuh oleh elektronelektron,sedangkan pita konduksi kosong sepenuhnya.CE’ FCCE ghνE gVE’ FVV(a)(b)Gambar 2.4. Prinsip kerja laser semikonduktorSekarang anggap, beberapa elektron tereksitasi dari pita valensi ke pita konduksi akibatmekanisme pumping. Setelah waktu tertentu (~ 1 ps), elektron-elektron pada pitakonduksi akan turun ke tingkatan energi paling bawah di pita konduksi, sementara itu21

eberapa elektron di tingkatan energi paling atas pada pita valensi turun ke tingkatanenergi yang lebih rendah, sehingga meninggalkan lubang pada pita valensi (Gb. 2.4(b)).Situasi ini digambarkan oleh tingkatan kuasi-Fermi E’ FC untuk pita konduksi dan E’ FVuntuk pita valensi. Emisi cahaya terjadi jika suatu elektron pada pita valensi meluruh kepita valensi dan berekombinasi dengan suatu lubang (hole). Pada kondisi tertentu, dapatterjadi emisi terstimulasi dari proses rekombinasi sehingga menghasilkan lasing.Energi yang dipancarkan didefinisikan sebagai :Eg' '( E − E )≤ hν≤(2.3)FCFVFenomena laser pada semikonduktor pertama kali diamati pada tahun 1962,menggunakan dioda sambungan p-n pada bahan semikonduktor GaAs, sepertiditunjukkan pada Gb. 2.5.pndE gE FnpnE FpE g∆E = eV(a)(b)Gambar 2.5. (a). Struktur pita laser semikonduktor sambungan p-n, dan (b) teganganmaju yang diberikan pada sambunganProses pumping terjadi pada sambungan p-n, dimana baik tipe-p maupun tipe-nmenggunakan material semikonduktor yang sama yaitu GaAs. Konsentrasi donor danakseptor yang besar (≈ 10 18 atom/cm 3 ) mengakibatkan tingkatan Fermi berada pada pitavalensi untuk tipe-p, E Fp dan pita konduksi untuk tipe-n, E Fn (Gb. 2.5(a)). Jika tidak adategangan listrik luar yang diberikan pada sambungan p-n, kedua tingkatan Fermi beradapada satu tingkatan (Gb. 2.5(a)). Jika diberikan tegangan maju sebesar V, maka keduatingkatan Fermi menjadi terpisah sejauh ∆E = eV. Dengan demikian, maka pada daerah22

sambungan elektron-elektron diinjeksikan kedalam pita konduksi (dari tipe-n) danlubang kedalam pita valensi (dati tipe-p). Akibatnya, untuk nilai rapat arus yang sesuai,kondisi transparansi, maka kondisi ambang dari laser dapat diperoleh.Salah satukelemahan dari laser sambungan p-n adalah karena potensial barier yang kecil,sehingga elektron akan masuk ke tipe-p dan menjadi pembawa minoritas dan kemudianberekombinasi dengan lubang. Kedalaman penetrasi elektron d, diberikan olehd = Dτ , dimana D adalah koefisien difusi dan t adalah lifetime dari elektron. Untukmaterial GaAs, nilai D = 10 cm 2 /s dan t ≈ 3 ns, maka diperoleh d ≈ 1 µm, yangmenunjukkan bahwa daerah aktif cukup tebal, sedangkan umumnya daerah sambunganadalah sekitar 0,1 µm. Dengan demikian maka proses penetrasi elektron ke tipe-pmenjadi dominan dan proses lasing akan sulit terjadi.Keterbatasan laser sambungan p-n memacu orang untuk mendisain berbagaibentuk laser dari bahan semikonduktor. Perkembangan disain laser sangat cepat,dengan menggunakan berbagai struktur, seperti heterojunction tunggal, heterojunctionganda, quantum well, multiple quantum well, distributed feedback (DBR), verticalcavitusurface-emitting laser (VCSEL). Jenis-jenis dan prinsip kerja masing-masingstruktur tidak memungkinkan dibahas dalam buku ini, sehingga disarankan untukmembaca referensi yang komprehensif, seperti buku karangan O. Svelto,”Principles ofLasers; 4th Edition”, Plenum Press, New York, (1998).Laser semikonduktor memiliki aplikasi yang sangat luas baik untuk aplikasidaya rendah maupun daya tinggi, diantaranya :a. Laser AlGaAs berdaya rendah (5 – 20 Watt) banyak digunakan dalam CD playerdan printer, sedangkan yang berdaya tinggi digunakan sebagai pumping laser zatpadat.b. Laser InGaAsP/InP memiliki panjang gelombang 1310 nm dan 1550 nm, sehinggadigunakan untuk komunikasi optik.c. Laser InGaAs/GaAs memiliki panjang gelombang emisi sekitar 900 – 1100 nm,sehingga banyak digunakan sebagai pumping Er-doped fiber amplifier dan laserYb:Er:gelas dan Yb:YAG. Disamping itu jenis laser ini digunakan untukinerkneksi optik, komunikasi optik dan pemrosesan sinyal optik.23

d. Laser InGaP/InGaAlP mengemisi radiasi pada spektrum merah, sehingga digunakansebagai pengganti laser He:Ne untuk scanner barcode.e. Laser dioda nitrida III-V seperti In 0,2 Ga 0,8 N/In 0,05 Ga 0,95 N multiple quantum well(MQW) menghasilkan emisi pada daerah biru (417 nm), berpotensi untuk highdensityCD.2.4. Laser GasLaser gas umumnya terbuat dari gas netral dimana atom-atomnya dapat berupagas atau bentuk uap. laser gas netral umumnya terbuat dari gas mulia, yang dapatberosilasi pada panjang gelombang 1 – 10 µm. Disamping itu, laser yang terbuat dariuap logam seperti Pb, Cu, Au, Ca, Sr dan Mn berosilasi pada daerah hijau (510 nm) dankuning (578,2) nm.2.4.1. Laser Gas Netral2.4.1.1. Laser Helium-NeonLaser helium-neon atau He:Ne merupakan laser gas mulai yang sangat penting.Lasing diperoleh dari transisi atom neon, dimana helium ditambahkan ke dalamcampuran gas untuk memfasilitasi proses pumping. Laser ini dapat berosilasi padabeberapa panjang gelombang ; yang paling populer adalah λ = 633 nm (merah).Panjang gelombang lain adalah hijau (543 nm), inframerah (1150 nm dan 3390 nm).Laser He:Ne yang berosilasi pada λ = 1150 nm merupakan laser gas kontinu (cw)pertama yang dibuat. Gambar 2.6 menunjukkan tingkatan energi sistem He:Ne untukproses lasing. Notasi S merupakan kopling Russel-Saunders, dimana keadaan 1 1 Sadalah keadaan dimana kedua elektron He berada dalam keadaan 1s dengan spinberlawanan. Sedangkan keadaan 2 3 S dan 2 1 S berkaitan dengan satu atau dua elektrontereksitasi ke keadaan 2s dimana spin-nya dalam keadaan searah dan berlawanan arah.24

Gambar 2.6. Tingkatan-tingkatan energi dari laser He:NePada Gb. 2.6 menunjukkan bahwa tingkatan-tingkatan He, 2 3 S dan 2 1 S hampirresonan dengan keadaan 4s dan 5s atom Ne. Karena tingkatan-tingkatan 2 3 S dan 2 1 Sadalah metastabil (transisi S → S adalah terlarang secara dipol listrik dan transisi 2 3 S→ 2 1 S juga terlarang secara spin), maka atom-atom He memberikan pumping yangsangat efisien pada atom 4s dan 5s atom Ne melalui transfer energi resonan. Aksilasing terjadi pada peluruhan dari keadaan 5s ke 4p (3390 nm), 5s ke 3p (543 nm dan632,8 nm) dan transisi dari 4s ke 3p (1152 nm). Salah satu karakteristik penting darilaser He:Ne adalah daya output tidak meningkat secara monoton dengan arus discharge,tetapi mencapai maksimum dan kemudian berkurang.2.4.1.2. Laser Uap TembagaTingkatan-tingkatan energi laser uap tembaga (Cu) ditunjukkan pada Gb. 2.7,dimana sekali lagi notasi kopling Russel-Saunders digunakan. Keadaan dasar 2 S 1/2 dariCu berkaitan konfigurasi elektron 3d 10 4s 1 , sedangkan keadaan tereksitasi 2 P 1/2 dan 2 P 3/2berkaitan dengan elektron terluar dari 4s yang tereksitasi ke orbital 4p. Sedangkan25

tingkatan-tingkatan 2 D 3/2 dan 2 D 5/2 adalah konfigurasi 3d 9 4s 2 dimana sebuah elektrontereksitasi dari 3d ke orbital 4s. Laser terjadi pada transisi dari 2 P 3/2 → 2 D 5/2 denganmemancarkan panjang gelombang hijau (510 nm), dan transisi dari 2 P 1/2 → 2 D 3/2 denganpanjang gelombang kuning (578 nm).Gambar 2.7. Tingkatan-tingkatan energi atom tembaga untuk proses laser2.4.2. Laser IonDisamping laser gas netral, atom-atom yang terionisasi dapat dijadikan sebagaimedium aktif laser. Secara umum laser ion dibagai kedalam dua katagori : 1). Laserion gas, melibatkan gas-gas mulia, seperti Ar + (515,5 nm dan 488 nm), dan laser Kr+(647,1 nm), dan 2). Laser uap ion-metal, yang menggunakan beberapa logam (Sn, Pb,Zn, Cd dan Se), dimana jenis laser ini adalah He:Cd dan He:Se.2.4.2.1. Laser ArgonTingkatan energi pada laser argon ditunjukkan pada Gb. 2.8. Keadaan dasar(ground state) Ar + diperoleh dengan memindahkan sebuah elektron dari enam elektronterluar pada orbital 3p. Keadaan tereksitas 4s dan 4p diperoleh dengan eksitasi elektron3p 5 ke 4s dan 4p. Sebagai konsekuensi dari interaksi dengan elektron 3p 4 lain, baik 4smaupun 4p menunjukkan tingkatan tunggal yang faktanya terdiri dari beberap subtingkatan.26

Gambar 2.8. Tingkatan-tingkatan energi argon untuk laserEksitasi ion Ar melibatkan dua proses tumbukan dengan dua elektron berbeda,yaitu tumbukan ionisasi pertama menyebabkan eksitasi ke keadaan dasar Ar + dantumbukan kedua menimbulkan eksitasi ion Ar. Eksitasi ion Ar menghasilkan ion-ion dikeadaan 4p oleh tiga proses yang berbeda (Gb. 2.8):a. Eksitasi langsung dari ground state Ar+ ke tingkatan 4pb. Eksitasi ke tingkatan yang lebih tinggi diikuti oleh peluruhan radiatif ke tingkatan 4pc. Eksitasi ke tingkatan metastable diikuti oleh tumbukan ketiga menghasilkan eksitasike keadaan 4p.Laser argon digunakan dalam opthalmology (khususnya perlakuan retionopatidari diabetes) dan dalam hiburan (laser shows). Disamping itu laser argon jugadigunakan untuk mempelajari interaksi cahaya-materi (khususnya dalam mode-lockedoperation) dan sebagai pumping laser zat-padat (khususnya Ti:safir) dan laser dye.Laser argon berdaya rendah banyak digunakan dalam printer laser kecepatan tinggi dancell cytometry.27

Disamping itu ada beberapa jenis laser gas yang lain, yaitu laser molekul gas, sepertilaser CO 2 (λ = 9,6 µm dan 10,6 µm) yang banyak digunakan untuk ablasi materialplastik, laser CO (λ = 5 µm), laser nitrogen (λ = 337,1 nm) dan laser eksimer (contohlaser KrF dengan λ = 248 nm).Jenis laser lain diluar laser zat-padat, dye (cair) dan laser gas, ada jenis laser lainyaitu laser kimia (laser HF), laser elektron bebas (free-electron laser) dan laser x-ray.Bagi yang tertaik untuk mempelajari jenis laser ini, silahkan baca buku karangan O.Svelto,”Principles of Lasers; 4th Edition”, Plenum Press, New York, (1998).29

BAB 3OPTIKA BERKAS CAHAYA LASER (BEAM OPTICS)Suatu gelombang monokromatik digambarkan oleh fungsi gelombang harmonikyang bergantung waktu:r rrψ (3.1)( r, t) = A( r) cos[ 2πνt+ ϕ( r )]dimana: A(rr r) = amplitudo, ϕ ()= fase, ν = frekuensi, dan ω = 2 πν = frekuensi sudut.Fungsi gelombang real biasanya digambarkan dengan fungsi kompleks:rψ( r, t) = A() r exp[ iϕ()r ] exp( i2πνt)Rerr12r * r[ ]{ ψ( r, t)} = ψ( r, t) + ψ ( r, t)rFungsi gelombang kompleks tersebut harus memenuhi persamaan gelombang:2(3.2)2 1 ∂ ψ∇ ψ − = 0(3.3)2 2c ∂t2 ∂ ∂ ∂dimana: ∇ ≡ + +2 2 2∂x∂y∂z222= operator Laplace untuk koordinat Kartesian.Persamaan(2.2) dapat ditulis dalam bentuk:rψr( r,t) = ψ( r ) exp( i2πνt)r r rψ adalah amplitudo kompleks. Subtitusi pers. (3.4) kedengan () r = A() r exp[ iϕ()r ]dalam pers. (3.3), diperoleh persamaan Helmholtz:( 2 k 2 r∇ + ) ψ() = 0(3.4)(3.5)dimana2πνωk = = adalah bilangan gelombang.c cSolusi paling sederhana dari persamaan Helmholtz diatas (3.5) adalahgelombang datar/bidang dan gelombang bola.rr ra. Gelombang datar: ψ () = A exp( − ik.r )r A r rb. Gelombang bola: ψ () = exp( − ik.r )r30

3.1. Gelombang ParaksialSuatu gelombang paraksial adalah gelombang datar yang dimodulasi olehamplitudo yang berubah terhadap posisi A( r ):rψr() r = A( r ) exp( − ikz)Perubahan amplitudo terhadap posisi A( r)(3.6)harus secara lambat terhadap jarakλ = 2π , sehingga aproksimasi gelombang data tetap berlaku. Substitusi pers. (3.6) kekdalam pers. (3.5), dengan asumsi bahwa perubahan amplitudo ∆A

A() rA=q⎛exp⎜−ikρ() z ⎜⎝ 2q() z ⎟⎟ ⎠2⎞(3.10)adalah juga solusi persamaan (3.8). Pers. (3.10) adalah juga persamaan gelombangparabola, namun mempunyai pusat di z = ξ , bukan di z = 0.Bika konstanta ξ = kompleks = −iz0, dimana z 0 adalah riil, maka:2r A ⎛ ρ ⎞A ()= exp⎜ik ⎟;q+q() z−2q()z⎝ ⎠() z = z iz0(3.11)dimana z 0 adalah rentang Rayleigh dan pers. (3.11) disebut dengan envelope kompleks.Untuk memisahkan amplitudo dan fasa dari envelope kompleks ini, makadidefinisikan bahwa:1q(z)1 1 λ= = − i(3.12)2z + iz R(z) W (z)0 πdimana W(z) adalah lebar berkas Gauss, dan R(z) adalah jarak muka gelombang darikurvatur.Substitusi pers. (3.11), (3.12) kedalam pers. (3.6), diperoleh:22r W ⎡ ⎤ ⎡⎤0 ρρψ () = A0exp⎢−⎥ exp⎢−ikz − ik + iξ(z)2⎥W(z) ⎣ W (z) ⎦ ⎣ 2R(z) ⎦(3.13)Pers. (3.13) dikenal sebagai persamaan gelombang/berkas Gauss, dimana:⎡ ⎛ z ⎞ ⎤W(z) = W0⎢1+⎜z⎟ ⎥⎢ 0⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦2⎡ ⎛ z ⎞ ⎤0R(z) = z⎢1+ ⎜ ⎟ ⎥⎢z⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎦ξ(z)= tan−1zz0; W021 / 2⎛ λz= ⎜⎝ π01 / 2⎞⎟⎠; A0=Aiz0(3.14)32

3.2.1. Sifat-sifat Berkas Gauss3.2.1.1. IntensitasIntensitasrI(r) =rA(r)2yang merupakan fungsi dari arah rambat gelombang zdan jarak radialρ =2x + y2diberikan oleh:2⎡ W ⎡ ⎤0 ⎤ 2ρ( ρ,z) = I exp − ⎥⎦I220 ⎢ ⎥ ⎢(3.15)⎣W(z)⎦ ⎣ W (z)dengan20 A 0I = . Persamaan (3.15) disebut dengan fungsi Gauss, yang mempunyaiintensitas puncak pada ρ = 0 dan berkurang secara eksponensial terhadap ρ. Lebarberkas W(z) akan meningkat dengan bertambahnya z. Sifat-sifat intensitas pers. (3.15)diilustrasikan dalam Gb. 3.1.Gambar 3.1. Normalisasi intensitas berkas I/I 0 sebagai fungsi dari jarak radial r padabeberapa jarak aksial berbeda : (a). z = 0, (b) z = z 0 , dan (c) z = 2z 0 .Pada ρ = 0, intensitas menjadi:I00( 0, z) I0=22⎡ W ⎤ I= ⎢W(z)⎥(3.16)⎣ ⎦1 +⎛ z ⎞⎜ z ⎟⎝ 0 ⎠33

yang mempunyai nilai maksimum pada z = 0 (I/I 0 = 1) dan berkurang denganzmeningkatnya harga z. Pada z = ±z0, maka I = I 0 /2. Jika z >> z0, maka I(z)≈ I 00 .z223.2.1.2. DayaDaya total yang dibawa oleh berkas Gauss adalah merupakan integral dariintensitas di sepanjang bidang transversal:P∞=∫0I( ρ,z)2πρdρ =122( π )I 0 W0(3.17)Intensitas berkas dapat dinyatakan dalam fungsi daya:( ρ,z)22P ⎡ 2ρ⎤= exp⎢−⎥(3.18)2πW() z ⎣ W (z) ⎦I2Perbandingan daya pada radius ρ 0 dengan daya total diberikan oleh:1Pρ0∫02⎡ 2ρ⎤0I( ρ,z)2πρdρ = 1 − exp⎢−2 ⎥⎣ W (z) ⎦(3.19)Bila ρ0 = W(z)berarti perbandingannya adalah 86% dan jika ρ 0 = 1,5W(z ) , makaperbandingannya adalah 99%.3.2.1.3. Jari-jari BerkasIntensitas berkas mencapai maksimum pada sumbu z = 0 dan berkurangmenjadi 1 2epada jarak radial ρ = W(z )2, seperti yang diungkapkan oleh:⎡ W0⎤I( ρ , z) = I0 ⎢ exp( −2)W(z)⎥(3.20)⎣ ⎦Pada ρ ≤ W(z)terdapat intensitas sebesar 86%, dengan demikian maka W(z) dianggapsebagai jari-jari berkas.1/ 22⎡ ⎛ z ⎞ ⎤W(z) = W0⎢1+⎜ ⎥⎢ z⎟(3.21)0⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦34

Pada z = 0, W(z) bernilai maksimum yaitu W 0 , sehingga W 0 disebut dengan beamwaist. Diameter waist 2W 0 disebut dengan spot size. Pada z = z 0 , W (z) = 2W0.Gambar 3.2. Jari-jari berkas W(z) mempunyai nilai minimum W 0 pada waist (z = 0),2W 0pada z = ± z 0 , dan meningkatsecara linier dengan z.Untuk z >> z 0 , maka:W0 (z) ≈ z = θ z(3.22)zW 00dimanaWλ0θ 0 = = .z0πW03.2.1.4. Divergensi BerkasPada z >> z 0 , jari-jari berkas bertambah secara linier dengan z [pers. (3.22).Terdapat sekitar 86% daya berkas terfokus pada sudut θ 0 . Karenanya sudut θ 0 disebutdengan sudut berkas.3.2.1.5. Kedalaman FokusKarena berkas (beam) memiliki lebar minimum pada z = 0, seperti ditunjukkanpada Gb. 3.3., maka berkas akan memperoleh fokus yang baik pada z = 0. Di luardaerah itu, berkas meningkat secara perlahan “keluar dari fokus (out of focus)”. Jarakdimana jari-jari berkas terletak dalam suatu faktor sebesar 2 dari nilai minimumnya(2z0) disebut dengan kedalaman fokus (depth of focus) atau parameter konvokal(convocal parameter), yang didefinisikan sebagai:22πW0b = 2z0=(3.23)λ35

Contoh: Laser He-Ne, dengan panjang gelombang 633 nm, mempunyai 2W0 = 2 cm.maka kedalaman fokusnya berdarkan pers. (3.23) adalah 1 km.Gambar 3.3. Kedalaman fokus dari berkas Gauss3.2.1.6. FasaFasa dari berkas Gauss diberikan oleh:2kρϕ ( ρ,z) = kz − ξ( z)+(3.24)2R(z)Pada sumbu berkas ρ = 0, ( 0,z) = kz − ξ( z)ϕ dengan kz adalah fasa dari berkas/cahayadatang, dan ξ (z) adalah perbedaan fasa dengan rentang dari –π/2 pada z = -∞ sampai+π/2 pada z = ∞. Perbedaan fasa ini berkaitan dengan delay antara muka-mukagelombang (wavefront) dibandingkan dengan gelombang bisang atau bola. Totalperbedaan dari penjalaran gelombang dari z = -∞ sampai z = ∞ adalah π. Fenomenonini disebut dengan efek Guoy.36

3.3. Transmisi melalui suatu lensa tipisSuatu berkas Gauss yang berpusat di z = 0 dengan beam waist W 0 dilewatkanke dalam suatu lensa tipis pada jarak z, seperti yang diilustrasikan dalam Gb.3.4.W 0 θ 0 θ 0z 0zWW’'W 0'θ 0zR R’'z 0z 0zz’Gambar 3.4. Transmisi berkas Gauss pada suatu lensa tipisDari Gb. 3.4. diatas, fasa pada bidang lensa adalah:2kρkz + − ξ()z(3.25)2R(z)sedangkan fasa dari berkas yang ditransmisikan diberikan oleh:dimanaA222kρρ kρkz + − ξ() z − k = kz + − ξ()z(3.26)2R(z) 2f 2R' (z)2⎛ kρ⎞A0 exp⎜⎟iadalah transmittansi dari lensa tipis, dengan⎝ 2f ⎠= exp( − ink ) dan ( ω )0 0d0k 0lensa dan f adalah fokus lensa. Dengan demikian, maka:= , dengan n adalah indeks bias lensa, dnc0 adalah tebal1R'W'0=1R=⎡1+⎢⎣z' =⎡1+⎢⎣−1f2( πWλR')R'W22 2( λR'πW) ⎤⎥ ⎦⎤⎥⎦1/ 2(3.27)Bila besaran R dan W dalam pers. (3.14) disubsitusikan ke dalam pers. (3.27),diperoleh:37

a. Beam waist; W 0 = MW0b. Posisi waist; ( z' − f ) = M (z − f )c. Kedalaman fokus; z M (2z )'2' 22 0 = 0d. Sudut divergensi;e. Penguatan;2θ=M' 02θ0M =Mr2( 1 + r ) 1/ 2z0r =z − ffM r =z − f3.3.1. Pemfokusan berkasBila suatu lensa diletakkan pada posisi beam waist dari berkas Gauss, makaberkas cahaya Gauss akan difokuskan. Substitusi z = 0 kedalam pers. (3.27), diperoleh:W'0z' ==2[ 1+( z f ) ]fW0[ 1+( f z ) ]2001/ 2(3.28)Jika kedalaman fokus berkas cahaya datang (2z 0 ) jauh lebih besar daripada folus darilensa (f), maka:' fW0≈ W0= θ0fzz' = f0(3.29)Pemfokusan berkas digunakan pada berbagai aplikasi, seperti scanning laser, printerlaser dan fusi laser. Dalam aplikasi-aplikasi tersebut, spot size diusahakan sekecilmungkin, maka:a. Panjang gelombang berkas (λ) diusahakan sependek mungkinb. Fokus lensa (f) sekecil mungkinc. Beam waist berkas cahaya datang (W 0 ) sebesar mungkin.38

3.3.2. Ekspansi berkasDalam aplikasi, seringkali kita memerlukan berkas cahaya laser dengan spotsize yang besar. Cara yang seringkali digunakan adalah menggunakan teleskop, yaitukombinasi dua buah lensa dengan panjang fokus yang berbeda, seperti yangdiilustrasikan dalam Gb. 3.5.d z’zz 1 "f 22W 02W 0 f 1'2W 0Gambar 3.5. Kombinasi dua buah lensa untuk memperlebar berkas cahaya Gauss(teleskop)Sebagai latihan: Hitung berapa fokus lensa f 1 dan f 2 , agar berkas Gauss menjadi 4 kalibeam waist berkas cahaya datang.3.4. Berkas Hermite-GaussSolusi persamaan paraksial Helmholtz [pers. (3.8)], bukan hanya berkas Gauss,namun juga dapat berbentuk berkas-berkas non-Gauss.Pandang berkas Gauss berbentuk:AG( x, y, z)=q(z) = z + iz0Aq(z)2⎡ +x yexp⎢−ik⎣ 2q(z)2⎤⎥⎦(3.30)Sekarang kita tinjau suatu gelombang yang dimodulasi oleh berkas Gauss denganbentuk:⎡ x ⎤ ⎡ y ⎤A(x,y, z) = Χ⎢2 2 exp[ iΖ(z)] AG(x, y, z)W(z)⎥ Υ ⎢W(z)⎥(3.31)⎣ ⎦ ⎣ ⎦39

dimana X, Y dan Z adalah fungsi-fungsi riil. Bila persamaan tersebut disubstitusikan kedalam persamaan paraksial Helmholtz, diperoleh:22⎛ ∂ X ∂X⎞ 1 ⎛ ∂ Y ∂Y⎞⎜ 2u ⎟ ⎜ 2 ⎟−+ kW22u u+Y− νΧ⎝ ∂ ∂ ⎠ ⎝ ∂ν ∂ν ⎠1 2∂Z∂z() z = 0(3.32)xydimana u = 2 dan ν = 2 .W(z)W(z)Dengan menggunakan teknik pemisahan variabel (dibahas dalam mata kuliah FisikaMatematik), maka diperoleh:21 d X− +22 du21 d Y− + ν22 dν2⎡ ⎛ z ⎞ ⎤z0⎢1+⎜ ⎥⎢ z⎟0⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦dXududYdνdZdz= µ X= µ12= µY1+ µ2(3.33)Pers. (3.33) adalah persamaan eigen dengan nilai eigen µ = l;l 0,1,2 ,... danfungsinya adalah polinom Hermit.dimana:X(u)1 == H (u)(3.34)lH(u)H (u) = 10H (u) = 2u1H (u) = 4u22uH (u) − 2lHl+ 1 = ll−12− 2(u)(3.35)Dengan cara yang sama, maka:µ2= mΥ(ν)= Hm( ν)(3.36)Substitusiµ = l µ m kedalam pers. (3.33) dan kemudian integrasikan, diperoleh:1 , 2 =Z() z = ( l + m)()ξ z−1⎛z()⎟ ⎞ξ z = tan⎜⎝ z0⎠(3.37)40

sehingga persamaan gelombangnya menjadi:U⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 2⎡ W⎡0 ⎤ 2x 2yx + y(x, y, z) = Al,m⎢ ⎥Gl⎢ ⎥Gm ⎢ ⎥ exp⎢−ikz − ik + i z⎣W(z)⎦ ⎣W(z)⎦ ⎣W(z)⎦ ⎣ 2R(z)(3.38)l, mlPersamaan (3.38) disebut dengan persamaan berkas Hermite-Gauss, dan:⎤( + m + 1) ξ( ) ⎥⎦2⎛ u ⎞Gl (u) = H l(u) exp⎜⎟−(3.39)⎝ 2 ⎠disebut dengan fungsi Hermite-Gauss. Karena H 0 ( u) = 1, maka orde-0 dari persamaan(3.39) adalah fungsi Gauss. Fungsi Hermite-Gauss mempunyai karakteristik selangselingfungsi ganjil dan fungsi genap, seperti yang diilustrasikan dalam Gb.3.6.2⎛ u ⎞G1 (u) = 2u exp⎜⎟−: fungsi ganjil⎝ 2 ⎠2⎛ ⎞=2 uG2 (u) (4u − 2)exp⎜⎟−: fungsi genap⎝ 2 ⎠G 3 (u) : fungsi ganjil,....Gambar 3.6. Beberapa orde-terendah dari fungsi Hermite-Gauss: (a) G 0 (u), (b) G 1 (u),(c) G 2 (u), dan (d) G 3 (u).41

3.4.1. Distribusi IntensitasIntensitas berkas Hermite-Gauss diberikan oleh:22 ⎡ W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0 ⎤ 2 2x 2 2yIl , m (x, y) = Al,m⎢ ⎥ Gl⎢ ⎥Gm ⎢ ⎥(3.40)⎣W(z)⎦ ⎣W(z)⎦ ⎣W(z)⎦Gambar 3.7., mengilustrasikan kebergantungan intensitas pada normalisasi jaraku = 2 x / W(z) dan v = 2 y / W(z)untuk beberapa nilai l dan m. Berkas orde lebihtinggi memiliki lebar yang lebih besar daripada orde yang lebih rendah. Namun, lebarberkas sebanding dengan W(z), sehingga jika z meningkat, maka profil intensitasdiperbesar dengan faktor W(z)/W 0 dengan tetap mempertahankan bentuk profilnya.Gambar 3.7. Distribusi intensitas beberapa orde terendah dari berkas Hermite-Gaussl ,m ditunjukkan dalam setiap kasus.dalam transverse-plane. Orde ( )3.5. Berkas Laguerre-GaussBerkas Laguerre-Gauss merupakan solusi persamaan paraksial Helmholtzdalam koordinat silinder r = ( ρ,φ,z). Orde terendah dari berkas Laguerre-Gauss adalahGauss.3.6. Berkas BesselDalam setiap pencarian bentuk gelombang berkas, merupakan cara alami untukmenentukan kemungkinan dari eksistensi gelombang-gelombang dengan muka-mukagelombang (wavefront) planar, namun dengan distribusi intensitas yang tak-seragam(non-uniform). Pandang suatu fungsi gelombang dengan amplitudo kompleks:rU() r = A(x, y) exp( −iβz)(3.41)42

Persamaan gelombang ini memenuhi persamaan Helmholtz, ∇ U + k U = 0 , dimanaamplitudo A(x,y,z) memenuhi persamaan:22∇k2T2TA + k+ β22T= kA = 02(3.42)Pers. (3.42) disebut dengan persamaan Helmholtz orde kedua. Dengan substitusix = ρcosφdan y = ρsinφ , maka diperoleh:A(x,y)( k ρ) exp( imφ) ; m = 0, ± 1, 2,...= Am J m T±(3.43)dimana J m adalah fungsi Bessel dan A m adalah konstanta. Untuk m = 0, makadiperoleh fungsi Bessel:rU(r)= A0J0T β( k ρ) exp( − i z)(3.44)sehingga memiliki wavefront planar. Normal dari wavefront adalah seluruhnya sejajardengan sumbu-z. Intensitas berkas Bessel diungkapkan oleh:( ρ)2 20 0 kTI ( ρ,φ,z) = A J(3.45)yang merupakan simetri sirkular yang berubah terhadap ρ, seperti diilustrasikan padaGb. 3.8. Intensitas tidak bergantung pada arah perambatan-z, sehingga tidak terjadipelebaran daya optik. Gelombang ini disebut berkas Bessel. Berkas cahaya Bessel inibanyak digunakan dalam penelitian untuk komunikasi optik dengan menggunakanhollow fibers, sehingga tidak terjadi pengurangan intensitas pulsa dengan pertambahanjarak.Gambar 3.8. Distribusi intensitas dari berkas Bessel dalam bidang transverse tidakbergantung pada jarak perambatan z; sehingga berkas tidak mengalami disversi.43

Jika dibandingkan antara berkas Gauss dan Bessel, maka terdapat tigaperbedaan mendasar, yaitu :a. Amplitudo kompleks dari berkas Bessel adalah solusi eksak dari persamaanHelmholtz, sedangkan berkas Gauss adalah solusi aproksimasi (tepatnya complexenvelope-nya merupakan solusi eksak dari persamaan paraksial Helmholtz).b. Distribusi intensitas dari berkas Gauss dan Bessel ditunjukkan pada Gb. 3.9.Perilaku asimtotis dari kedua distribusi pada jarak radial yang besar sangat berbeda.2 2Jika intensitas berkas Gauss berkurang secara eksponensial, I ~ exp[ 2ρ/ W (z)]− ,2 2 2⎛π ⎞maka intensitas berkas Bessel sebanding dengan J (kTρ)≅ cos ⎜kTρ − ⎟kTρ⎝ 4 ⎠dimana merupakan fungsi osilator yang meluruh secara lambat (slowly decay).0 ,c. Root-mean square (rms) dari lebar berkas Gauss adalah terbatas (finite)σ = W(z) / 2 , maka rms lebar berkas Bessel adalah tak-terbatas (infinite) padasemua nilai z, namun ada trade-off (kompomi) antara ukuran minimum berkasdengan divergensi. Walaupun divergensi berkas Bessel adalah nol, namun lebarrms-nya tak-terbatas. Berkas Bessel dibangkitkan dengan skema khusus,sedangkan berkas Gauss dapat diperoleh pada resonator speris yang umum padalaser.Gambar 3.9. Perbandingan antara distribusi radial dari intensitas berkas Gauss danberkas Bessel.44

BAB 4PANDU GELOMBANG PLANARInstrumen optik konvensional dapat mentransmisikan cahaya antara tempattempatyang berbeda dalam bentuk berkas-berkas (beams) yang dikolimasi, direlay,difokuskan atau discanning dengan cermin, lensa dam prisma. Teknologi untukmentransmisikan cahaya saat ini menggunakan pandu gelombang. Pandu gelombangmempunyai peranan penting dalam teknologi komunikasi dan fabrikasi piranti-pirantioptik dan optoelektronik memerlukan confinement cahaya.Konsep dasar dari confinement cahaya cukup sederhana. Suatu medium denganindeks bias tertentu disisipkan dalam suatu medium yang mempunyai indeks bias lebihrendah, sehingga akan bertindak sebagai perangkap cahaya (trap). Pandu gelombangdapat berupa papah (slab), strip atau fiber, seperti yang diilustrasikan dalam Gb. 4.1.(a)(b)(c)Gambar 4.1. Pandu gelombang optik: (a) slab; (b) strip; (c) fiberOptik terintegrasi adalah teknologi terintegrasi dari berbagai piranti dankomponen optik untuk pembangkitan, pemfokusan, pemisahan, penggabungan, isolasi,polarisasi, penggandengan (coupling), switching, modulasi dan pendeteksian cahaya,dalam satu substrat tunggal (chip). Pandu gelombang digunakan sebagai sambunganantara komponen-komponen optik diatas. Tujuan dari optik terintegrasi adalah45

miniaturisasi optik sebagaimana halnya pada miniaturisasi elektronik dengan sirkuitterintegrasi.CouplerCouplerCahaya masukModulatorSerat optikCahaya keluarSubstratPandugelombangLaserFotodiodaGambar 4.2. Contoh dari pirantik optik terintegrasi yang digunakan sebagai transmitterdan receiver optik. Cahaya yang diterima dikopling ke dalam pandu gelombang dandiarahkan ke dalan fotodioda untuk dideteksi. Cahaya dari laser dipandu, dimodulasidan dikopling ke dalam suatu serat optik.Dalam optik terintegrasi, ada dua jenis pandu gelombang, yakni pandugelombang logam dan dielektrik. Perbedaan antara kedua pandu gelobnag tersebutadalah bahwa pada batas suatu pandu gelombang logam, medan harus sama dengan nol,namun pada pandu gelombang dielektrik, medan akan berpenetrasi ke dalam selubungdengan indeks bias ang lebih rendah. Modus-modus gelombang dapat dicari dengandua cara: dengan menyelesaikan persamaan-persamaan Maxwell atau dengan caraanalisa berkas (ray tracing).4.1 Pandu Gelombang LogamPandang suatu pandu gelombang yang terbuat dari dua buah cermin planarsejajar yang panjangnya tak hingga (lihat Gb. 4.3). Cermin-cermin tersebut terpisaholeh jarak d dan diasumsikan ideal, yaitu memantulkan cahaya tanpa kerugian (loss).46

Gambar 4.3. Pandu gelombang planar logam atau cermin4.1.1. Modus-modus Pandu GelombangPandang suatu gelombang bidang monokromatik TEM dengan panjanggelombang λ = λ 0 /n, bilangan gelombang k = nk 0 dan kecepatan fasa c = c 0 /n, dimana nadalah indeks bias medium diantara cermin-cermin. Kondisi konsistensi diri (selfconsistency)memerlukan bahwa gelombang gelombang memantul dua kali danmereproduksi dirinya sendiri (lihat Gb. 4.4), sehingga ada dua gelombang bidang yangdapat dibedakan. Medan-medan yang memenuhi kondisi ini disebut eigenmoduss ataumodus dari pandu gelombang.Gambar 4.4. Kondisi konsistensi diri; suatu gelombang memantul dua kali danmenduplikasi dirinya sendiri.Secara grafik, pada Gb. 4.4, fasa dapat diungkapkan sebagai:2πAC2πAB− 2π − = 2πNλλ(4.1)47

dimana N = 0,1,2,…KarenaAC − AB =2d sinθ, maka:2π2d sin θ = 2πmλ(4.2)dimana m = 1,2,…. Sudut θ suatu modus dapat ditulis sebagai:−1⎛ λm⎞θm = sin ⎜ ⎟(4.3)⎝ 2d ⎠Persamaan 4.3, dapat diilustrasikan dalam Gb. 4.5(atas). Karena komponen-y(komponen transversal) dari konstanta perambatan adalah k y = nk 0 sin θ, maka ia dapatdikuantisasi menjadi nilai:k ymπ= m(4.4)d4.1.2. Konstanta PerambatanKomponen-z dari konstanta perambatan, k z , dimana gelombang menjalar adalahgelombang bidang dengan exp(-ik z z), maka konstanta perambatan k z = β = k cos θ m .Nilai β m dapat dikuantisasi sebagai:22 2 22 ⎛ mπ⎞β m = k (1 − sin θm) = k − ⎜ ⎟ (4.5)⎝ d ⎠Modus dengan orde yang lebih tinggi menjalar dengan konstanta perambatan yanglebih kecil. Nilai-nilai θ m , k ym dan β m untuk berbagai modus diilustrasikan dalam Gb.4.5(bawah).48

Gambar 4.5. Sudut-sudut θ m dan komponen vektor gelombang dari modus suatu pandugelombang planar logam (ditunjukkan oleh titik-titik). Komponen transversal k ymadalah terpisah oleh π/d, namun sudut θ m dan konstanta perambatan β m tidak terpisahdengan jarak yang sama. Modus m = 1 mempunyai sudut yang paling kecil dankonstanta perambatan yang paling besar.4.1.3. Distribusi MedanDistribusi medan dapat diungkapkan oleh:E (y, z) = a u (y) exp( −iβz)(4.6)xmmmdimana u m (y) didefinisikan sebagai:49

⎧ 2 mπy⎪ cos , m = 1,3,5,...⎪d du m ( y)= ⎨(4.5)⎪⎪2 mπysin , m = 2,4,6,...⎪⎩d ddana = 2dAadalah amplitudo modus m. Fungsi-fungsi u m (y) dinormalisasi untukmmemenuhi:md / 22∫u m (y)dy = 1(4.8)−d / 2Juga dapat ditunjukkan bahwa fungsi-fungsi u m (y) memenuhi:d / 2∫ − d / 2um(y)ul(y)dy= 0, l ≠ m(4.9)yaitu ortogonal di dalam interval [-d/2,d/2].Distribusi transversal u m (y) ditunjukkan dalam Gb. 4.6. Masing-masing modusdipandang sebagai gelombang berdiri dalam arah-y yang merambat dalam arah-z.Karena kita berasumsi bahwa gelombang bidang TEM adalah terpolarisasi dalam arahx,medan listrik total juga dalam arah-x, maka gelombang terpandu disebut gelombangTE (Transverse-Electric). Gelombang TM (Transverse-Magnetic) dapat diturunkandengan cara yang sama.Gambar 4.6. Distribusi medan dari modus-modus stau pandu gelombang planar logam50

4.1.4. Jumlah ModusJumlah modus didefinisikan sebagai:mλsin θ m =(4.10)dKarena nilai maksimum adalah pada sin θ m = 1, maka jumlah maksimum modusadalah:2dm max = M =(4.11)λdan panjang gelombang cut-off didefinisikan sebagai:λ − 2d(4.12)cut off =Sebagai contoh, bila 1 < 2d/λ < 2, pandu gelombang adalah modus tunggal. Bila d =5µm, maka panjang gelombang cut-off adalah λ max = 10µm dan pandu gelombangadalah modus tunggal antara 5 µm dan 10 µm serta multimodus untuk λ max < 5µm.4.1.5. Kecepatan GroupSuatu pulsa cahaya mempunyai frekuensi sudut ω dan konstanta perambatan βmenjalar dengan kecepatan group ϑ = d ω/dβ. Hubungan antara β m dalam persamaan(4.5) dan ω dikenal sebagai hubungan dispersi (dispersion relation). Kecepatan groupsuatu modus m adalah:ϑ = c cos θ(4.13)mmSehingga modus yang berbeda mempunyai kecepatan group yang berbeda. Modusdengan orde yang lebih tinggi menjalar dengan kecepatan group yang lebih kecil,karena modus tersebut diperlambat dengan lintasan cahaya yang lebih panjang.51

4.1.6. Modus TMModus yang telah kita bahas sejauh ini adalah modus TE (medan listrik dalamarah-x). Modus TM (medan magnet dalam arah-x) juga dapat disupport oleh pandugelombang logam/cermin. Sudut-sudut θ, komponen vektor gelombang transversal k y ,dan konstanta perambatan β untuk modus TM adalah identik dengan modus TE.Jumlah modus yang dapat disupport oleh pandu gelombang adalah M = 2d/λ.Komponen-komponen medan listrik dalam arah-z ditunjukkan oleh (kerjakansebagai latihan):⎧ 2 mπy⎪am cos exp( − iβmz), m = 1,3,5,...⎪d dEz ( y, z)= ⎨(4.14)⎪⎪2 mπya m sin exp( − iβmz), m = 2,4,6,...⎪⎩d ddan komponen-komponen medan listrik dalam arah-y adalah:⎧ 2 mπy⎪am cot θmcos exp( − iβmz), m = 1,3,5,...⎪ddEy ( y,z)= ⎨(4.15)⎪⎪2 mπya m cot θmsin exp( − iβmz), m = 2,4,6,...⎪⎩dd4.2 Pandu Gelombang Planar DielektrikSuatu pandu gelombang planar dielektrik adalah suatu bahan dielektrik papah(slab) yang dikelilingi oleh bahan-bahan dengan indeks bias yang lebih rendah. cahayaakan dipandu ke dalam pandu gelombang dengan prinsip pemantulan sempurna (totalinternal reflection). Dalam piranti film tipis, papah disebut sebagai film, dan bahanbagian atas dan bawah disebut pelindung (cover) dan substrat. Bahan bagian dalamdisebut core, sedangkan bagian luar disebut selubung (cladding) dari pandu gelombang.Pada Sub-bab ini, akan dibahas perambatan cahaya dalam pandu gelombang planardielektrik simetris terbuat dari suatu papah dengan lebar d dan indeks bias n 1 yangdikelilingi oleh suatu selubung dengan indeks bias yang lebih kecil n 2 , sebagaimana52

diilustrasikan dalam Gb. 4.5. Semua bahan diasumsikan tidak mempunyai koefisienabsorpsi (losses).yd20d−2Gambar 4.7. Pandu gelombang planar dielektrik. Berkas-berkas cahaya membentuksuatu sudut θ < θ c = cos -1 (n 2 /n 1 ) dipandu oleh pemantulan sempurna (total internalreflection).Pandu gelombang planar dielektrik mempunyai tiga-perbedaan biladibandingkan dengan pandu gelombang planar logam:(a). Mempunyai sudut kritis θ c untuk pemantulan sempurna. Sudut ini didefinisikan−1sebagai θ c = sin (n2/ n1).(b). Terdapat suatu perubahan fasaϕrpada refleksi pada medium dengan indeks biaslebih tinggi yang berubah antara 0 dan π/2. Perubahan fasa untuk polarisasi TE(Transverse- Electric) didefinisikan sebagai:⎛ ϕrtan⎜⎝ 2⎞⎟⎠=sin22( θc) − sin ( θ)sin( θ)(c). Medan diperbolehkan untuk berpenetrasi ke dalam selubung pandu gelombang.4.2.1. Modus-modus Pandu GelombangDengan menggunakan kodisi konsistensi diri (self-consistency) seperti dalampersamaan (4.1), maka diperoleh:53

2π2d sinλ( θ)2k d − 2ϕyr− 2ϕr= 2πm= 2πm(4.16)dimana m = 0,1,2,... Atau bila diungkapkan dalam bentuk perubahan fasa:ϕr22π= 2d sinλ( θ)πm−2(4.15)maka perubahan fasa untuk polarisasi TE menjadi:2( θc) − sin ( θ)sin( θ)⎛ ϕ ⎞ ⎛ π π ⎞ sinr 2mtan⎜⎟ = tan⎜2d sin( θ)− ⎟ =(4.16)⎝ 2 ⎠ ⎝ λ2 ⎠2Persamaan diatas disebut kondisi konsistensi diri untuk modus TE. Untuk nilai θ yangkecil, persamaan terbut identik dengan persamaan transedental untuk satu variabelsin(θ):⎛ 1 ⎞tan ⎜αx+ b) ≈ ⎟(4.17)⎝ cx ⎠Solusinya akan menghasilkan sudut-sudut modus θ m , yang diilustrasikan dalam Gb 4.8.Gambar 4.8. Solusi grafis persamaan (4.19) untuk menentukan sudut-sudut θ m darisuatu pandu gelombang planar dielektrik. Ruas kiri (LHS) dan ruas kanan (RHS)persamaan (4.17) diplot sebagai fungsi sin (θ). Titik potong kedua kurva (dicirikan olehtitik penuh) menentukan nilai θ m . Titik-titik kosong mencirikan sin θ m = mλ/2d, yangmemberikan sudut-sudut modus suatu pandu gelombang logam untuk dimensi yangsama.54

Sudut-sudut θ m terletak antara 0 dan θ c ( 0 θ < θ )< , yang berhubungandengan komponen vektor-vektor gelombang [0, n 1 k 0 sin(θ m ), n 1 k 0 cos(θ m )]. Komponenkomponenz adalah konstanta-konstanta perambatan:mcβ = n k cos θ(4.20)m10mKarena cos θ m terletak antara 1 dan cos θ c = n 2 /n 1 , maka β m terletak antara n 2 k 0 dann 1 k 0 sebagaimana diilustrasikan dalam Gb 4.9.Gambar 4.9. Sudut-sudut θ m dan komponen-komponen vektor gelombang dari modusmoduspandu gelombang k z dan k y diindikasikan oleh titik-titik. Sudut-sudut θ m terletakantara 0 dan θ c dan konstanta-konstanta perambatan β m terletak antara n 2 k 0 dan n 1 k 0 .4.2.2. Jumlah ModusJumlah modus adalah dibatasi oleh sudut kritis dari pemantulan sempurna θ cdan didefinisikan sebagai:sin θc2d 2 2 2dM = = n1− n2= NA(4.21)λ / 2d λλdimana NA adalah bukaan numerik (numerical aperture):55

222NA = n 1 − n(4.22)Bila λ/2d > sin(θ c ) atau (2d/λ)NA < 1, maka hanya ada satu modus yangdiperbolehkan, karenanya pandu gelombanya disebut pandu gelombang modus tunggal(single modus waveguide). Hal ini terjadi bila papah cukup tipis atau panjanggelombang cukup panjang. Tidak seperti pada pandu gelombang logam, pandugelombang dielektrik ini tidak memiliki panjang gelombang atau frekuensi cut-off.Dalam pandu gelombang dielektrik, minimal ada satu modus TE, karena modusfundamental (m = 0) selalu diperbolehkan. Namun, untuk modus m = 1,2, ....mempunyai frekuensi cut-off sendiri-sendiri.Jumlah modus dapat juga diungkapkan sebagai fungsi dari frekuensi yangdiilustrasikan dalam Gb. 4.10.= NAMd( c / 2 ) ν0(4.23)Jumlah modus MGambar 4.10. Jumlah modus TE sebagai fungsi dari frekuensiνM bertambah 1 bila frekuensi υ meningkat sebesar (c 0 /2d)/NA, dimana c 0 adalahkecepatan cahaya. Ungkapan identik untuk jumlah modus TM dapat diturunkan dengancara yang sama.56

4.2.3. Distribusi MedanAmplitudo kompleks dari medan listrik didalam pandu gelombang adalah( − iβz)Ex(y, z) = a mum (y) exp m , dimana konstanta perambatan βm= n1k0cos θmdana m adalah amplitudo. Fungsi u m (y) didefinisikan sebagai:⎧ ⎛ 2πsinθm⎞⎪cos⎜y⎟,m = 0,2,4,...⎪⎝ λ ⎠um ( y)∝ ⎨(4.24)⎪⎪⎛ 2πsinθm⎞sin⎜y⎟,m = 1,3,5,...⎪⎩⎝ λ ⎠dengan λ = λ 0 /n 1 . Walaupun medan ini harmonik, namun ia tidak nol pada batas papah(slab).Medan di luar harus sama dengan medan di dalam pandu gelombang padasemua titik-titik batas y = ±d / 2 . Dengan substitusi medan listrik E x (y,z) ke dalampersamaan Helmholtz:2 2 2( + n k ) E (y, z) = 0maka diperoleh:∇ (4.25)20xdγ2u m2dy2m= β− γ2m2mu− nm22k= 020(4.26)Untuk modus terpandu β m > n2k0, maka γ m > 0 . Karena medan harus meluruh bilamenjauh dari pandu gelombang, maka fungsi u m (y) adalah:2⎧d⎪exp( − γ my), y >2⎪u m ( y)∝ ⎨(4.27)⎪d⎪exp( γ my), y < −⎩257

Laju peluruhan γ m disebut dengan koefisien ekstinsi (extinction coefficient) dangelombangnya disebut gelombang evanescent. Dengan substitusi nilai β m dan cos θ c =n 2 /n 1 ke dalam persamaan (4.26), diperoleh:21/2⎛ cos θ ⎞mm = n2k⎜0 1⎟−2cos θcγ (4.28)⎝ ⎠Bila nomor modus m meningkat, θ m juga meningkat, namun γ m berkurang. Karenanyamodus orde yang lebih tinggi akan berpenetrasi lebih jauh ke dalam selubung (coverdan substrat), seperti diilustrasikan dalam Gb. 4.11.Gambar 4.11. Distribusi medan untuk modus terpandu TE dalam suatu pandugelombang dielektrik.Faktor confinement daya adalah perbandingan antara daya di dalam pandugelombang (slab) dan daya total, didefinisikan sebagai:Γm=∫0∫d / 20∞uu2m2m(y)dy(y)dy(4.29)Modus dengan orde terendah (θ m terkecil) memiliki faktor confinement daya palingtinggi.58

4.2.4. Kecepatan GroupKecepatan groupϑ = d ω/dβuntuk masing-masing modus ditentukan dengan2ysubstitusi ( )2k12= ω/c − β ke dalam pers. (4.16), diperoleh:1/ 22⎡⎛ ω ⎞ ⎤22d⎢⎜ − β ⎥ = 2ϕr⎢ c⎟1⎣⎝⎠ ⎥⎦+ 2πm(4.30)Karenacos θ = βc1 / ω dan cos θ c = n2/ n1= c1/ c2, maka:tan2ϕr2⎧ 22 ⎪d⎡⎛ ω ⎞= tan ⎨ ⎢⎪2⎜ − β⎢ c⎟1⎩ ⎣⎝⎠2⎤⎥⎥⎦1/ 2⎫ 2 2mπ⎪ β − ω / c− ⎬ =2 22 ⎪ ω / c1− β⎭222(4.31)Persamaan (4.31) disebut sebagai hubungan dispersi. Hubungan ini secara skematikuntuk berbagai modus m = 0,1,2,... diilustrasikan dalam Gb. 4.12. Kecepatan groupterletak antara c 1 dan c 2 (kecepatan fasa dalam slab dan substrat). Pada suatu nilai ωtertentu, modus orde-terendah) mempunyai kecepatan group mendekati c 1 , sedangkanmodus-tertinggi mempunyai kecepatan group mendekati c 2 . Dengan demikian sebagianbesar energi dari modus tertinggi akan menjalar dalam substrat.ωω =c2βm=2m=1ω 1=cβm=0βGambar 4.12. Skematik hubungan dispersi; frekuensi ω terhadap konstantaperambatan β untuk modus-modus TE yang berbeda m = 0,1,2,...Kecepatan group diperoleh dari kemiringan v = dωdβ. Jika wmeningkat, maka kecepatan group untuk masing-masing modusberkurang dari c 2 = c 0 /n 2 menjadi c 1 = c 0 /n 1 .59

4.3 Pandu Gelombang Dua-DimensiPandu gelombang dua-dimensi memandu gelombang dalam dua arah transversal(dalam arah-x dan –y). Prinsip dasarnya adalah sama dengan pandu gelombang satudimensi,hanya deskripsi matematisnya lebih panjang.4.3.1. Pandu Gelombang Logam PersegipanjangBentuk umum yang paling sederhana dari pandu gelombang planar adalahpandu gelombang persegipanjang (Gb. 4.13). Bila dinding-dindingnya terbuat daricermin, maka seperti pada kasus planar, cahaya akan dipandu dengan refleksi berulangulangpada semua sudut. Untuk penyederhanaan, kita berasumsi bahwa penampanglintang dari pandu gelombang adalah persegi dengan lebar d. Andaikan suatu vektorgelombang dari gelombang bidang adalah k x , k y , dan k z serta pematulannya di dalampandu gelombang memenuhi kondisi konsistensi diri, maka:2k d = 2πm, mx2k d = 2πm, myxyxy= 1,2,...= 1,2,...(4.32)merupakan generalisasi pers. (4.4).k y••••π•• ••d••••d• •• •dπ / dnk 0k xGambar 4.13. Modus dari pandu gelombang logam persegipanjang dikarakterisasi olehsuatu jumlah nilai k x dan k y yang diskrit, seperti yang digambarkan oleh titik-titik.60

Konstanta perambatan β = kz dapat ditentukan dari k x dan k y denganmenggunakan hubungan:2x2y22220k + k + β = n k(4.33)Ketiga komponen dari vektor gelombang tersebut harus memiliki nilai diskrit, sehinggamenghasilkan jumbah modus yang terbatas. Masing-masing modus diidentifikasikanoleh dua indeks m x dan m y , dimana semua nilai-nilai positif dari m x dan m ydiperbolehkan sepanjangk2x2y220+ k ≤ n k , sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 4.13.Jumlah modus M dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung jumlahtitik-titik di dalam seperempat lingkaran dengan jari-jari nk 0 pada diagram k x -k y (Gb.4.13). Jika jumlah titik-titik tersebut besar, maka dapat diaproksimasi denganperbandingan luas π( nk ) 2 / 4 dan luas satu satuan sel ( / d) 20π :2π ⎛ 2d ⎞M ≈ ⎜ ⎟ (4.34)4 ⎝ λ ⎠Karena terdapat dua-polarisasi dalam setiap modus, maka jumlah total modus 2M.Distribusi medan yang berkainkan dengan modus-modus ini digeneralisasi dari kasusplanar. Pola yang diilustrasikan dalam Gb. 4.6, berlaku juga untuk pandu gelombangdua-dimensi, dengan nilai m x dan m y .4.3.2. Pandu Gelombang Dielektrik PersegipanjangSuatu silinder dielektrik dengan indeks bias n mempunyai penampang lintangdengan lebar d disisipkan ke dalam medium yang memiliki indeks bias lebih rendah n 2 .Modus pandu gelombang dalam ditentukan dengan teori yang sama. Komponenkomponenvektor gelombang (k x , k y , k z ) harus memenuhi kondisi:k2x2y21202+ k ≤ n k sin θ(4.35)c−1dimana θ c = cos (n2/ n1), sedemikian rupa sehingga k x dan k y terletak dalam areayang ditunjukkan dalam Gb. 4.14. Nilai-nilai k x dan k y untuk modus-modus yang61

erbeda dapat diperoleh dari kondisi konsistensi diri dimana mencakup pergeseran fasepada batas dielektrik, seperti yang dilakukan dalam kasus planar.Tidak seperti pandu gelombang logam atau cermin, nilai k x dan k y tidak terpisahsecara seragam. Namun, dua nilai k x atau k y yang berurutan dipisahkan oleh suatunilai rata-rata π/d. Jumlah modus dapat diaproksimasi dengan menghitung jumah titiktitikdi dalam lingkaran pada diagram k x -k y dalam Gb.4.14.k yn 1 k 0yn1 k0sinθc•••••n 2dn 1xπd••• •••••π / d• •••k xGambar 4.14. Geometri dari pandu gelombang dielektrik persegipanjang. Nilai-nilaik x dan k y untuk modus ditunjukkan oleh titik-titik.Jumlah modus TE adalah:( n1k0sin θc)2( π / d)22π ⎡⎤ π ⎛ 2d ⎞M ≈ ⎢⎥ = NA44⎜⎟(4.36)⎣⎦ ⎝ λ0⎠2 2dimana NA ( n ) 1/ 21 − n= adalah bukaan numerik. Aproksimasi ini baik bila M besar.2Persamaan (4.36) ini juga berlaku untuk modus TM.4.3.3. Geometri-geometri Pandu Gelombang Saluran (Channel)Beberapa geometri dari pandu gelombang yang banyak digunakan seperti strip,embedded-strip, rib atau ridge dan strip-loaded diilustrasikan dalam Gb. 4.15. Analiseksak untuk beberapa geometri tersebut tidak mudah dan memerlukan berbagaipendekatan.62

stripembedded striprib/ridgeStrip loaded(a) (b) (c) (d)(e)(f)(a). Straight ; (b). S bend; (c). Y branch ; (d). Mach-Zehnder(e). Directional Coupler ; (f). Intersection/crossGambar 4.15. (Atas). Berbagai tipe geometri pandu gelombang: (a) strip; (b)embedded-strip; (c) rib atau ridge; (d) strip-loaded. Daerah yang lebih gelapmenunjukkan indeks bias yang lebih tinggi. (Bawah). Konfigurasi piranti-piranti optikdari pandu gelombang: (a) straight; (b) S-bend; (c) Y-branch; (b) Mach-Zehnder; (e)directional coupler; (f) intersection atau cross.4.4 Kopling Optik ke dalam Pandu Gelombang4.4.1. Input Kopling4.4.1.1. Eksitasi ModusPerambatan cahaya dalam pandu gelombang berbentuk modus. Amplitudokompleks dari medan optik secara umum merupakan superposisi dari modus-modus,yang dapat diungkapkan sebagai:E(y,z)= ∑ a u (y) exp( −iβz)(4.37)mmmmdimana a m adalah amplitudo, u m (y) adalah distribusi transversal (diasumsikan riil) danβ m adalah konstanta perambatan modus m.63

Amplitudo-amplitodu dari modus-modus yang berbeda bergantung pada sumbercahaya yang digunakan. Bila sumber cahaya mempunyai distribusi yang sesuai ataucocok dengan suatu modus tertentu, maka hanya modus tersebut yang tereksitasi.Suatu sumber dengan distribusi sembarang s(y) akan menimbulkan atau mengeksitasimodus yang berbeda dengan jumlah modus yang berbeda pula. Fraksi daya yangditransfer dari sumber menjadi modus m bergantung pada kesamaan derajat antara s(y)dan u m (y). Kita dapat mengungkapkan s(y) sebagai superposisi ortogonal dari fungsiu m (y):s ( y) = ∑amum ( y)(4.38)mdimana koefisien a l adalah amplitudo modus yang tereksitasi l :al∫ ∞ −∞( y) u ( y)dy= s(4.39)l4.4.1.2. Input KoplerCahaya dapat dikopel secara langsung ke dalam suatu pandu gelombang denganpemfokusan cahaya pada salah satu ujung pandu gelombang (Gb. 4.16). Untukmengeksitasi suatu modus tertentu, distribusi transversal dari cahaya datang s(y) harussesuai (match) dengan modus tersebut. Polarisasi dari cahaya datang juga harus sesuaidengan modus itu. Karena dimensi dari pandu gelombang papah (slab) sangat kecil,maka pemfokusan dan penyearahan biasanya sangat sulit dan tidak efisien.yLensas( y)n 2n 1u m( y)zGambar 4.16. Kopling dari suatu berkas optik ke dalam suatu pandu gelombang.64

Cahaya dapat dikopling kedalam pandu gelombang dengan memfokuskannyasecara langsung pada salah satu ujungnya. Untuk mengeksitasi modus yang diberikan,distribusi transversal dari cahaya datang s(y) harus sesuai (match) dengan modustersebut. Polarisasi cahaya datang juga harus sesuai dengan modus yang diinginkan.Karena dimensi pandu gelombang kecil, maka pemfokusan dan pengaturan (alignment)biasanya sulit dan karenanya kopling menjadi tidak efisien.Dalam pandu gelombang multimode, kopling dapat ditinjau dengan pendekatanberkas-berkas optik (ray-optics). Berkas-berkas terpandu di dalam pandu gelombangdalam suatu sudut :c1( n n )θ = cos −(4.40)21Karena refraksi dari berkas-berkas datang, sudut tersebut berkaitan dengan suduteksternal θ a yang memenuhi :sinθa= NA=n sinθ1c= n12 1/22 2[ 1−( n /n ) ] = ( n − n ) 1/ 22112(4.41)dimana NA adalah numerical aperture dari pandu gelombang. Untuk memperolehefisiensi kopling yang maksimum, cahaya datang sebaiknya difokuskan dengan sudutyang lebih besar dari θ c .Cahaya dapat juga dikopling dari sumber semikonduktor (LED atau dioda laser)ke dalam pandu gelombang dengan meluruskan ujung sumber tadi dan pandugelombang dengan membuat jarak yang kecil agar kopling maksimum (lihat Gambar4.16). Dalam LED, cahaya berasal dari sambungan semikonduktor dan dipancarkan kesegala arah. Dalam dioda laser, cahaya yang dipandarkan sendiri sudah dipandu dalampandu gelombang. Metoda lain untuk mengkopling cahaya ke dalam suatu pandugelombang adalah dengan menggunakan prisma, grating atau pandu gelombang yanglain.4.4.1.3. Prisma KoplerCahaya dapat dikopel ke dalam dan ke luar dari suatu pandu gelombang denganmenggunakan prisma. Suatu prisma dengan indeks bias n p > n 2 diletakkan pada suatu65

jarak d p dari pandu gelombang dengan indeks bias n 1 dan n 2 seperti diilustrasikandalam Gb. 4.17.gelombangdatangn pprismad pθ pn 2Pandu gelombangn 1Gambar 4.17. Prisma koplerSuatu gelombang optik datang pada prisma sedemikian rupa sehinggamengalami pemantulan sempurna di dalam prisma dengan sudut θ p . Gelombanggelombangcahaya datang dan yang terpantul membentuk suatu gelombang menjalardalam arah-z dengan konstanta perambatan:β = n k cos θ(4.42)pp0pDistribusi medan transversal akan melebar keluar prisma dan meluruh secaraeksponensial di dalam ruang antara prisma dan slab pandu gelombang. Bila jarak d pcukup kecil, gelombang akan dikopel menjadi suatu modus pandu gelombang dengankonstanta perambatanβm≈ βp. Bila daya dapat dikopel ke dalam pandu gelombangmelalui prisma, maka prisma bertindak sebagai input kopler. Output kopler bekerjasebaliknya yaitu mengeluarkan cahaya dari pandu gelombang ke udara.4.4.2. Kopling antara Pandu GelombangBila dua pandu gelombang terpisah oleh jarak yang cukup dekat, dimanamedan-medannya overlap satu sama lain, cahaya dapat dikopel dari satu pandugelombang ke pandu gelombang yang lain. Daya optik yang ditransfer dapat digunakan66

untuk membuat kopler dan saklar optik. Pandang dua buah pandu gelombang planarsejajar dengan lebar d yang terpisah oleh jarak 2a dan indeks bias n 1 dan n 2 , sepertiyang diilustrasikan dalam Gb. 4.18. Diasumsikan bahwa masing-masing pandugelombang memiliki modus tunggal.Gambar 4.18. Kopling antara dua pandu gelombang yang sejajar. Pada z 1 , cahayaterpusat dalam pandu gelombang-1, pada z 2 cahaya terbagi antara dua pandugelombang dan pada z 3 , akan terpusat dalam pandu gelombang-2.Perambatan cahaya dalam struktur ini dipelajari dengan persamaan-persamaanMaxwell pada daerah-daerah yang berbeda dan menggunakan syarat batas untukmenentukan modus-modus sistem secara keseluruhan. Untuk kopling yang lemah,cukup dengan menggunakan teori modus yang terkopel (coupled modus theory).Teori modus terkopel berasumsi bahwa modus masing-masing pandugelombang, katakanlah: (y) exp( − iβz)dan (y) exp( i z)u 1u 2 β . Kopling akanmemodifikasi amplitudo modus-modus tersebut tanpa mempengaruhi distribusitransversal ruang atau konstanta perambatannya. Karenanya amplitudo-amplitudomodus pandu gelombang-1 dan -2 adalah fungsi dari z: A 1 (z) dan A 2 (z). Teori modusterkopel ini bertujuan untuk menentukan A 1 (z) dan A 2 (z) pada kondisi batas yangsesuai.Kopling dapat dianggap sebagai efek hamburan. Medan dari pandu gelombang-1 terhambur dari pandu gelombang-2, membentuk suatu sumber cahaya yang akanmerubah amplituto medan dalam pandu gelombang-2. Amplitudo-amplitudo A 1(z) danA 2(z) diungkapkan oleh persamaan diferensial orde-pertama (penurunannya dapatdilihat pada bagian 4.4.2.2):67

dAdzdAdz12= −iρ= −iρ2112expexp( i∆βz) A ( z)2( − i∆βz) A ( z)dimana: ∆β = β1 − β2adalah fasa mismatch per-satuan panjang, dan1(4.43)ρρ2112==12122k a+d2 2 0( n2− n ) ∫u ( y) u2( y)β1dy2k −a2 2 0( n1− n ) ∫u2( y) u1( y)dyβ2a 1−a−d(4.44)adalah koefisien-koefisien kopling.Dengan asumsi bahwa amplitudo cahaya yang masuk ke dalam pandugelombang-1 adalah A 1 (0) dan tak ada cahaya yang masuk ke dalam pandu gelombang-2 A 2 (0) = 0, maka persamaan dapat diselesaikan dengan syarat batas tersbut, yang akanmenghasilkan solusi harmonik:AA12() z = A () 01⎛ ∆βz⎞⎛∆β ⎞exp⎜i⎟⎜cosγz− i sin γz⎟⎝ 2 ⎠⎝2γ⎠ρ ⎛ ∆βz⎞⎜ ⎟iγ⎝ 2 ⎠12() z = A () 0 exp − i sin γz1(4.45)dimana:γρ22=( ρ ρ ) 1/ 2122⎛ ∆β⎞= ⎜ ⎟ + ρ⎝ 2 ⎠21222Daya-daya optik P () z ∝ A (z dan P () z ∝ A (z adalah:PP12() z = P () 011 1 )⎡⎢cos⎢⎣⎛ ∆β ⎞γz− ⎜ ⎟⎝ 2γ⎠12 2() z = P () 0 sin γz1ργ22222 2 )sin2⎤γz⎥⎥⎦(4.46)(4.47)Daya ini akan saling berpindah secara periodik antara dua pandu gelombang,sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 4.19. Periodanya adalah 2π/γ. Kekekalan dayamemerlukan ρ 12 = ρ 21 = ρ.68

Gambar 4.19. Pertukaran daya secara periodic antara pandu gelombang-1 dan -2.Bila kedua pandu gelombang tersebut identik, yaitu n 1 = n 2 ; β 1 = β 2 , dan ∆β = 0,maka kedua pandu gelombang dikatakan phase matched. Dengan demikian daya-dayaoptik menjadi:PP122() z = P1() 0 cos ρz2() z = P () 0 sin ρz1(4.48)dan pertukaran daya antara kedua pandu gelombang menjadi sempurna, sepertidiilustrasikan dalam Gb. 4.22.Gambar 4.20. Pertukaran daya antara pandu gelombang-1 dan -2 untuk kasus phasematched.69

Gambar 4.21 adalah contoh piranti optik yang menggunakan kopling dua buahpandu gelombang. Pada jarak z = L 0 = π/2a (jarak transfer), daya akan ditransfer secarasempurna dari pandu gelombang-1 ke pandu gelombang-2 [Gb. 4.21(a)]. Pada jarak z =L 0 /2, daya setengahnya ditransfer, sehingga piranti tersebut dikatakan sebagai kopler 3-dB, yaitu pemisahan berkas cahaya (beam-splitter) 50/50 [Gb. 4.21(b)].L 0(a)(b)Gambar 4.21. Kopler-kopler optik: (a). switching antara daya dari satu pandugelombang ke pandu gelombang lain; (b). kopler 3-dB.4.4.2.1. Switching dengan Kontrol Phase MismatchSuatu pandu gelombang kopler dengan panjang yang tetap, L 0 = π/2a merubahrasio daya transfernya bila phase mismatch ∆β kecil. Perbandingan/rasio daya transferdapat ditulis sebagai fungsi ∆β:℘ =( L )22 02 L0PP (0)1⎛ π ⎞= ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠⎧⎪1⎡ ⎛ ∆βsin c ⎨ ⎢1+ ⎜2 ⎪⎩⎢⎣⎝ π2⎞⎟⎠⎤⎥⎥⎦1/ 2⎫⎪⎬⎪⎭(4.49)Gambar 4.22 mengilustrasikan kebergantungan rasio transfer daya pada parameterphase mismatch ∆βL 0 . Rasio mempunyai nilai maksimum satu pada ∆βL 0 = 0, danberkurang dengan meningkatnya nilai ∆βL 0 , kemudian sama dengan nol bila∆βL 0 = 3π.70

Gambar 4.22. Kebergantungan dari rasio daya transfer pada parameter mismatch.Kebergantungan daya yang ditransfer pada paramater mismatch dapatdimanfaatkan dalam pembuatan directional couplers yang dikendalikan secara elektrik.Bila mismatch ∆βL 0 diubah antara 0 dan3 π , cahaya ditransfer dari pandugelombang-2 ke pandu gelombang-1. Kontrol ∆β secara elektrik dapat dilakukandengan bahan elektro-optik (bila indeks bias bahan dapat diubah dengan medan listrik).4.4.2.2. Penurunan Persamaan-persamaan Gelombang TerkopelKita akan mencoba menurunkan amplitudo-amplitudo dari modus-modusterkopel A 1 (z) dan A 2 (z). Bila kedua pandu gelombang tidak berinteraksi, masingmasingakan membawa medan optik dengan amplitudo kompleks yang didefinisikan:E (y, z) = A u1E (y, z) = A u2121( y) exp( − iβ1z)( y) exp( − iβz)22(4.50)dimana amplitudo-amplitudo A 1 dan A 2 adalah konstanta. Dengan adanya kopling,maka amplitudo-amplitudo tersebut merupakan fungsi dari arah perambatan z, namunkonstanta perambatan tidak berubah. Amplitudo A 1 (z) dan A 2 (z) diasumsikan sebagaifunsi yang berubah secara lambat terhadap z (slowly varying functions of z).Kehadiran pandu gelombang-2 dianggap sebagai suatu gangguan pada mediumdiluar pandu gelombang-1 dalam bentuk suatu slab dengan indeks bias n 2 -n dan lebar dpada suatu jarak 2a. Indeks bias (n 2 -n) dan medan E 2 berhubungan dengan rapatpolarisasi71

2 2( ε2 − ε) E2= ε0(n2− n ) E2P = yang membentuk suatu radiasi optik ke dalam pandugelombang-1:SS110= (k222= µ ω P = µ ω ε (n− k2)E022022− n2)E2= k20(n22− n2)E2(4.51)Untuk menentukan efek sumber radiasi tersebut pada medan dalam pandugelombang-1, kita gunakan persamaan Helmholtz dengan efek kehadiran suatu sumberyaitu:212111222∇ E + k E = −S= −(k− k )E(4.52)2Dengan cara yang sama, kita bisa menuliskan persamaan Helmholtz untukgelombang dalam pandu gelombang-2 dengan suatu sumber yang dibangkitkan hasildari medan dalam pandu gelombang-1:222222222∇ E + k E = −S= −(k− k )E(4.53)1dimana k 1 = n 1 k 0 . Persamaan-persamaan adalah dua persamaan diferensial parsialterkopel yang akan kita selesaikan untuk mencari E 1 dan E 2 . Analisisgangguan/perturbasi ini hanya berlaku bila kopling antara pandu gelombang-pandugelombang tersebut lemah (weakly coupled waveguides). Bila kita andaikan E 1 dan E 2adalah:E (y, z) = A (z)e (y, z)1E (y, z) = A (z)e (y, z)21212(4.54)dimana (y,z) = u (y)exp( − i z)dan (y, z) u (y) exp( − i z)e1 1 βpersamaan Helmholtz:e2 2 β= harus memenuhi∇∇22ee12+ k21+ ke22e12= 0= 0(4.55)72

dengan k 1 = n 1 k 0 dan k 2 = n 2 k 0 untuk titik-titik di dalam pandu gelombang-1 dan -2,serta k 1 = k 2 = nk 0 untuk titik-titik diluar pandu gelombang-1 dan -2. Dengan substitusiE 1 = A 1 e 1 ke dalam pers (4.53) diperoleh:d2A12dzedAdzdedz2 2( k2− k ) A2e21 11 + 2 = −(4.56)Dengan asumsi bahwa A 1 berubah secara lambat (e 1 berubah secara cepat) terhadap z,maka suku pertama diabaikan dibanding suku kedua. Rasio antara kedua suku adalah:⎡dΨ⎤⎢e1⎣ dz ⎥ ⎦⎡ de1⎤⎢2 Ψ⎣ dz ⎥⎦=⎡dΨ⎤⎢e1⎣ dz ⎥⎦[ 2Ψ( − iβe )]11= i( dΨ/ Ψ)2βdz1(4.57)dimanaΨ = dA 1 / dz . Aproksimasi ini berlaku bila dΨ/ Ψ

BAB 5SERAT OPTIK (FIBER OPTICS)Serat optik atau fiber adalah pandu gelombang dielektrik silinder yang terbuatdari material low-loss seperti gelas silika. Ia memiliki suatu pusat (core) dimanacahaya dipandu yang disisipkan dalam suatu selubung/cladding dengan indeks biasyang lebih rendah [lihat Gb. 5.1]. Berkas cahaya yang datang pada batas core/claddingdengan sudut datang lebih besar dari sudut kritis akan mengalami pemantulan totalinternal dan dipandu dalam fiber tanpa mengalami pembiasan. Berkas cahaya dengansudut inklinasi pada sumbu optik yang besar, dayanya akan hilang dalam cladding dankarenanya tidak dipandu.Pada prinsipnya, transmisi cahaya dalam fiber sama dengan pada pandugelombang dielektrik planar, kecuali bentuk geometrinya. Dalam kedua jenis pandugelombang, cahaya merambat dalam bentuk modus-modus. Masing-masing modusmenjalar sepanjang sumbu pandu gelombang dengan suatu konstanta perambatan dankecepatan group, dengan mempertahankan distribusi ruang transversalnya danpolarisasinya. Bila diameter core-nya kecil, maka hanya satu modus yangdiperbolehkan dan fiber disebut dengan single-mode fiber (fiber modus tunggal). Fiberdengan diameter core yang besar disebut multimode fiber.bn 2n 1an 1 = coren 2= claddingn 1 > n2Gambar 5.1. Pandu gelombang dielektrik silinder atau fiberSalah satu masalah yang berkaitan dengan perambatan cahaya dalam fibermultimode adalah ditimbulkan dari perbedaan kecepatan group dari masing-masingmodus. Akibatnya pulsa akan melebar sepanjang fiber. Efek ini dikenal sebagai modal74

dispersion (dispersi modus), yaitu batas kecepatan dimana pulsa-pulsa dapat dikirimtanpa saling tumpang tindih (overlapping). Modal dispersion dapat dikurangi dengangradien indeks bias dari core, yang mempunyai nilai maksimum pada pusatnya dannilai minimum pada batas core/cladding. Fiber tersebut dikenal sebagai graded-indexfiber, dimana pada fiber konvensional indeks bias core dan cladding adalah konstan(step-index fiber) [lihat Gb. 5.2.]n 2(a)n 1(b) 1n 2nn 2(c) 1nGambar 5.2. Geometri, profil indeks bias dan tipikal berkas-berkas dalam: (a).multimode step-index fiber, (b). single-mode step-index fiber dan (c). multimodegraded-index fiber.5.1. Step-index FiberSuatu step-index fiber dispesifikasi oleh indeks bias core n 1 dan cladding n 2dengan jari-jari a dan b [lihat Gb. 5.1]. Contoh-contoh diamater core/cladding (2a/2b)dalam satuan mikrometer (µm) adalah 8/125, 50/125, 62.5/125, 85/125, 100/140.Perbedaan nilai indeks bias core dan cladding sangat kecil sehingga fraksi perubahanindeks bias sangat kecil:75

n 1 − n2∆ = 1n

Berkas-berkas yang terpelintir (skewed)Suatu berkas sembarang dicirikan oleh bidang datangnya, yaitu suatu bidangyang sejajar dengan sumbu serat optik dan melewati berkas tersebut denganmembentuk sudut terhadap sumbu fiber.zyφ φθRaxGambar 5.4. Suatu berkas terpelintir (skewed ray) terletak dalam suatu bidang offsetdari sumbu fiber dengan jarak R. Berkas dicirikan oleh sudut-sudut θ dan φ. Berkas inimengikuti trajektori heliks didalam suatu kulit silinder dengan jari-jari R dan a.Bidang datang memotong batas silinder core-cladding dengan membentuksudut φ dengan normal pada bidang batas dan terletak pada jarak R dari sumbu fiber.Berkas ini dicirikan oleh sudut θ dengan sumbu fiber dan sudut φ dengan bidangnya.Jika φ ≠ 0 (R ≠ 0), berkas dikatakan terpelintir (skewed). Untuk berkas-berkasmeridional φ = 0 dan R = 0. Suatu berkas yang terpelintir memantul secara berulang kedalam bidang-bidang yang membentuk sudut φ dengan batas core-cladding danmengikuti lintasan (trajektori) heliks di dalam suatu kulit silinder dengan jari-jari R dana (lihat Gambar 5.4.).Numerical Aperture (NA)Suatu berkas datang dari udara ke dalam fiber menjadi berkas yang terpandujika ia membentuk sudut θ ke dalam core yang lebih kecil dari θ c . Dengan menerapkanhukum Snell pada batas udara-core, sudut θ a dalam udara berkaitan dengan θ c didalamcore adalah:77

−12 2 1/ 2 −1( n − n ) = sin NAθ = sin(5.2)a122 2 1/ 21/ 21 2 1 )dimana NA = (n − n ) ≈ n (2∆adalah numerical aperture dari fiber. Berkasyang datang dengan sudut lebih besar dari θ a akan dibiaskan ke dalam fiber dan hanyadipandu dalam jarak yang pendek. Numerical aperture menggambarkan kapasitascahaya yang terkumpul ke dalam fiber. Jika berkas terpandu tiba di ujung fiber, makaakan dibiaskan dengan membentuk sudut θ a . Karenanya sudut luar (acceptance angleθ a ) merupakan suatu parameter yang krusial dalam mendisain suatu sistem untukmengkopling cahaya kedalam atau keluar dari fiber.Berkas tak-terpanduBerkas terpanduθ aθ cθ cNAkecilNAbesarGambar 5.5. (atas). Sudut θa dari fiber. Berkas dengan sudt tersebut dipandu denganTIR. NA adalah numerical aperture dari fiber. (bawah). Kapasitas cahaya yangdikumpulkan ke dalam fiber dengan NA yang besar lebih banyak daripada oleh NAyang kecil.5.1.1. Gelombang-gelombang Terpandu (Guided Waves)5.1.1.1. Distribusi Ruang/SpatialMasing-masing komponen dari medan listrik dan medan magnet harus22memenuhi persamaan Helmholtz, ∇ U + n k U = 0 , dimana n = n 1 di dalam core (r a) dan k0 = 2π/ λ0. Dengan asumsi jari-jaricladding b cukup besar, sehingga dapat dianggap tak-hingga dalam perhitungan cahaya2078

terpandu didalam core dan di dekat batas core -cladding. Dalam koordinat silinder,persamaan Helmholz diberikan oleh:∂2U2 222∂r1 ∂U1+ +2r ∂rr∂ U ∂ U 2+ + n k0U= 02 2∂φ ∂z(5.3)dimana amplitudo kompleks U U( r, φ,z)= menggambarkan komponen-komponenKartesian dari medan listrik dan medan magnet atau komponen-komponen E z dan H zdalam koordinat silinder.xaE rcladdingE zr φzE φcoreySistem koordinat silinderGambar 5.6. Sistem koordinat silinderBentuk solusi dari gelombang harmonik yang menjalar dalam arah sumbu-zdengan konstanta perambatan β, diberikan oleh:U( r, , z) = u(r) exp( −iφ) exp( − iβz)φ l , l = 0 , ± 1, ± 2,...(5.4)Substitusi pers. (5.4) kedalam pers. (5.3) diperoleh:2d u 1 du ⎛2+ + ⎜nk2dr r dr⎝20− β2l−r22⎞⎟u = 0⎠(5.5)Gelombang akan dipandu, jika konstanta perambatan lebih kecil daripada bilangangelombang dalam core ( < )cladding ( β > n 2 k 0 ). Dengan mendefinisikan:β n 1 k 0 dan lebih besar daripada bilangan gelombang dalam79

kγ2T2= n= β212k20− n− β22k220(5.6)sehingga untuk gelombang terpandu, k 2 T dan γ 2 positif maka k T dan γ adalah riil.Persamaan (5.5) dapat dipisahkan untuk core dan cladding:2d u 1 du ⎛2+ + ⎜k2Tdr r dr⎝2d u+2dr1 dur dr⎛− ⎜γ⎝2l−rl+r2222⎞⎟u = 0 , r < a (core) (5.7a)⎠⎞⎟u = 0 , r > a (cladding) (5.7b)⎠Pers. (5.7) dikenal sebagai persamaan diferensial dengan solusinya adalah fungsiBessel. Solusi persamaan diatas adalah:⎧Jl⎪u(r) ∝ ⎨⎪⎩K( k r)lT( γr),core,cladding(5.8)dimana ( x)J l adalah fungsi Bessel jenis pertama dan orde ke- l , sedangkan (x)adalah fungsi Bessel jenis kedua dan orde ke- l . Fungsi J l ( x)berosilasi seperti fungsisinus atau cosinus tetapi dengan amplitudo yang meluruh. Dalam batas x >> 1:1/ 2⎛ 2 ⎞ ⎡ ⎛ 1 ⎞ π⎤J l ( x) ≈ ⎜ ⎟ cos⎢x− ⎜l+ ⎟ ⎥ (5.9a)⎝ πx⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎦Dalam x >>1, fungsi K l (x)diberikan oleh:1/ 22⎛ π ⎞ ⎡ ⎛ 4l−1⎞⎤Kl ( x) ≈ ⎜ ⎟ ⎢1− ⎜ ⎟⎥exp( − x)⎝ 2x ⎠⎢⎣8x(5.9b)⎝ ⎠⎥⎦Dua contoh distribusi radial u(r) ditunjukkan dalam Gb. 5.7.K l80

u()ru( r)J0( kr)TJ3( kr)T( )K 0 γr( )K 3 γr0ar0arGambar 5.7. Contoh distribusi radial u(r) yang diberikan oleh pers. (5.9) untukl = 0 dan l = 3Parameter-parameter k T dan γ berturut-turut menentukan laju perubahan u(r)dalam core dan dalam cladding. Harga k T yang besar berarti distribusi radial dalamcore berosilasi dengan cepat. Nilai γ yang besar berarti lebih cepat meluruh danpenetrasi gelombang ke dalam cladding kecil. Penjumlahan kuadrat dari k T dan γadalah konstan:2T2212220220k − γ = (n − n )k = NA . k(5.10)sehingga bila k T meningkat, γ menurun dan medan berpenetrasi lebih dalam kedalamcladding.5.1.1.2. Parameter Fiber, VParameter fiber V merupakan parameter penting yang membentuk jumlahmodus dan konstanta perambatan dalam fiber. Parameter ini diperoleh dari:k2Ta2+ γ2aV = 2πλ0a2= (NA).NA2k20a2= V2(5.11)Agar cahaya atau gelombang terpandu, makak T .a < V .5.1.1.3. Jumlah ModusUntuk fiber dengan parameter V besar (V >>1) jumlah modus yang dapatdisalurkan dalam step-index fiber diberikan oleh:81

4V 2M ≈ (5.12)π25.1.1.4. Konstanta PerambatanUntuk fiber dengan parameter V yang besar, konstanta perambatan diberikan:2⎡2 22 π ⎤⎢n1k0− ( l + 2m)⎥⎦1/ 2βl ,m ≈(5.13)2⎣4aKarena jumlah modus, seperti yang digambarlan dalam pers. (5.12) dapat ditulis dalambentuk:maka:M2 2 2( 2n ∆) k4≈2 1 0a(5.14)π( l + 2m)1/ 22⎡⎤βl ,m ≈ n1k0⎢1− 2 ∆⎥ (5.15)⎣ M ⎦Karena nilai ∆

5.2. Graded-index FiberGraded-index fiber adalah suatu metode yang sederhana untuk mengurangi efekpelebaran pulsa yang disebabkan oleh perbedaan kecepatan group dari modus-modusdalam multimode fiber. Core mempunyai indeks bias yang bervariasi, yaitu nilaitertinggi pada pusat dan berkurang secara gradual dan mempunyai nilai terendah padacladding. Indeks bias core adalah fungsi dari posisi radial, n(r) dan indeks biascladding adalah konstan, n 2 . Nilai tertinggi dari n(r) adalah n(r = 0) = n 1 dan terendahpada r = a [n(a) = n 2 ], sebagaimana diilustrasikan dalam Gb. 5.8. Profil indeks biasdidefinisikan sebagai:dimana:n2p⎡ ⎛ r ⎞ ⎤= 1 ⎢ ⎜ ⎟ ⎥(5.19)⎢⎣⎝ a ⎠ ⎥⎦2() r n 1 − 2 ∆ , r ≤ a2 2n1− n2n1− n2∆ = ≈ ,22n1n1dan p disebut dengan parameter profil gradien index. Untuk kasus graded-index fiberp = 2 dan untuk step-index fiber p = ∞.rcladdingcorea0claddingcoreran 1n2∞p = 2n0p = 12n 12n 2n2Gambar 5.8. Geometri dan profil indeks bias graded-index fiber83

5.2.1. Berkas-berkas Terpandu (Guided Rays)Transmisi berkas-berkas cahaya didalam suatu medium graded-index denganprofil indek parabolik sudah dibahas sebelumnya. Berkas-berkas dalam bidang-bidangmeridional mengikuti trajektori osilator planar, sedangkan berkas-berkas terpelintir(skewed) membentuk permukaan kaustik silinder, seperti ditunjukkan dalam Gambar5.9. Berkas-berkas yang terpandu berada didalam core dan tidak mencapai cladding.(a)Berkas meridional0aR 0zR a r0 R0Berkas terpelintir(b)0 r lR l arGambar 5.9. Berkas-berkas terpandu didalam core suatu fiber graded-index. (a).berkas meridional berada dalam bidang meridional didalam silinder dengan jari-jari R 0 .(b) Suatu berkas terpelintir mengikuti trajektori suatu heliks didalam dua selubungsilinder dengan jari-jari r l dan R l .5.2.2. Gelombang-gelombang Terpandu (Guided Waves)Modus-modus dari graded-index fiber ditentukan oleh persamaan Helmholtzdengan n = n(r). Dengan menyelesaikan distribusi ruang dari komponen-komponenmedannya dan dengan bantuan persamaan Maxwell serta syarat batas, maka persamaankarakteristik dapat diperoleh seperti halnya pada step-index fiber. Namun prosedur iniumumnya sangat sulit untuk kasus graded-index fiber. Karenanya dilakukan84

pendekatan dengan metoda WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) yang hanya berlakuuntuk nilai V yang besar.5.2.2.1. Gelombang Quasi-PlanePandang solusi persamaan Helmholtz dalam bentuk gelombang kuasi bidang(quasi-plane):rFungsi S()rr r= (5.20)() r a() r exp[ − ik S()r ]U 0harus memenuhi persamaan eikonal ∇S = n dan cahaya menjalar dalamrarah gradien ∇ S . Jika kita ambil S( ) = k s( r) + lφ + z , dimana s(r) berkurangk0 0 βterhadap fungsi r, persamaan eikonal memberikan:2222ds ⎞ 2 l 2 20 ⎟ + β + n (r) k20⎛⎜k =⎝ dr ⎠ r(5.21)Dengan mendefinisikan⎛ ds ⎞kr= k0⎜⎟ , maka pers. (5.20), menjadi:⎝ dr ⎠rr r ⎛ ⎞U(r) = a(r) exp⎜− i krdr⎟exp⎜ ∫l⎟⎝ 0 ⎠( − i φ) exp( − iβz)Pers. (5.22) dikenal sebagai gelombang quasi-plane, dimana:(5.22)kr22 2 2 l= n (r)k0− β −(5.23)2radalah konstanta perambatan yang bergantung pada jarak radial r.Dengan mendefinisikan kφ = l r , exp( − jl φ) = exp( − jkφrφ), k z = β , makapersamaannya menjadi :2r22z2() r k2 0k + k φ + k = n(5.24)Gelombang bidang-kuasi (quasi- plane) karenanya memiliki vektor gelombang kdengan nilai n(r)k 0 dan komponen-komponen koordinat silinder (k r , k φ , k z ). Karena n(r)dan k φ adalah fungsi-fungsi yang bergantung pada r, maka k r umumnya bergantungpada posisi. Arah k berubah terhadap r mengikuti lintasan (trajektori) heliks samadengan berkas terpelintir (skewed), seperti ditunjukkan dalam Gambar 5.10.85

k rkxk φk zz(a)y(b)Gambar 5.10. (a). Vektor gelombang k = (k r , k φ , k z ) dalam sebuah sistem koordinatsilinder. (b). Gelombang bidang-kuasi mengikuti arah suatu berkas (heliks).5.2.2.2. ModusModus-modus dalam serat optik ditentukan oleh kondisi konsistensi diri (selfconsistency),dimana gelombang memproduksi dirinya setelah satu periode heliksantara r l danR l . Panjang lintasan azimut berkaitan dengan :k 2πr= 2πl ; l = 0, ± 1, ± 2,...(5.25)φKondisi ini dipenuhi, karenamemenuhi :kφ= lr . Sedangkan lintasan radial satu putaran harus2Rl∫k r dr = 2 π m , m = 1,2,..., M l(5.26)rlKondisi ini analog dengan kondisi konsistensi diri untuk pandu gelombang planar.5.2.2.3. Jumlah ModusJumlah modus dapat diperoleh dengan mengintegralkan pers. (5.26):Ml1πRl1πRl2 22( β) = k dr = n () r k − − β dr∫rlr∫rl⎡⎢⎣0lr22⎥⎦⎤1/ 2(5.27)86

sehingga diperoleh (PR sebagai latihan):2p 2 2 2 p VM ≈ n1k0a∆ =(5.28)p + 2 p + 2 2Untuk step-index fiber denganp = ∞ , jumlah modus adalah:2VM ≈ (5.29)2Sedangkan untuk graded-index fiber (p = 2), jumlah modus diberikan oleh:2VM ≈ (5.30)4Dari perbandingan pers. (5.29) dan (5.30) tampak bahwa jumlah modus optimal padagraded-index fiber adalah setengahnya dari jumlah modus pada step-index fiber,dengan parameter n 1 , n 2 , dan a yang sama.5.2.2.4. Konstanta PerambatanKonstanta perambatan modus q diberikan oleh:βq⎡ ⎛≈ n1k0⎢1− 2⎜⎢⎣⎝qM⎞⎟⎠p/(p+2)⎤∆⎥⎥⎦1/ 2(5.31)Karena nilai

5.2.2.5. Kecepatan GroupKecepatan groupvq= dωuntuk nilai ∆

5.3.1.2. AbsorpsiKoefisien absorpsi dari gelas silika (SiO 2 ) sangat bergantung pada panjanggelombang, seperti yang diilustrasikan dalam Gb. 5.11. Pita Absorpsi pada daerah midinfra-merahdiakibatkan oleh transisi-transisi vibrasi dan pita absorpsi pada daerahultraviolet diakibatkan oleh transisi-transisi elektronik dan molekular. Material inimempunyai daerah dimana tak ada absorpsi intrinsik, yaitu di daerah infra-merah.Karenanya sistem komunikasi optik bekerja pada daerah tersebut (1,3 µm dan 1,55µm).Atenuasi α (dB/km)HamburanRayleighAbsorpsi OHAbsorpsiultravioletAbsorpsiinframerahPanjang gelombang λ 0 (µm)Gambar 5.11. Kebergantungan koefisien atenuasi α dari gelas silika pada panjanggelombang λ 0 . Koefisien atenuasi minimum pada 1,3 µm (α ~ 0, 3 dB/km) dan pada1,55 µm (α ~ 0,16 dB/km).5.3.1.3. HamburanHamburan Rayleigh adalah efek intrinsik lain yang berperan pada atenuasicahaya dalam serat optik/gelas. Posisi molekul-molekul dalam gelas yang bervariasimengakibatkan indeks bias yang tak homogen, sehingga bertindak sebagai sumberhamburan. Intensitas hamburan sebanding dengan4ω atau 1λ4 , sehingga panjanggelombang yang pendek akan terhambur lebih banyak dibandingkan dengan panjanggelombang yang panjang. Karenanya cahaya biru lebih banyak dihamburdibandingkan dengan cahaya merah (efek yang sama dengan hamburan cahayamatahari dari molekul atmosfir bumi yang tipis, yang merupakan alasan langit tak89

erawan tampak berwarna biru). Dalam daerah cahaya tampak, hamburan Rayleighlebih signifikan daripada pita absorpsi ultraviolet, tetapi pada daerah infra merah (~ 1,6µm) dapat diabaikan.5.3.1.4. Efek-efek EkstrinsikPita-pita absorpsi ekstrinsik diakibatkan oleh impuritas-impuritas, terutama olehvibrasi-vibrasi OH yang berkaitan dengan uap air dalam gelas dan impuritas ion-ionlogam. Kemajuan teknologi fabrikasi gelas saat ini telah memungkinkan untukmembuang impuritas ion logam, namun impuritas OH sulit untuk dihilangkan. Panjanggelombang dimana gelas fiber digunakan untuk komunikasi optik dipilih untukmenghindari pita-pita absorpsi ini.Koefisien atenuasi dari cahaya yang terpandu dalam serat optik bergantung padaabsorpsi dan hamburan pada core dan cladding. Karena masing-masing modusmempunyai kedalaman penetrasi (penetration depth) ke dalam cladding yang berbeda,koefisien atenuasi juga bergantung pada modus. Umumnya koefisien atenuasi lebihtinggi untuk modus-modus lebih tinggi. Serat optik modus tunggal mempunyaikoefisien atenuasi yang lebih kecil dibandingkan dengan serat optik modus banyak(multimode fibers). Losses juga diakibatkan oleh variasi dari geometri fiber dan padalengkungan (bends).5.3.2. DispersiBila suatu pulsa pendek menjalar melalui suatu serat optik, maka dayanya akanterdispersi dengan waktu sehingga pulsa akan melebar, seperti diilustrasikan dalam Gb.5.12. Terdapat empat sumber dispersi dalam serat optik, yaitu dispersi modus (modaldispersion), dispersi material (material dispersion), dispersi pandu gelombang(waveguide dispersion) dan dispersi nonlinier (nonlinear dispersion).0t0 t0tzGambar 5.12. Pelebaran pulsa akibat dispersi modus (modal dispersion)90

5.3.2.1. Modal DispersionModal dispersion terjadi dalam serat optik multimode, sebagai akibat perbedaankecepatan group dari modus-modus. Suatu impuls cahaya tunggal dengan modus Mmasuk ke dalam fiber pada z = 0 akan melebar menjadi pulsa-pulsa M dengan timedelay yang berbeda. Untuk suatu fiber dengan panjang L, time delay diberikan oleh:τ=Lq v q, dimana v q adalah kecepatan group modus q. Jika v min dan v max adalahkecepatan group minimum dan maksimum, maka pulsa yang diterima pada z = L akanmelebar sebesar:σT=12⎛⎜⎝Lvmin−Lvmax⎞⎟⎠(5.38)Persamaan ini merupakan gambaran dari waktu respon suatu fiber.Dalam step-index fiber dengan jumlah modus yang banyak, ≈ c ( 1 − ∆)dan v max ≈ c1. Dengan demikian lebar pulsa menjadi:v min 1L ∆σ T ≈(5.39)c 21Untuk graded-index fiber, lebar pulsa diberikan oleh:L 2∆σ T ≈(5.40)c 41Catatan: Graded-index fiber dapat digunakan untuk mengurangi pelebaran pulsaakibat efek modal dispersion, karena pelebaran pulsa pada graded-index fiber lebihkecil ∆ / 2 dibandingkan pada step-index fiber.5.3.2.2. Dispersi MaterialGelas yang merupakan bahan utama serat optik adalah bahan dispersif, yaituindeks biasnya merupakan fungsi dari panjang gelombang, n(λ). Suatu pulsa optikdalam medium dispersif dengan indeks bias n merambat dengan kecepatan groupv = c0/ N , dimanadnN = n − λ 0 . Pulsa merupakan paket-paket gelombang yangdλ091

terdiri dari spektrum panjang gelombang yang merambat dengan kecepatan group yangberbeda, sehingga pulsa akan melebar sebesar:σ = D L(5.41)Tλ σ λdimana σ λ adalah lebar spektrum dari pula (spectral width) dan D λ adalah koefisiendispersi material yang diberikan oleh:D2λ0d nλ = −(5.42)2c0dλ0Sebagai contoh: Koefisien dispersi bahan gelas silika pada λ = 1,3 µm berharganegatif: artinya paket-paket gelombang dengan panjang gelompang panjang menjalarlebih cepat dibandingkan dengan panjang gelombang pendek.400D λ-2000,6 Panjang gelombang λ 0 (µm)1,6Gambar 5.13. Koefisien dispersi D λ dari gelas silika sebagai fungsi dari panjanggelombang λ 0 .5.3.2.3. Dispersi Pandu GelombangKecepatan-kecepatan group dari modus bergantung pada panjang gelombang,bahkan bila efek dispersi material diabaikan. Efek ini dikenal sebagai efek dispersipandu gelombang yang diakibatkan oleh ketergantungan dari distribusi medan-medandalam fiber pada rasio jari-jari core dan panjang gelombang (a/λ 0 ). Dispersi pandu92

gelombang terjadi pada fiber modus tunggal, dimana efek modal dispersion dandispersi material diabaikan.Kecepatan group v = dωdan konstanta perambatan β didefinisikan melaluidβsuatu parameter fiber, V :a aV = 2π.NA = ω.NA(5.43)λ c00Bila dispersi material diabaikan (NA independen terhadap ω), maka:1vdβdβdV a dβ= = = .NA(5.44)dωdV dωc dV0Dengan demikian, pelebaran pulsa yang terjadi diberikan oleh:dimana:⎛ d ⎞⎛L ⎞σ T =⎜ ⎜ ⎟ σλ= DwσλLd⎟(5.45)⎝ λ0⎠⎝v ⎠d ⎛ 1 ⎞ ω d ⎛ 1 ⎞Dw = ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟(5.46)dλ⎝ v ⎠ λ dω⎝ v ⎠00adalah koefisien dispersi pandu gelombang. Dengan substitusi pers. (5.44) ke dalampers. (5.46), diperoleh:Dw2⎛ 1 ⎞ 2 d β= −⎜ V22 c⎟(5.47)⎝ π 0 ⎠ dVDari pers. (5.47), tampak bahwa kecepatan group berbanding terbalik dengan2 2 2dβ / dV dan koefisien dispersi pandu gelombang sebanding dengan V ( d β / dV ).Karena β berubah secara nonlinier dengan V, maka koefisien dispersi D w juga sebagaifungsi dari V dan panjang gelombang λ 0 . Kebergantungan D w pada λ 0 dapat dikontroldengan memvariasikan jari-jari core atau profil gradien indeks bias pada graded-indexfiber.5.3.2.4. Kombinasi Dispersi Material dan Dispersi Pandu GelombangEfek kombinasi kedua dispersi ini dikenal sebagai dispersi kromatik, yangbesarnya ditentukan oleh kebergantungan indeks-indeks bias n 1 dan n 2 pada panjang93

gelombang. Walaupun umumnya lebih kecil dari dispersi material, dispersi pandugelombang ini akan menggeser panjang gelombang pada dispersi kromatik minimum.Dispersi kromatik akan membatasi kinerja dari fiber modus tunggal. Untukmengurangi efek tersebut, profil indeks bias core dipilih sedemikian rupa sehinggadispersi pandu gelombang akan mengkompensasi dispersi material. Profil indeks biascore yang umum digunakan, ditunjukkan dalam Gb.5.14.aa0n0nKoefisien dispersi00(a)λ 0(b)λ 0Gambar 5.14. Profil-profil indeks bias untuk mengurangi efek dispersi kromatik danskematik koefisien dispersi yang bergantung pada panjang gelombang (kurva putusputus)dan kombinasi dispersi material dan koefisien dispersi pandu gelombang untukserat optik (a). dispersion-shifted dan (b). dispersion-flattened5.3.2.5. Kombinasi Material dan Modal DispersionEfek dispersi material pada pelebaran pulsa dalam serat optik multimode dapatditentukan dari konstanta perambatan modus β q dan kecepatan groupq⎛= ⎜dω⎝ dβdengan n 1 dan n 2 sebagai fungsi dari frekuensi ω. Sebagai contoh: konstantaperambatan dari graded-index fiber dengan jumlah modus yang besar. Walaupun n 1vq⎟⎠⎞94

dan n 2 bergantung pada ω, dapat diasumsikan bahwa rasio ∆ = ( n1 − n2)/n1bergantung pada ω. Dengan aproksimasi tersebut, maka kecepatan group v q diperoleh:tidakp/ ( p+2)c ⎡⎤0 p − 2 ⎛ q ⎞v q ≈ ⎢1− ⎜ ⎟ ∆⎥(5.48)N1⎢⎣p + 2 ⎝ M ⎠ ⎥⎦dimana N ( d / dω) ( ωn) = n − λ ( dn / λ )= adalah indeks group dari material core.1 1 1 0 1 d0Untuk step-index fiber ( p = ∞), kecepatan-kecepatan group dari modusbervariasi dari 0 / N1c dan ( / N )( 1 − ∆)( c / N ) 2c 10 , sehingga waktu respon menjadi:L ∆σ τ ≈(5.49)01Bila tak ada dispersi material, maka pers. (5.49) identik dengan pers. (5.39).5.3.2.6. Nonlinear DispersionEfek dispersi lain, terjadi bila intensitas cahaya didalam core cukup tinggi,sehingga indeks bias menjadi bergantung pada intensitas dan material tersebut disebutmaterial optik nonlinier.= n n I(5.50)n 0 + 2dimana n 0 adalah indeks bias linier, n 2 adalah indeks bias nonlinier dan I adalahintensitas cahaya. Bagian pulsa optik dengan intensitas tinggi akan mengalamipergeseran fasa yang berbeda dibandingkan dengan bagian pulsa optik yangmempunyai intensitas rendah, sehingga frekuensi akan berubah. Karena efek dispersimaterial, kecepatan-kecepatan group akan dimodifikasi sehingga bentuk pulsa pun akanberubah. Pada kondisi tersebut, dispersi nonlinier dapat mengkompensasi dispersimaterial, sehingga profil pulsa tidak berubah. Gelombang-gelombang terpandu tersebutdinamakan sebagai gelombang-gelombang soliter (solitary waves) atau soliton. Optiknonlinier dibahas tersendiri dalam mata kuliah pilihan.95

5.3.3. Perambatan pulsa1Suatu pulsa optik dengan daya τ − p( t τ )0 /0dan durasi singkat τ 0 , dimana p(t)adalah fungsi yang memiliki satuan durasi dan satuan luas, ditransmisikan melaluisuatu fiber multimode dengan panjang L. Daya optik yang diterima adalah :M⎛ t − τ ⎞P (t) ∝ exp(5.51)∑q=1−1( ) ⎜ q− 0,23ασ⎟ qLq p⎝ σq⎠dimana M adalah jumlah modus, indeks q mengacu pada mode q, α q adalah koefisienatenuasi (dB/km),τ = L / v adalah waktu tunda (delay time), v q adalah kecepatanqqgroup dan σ q > τ 0 adalah lebar pulsa modus q. Persamaan (5.51) diasumsikan daya daripulsa yang datang secara sama tersebar diantara modus M. Juga diasumsikan bahwabentuk pulsa p(t) tidak berubah, ia hanya ditunda selama τ q dan mengalami pelebaranσ q akibat dari perambatan. Profil pulsa Gauss akan mengalami pelebaran tanpa adanyaperubahan bentuk pulsa gauss itu sendiri.Pulsa yang diterima (ditransmisikan) karenanya terdiri dari pulsa-pulsa Mdengan lebar σ q yang berpusat pada waktu delay τ q (lihat gambar 5.15). Campuranpulsa memiliki lebar total σ τ yang menggambarkan waktu respon total dari fiber.σ τσ q0ττ0 minτ qτmaxτGambar 5.15. Respon dari fiber multimode terhadap pulsa tunggal (single pulse)Karenanya ada dua tipe dasar dari dispersi : intermodal dan intramodal.Intermodal (modal) merupakan distorsi delay akibat disparitas antara watu delay τ q darimodus-modus. Perbedaan waktu 1 ( − τ )τ2 max min antara waktu delay terpanjang dan96

terpendek merupakan dispersi modus (modal dispersion). Untuk fiber step-index dangraded-index dengan jumlah modus M yang besar, diungkapkan berturut-turut olehpersamaan (5.39) dan (5.40).Dispersi material memiliki efek yang sama pada dispersi modus karena iamempengaruhi waktu tunda (delay time). Sebagai contoh persamaan (5.39)memberikan dispersi modus dari fiber multimode dengan dispersi material. Dispersimodus berbanding lurus dengan panjang fiber L, kecuali untuk fiber-fiber yangpanjang, dimana kopling modus berkontribusi, karenanya sebanding dengan L 1/2 .Dispersi intramodal adalah pelebaran pulsa akibat individu mdus-modus. Halini diakibatkan oleh kombinasi dispersi material dan dispersi pandu gelombangdihasilkan dari lebar spektral terbatas (finite) pulsa optik awal. Lebar pulsa σ q diberikanoleh :2q20( D σ L) 2σ ≈ τ +(5.52)qλdimana D q adalah suatu koefisien dispersi yang menggambarkan kombinasi efekdispersi material dan dispersi pandu gelombang untuk modus q. Dispersi materialbiasanya lebih signifikan. Untuk lebar pulsa awal yang sangat pendek τ 0 :2qσ ≈ σ L(5.53)D qλGambar 5.15. merupakan ilustrasi skematik dimana profil pulsa-pulsa merambatmelalui jenis fiber yang berbeda dibandingkan. Dalam fiber step-index multimode,dispersi modus 1 ( − τ )2τ umumnya jauh lebih besar daripada dispersimaxminmaterial/pandu gelombang σ q , karenanya dispersi intermodal dominan danσ ≈ 1 ( τ − ττ ). Dalam fiber graded-index multimode, 1 ( τ − τ )2maxminsebanding dengan σ q sehingga lebar pulsa total mencakup seluruh efek-efek dispersi.Dalam fiber modus tunggal (single mode), tidak ada dispersi modus dan transmisi pulsadibatasi oleh dispersi material dan dispersi pandu gelombang. Dispersi total yang palingrendah diperoleh dalam fiber modus tunggal yang beroperasi pada panjang gelombangdimana tidak ada kombinasi dispersi material-pandu gelombang.2maxmin97

0τstep-index multimode fiber0τ0τgraded-index fiber0τ0τstep-index multimode fiber(coupled modes)0τσ τ0τsingle-mode fiber0τsoliton0τNonlinear fiber0τGambar 5.16. Pelebaran pulsa optik pendek setelah transmisi melalui beberapa tipefiber (serat optik) yang berbeda. Lebar pulsa yang ditransmisikan dibentuk oleh dispersimodus dalam fiber multimode (step-index dan graded-index). Dalam fiber singlemode,lebar pulsa ditentukan oleh dispersi material dan dispersi pandu gelombang.Pada kondisi tertentu dengan intensitas pulsa yang tinggi (soliton), pulsa dapatmerambat melalui fiber nonlinier tanda pelebaran. Hal ini sebagai hasil dariseimbangnya antara dispersi material dan self-phase modulation (indeks bias yangbergantung pada intensitas cahaya).98

5.3.4. SolitonJika pulsa cahaya merambat dalam suatu medium dispersif, maka bentuk pulsaakan berubah secara kontinu, karena komponen-komponen frekuensi merambat dengankecepatan group yang berbeda dan time delay yang berbeda pula [lihat Gb. (5.15)].Bila mediumnya adalah medium optik nonlinier, efek self-phase modulation (n 2 > 0,efek Kerr, dibahas terpisah dalam kuliah Optik Nonlinier) akan merubah fasa danfrekuensi yang mempunyai intensitas lemah dengan jumlah yang tak sama. Akibat daridispersi kecepatan group, bagian pulsa akan merambat dengan kecepatan group yangberbeda sehingga bentuk pulsa akan berubah. Kombinasi self-phase modulation dandispersi kecepatan group akan menghasilkan pelebaran pulsa secara keseluruhan ataukompresi pulsa, bergantung pada besar dan tanda (signs) dari kedua efek tersebut.Gambar 5.17. Pelebaran pulsa pendek dalam medium linier dengan dispersi anomali;panjang gelombang pendek dari komponen B mempunyai kecepatan group yang lebihbesar, karenanya menjalar lebih cepat dibandingkan dengan panjang gelombang yanglebih panjang dari komponen R. (b). Dalam medium nonlinier, self-phase modulation(n 2 > 0), mengakibatkan pergeseran frekuensi negatif dalam pulsa R dan pergeseranfrekuensi positif dalam pulsa B, sehingga pulsa berbentuk chirped tetapi bentukpulsanya tak berubah. Jika pulsa chirped menjalar dalam medium linier, maka pulsaakan dikompres. Namun jika mediumnya adalah medium nonlinier dispersif (c), makapulsa akan dikompres, diperlebar atau dijaga konstan (soliton) bergantung pada besardan tanda dari dispersi dan efek nonlinier medium.99

Pada kondisi tertentu, suatu pulsa optik dapat merambat dalam mediumnonlinier dispersif tanpa adanya perubahan bentuk pulsa. Hal ini terjadi bila dispersikecepatan group dikompensasi sepenuhnya oleh efek self-phase modulation. Pulsatersebut dinamakan sebagai solitary waves. Soliton adalah bentuk solitary wavekhusus yang ortogonal, dimana bila kedua pulsa saling bertemu dalam suatu medium,profil intensitas pulsa tidak berubah sehingga masing-masing pulsa akan merambatsecara kontinu tanpa saling berinteraksi satu sama lain (independen). Variasi dispersikecepatan group dan self-phase modulation dapat dipahami dari intensitas pulsa I(z,t)dan frekuensi ω 0 yang merambat dalam arah-z pada medium nonlinier dengan indeksbias n = n 0 + n 2 I(z,t). Bila pulsa merambat dengan jarak ∆z, maka ia mengalamipergeseran fasa sebesar k 0 [n 0 + n 2 I(z,t)]∆z, sehingga fasa keseluruhan menjadi:ϕ () = ω t − k [n n I(z, t)](5.51)t 0 0 0 + 2dan frekuensi sudut diberikan oleh:( z, t)dϕdIω i = = ω0t− k0n2∆z(5.52)dtdtJika n 2 > 0, frekuensi dari bagian pulsa sebelah kanan (red half) akan meningkat(blue-shifted), karena dI/dt < 0, sedangkan bagian pulsa sebelah kiri (left half) akanberkurang (red-shifted) , karena dI/dt > 0. Dengan demikian bentuk pulsa menjadichirped-pulse (frekuensi pulsa berubah terhadap waktu). Jika mediumnya mempunyaidispesi anomali (koefisien dispersi positif), maka kecepatan group akan berkurangdengan pertambahan panjang gelombang. Akibatnya bagian pulsa blue-shiftedmerambat lebih cepat daripada pulsa red-shifted, sehingga akan terjadi kompresi(penyempitan) pulsa.Pada intensitas dan profil pulsa tertentu, efek self-phase modulation sebandingdengan dispersi kecepatan group, sehingga bentuk pulsa menjadi stabil dan menjalartanpa adanya pelebaran pula (soliton). Soliton dapat dianggap sebagai modus-modus(fungsi eigen) dari sistem medium nonlinier dispersif. Analisis matematik dari solitondidasarkan pada solusi persamaan-persamaan gelombang nonlinier, sehinggapembaca/mahasiswa memerlukan pemahaman tentang optik nonlinier yang cukup.Perbandingan antara perambatan pulsa Gauss dalam medium linier dan dispersip danperambatan soliton pada medium nonlinier ditunjukkan pada Gb. 5.18. Tampak bahwasoliton tidak mengalami pelebaran pulsa sepanjang arah perambatannya.100

Gambar 5.18. Penjalaran pulsa Gauss dalam medium linier dan soliton dalam mediumnonlinier. (a) pulsa Gauss mengalami pelebaran pulsa sedangkan soliton tidakmengalami pelebaran pulsa sepanjang arah perambatannya, (b) pada intensitas tinggiberkas laser tidak mengalami pelebaran dan pelemahan karena efek soliton.101

BAB 6SWITCHING OPTIKSwitching merupakan suatu komponen yang sangat penting dalam jaringantelekomunikasi. Ia juga merupakan operasi dasar bagi komputer optik dan sistempemrosesan sinyal. Pengembangan yang sangat pesat dari sistem komunikasi denganserat optik yang berkecepatan tinggi (10 12 bit/detik) telah meyebabkan suatu kebutuhanakan piranti untuk pemrosesan sinyal optik berkecepatan tinggi yaitu dengan switchingoptik (all-optical switching). Demikian juga potensi untuk komputer optik hanyak bisadirealisasikan jika tersedia deretan dari gerbang-gerbang fotonik, switching danelemen-elemen memori. Dalam bab ini akan dibahas tentang prinsip dasar dariteknologi switching optik/fotonik dan pemrosesan sinyal optik.6.1. SwitchingSwitching adalah suatu divais untuk membuat dan memutuskan kontak diantaralintasan-lintasan transmisi dalam sistem komunikasi atau pengolahan sinyal. Beberapacontoh sederhana dari elemen switching ditunjukkan pada Gb. 6.1. Unit kontrolberfungsi untuk memproses perintah untuk koneksi dan mengirimkan suatu kontrolsinyal untuk mengoperasikan switching sesuai dengan yang dikehendaki.Gambar 6.1. Contoh elemen swtiching, (a) 1 x 1, (b) 1 x 2, dan (c) 2 x 2. Unit kontrolberfungsi untuk mengkontrol elemen sesuai dengan yang dikehendaki.102

Suatu piranti switching dicirikan oleh parameter-paramater berikut:(a) Ukuran (jumlah saluran input dan output) dan arah (apakah data dapat ditransferkedalam satu atau dua arah).(b) Waktu switching (waktu yang diperlukan untuk merubah dari kondisi ON kekondisi OFF atau sebaliknya)(c) Waktu tunda (delay time) perambatan (waktu yang diperlukan sinyal untukmelewati piranti switching)(d) Throughput (laju transmisi data yang dapat dialirkan melalui piranti jika iadihubungkan)(e) Energi switching (energi yang diperlukan untuk mengaktifkan dan menonaktifkanswitching)(f) Disipasi daya (energi yang hilang per detik didalam proses switching)(g) Insertion loss (daya sinyal yang berkurang/drop akibat adanya sambungan)(h) Crosstalk (kebocoran daya ke jalur yang lain)(i) Dimensi fisik (ukuran fisik dari piranti)6.2. Switching ElektronikSwitching elektronik adalah suatu piranti yang digunakan dalam sinyalelektronik. Ia dikontrol oleh electro-mechanical (relay) atau secara elektronik(rangkaian logika). Material yang digunakan sebagai bahan sinyal elektronik umumnyabahan semikonduktor. Berikut beberapa karakteristik dari switching elektronik :• Minimum switching time : 10 – 20 ps• Minimum energy per operation = 10 – 20 fJ• Minimum switching power ≈ 1 mW• Piranti Josephson dapat beroperasi pada energi yang rendah ( 10 aJ), switchingtime 1,5 ps.Pada prinsipnya sinyal optik dapat diswitch dengan menggunakan switchingelektronik, dimana sinyal optik dikonversi ke dalam sinyal elektronik denganfotodetektor, kemudian diswitch secara elektronik dan dikonversi kembali ke dalamsinyal optik dengan LED atau laser, seperti ditunjukkan pada Gb. 6.2. Akibat proseskonversi time delays menjadi lama dan terjadi disipasi daya (power loss).103

Gambar 6.2. Proses switching sinyal optik menggunakan switching elektronik.Fotodetektor digunakan untuk mengkonversi sinyal optik menjadi sinyal elektronik(O/E), sedangkan sinyal elektronik dikonversi menjadi sinyal optik (E/O) menggunakanLED (Light Emitting Diode). Tahapan konversi sinyal menyebabkan waktu switchingmenjadi lebih lama dan kerugian daya (power loss).6.3. Switching Opto-MechanikSwitching opto-mekanik menggunakan cermin-cermin yang bergerak (berputaratau berganti), prisma atau grating holografis untuk mendefleksikan (membelokkan)cahaya. Elemen pizoelektrik dapat digunakan sebagai switching berkecepatan tinggiatau tetesan dari air-raksa di dalam sel (tabung) yang bergerak dapat digunakan sebagaicermin yang berputar. Suatu serat optik dapat dihubungkan dengan sejumlah seratoptik lainnya dengan memutar fiber input secara mekanik sehingga sejajar/sesuaidengan serat optik yang dipilih, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 6.3.Keterbatasan utama dari switching opto-mekanik adalah kecepatan switching yangrendah (dalam orde mili-detik). Keuntungannya adalah insertion loss dan crosstalkyang rendah.Gambar 6.3. Switching opto-mekanik, dimana sinyal optik diswitch menggunakansistem mekanik. Keterbatasan utama sistem switching ini adalah waktu yang relatiflama (mili-detik).104

Contoh lain dari penggunaan sistem switching elektro-mekanik adalah suatu fiber optikyang dihubungkan dengan sejumlah fiber optik yang lain secara mekanik dengan caramenggerakkan fiber input sejajar dengan fiber output, seperti ditunjukkan pada Gb. 6.4.Gambar 6.4. Contoh penggunaan switching elektro-mekanik pada sambungan seratoptik input pada 5 (lima) serat optik output. Index matching liquid digunakan agarkopling memiliki efisiensi yang tinggi.6.4. Switching Elekto-OptikSwitching elektro-optik menggunakan bahan elektro-optik, dimana indeksbiasnya berubah akibat kehadiran medan listrik (efek Pockel cell). Contoh bahanelektro-optik yang banyak digunakan sebagai material switching elektro-optik adalahLithium Niobate (LiNbO 3 ) atau kristal cair (liquid crystal). Umumnya bahan-bahantersebut dibuat dalam divais modulator fasa secara elektrik atau pelambat gelombang(wave retarder), Mach-Zehnder interferometer dan directional coupler. Contoh-contohdivais switching elektro-optik ditunjukkan pada Gb. 6.5Gambar 6.5. Switching elektro-optik dengan konfigurasi (a). Mach-Zehnderinterferometer, dan (b). Directional coupler. Tegangan yang diberikan pada bahanelektro-optik mengakibatnya perbedaan fasa sehingga output dapat diatur dengantegangan yang diberikan.105

Dalam divais switching elektro-optik, jika bahan elektro-optik diletakkan dalamsalah satu cabang dalam interferometer atau diantara dua polarisator yang berlawanan,ia dapat mengontrol modulasi cahaya atau switching 1 x 1. Switching ini dapatberoperasi pada beberapa Volt dan kecepatan > 20 GHz. Transmitansi divaisbergantung pada tegangan yang diberikan (V) berdasarkan persamaan :2⎛Γ0π V ⎞I(V)= sin⎜ −2 2 V⎟⎝π ⎠Γ = k L0VπDimana jika medium memiliki efek Pockels, indeks biasnya menjadi anisotropi karenakehadiran medan listrik E :nn1( E)20( E)( n − n )1d=L χ n31 12λ0− χn321 3 ⎫≈ n1− χ1n1E2 ⎪⎬ χi1 3≈ n2− χ2n2E⎪2⎭2= koefisien Pockels(6.1)(6.2)Keterbatasan switching ini adalah dimensi yang relatif besar, kesulitan kopling denganfiber optik, khususnya bila single mode fiber dihubungkan dengan directional coupler.6.5. Switching Akusto-OptikSwitching akusto-optik menggunakan sifat defleksi Bragg cahaya oleh bunyi,dimana daya dari cahaya yang didefleksikan dikontrol dengan intensitas bunyi, sepertidiperlihatkan pada Gb. 6.6. Keterbatasan switching ini adalah maksimum perkalianNM yang dapat dicapai dengan sel akusto-optik.Gambar 6.6. Defleksi sinyal optik oleh grating bunyi106

Prinsip kerja dari switching akusto-optik ditunjukkan pada Gb. 6.7, dimana defleksisinyal optik oleh bunyi mengikuti hukum Bragg.Gambar 6.7. Proses defleksi cahaya oleh bunyi, mengikuti hukum BraggKondisi Bragg terpenuhi, jika sudut θ = θ B (sudut Bragg) :( 2π/Λ)( 2π/λ)qsin θ B= =2k 2λ(6.3)=2Λdengan λ adalah panjang gelombang cahaya dan Λ adalah perioda grating dari bunyi.Koefisien refleksi dari divais switching diatas diungkapkan oleh :( )1 ⎡r = jr'Lsin c ⎢ q − 2ksin θ2 ⎣− qr' = ∆n; Ωt= ϕ2 02nsin θsehingga reflektansinya menjadi :2πR =2λ202℘ nℵ =ρv3s⎛⎜⎝6Lsin θ2⎞⎟ ℵI⎠SL2⎤⎥eπ⎦jΩt(6.4)(6.5)107

dimana ℵ adalah figure of merit (FOM) untuk kekuatan efek akusto-optik dalam bahan,dan ℘ adalah konstanta fotoelastik (strain-optic coefficient). Jelas bahwa untukmeningkatkan kinerja dari switching akusto-optik, FOM dan konstanta fotoelastik daribunyi harus tinggi. Hubungan antara reflektansi dan sudut cahaya datang ditunjukkanpada Gb. 6.8.Gambar 6.8. Hubungan antara reflektansi dengan sudut cahaya datang pada divaisswitching akusto-optik.6.6. Switching Magneto-OptikDivais ini menggunakan bahan magneto-optik (material yang sifat-sifatoptiknya dipengaruhi oleh medan magnet). Misalnya material yang memiliki efekFaraday (berperilaku sebagai polarisator jika diberikan medan magnet statik), dimanarotary power ρ (sudut persatuan panjang) sebanding dengan rapat fluks magnet Bdalam arah perambatan gelombang :ρ = VB(6.6)dimana V adalah konstanta Verdet.Prinsip kerja switching ini adalah jika material ini diletakkan diantara dua buahcross polarizers, transmisi optik I = sin 2 θ bergantung pada sudut rotasi polarisasi θ =ρd, dimana d adalah ketebalan sel. Jadi divais switching ini dapat dikontrol denganmedan magnet B. Contoh konfigurasi switching magneto-optik diperlihatkan pada Gb.6.9. Keterbatasan dari sistem switching ini adalah waktu switching yang relatif lama(orde mili – mikro detik).108

Gambar 6.9. Contoh suatu switching dengan 4 x 4 magneto-optic crossbar6.7. All-Optical SwitchingDalam all-optical switching (optik-optik), switching dilakukan oleh cahayasehingga cahaya mengontrol cahaya dengan bantuan bahan optik nonlinier. Efek-efekoptik nonlinier bersifat langsung dan tidak langsung.Efek langsung terjadi pada tingkatan atom atau molekul akibat kehadirancahaya yang merubah suseptibilitas atom atau laju absorpsi atom dari medium. Contohdari efek langsung adalah :1. Efek Kerr (indeks bias berubah terhadap intensitas cahaya)n(I)= n0 ± n2Idimana n 0 adalah indeks bias linier, n 2 adalah indeks bias nonlinier dan I adalahintensitas cahaya. Tanda plus dan minus mengandung arti bahwa nilai n 2 bisapositif atau negatif bergantung pada bahan dan panjang gelombang cahaya.2. Saturable absorption (koefisien absorpsi berubah terhadap intensitas cahaya)α ( I) = α0± α2Idimana α 0 adalah indeks bias linier, α 2 adalah indeks bias nonlinier dan I adalahintensitas cahaya. Tanda plus dan minus mengandung arti bahwa nilai α 2 bisapositif atau negatif bergantung pada bahan dan panjang gelombang cahaya.109

Efek optik nonlinier tidak langsung meliputi suatu proses, dimana cahayamenimbulkan muatan listrik atau medan listrik yang memodifikasi sifat-sifat optikmedium:(a). Material fotorefraktif : absorpsi cahaya yang tak seragam menimbulkan muatanmuatanberdifusi menjauhi daerah yang memiliki konsentrasi tinggi dan terjebakdimana-mana, sehingga membentuk medan listrik yang memodifikasi sifat-sifatoptik medium.(b). Optically-addressed liquid crystal saptial light modulator : cahaya diserap olehlapisan fotokonduktif dan menimbulkan muatan-muatan listrik (medan listrik)yang memodifikasi orientasi molekul sehingga indeks bias material berubah.Dengan demikian transmisi cahaya dikontrol dengan cahaya.Efek-efek optik nonlinier (langsung dan tidak langsung) dapat digunakan untukmembuat all-optical switching.(1). Material yang memiliki efek Kerr, digunakan untuk modulasi intensitasditempatkan didalam salah satu lengan interferometer sehingga dapat mengontroltransmitansi interferometer (ON dan OFF), seperti tampak pada Gb. 6.10.Gambar 6.10. All-optical switching menggunakan Mach-Zehnder interferometerdengan material yang memiliki efek optik Kerr.(2). Retardasi, yaitu suatu divais dimana material nonlinier anisotropi diletakkandiantara dua polarisator. Contoh divais ini adalah fiber optik nonlinier dananisotropi yang digunakan untuk all-optical switch (Gambar 6.11). Kontrolcahaya ke dalam fiber mengakibatkan kelambatan fasa (retardasi) sebesar π,sehingga polarisasi input berubah sebesar 90 0 . Dengan demikian ouptput berbedapolarisasinya dengan input sebesar 90 0 . Jika kontrol cahaya ditiadakan, maka110

didalam fiber tidak terjadi kelambatan fasa, sehingga output dan input sefasa.Filter digunakan untuk memfilter cahaya/sinyal yang berbeda panjang gelombang.Gambar 6.11. Fiber optik nonlinier dan anisotropi digunakan sebagai retardasifasa untuk all-optical switching.(3). Suatu array switching menggunakan Optically-addressed liquid crystal spatiallight modulator seperti tampak pada Gb. 6.12 . Kontrol cahaya merubah medanlistrik didalam lapisan material liquid crystal sehingga merubahreflektansi/transmitansi. Titik-titik dalam permukaan liquid crystals memilikirelektansi yang berbeda dan bertindak sebagai switching independen yangdikontrol dengan cahaya input. Divais ini dapat mengakomodasi switching yangbesar namun kecepatannya rendah.Gambar 6.12. Switching dengan material kristal cair (liquid crystal), dimanaliquid crystal mengontrol cahaya input.(4). Directional coupler : Indeks bias dapat dipilih sedemikian rupa sehingga inputyang rendah dapat berpindah ke channel waveguide yang lain, sedangkan inputyang tinggi dapat bertahan dalam channel waveguide yang sama. Indeks biasyang dapat diatur adalah material optik nonlinier (efek Kerr). Contoh divaisdirectional coupler untuk all-optical switching diperlihatkan pada Gb. 6.13.111

Gambar 6.13. All-optical switching menggunakan divais directional coupler,dimana intensitas input yang berbeda dipisahkan pada masing-masing output.Suatu directional coupler dengan panjang yang tetap, L 0 = π/2a merubahrasio daya transfernya bila phase mismatch ∆β kecil. Perbandingan/rasio dayatransfer dapat ditulis sebagai fungsi ∆β diungkapkan oleh :( L )P0℘=P (0)22 2 L01⎛ π ⎞= ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠⎧⎪1⎡ ⎛ ∆βsin c ⎨ ⎢1+ ⎜2 ⎪⎩⎢⎣⎝ π2⎞⎟⎠⎤⎥⎥⎦1/ 2⎫⎪⎬⎪⎭(6.7)Switching (perubahan transmitansi daya) dapat diatur dengan mengatur phasemismatch ∆βL 0 (∆β = perbedaan konstanta propagasi). Dengan menyisipkanbahan optik nonlinier dalam salah satu lengan directional coupler, maka ∆β dapatdiatur dengan mengatur indeks bias menggunakan cahaya. Hubungan antara rasiodaya transfer dengan phase mismatch ditunjukkan pada Gb. 6.14.Gambar 6.14. Hubungan antara rasio daya transfer dengan phase mismatch112

Dalam all-optical switching, ada beberapa keterbatasan fundamental, dimananilai minimum energi switching (E) dan waktu switching (t) dari divais all-opticalswitching dibatasi oleh fundamental physical limits, yaitu:(1). Fluktuasi jumlah foton.Pada prinsipnya energi minimum yang diperlukan untuk switching adalahsatu foton. Namun jumlah foton yang dihasilkan sinar laser selalu jauh lebih besardari satu. Akibatnya energi minimum yang diperlukan untuk switching akanlebih besar. Jumlah foton yang dihasilkan oleh sumber cahaya umumnyamemenuhi distribusi random Poisson, dengan probabilitas :p(n) = nnexp( − n) / n!(6.8)dimana n adalah jumlah foton rata-rata.Contoh : Jika ada 21 foton yang dihasilkan oleh laser, untuk panjang gelombang λ= 1 µm diperlukan energi switching E = 21 x 1,24 = 4,2 aJ (26 eV).Sebagai referensi, biasanya digunakan 100 foton, sehingga untuk λ = 1µm energi minimum switching yang diperlukan adalah 20 aJ.(2). Ketidakpastian energi-waktu (energy-time uncertainty).σEσth≥4π(6.9)Perkalian E dan t harus lebih besar daripada h/4π (E ≥ h/4πt = hν/4πνt). Karenawaktu switching tidak lebih kecil daripada satu putaran optik (1/ν), maka bagian4πνt selalu lebih besar dari 1. Karena E dipilih lebih besar daripada energi satufoton (hν), maka kondisi ketidakpastian energi-waktu selalu terpenuhi.(3). Waktu switchingIni dibatasi oleh ketidakpastian energi-waktu. Kecepatan dalam femtosecondtidak dapat dicapai oleh switching semikonduktor. Kecepatan sub-picosecondtelah didemonstrasikan oleh all-optical switching devices.(4). UkuranLimit dari ukuran switching foton dibentuk oleh efek difraksi, dimana sulit untukmengkopel cahaya ke dalam dan keluar dari divais dengan dimensi lebih kecildari panjang gelombang cahaya.113

(5). Keterbatasan PraktisMasalah utama untuk all-optical switching adalah sulitnya memperoleh materialdengan efek optik nonlinier yang besar, sehingga energi switching yangdiperlukan cukup besar. Masalah lain adalah panas yang dihasilkan dari prosesswitching terutama jika switching dilakukan secara berulang. Jika energiminimum untuk setiap switching adalah E, maka total energi yang diperlukan perdetik adalah E/t. Jika waktu switching sangat kecil (fs atau ps), maka total energimenjadi besar, sehingga membuat switching dengan kombinasi energi yang kecildan waktu yang pendek sangat sulit.Gambar 6.15. menunjukkan grafik hubungan antara energi switching dan waktuswitching untuk all-optical switching dibandingkan dengan switching elektronik daribahan semikonduktor. Tampak bahwa all-optical switching membutuhkan energi yangkecil dan waktu switching yang sangat cepat (orde femto-detik atau 10 -15 detik).Namun untuk all-optical switching pun ada keterbatasan fundamental, seperti yangdiuraikan diatas.Gambar 6.15. Limit pada energi dan waktu untuk all-optical switching. Energiswitching harus diatas garis 100 foton. Jika switching dilakukan berulang, maka energidan waktu switching berada di sebelah kanan garus heat transfer. Limit untuk divasielektronik berbahan semikonduktor adalah garis 1 µW, 20 fJ dan 20 ps.114

6.8. Divais Bistable OpticsDalam sistem elektronik digital (komputer digital) mengandung sejumlah besarelemen-elemen dasar : switching, gerbang dan elemen-elemen memori (flip-flops).Dalam bagian ini akan dibahas divasi bistable optics yang dapat digunakan untukgerbang-gerbang optik dan flip-flops. Sistem bistabil memiliki output dalam dua hargayang stabil, berapapun input yang diberikan, seperti tampak pada Gb. 6.16. Switchingantara dua harga tersebut diperoleh dengan perubahaan sesaat dari input.Gambar 6.16. Kurva bistabilitas optik, dimana satu nilai input memiliki dua buah nilaioutput. Kurva ini banyak digunakan untuk switching dan flip-flops pada gerbanglogika optik.Sistem ini dapat dioperasikan untuk input yang kecil, maka outputnya kecil ;input besar maka output juga besar. Jika nilai input melebihi nilai kritis (v 2 ), makaoutput loncat dari rendah ke tinggi. Jika input diperkecil sehingga melewati nilai kritisyang lain (v 1 , dimana v 1 < v 2 ), maka output loncat dari tinggi ke rendah. Hubungan inidisebut dengan kuva histeresis.Gambar 6.17. Prinsip kerja flip-flops berdasarkan kurva histeresis (bistabilitas optik)115

Nilai input antara v 1 dan v 2 ; nilai output bisa rendah atau tinggi bergantung padahistori dari input. Dalam daerah ini sistem berperilaku seperti sebuah seesaw. Jikaoutput rendah, input positif yang besar menyebabkan flip output ke tinggi dan jika inputnegatif yang besar menyebabkan flops ke output yang rendah (Gambar 6.17).Berikut ini beberapa contoh pemakaian kurva bistabilitas optik untuk berbagaidivais, seperti gerbang logika AND, penguat sinyal (amplifier) dan optical limiter atauoptical pulse shaper.1. Gerbang logika ANDPrinsip kerja gerbang logika AND ditunjukkan pada Gb. 7.18, dimana inputberharga 1 jika kedua input juga berga satu, sisanya nol (0).Gambar 6.18. Gerbang logika ANDKurva bistabilitas dapat digunakan sebagai gerbang logika AND, dimana outputakan tinggi jika kedua input memiliki intensitas cahaya tinggi, seperti diperlihatkanpada Gb. 6.19.Gambar 6.19. Penggunaan kurva bistabilitas untuk gerlang logika optik AND. Nilaioutput akan berharga satu (1), jika kedua inputnya bernilai satu (1).116

2. Penguat Optik (Optical Amplifier)Nilai/intensitas input dapat diperkuat oleh suatu sistem yang memiliki kurvabistabilitas, seperti ditunjukkan pada Gb. 6.20.Gambar 6.20. Penggunaan kurva bistabilitas optik sebagai penguat cahaya input.3. Pembentuk Pulsa (Pulse Shaper) atau LimiterKurva bistabilitas dapat juga digunakan sebagai pembentuk pulsa, artinya merubahbentuk pulsa input atau bahkan untuk membatasi intensitas sinyal input, sepertiditunjukkan pada Gb. 6.21.Gambar 6.21. Penggunaan kurva bistabilitas sebagai pembentuk dan pembatasintensitas sinyal optik input.117

BAB 7KRISTAL FOTONIKKristal fotonik (photonic crystal, PhC) atau material photonic bandgap (PBG)adalah struktur periodik dari material dielektrik dengan permitivitas (e) atau indeksboas (n) yang berbeda, sehingga dapat menghambat perambatan gelombang denganfrekuensi dan arah tertentu. Periodisitas dapat berupa satu, dua dan tiga dimensi,sehingga PhC disebut kristal fotonik 1D, 2D dan 3D, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.1.PhC pertama kali diusulkan oleh Sajeev John dan Eli Yablonovitch pada tahun 1987yang bertujuan untuk merancang suatu material yang dapat mempengaruhi sifat-sifatfoton seperti halnya kristal semikonduktor yang dapat mempengaruhi sifat-sifatelektron.Gambar 7.1. Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D. Warna menggambarkan materialdielektrik dengan permitivitas atau indeks bias yang berbeda.Jika gelombang elektromagnetik menjalar ke dalam struktur PhC, maka ia akandihamburkan akibat perbedaan indeks bias di dalam struktur. Jika panjang gelombangjauh lebih besar daripada konstanta kisi dari PhC, struktur berperilaku seperti suatumedium efektif, namun jika panjang gelombang sebanding atau lebih kecil daripadakonstanta kisi PhC, maka akan terjadi refleksi Bragg, sehingga membentuk PBG. padasetiap bidang batas dua material dielektrik yang berbeda. Proses pembentukan PBGdigambarkan oleh persamaan Maxwell yang akan menghasilkan nilai eigen seperihalnya pada persamaan Schroedinger pada kasus elektron. Solusi persamaan tersebutdisebut dengan persamaan dispersi, dimana nilai eigen untuk vektor-gelombang tertentuberkaitan dengan energi elektromagnetik dan fungsi eigennya disebut moda/modus.Jika tidak ada moda pada rentang spektra tertentu, maka disebut photonic bandgap(PBG). Suatu PBG dapat berupa stop gap, bandgap atau bandgap sempurna. Stop gap118

erkaitan dengan tidak adanya moda fotonik dalam suatu frekuensi tertentu untuk satuarah tertentu. Bandgap adalah tidak adanya modus fotonik dalam suatu rentangfrekuensi tertentu untuk segala arah tetapi hanya satu polarisasi saja, yang hanya adapada PhC 2D. Sedangkan bandgap sempurna berarti tidak ada moda dalam semua arahdan polarisasi.7.1 Konsep Dasar Kristal FotonikKonsep dasar dari PhC mirip dengan konsep dasar perambatan elektron dalamkristal, hanya pembawanya adalah foton, sehingga bentuk ineraksi antara foton danPhC digambarkan oleh persamaan Maxwell. Perbandingan konsep kristal fotonik dankristal biasa, ditunjukkan pada Tabel 7.1. Karena keduanya periodik, maka digunakanfungsi Bloch untuk menggambarkan fungsi gelombangnya.Tabel 7.1. Perbandingan konsep kristal fotonik dan kristal biasaKristal fotonikPembawa adalah fotonInteraksi pembawa dengan PhCdigambarkan oleh persamaan Maxwellr 1∇ × rε() rr r∇ × Hkr⎛ ω ⎞⎜ ⎟⎝ c ⎠() r = H () rHamburan foton terjadi akibat perbedaanpermitivitas strukturPermitivitas bersifat periodikr r rε= ε+ R() ( )2rkrKristal biasaPembawa adalah elektronInterasi pembawa dengan kristaldigambarkan oleh persamaanSchroedinger2⎛ p r ⎞⎜ + V(r)2m⎟ ψ⎝ ⎠kr() r = Eψ() rHamburan elektron terjadi karenapotensial inti atom V(r)Potensial bersifat periodikr r rV= V + R( ) ( )krFungsi medan H memenuhi fungsi Blochr r r r r rH (r) = u (r)exp i k •kk[ ( )]Struktur pita/dispersi ( k)Fungsi gelombang memenuhi fungsiBlochr r r r rψ r) = u (r)exp i k •k(kω Struktur pita E n (k)n[ ( )]Mengatur sifat-sifat fotonMengatur sifat-sifat elektron119

7.2. Pembentukan PBG (Dispersi Relation)Salah satu metoda untuk kalkulasi PBG adalah menggunakan ekspansigelombang bidang. Analisis medan radiasi/ perambatan gelombang EM dalam kristalfotonik, diawali dengan memformulasikan persamaan nilai eigen dari persamaanMaxwell. Diasumsikan bahwa tak ada sumber muatan-muatan bebas (ρ = 0) dan takada sumber arus listrik (J = 0), maka bentuk persamaan Maxwell :r r r∇ • D( r,t)= 0r r r∇ • B( r,t)= 0rr rrr ∂B( )( r,t)∇ × E r,t = −∂trr rrr ∂D( )( r,t)∇ × H r,t =∂t(7.1)dimana D r adalah perpindahan listrik, B r adalah induksi magnet, H r adalah intensitasmagnet dan E r adalah medan listrik. Jika diasumsikan bahwa material kristal fotonikbukan material magnetik, sehingga permeabilitas kristal fotonik sama denganpermeabilitas ruang hampa µ 0 , maka berlaku :r r r rB( r,t) = µ0H( r,t)r r r r rD r,t = ε εE r,t( )0( ) ( )r r rKarena permitivitas PhC bersifat periodik dalam ruang ( ) = ε( + )3, ...dan { } i(7.2)ε a i, dengan i = 1, 2,a r −1 radalah vektor kisi elementer dari kristal fotonik, maka ε ()dapatdiungkapkan dalam deret Fourier:dengan { }r r( G) exp( iG r)−1 r 1rε ()= r = ε •()∑rεGG radalah vektor kisi balik.r r r rG = l1b1+ l2b2+ l3b3⎪⎫rr r⎬ bi= vektorelementerkisi balikai• bj= 2πδij⎪⎭r rSekarang, jika diasumsikan bahwa fungsi dielektrik adalah riil ε ( − G) = ε * ( G)persamaan Maxwell dalam kristal fotonik menjadi :(7.3)(7.4), maka120

∇ • { ε()( E r,t)} = 0r r r∇ • H( r,t)= 0rr rrr ∂H( )( r,t)∇ × E r,t = −µ(7.5)0∂trr rrr r ∂D( ) ( )( r,t)∇ × H r,t = ε0ε∂tDengan mengeliminasi medan-medan E dan H, maka diperoleh persamaan gelombangEM :21 r r r r 1 ∂ r rr ∇ × { ∇ × E( r,t)} = − E( r,t)2 2ε()c ∂tr2⎧ 1 r r r ⎫ 1 ∂ r r∇ × ⎨ r ∇ × H( r,t) ⎬ = − H( r,t)(7.6)2 2⎩ε()⎭ c ∂t1c =ε µ00Dengan mengasumsikan bahwa gelombang EM adalah gelombang harmonikr r r r r−iωtr r r −iωE r,t = Ee dan H r,t = He , maka persamaandengan frekuensi ω : ( ) ( ) ( ) ( )tgelombang (7.6) menjadi :LLEHr rE() rr rH() r1 r r r≡ r ∇ ×ε()cr ⎧ 1 r r r ⎫≡ ∇ × ⎨ r ∇ × H ⎬⎩ε()⎭2r ω r{ ∇ × E()} = E()2rωc() r = H()r22rr(7.7)Persamaan (7.7) dikenal sebagai persamaan Master untuk kristal fotonik, denganL ,L E Hadalah berturut-turut operator-operator untuk medan E dan medan H.LLEHOperator-operatorr1 r rE()r ≡∇ × ∇ ×ε()rrr ⎧ 1 rH()r ≡ ∇ × ⎨∇ ×⎩ε() r ⎭ ⎬⎫LE ,LHmemiliki sifat-sifat sebagai berikut :r2r ω r rLHH() = H()2cr r 2ω r r(H, LHH) = (H,H)2cKarena frekuensi ω adalah riil, maka :(7.8)(7.9)121

(H, LHrH)* ===2 2( ω c )2 2( ω c )r r( L H,H)Hr r* (H,H)r r(H,H)(7.10)Maka operator LHadalah Hermitian. Karena itu biasanya untuk menghitung bandgappertama dilakukan untuk medan H, baru kemudian medan E melalui :r r ⎛ ic ⎞ r r rE()= ⎜−r ⎟∇ × H()(7.11)⎝ ωε()⎠Karena ε bersifat periodik dalam ruang, maka kita dapat menerapkan teoremaBloch ke dalam persamaan Master, seperti halnya dalam kasus persamaan elektrondalam kristal biasa dengan potensial periodik akibat susunan atom yang teratur. MedanE dan H dicirikan oleh vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dan indekspita/band n:r r r r r r r rE() = E r () = u r () exp( ik •)kn knr r r r r r r r(7.12)H= H r= v rexp ik •() () () ( )kndimana fungsi-fungsi u ( r) dan v r ( r )ruknr r r rr adalah periodik yang memenuhiknknr r r r r r r r r+ . Karena fungsi-fungsi diatas juga periodik( r a ) = u r ( r) dan v r ( r + a ) v r ( r)knr =i knkn iknterhadap ruang, maka dapat diungkapkan dalam deret Fourier seperti halnya ε () r :r r r r r r rE r= E r G exp i k + G •rHknrkn() ∑ ( ) { ( ) }r knGr r r r r r() = H r ( G) exp{ i( k + G)•}∑rGknDengan mensubstitusikan kedalam persamaan Master, maka diperoleh :−−∑rG'∑rG'εε2r r r r r r r r ωrr rkn( G − G' )( k + G' ) × {( k + G' ) × E r ( G' )} = E r ( G)2r r r r r r r r ωrr rkn( G − G' )( k + G' ) × {( k + G' ) × H r ( G' )} = H r ( G)Dimana ω kn merupakan frekuensi eigen dari medan E r ( r) dan H r ( r)knkncc22knknrknrrknr−1 r(7.13)(7.14). Denganmenyelesaikan salah satu dari dua persamaan diatas secara numerik, maka akandiperoleh hubungan dispersi dari eigenmodes atau photonic bandgap (PBG) stucture.122

7.2.1. PBG pada Kristal Fotonik 1DDalam struktur kristal fotonik 1D, persamaan nilai eigen jauh sederhana karenahanya ada satu nilai k, dan indeks bias atau permitivitas ε seragam dalam dua arah(misalnya arah-x dan –z), sehingga permitivitas, medan H, dan medan B hanyabergantung pada satu koordinat saja (misalnya arah-y), seperti ditunjukkan pada Gb.7.2. Perhitungan PBG dapat dilakukan dengan dua metoda, yaitu plane-waveexpansion (solid state) dan matriks transfer.Gambar 7.2. Perambatan medan dalam kristal fotonik 1DJika menggunakan metoda plane-wave expansion, kita pandang kristal fotonik1D, dimana medan E sejajar sumbu-z dan gelombang merambat dalam arah-y, sehinggamedan listrik E dapat dinyatakan E(y,t), sehingga persamaan Master menjadi:221 ∂ E 1 ∂ E=ε y(7.15)ε2 2 2( ) ∂yc ∂t( y + a) = ε( y) ; a = periodaFungsi ε(y) dapat diungkapkan dalam deret Fourier :ε−1+∞+∞⎞( y) = ε exp( iGy) = ε exp i y⎟ ⎠∑mm=−∞Medan listrik diungkapkan oleh :EuE∑mm=−∞( y,t) ≡ Ek( y,t) = uk( y) exp{ i( ky − ωt)}( y + a) = u ( y)kk( y,t)=k∑ + ∞m=−∞Em⎛⎜⎝2πma⎧ ⎛ 2πm⎞ ⎫exp⎨i⎜k + ⎟y− iωkt⎬⎩ ⎝ a ⎠ ⎭(7.16)(7.17)Dengan mengasumsikan hanya ada komponen-komponen dengan m = 0 dan m = ± 1,maka :ε−1⎛ ⎞ ⎛ ⎞( ) ≈ ε + ε exp i y + ε exp − i y⎟ ⎠⎜⎝2πay0 1−1⎟⎠⎜⎝2πa(7.18)123

maka subsitusi persamaan (7.18) kedalam persamaan (7.17), diperoleh :2( m −1) π2( m + 1)222⎧ 2 ⎫ ⎧ π ⎫ ⎪ ωk⎛ 2mπ⎞ ⎪ε1⎨k + ⎬ Em−1+ ε−1⎨k + ⎬ Em+1≈ ⎨ − ε2 0⎜k+ ⎟ ⎬Em⎩a⎭⎩a⎭⎧⎪⎩c⎝a⎠⎫⎪⎭yang dapat diurai untuk masing-masing nilai m.EEE0−11222c ⎪⎧⎛ 2π⎞ ⎛ 2π⎞ ⎪⎫≈k E k E ; m 02 2 2 ⎨ ε1⎜− ⎟ −1+ ε−1⎜+ ⎟ 1⎬=ωk− ε0ck ⎪⎩ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎪⎭22c ⎪⎧⎛ 4π⎞2 ⎪⎫≈1k E2 1kE0; m 12 22 ⎨ ε ⎜ − ⎟ −+ ε−⎬ = −ω c ( k 2 a)ak− ε0− π ⎪⎩ ⎝ ⎠⎪⎭22c ⎪⎧⎛ 4π⎞2 ⎪⎫≈1k E21kE0; m = 12 22 ⎨ ε−⎜ + ⎟ + ε ⎬ω c ( k 2 a)ak− ε0+ π ⎪⎩ ⎝ ⎠⎪⎭(7.19)(7.20)π 2 2 2Ketiga persamaan pada pers. (7.20) akan bernilai sama jika k ≈ ; ωk≈ ε0ck , makaahanya E 0 dan E -1 saja yang dominan, sehingga suku yang lain dapat diabaikan, dengandemikian diperoleh dua persamaan terkopel :2 2 2( ω − ε c k )k− ε−102c k2E02⎛2π⎞E0− ε1c⎜k− ⎟ E−1= 0⎝ a ⎠2⎪⎧2 2⎛2π⎞ ⎪⎫+ ⎨ ωk− ε0c⎜k− ⎟ ⎬E−1= 0⎪⎩ ⎝ a ⎠ ⎪⎭2(7.21)Kedua persamaan linier ini mempunyai solusi nontrivial jika determinan koefisienkoefisiennyanol :22 2 22⎛2π⎞ωk− ε0ck − ε1c⎜k− ⎟⎝ a ⎠2= 02 2 2 2⎛2π⎞− ε− 1ck ωk− ε0c⎜k− ⎟(7.22)⎝ a ⎠22⎛2 2 2 2 2 ⎞2 2⎪⎧2⎛2π⎞ ⎪⎫(k 0ck) ⎜ ⎛ π ⎞ω − ε ωk− ε0ck ⎟ − ε1ck ⎨ε1c⎜k− ⎟ ⎬ = 0⎜ − ⎟ −a⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎪⎩ ⎝ a ⎠ ⎪⎭Persamaan (7.22) disebut persamaan dispersi untuk kristal fotonik 1D.124

Ilustrasi persamaan (7.22) diperlihatkan pada Gb. 7.3., dimana terbentuk bandgap, jikakedua material dielektrik memiliki permitivitas yang berbeda.Gambar 7.3. Pembentukan PBG pada kristal fotonik 1D. Hubungan dispersi untukkeistal 1D seragam (kiri), dan efek dari perubahan permitivitas menyebabkan split padabatas daerah Brilloin k = ± π/a .Perbedaan frekuensi (gap) pada k = π/a (kondisi Bragg) :ωε421− 22ω ε0= ε ε1 −12( ε ± ε )022⎛ π ⎞c ⎜ ⎟⎝ a ⎠2 2⎛ π ⎞ω = c ⎜ ⎟⎝ a ⎠⎛ π ⎞ω = c⎜⎟ ε0⎝ a ⎠± ε2 4⎛ π ⎞+ ε0c⎜ ⎟ − ε⎝ a ⎠1142144⎛ π ⎞c ⎜ ⎟⎝ a ⎠= 0(7.23)πcπcmaka bandgap terjadi pada rentang frekuensi ε0− ε1< ω < ε0+ ε1. Jikaaatidak ada variasi indeks bias (permitivitas, |ε 1 | = 0), seperti pada medium 1D seragam,maka tidak akan terbentuk bandgap (∆ω = 0), seperti pada Gb. 7.3 (kiri), sehinggahubungan dispersi menjadiπcω = = ck . Lebar bandgap ∆ω pada k = π/a sebedaraπc∆ ω = 2 ε1, sehingga lebar bandgap bergantung pada perbedaan indeks bias duaamedium dalam kristal fotonik.Perhitungan PBG kristal fotonik 1D dengan metoda matrik transfer dapat dilihat padaperhitungan multilayer dalam buku karangan P. Yeh, “Optical waves in LayeredMedia”, John Wiley, NY, 1988.125

7.2.2. PBG pada Kristal Fotonik 2DDalam PhC 2D, variasi indeks bias/permitivitas terjadi dalam dua arahkoordinat (misalnya arah-x, dan arah-y) tapi seragam dalam arah-z, seperti ditunjukkanpada Gb. 7.3. Akibatnya gelombang merambat dalam bidang x-y dan seragam dalamarah-z, sehingga permitivitas ε, medan E dan medan H tidak bergantung pada sumbu-z.Gambar 7.4. Struktur kristal fotonik 2D, dimana indeks bias bervariasi pada arah-x,dan –y, namun seragam dalam arah-z.Perhitungan PBG diawal dengan persamaan Master, dimana untuk kasus 2Dseperti pada Gb. 7.4, ada dua set-persamaan, yaitu :∂∂yEz∂E∂x∂H∂x∂∂yHz∂H∂x∂E∂xrdengan //( r , t) = −µ H ( r , t)( r , t) = µ H ( r , t)yzzyrr////r0∂0∂∂t∂∂tyrxr//r//⎫⎪⎪⎪⎬⎪ ⎪ ( r//, t) − Hx( r//, t) = ε0ε( r//) Ez( r//, t) ∂y∂t⎪⎭r( r , t) = ε ε( r ) E ( r , t)r//( r , t) = −ε ε( r ) E ( r , t)r//∂00r//∂∂tr ∂//∂tr⎪ ⎪ ( r//, t) − Ex( r//, t) = −µ0Hz( r//, t) ∂y∂t⎪⎭xyr//r//r∂∂rr⎫⎪⎪⎪⎬(7.24a)(7.24b)adalah vektor posisi 2D (x,y). Dari persamaan (7.24a), denganmengeliminasi medan H x (r // ,t) dan H y (r // ,t), diperoleh :1 2 22⎧ ∂ ∂ ⎫ r 1 ∂ rr ⎨ + Ez( //, t) Ez( //, t)2 2 ⎬ =(7.25)2 2ε( //) ⎩∂x∂y⎭ c ∂tsedangkan dari persamaan (7.24b), dengan mengeliminasi medan E x (r // ,t) dan E y (r // ,t),diperoleh :126

112⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎫ r 1 ∂ r⎨ r + r ⎬Hz( //, t) = Hz( //, t)(7.26)2 2⎩∂xε( //) ∂x∂yε( //) ∂y⎭ c ∂tDengan mengasumsikan bahwa medan-medan E dan H adalah medan harmonik :EHz( r//, t) = Ez(r//)exp( − iωt)r r( , t) = H (r )exp( − iωt)zr//maka diperoleh persamaan nilai eigen :zr//(7.27)LL( 2) E ( r )E( 2) H ( r )Hzzr//r//1 2⎧ ∂≡ − r ⎨ 2ε( //) ⎩∂x⎧ ∂≡ −⎨1 r⎩∂xε//2∂+∂y∂∂+( r ) x y ε( r )2∂∂⎫⎬E⎭z1 r( r ) = E ( r )//r//ωc22⎫⎬Hy⎭∂∂zrz2( r ) = H ( r )//r//ωc2zr//(7.28)dimana L( 2) ( 2)E, LHadalah operator-operator untuk medan listrik dan medan magnet dalamkristal fotonik 2D. Dua jenis operator ini menghasilkan dua fungsi eigen dengan duapolarisasiyang berbeda :1. Polarisasi E (TE), dimana medan listrik E sejajar sumbu-z2. Polarisasi H (TM), dimana medan magnet H sejajar sumbu-z.Dengan menerapkan teorema Bloch, maka medan E // dan H // dapat diungkapkansebagai :rr r r rE(r ) = E (r ) = E r (G ) exp i k + G •//H(r ) = H//z,k // nz,k // n//r(r ) =//∑G //∑G //z,k // nHrz,k // n//r(G ) exp i//{( ) }//r r r{( k + G )•}Dimana k // dan G // adalah vektor gelombang dan vektor kisi resiprok/balik dalam 2D.Substitusi persamaan tersebut ke dalam persamaan nilai eigen (7.28), diperoleh :denganr r'( G − G )rkr+ G(H)2r r r r r ω r''' k //( G − G )( k + G )•( k + G ) H r (G ) =nH r (G )//r ω' k //(G//) =2c(E)22'nrE rE r∑εr G // // // // z,k // nz,k // n'G //r rr∑εr G // // // // // // z,k n ////'G //(E)nk r //////////r(Gc2//)z,k // nω adalah frekuensi sudut eigen dari medan E ( r )zfrekuensi sudut eigen dari H r ( r )zHermitian :,k // nr//,k // n////(7.29)(7.30)rr , dan ω( r) adalahH k n //. Jika didefinisikan suatu matrik M k// yang127

MMrk //rk //r r r r r r r r'''( G//,G//) = ε r ( G//− G//)( k//+ G//)•( k//+ G//)Gr r r r' * '( G ,G ) = M r ( G ,G )////k //////(7.31)maka persamaan nilai eigen dapat diungkapkan dalam bentuk :(H)2r r r ωrr'' k //( G ,G ) H r ( G ) = ( )nH r GM r∑ k // // z,k n // 2 z,k n //(7.32)r//////'G //cdimana medan H ( Gr)z∫( 2)Vrddengan V (2)operator L( 2)HHr bersifat ortogonal :,k // nr//( 2)( r ) H r ( r' ) = V*// rr rz,k n // z,k' n' ////k k' //// //rδδnn'(7.33)adalah volume kristal fotonik 2D. Ortogonalitas ini konsekuensi dariyang Hermitian. Sedangkan operator L( 2)Etidak Hermitian, maka fungsifungsieigennya tidak perlu saling ortogonal.Untuk menghitung PBG dengan metoda plane-wave expansion, diperlukanekspansi dari koefisien-koefisien Fourier :r r r rε= ε r G exp iG •ε() ( ) ( )rGr( G)∑rG=1VG∫0 V 0r 1dr rε() rr rexp( − iG •)(7.34)dengan V 0 adalah volume sel-satuan (unit cell) dari kristal fotonik. Integral iniumumnya diselesaikan secara numerik.7.2.2.1. PBG Kolom silinder dielektrik (kisi persegi, square lattice)Pandang bentuk PhC 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dari bahandielektrik dalam udara, membentuk kisi persegi, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.5.Gambar 7.5. Kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom silinder dielektrikdengan permitivitas ε a dan jari-jari r a dalam udara (ε b ) membentuk kisi persegi dengankosntanta kisi a.128

Karena strukturnya uniform dalam arah-z, integral koefisien-koefisien Fourier adalahnol, jika G z ≠ 0, sehingga kita hanya membahas vektor-vektor {G // }:εrG1 rεr( G )( r )////1=V∫rdr1 r( r )(2) //0 ( 2) εV //01 ⎛ 1 1 ⎞= +⎜ −⎟ Sεb⎝ εaεb⎠(2)expr( r )//r r( − iG •)////(7.35)dimana :Sr( 2 )( r )sehingga diperoleh ://r⎪⎧1 untuk//≤ ra= ⎨ r⎪⎩ 0 untuk//> rar 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ r ( 2( ) dr S ) r r rG = δ r + ⎜ − ⎟ ( ) exp( − iG •)ε rG //G 0// //// ////εbV ⎜ ⎟0 ⎝ εaε∫ (7.36)b ⎠( 2)V0Untuk menghitung integral ini, kita gunakan koordinat polar (r,ϕ). Jika kita ambil arahdengan ϕ = 0 sebagai arah dari G // , maka untuk G // ≠ 0:∫( 2)V0rdr//S( 2 ) r r r( ) exp( − iG •)//////==ra∫0ra∫0drdr= 2πra2π2π∫0∫0∫0⎧ ⎛ π ⎞⎫dϕr exp⎨iGr sin⎜ϕ − ⎟⎬⎩ ⎝ 2 ⎠⎭dϕrdr r J∑0∞l=−∞⎧ ⎛ π ⎞⎫Jl ( Gr)exp⎨il⎜ϕ − ⎟⎬(7.37)⎩ ⎝ 2 ⎠⎭Dimana G = | G // | dan J ladalah fungsi Bessel orde- l . Jika kita turunkan persamaan(7.37) diatas dengan :( Gr)exp( iωsinφ) = J ( ω) exp( ilφ){ ωJ( ω)}'= ω ( ω)1J 0∑ ∞ ll=−∞(7.38)maka diperoleh :∫( 2)V0r rdr Sr2πrGa( r ) exp( − iG • r ) = J ( )// //// //1Grar(7.40)129

2πraDengan mendefinisikan fraksi volume kolom silinder adalah f = , maka untuk(2)V0rG //≠ 0 :r ⎛ 1 1 ⎞ J1( )( G ra)G = 2 f ⎜ − ⎟ε rG // ⎜ ⎟(7.41)⎝ εaεb⎠ G rardan untuk G //= 0 diperoleh :ε( 0)f=εaf - 1+εb(7.42)Dengan menggunakan perhitungan numerik, struktur pita untuk r a /a = 0.2, konstantadielektrik silinder (ε a = 8,9) dan bahan latar belakang udara (ε b = 1,0), ditunjukkan padaGb. 7.6. Garis merah menunjukkan polarisasi E (E//z, TE) dan garis biru untukpolarisasi H (H//z, TM). Gambar indeks adalah zona Brillouin pertama untuk kisikuadrat (quadratic lattice). Tampak bahwa bandgap hanya terjadi untuk kasuspolarisasi H (TM).Gambar 7.6. Struktur pita kristal fotonik 2D yang terdiri dari kolom-kolom dielektrikdalam udara dengan kisi persegi (square lattice)7.2.2.2. PBG Lubang udara dalam bahan dielektrik (kisi persegi, square lattice)Kristal fotonik 2D dengan kisi persegi dapat juga dibuat dengan membuatlubang-lubang udara berbentuk silinder dalam bahan dielektrik, seperti ditunjukkanpada Gb. 7.7 (b). Struktur pita untuk polarisasi TM dengan lubang udara yang disusunmenurut kisi heksagonal dalam bahan dielektrik, dengan konstanta dielektrik silinder ε a130

= 12 dan r a /a = 0,475, ditunjukkan pada Gb. 7.7(b). Dalam struktur ini, bandgap tidakterjadi pada polarisasi TE.Gambar 7.7. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D persegi dengan lubang-lubang udaradalam bahan dielektrik dan zona Brilloin, dan (b) struktur pita pada polarisasi TM.Daerah yang diarsir merah menunjukkan PBG.7.2.2.3. PBG Kolom silinder dielektrik (kisi heksagonal, hexagonal lattice)Struktur pita untuk kolom-kolom silinder dielektrik yang disusun menurut kisiheksagonal dalam udara, dengan konstanta dielektrik silinder (ε a = 12 dan r a /a = 0,2)dan bahan latar belakang udara (ε b = 1,0), ditunjukkan pada Gb 7.8.Gambar 7.8. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D heksagonal dan zona Brilloin, dan (b)struktur pita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putusmenunjukkan polarisasi TM.131

Bagian kiri menunjukkan konfigurasi PhC dan zona-Brillouin pertama-nya. Tampakbahwa bandgap hanya terjadi pada polarisasi TM saja. Dengan mengatur rasio r a /a,maka bandgap pada polarisasi TE dapat diperoleh, namun tidak dapat diperolehbandgap pada frekuensi yang sama untuk kedua polarisasi, sehingga tidak memilikibandgap sempurna.7.2.2.4. PBG Lubang dalam bahan dielektrik (kisi heksagonal, hexagonal lattice)Struktur pita untuk kolom-kolom silinder dielektrik yang disusun menurut kisiheksagonal dalam udara, dengan konstanta dielektrik silinder (ε a = 12 dan r a /a = 0,3)dan bahan latar belakang udara (ε b = 1,0), ditunjukkan pada Gb 7.9. Bagian kirimenunjukkan konfigurasi PhC dan zona-Brillouin pertama-nya. Dalam struktur pita,tampak bahwa bandgap hanya terjadi pada polarisasi TE saja.Gambar 7.9. (a) konfigurasi kristal fotonik 2D yang terdiri dari lubang-lubang udaradalam bahan dielektrik membentuk kisi heksagonal dan zona Brilloin, dan (b) strukturpita. Garis merah menunjukkan polarisasi TE dan garis biru putus-putus menunjukkanpolarisasi TM.Dengan mengatur rasio r a /a, maka bandgap pada kedua polarisasi TE dan TMdapat diperoleh pada rentang frekuensi yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Gb.7.10, untuk ε a = 12 dan r a /a = 0,3, sehingga struktur ini memiliki bandgap sempurna(complete bandgap).132

Gambar 7.10. Struktur pita kristal fotonik 2D dengan lubang-lubang udara dalambahan dielektrik yang membentuk kisi heksagonal (ε a = 12 dan r a /a = 0,3). Garis merahmenunjukkan polarisasi TE dan garis biru untuk polarisasi TM. Bandgap terjadi untukkedua polarisasi.7.2.3. PBG pada Kristal Fotonik 3DKristal fotonik 3D memiliki variasi permitivitas atau indeks bias ke semua arahperambatan, sehingga memiliki bandgap pada semua arah polarisasi. PhC 3D dibuatdengan berbagai bentuk dan struktur, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.11.(a) (b) (c)Gambar 7.11. Beberapa struktur kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich (fcc mirip intan),(b). Woodpile atau Lincoln/log like, dan (c). Tetragonal square spiral (Sajeev John).Struktur Yablonovich merupakan struktur kristal 3D pertama yang dibuat olehYablonovich pada tahun 1991. Perhitungan PBG untuk PhC 3D sama denganperhitungan untuk 1D dan 2D menggunakan persamaan Master. Gambar 7.12,133

memperlihatkan contoh struktur pita dari kristal fotonik 3D Yablonovich dan tetragonalsquare spiral.(a)(b)Gambar 7.12. Struktur pita dari kristal fotonik 3D; (a). Yablonovich, dan (b).Tetragonal square spiral.Struktur kristal fotonik 3D diatas dibuat teknik litografi yang berbiaya mahal,sehingga dikembangkan kristal fotonik 3D menggunakan metoda sederhana yangdisebut dengan self-assembly. Kristal ini dibentuk dari bola-bola silika yangmembentuk kisi fcc, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 7.13.Gambar 7.13. (a). Struktur kristal fcc dari bola-bola silika, (b). Foto SEM strukturkristal hasil eksperimen.134

Dalam struktur diatas, karena perbedaan indeks bias sangat kecil, maka untukmemperoleh bandgap yang cukup lebar digunakan teknik inversi, dimana bola-bolasilika yang terbentuk digantikan dengan material dielektrik lain yang memiliki indeksbias tinggi, seperti silikon melalui proses etching secara kimia. Dengan demikian kristalfotoniknya disebut inverted opal. Contoh prosedur pembuatan inverted opal silikondiperlihatkan pada Gb. 7.14(a) dan foto SEM hasil eksperimen beserta struktur pitanyapada bagian (b).(a)(b)Gambar 7.14. (a). Prosedur pembuatan inverted opal, (b). Foto SEM inverted opalsilikon dan struktur pitanya (bawah), yang menunjukkan terbentuknya bandgapsempurna (taken from A. Blanco, et al., Nature 405 (2000), p.437).Hasil pengukuran struktur bandgap dari kristal fotonik inverted opal silikonmenunjukkan kesesuaian dengan perhitungan teoritis, seperti yang ditunjukkan padaGb. 7.15. Hal ini berarti teknik pembuatan struktur ini sangat cocok untukdikembangkan pada fabrikasi kristal fotonik 3D berbiaya murah.135

Gambar 7.15. Struktur pita kristal fotonik 3D inverted opal silikon hasil perhitungan(atas) dan hasil pengukuran dalam dua-arah yang berbeda (bawah). Garis merahmenunjukkan polarisasi TE dan hitam untuk polarisasi TM (taken from Y. A. Vlasov etal., Nature 414, (2001), p. 289)Perkembangan teknologi litografi dan berbagai teknik pembuatan struktur PhC3D, telah menghasilkan berbagai struktur kristal yang berbeda dan menghasilkanbandgap sempurna pada rentang frekuensi yang berbeda, sehingga tidakmemungkinkan untuk dirangkum dalam tulisan ini. Para pembaca dipersilahkan untukmengikuti perkembangan kristal fotonik dalam berbagai jurnal ilmiah.7.3. Cacat pada Kristal FotonikCacat pada kristal fotonik sifatnya disengaja, yaitu dengan menyisipkan indeksbias material dielektrik yang berbeda dengan struktur kristal fotonik sempurna ataudengan merubah geometri (ukuran), sehingga periodisitasnya terganggu. Cacat dapatberupa titik (point defect) yaitu dengan merubah hanya salah satu dari susunandielektrik dan cacat garis (line defect) yaitu dengan menyisipkan beberapa defect.Penyisipan lapisan cacat mengakibatkan munculnya frekuensi (defect mode) didalambandgap, sehingga frekuensi tersebut dapat merambat ke dalam struktur kristal fotonik.Gambar 7.16 menunjukkan pengaruh cacat titik terhadap struktur pita. Tampak bahwaterdapat moda didalam bandgap.136

(a)(b)Gambar 7.16. Pengaruh penyisipan defect pada struktur pita bandgap (a). Point defect,dan (b) Line defect.Pembuatan lapisan defect ini agar kristal fotonik dapat digunakan untukberbagai aplikasi, seperti resonator laser (point defect) atau pandu gelombang (linedefect). Gambar 7.17 menunjukkan hasil eksperimen dari point defect dan line defect.Tampak bahwa frekuensi tertentu dapat merambat kedalam struktur.137

(a)(b)Gambar 7.17. Hasil eksperimen dan kurva resonansi dari (a) point defect untukaplikasi resonator [taken from J.S. Foresi, et al, Nature 390 (1997), p. 14], dan (b). Linedefect untuk pandu gelombang [taken from S. Olivier et al, Optical and QuantumElectronics 34 (2002), p.171].7.4. Aplikasi Kristal FotonikKristal fotonik dikembangkan untuk memuat berbagai divais fotonik untukmenggantikan divais elektronik, sehingga diharapkan dapat dibuat suatu sistem optikterintegrasi (integrated optical devices), seperti halnya pada integrated electronic. Padabagian ini akan dibahas beberapa aplikasi kristal fotonik, seperti laser, pandugelombang, all-optical switching, add-drop filter, dan all-optical diode. Para pembacadapat mengikuti perkembangan berbagai aplikasi kristal fotonik melalui jurnal ilmiah.7.4.1. LaserLaser yang efisien adalah laser yang hanya membutuhkan energi pembangkit(dapat berupa arus, tegangan listrik atau energi foton) yang kecil atau threshold yangkecil. Gambar 7.18 memperlihatkan hasil eksperimen aplikasi kristal fotonik 1D dan2D untuk laser. Laser 1D dibuat dengan membentuk grating pada permukaan film tipispolimer terkonjugasi MEH-PPV dengan teknik solvent-assisted micromolding [Gb.138

7.18(a)] dan laser 2D dibentuk dengan membuat point defect pada kristal fotonik 2D[Gb. 7.18(b)].(a)(b)Gambar 7.18. Kristal fotonik untuk aplikasi laser; (a). 1D dari material MEH-PPV[taken from M. Gaal et al., Adv. Mater 15 (2003), p.1165], dan (b) 2D dari materialInGaAsP [taken from O. Painter et al, Science 284 (1999), p. 1819].7.4.2. Pandu GelombangSalah satu masalah penting pada pandu gelombang konvensional adalah losspada bengkokan, akibat prinsip pemantulan total internal tidak terpenuhi. Kristalfotonik menawarkan solusi untuk mengatasi masalah tersebut. Gambar 7.19menunjukkan hasil eksperimen pandu gelombang pada kristal fotonik 2D yangmembentuk sudut 120 0 . Tampak bahwa cahaya masih dapat terpandu karena hamburan(loss) pada daerah bengkokan dapat dikurangi.139

Gambar 7.19. Foto pandu gelombang dengan sudut 120 0 pada kristal fotonik 2D (kiri),dan hasil pengukuran refleksi cahaya. Tampak bahwa cahaya dengan panjanggelombang sekitar 1 µm dapat ditransmisikan [taken from M. Tokushima et al, Appl.Phys. Lett. 76 (2000), p. 952]..7.4.3. Filter Add-DropFilter add-drop merupakan filter yang dapat mendistribusikan sinyal denganfrekuensi yang berbeda pada tempat yang berbeda walaupun sinyal-sinyal tersebutdibawa pada pandu gelombang yang sama. Filter add-drop banyak digunakan dalamkomunikasi optik, terutama pada pengolahan dan distribusi sinyal optik. Denganmengatur letak dan geometri point defect, kristal fotonik dapat diaplikasikan sebagaifilter add-drop, seperti ditunjukkan pada Gb. 7.20.Gambar 7.20. Disain, foto SEM dan hasil pengukuran spektrum filter add-drop [takenfrom S. Noda et al, Nature 407 (2000), p.608]140

7.4.4. All-Optical DiodeSuatu all-optical diode adalah suatu divais yang mengijinkan propagasi suatusinyal dengan panjang gelombang/frekuensi tertentu dalam satu arah (unidirectionalpropagation). Dalam kasus ideal, transmisi dioda adalah 100% dalam arah maju(forward) dan sangat kecil atau tidak ada untuk arah perambatan balik (backward).Disain all-optical diode menggunakan kristal fotonik 2D ditunjukkan pada Gb.7.21, dengan menyisipkan beberapa point defect. Dengan bentuk kristal fotonik yangterdiri atad kolom-kolom silinder dielektrik (ε = 11,56 misalnya GaAs atau Si pada 1,5µm) dalam udara. Di dalam lapisan defect dibuat beberapa silinder dielektrik denganpermitivitas nonlinier 7 dan rasio r/a = 0,18. Jika panjang gelombang/frekuensi cahayadiambil 0,326(2πc/a), maka transmitansinya bergantung dari arah dimana cahayadatang, sehingga memiliki karakteristik dioda.(a)(b)Gambar 7.21. (a) Disain all-optical diode dan perhitungan transmitansi sebagai fungsidari frekuensi, dan (b) Karakteristik all-optical diode [taken from S. Mingaleev & Y.Kivshar, J. Opt. Soc. Am. B 19 (2002), p.2241]7.4.5. All-Optical SwitchingKebutuhan yang besar pada divais pemrosesan sinyal optik berkecepatan tinggi,membuat banyak sekali peneliti yang mengusulkan membuat divais all-opticalswitching menggunakan kristal fotonik 2D. Switching terjadi karena penyisipanmaterial optik nonlinier, dimana indeks biasnya bergantung pada intensitas cahayadatang. Switching (perubahan transmisi pada frekuensi tertentu) diatur denganintensitas cahaya datang. Gambar 7.22 memperlihatkan salah satu contoh dari banyak141

struktur yang dibuat untuk aplikasi all-optical switching. Tampak bahwa transmitansipada defect mode (λ = 551 nm) berubah terhadap intensitas pumping, dan switching(perubahan transmitansi) dapat berlangsung pada 40 ps (4 x 10 -11 detik).(a)(b)Gambar 7.22. (a). Foto SEM struktur kristal fotonik (kiri) dan hasil pengukuran,simulasi PBG (kanan), dan (b). Hasil pengukuran transmitansi pada defect mode (551nm) sebagai dungsi dari intensitas pumping (bagian kiri adalah hasil pengukuran dankanan adalah hasil simulasi), sedangkan bagian kanan adalah perubahan transmitansisebagai fungsi dari waktu tunda (delay).142

REFERENSI1. O. Svelto,”Principle of Lasers ; 4 th Edition”, Plenum Press, New York, 1998.2. B.E.A. Saleh, and M.C. Teich, “ Fundamentals of Photonics”, John Wiley & SonsInc., NY, 1991.3. W. Koechner, “Solid-State Laser Engineering”, Springer Verlag, Berlin 1999.4. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn, “Photonic Crystals; Molding theFlow of Light”, Princeton University Press, 1995.5. K. Sakoda,” Optical Properties of Photonic Crystals”, Springer Verlag Berlin,2001.6. J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, R. D. Meade, J. N. Winn, “Photonic Crystals;Molding the Flow of Light; 2 nd Edition”, 2008.143