Handout Kuliah.pdf - Fisika Universitas Padjadjaran

HANDOUT KULIAHOPTIK NONLINIEROleh:DR. Ayi Bahtiar, M.Si.JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG2005

BAB 1. PENDAHULUAN

Physics would be dull and life most unfulfillingif all physical phenomena around us werelinear. Fortunately, we are living in nonlinearworld. While linearization beautifies physics,nonlinearly provides excitement in physics.Y.R. Shen. Principles of NonlinearOptics.

Observasi pertama efek optik nonlinierFrequency doubling pada laser Ruby (λ = 694,3 nm), menghasilkan panjanggelombang baru (λ = 347,2 nm)P.A. Franken, A.E. Hill, C.W. Peters and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 118

OPTIK LINIERAtom paling sederhana:Polarisasi dalam medium dielektrikP = ε 0 χ (1) EEAwanelektronε 0: permitivitas udaraχ (1) : suseptibiltas listrik∆XPolarisasi dalam medium :P = - N e ∆XN = jumlah elektronE = muatan elektron (1,6. 10 -19 C)Hubungan sifat optik bahan dan suseptibilitas:n 0= 1 + 4πχπχ (1)n 0 : indeks bias linier dari bahan

OPTIK NONLINIERPolarisasi dalam medium optik nonlinierr r r r r rP = ε0{(1) (2)(3)χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E}χ (2) : Suseptibilitas listrik/optik orde keduaχ (3) : Suseptibilitas listrik/optik orde ketigarSuseptibilitas χ (n) adalah kompleks, yang terdiri bagian riil Re[χ (n) ] dan imajinerIm[χ (n) ]χ(n)= Re[ χ(n)] + i Im[ χ(n)]

P=εrrr{(1) (2)(3)χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E ...}0 +rrrPandang suatu medan listrik untuk suatu gelombang bidang yang menjalar padasumbu-z dan mempunyai frekuensi ω dan vektor gelombang k = 2π/λrP( ω) = E cos( ωtkz)E 0 −rrr(1)(2) (2)2 (3) (3)3( ω) = ε ( χ ( −ω;ω)E+ K χ ( −ω;ω,ω)E+ K χ ( −ω;ω,−ω,ω)E...)0 +K (n) adalah faktor numerik yang berkaitan dengan proses optik nonlinier danjumlah permutasi frekuensi yang dapat dibedakan [Butcher’92]P⎧ (1)(2) (2)2 1= ε0⎨χ( ω;ω)E0 cos( ωt− kz) + K χ ( −ω;ω,ω)E0)⎩2(3) (3)3 ⎡31⎤⎫+ K χ ( −ω;ω,ω,ω)E0 ⎢ cos( ωt− kz) + cos(3ωt− 3kz)⎥⎬⎣44⎦⎭[ 1+cos(2ωt− 2kz ]Tampak bahwa ada tiga buah frekuensi yakni ω, 2ω dan 3ω

⎡ (1)(3) 3 (3)2 ⎤P(ω)= ε0 ⎢χ ( −ω;ω)+ K χ ( −ω;ω,ω,ω)E0 E0cos( ωt− kz)4⎥⎣⎦1 (2) (2)2P(2ω)= ε0 K χ ( −ω;ω,ω)E0[ 1+cos(2ωt− 2kz) ]21 (3) (3)3P(3ω)= ε0 K χ ( −ω;ω,ω,ω)Ecos(3 t 3kz)40ω − Suku pertama dalam P(ω) berkaitan dengan indeks bias linier dan suku keduamenghasilkan indeks bias yang bergantung pada intensitas cahaya n(I). P(2ω2ω) menghasilkan beberapa efek penting a.l: frequency doubling/secondharmonicgeneration (SHG), dan sum- and difference-frequency generation. Bagian yang tak bergantung pada frekuensi dalam P(2ω2ω) disebut opticalrectification. P(3ω) berhubungan dengan third-harmonic generation (THG).

SIMETRI INVERSISuatu medium mempunyai simetri inversi, jika memenuhi:r r r rA( −r)= −Ar r r2P (r) = χ E( r)2 r r rA. Polarisasi orde kedua: ( ) ( ) ( 2) 2( r) ⊗ E( r) ≈ χ E ( r)rUntuk medium yang mempunyai simetri inversi harus berlaku:rPr− PrP2 r r r r( ) ( 2) 2( 2) 2 ( 2) 2( − r) = χ E ( − r) = χ { − E( r )} = χ E ( r )2 r r( ) ( 2) 2( r) = −χ E ( r)r2 r r( ) ( 2( − r) = −P) ( r )…..(1)…..(2)2 r rDengan demikian, maka: ( ) ( 2P ( − r) = −P) ( r )rrjika nilai χ (2) = 0Medium yang mempunyai simetri inversi, tidak memiliki suseptibilitas orde keduaatau χ (2) = 0. Medium tersebut dinamakan medium/bahan centro-symmetric.

SIMETRI INVERSI (LANJ.)• Contoh bahan centro-symmetric: NaCl, Polimer PPV dll.Polimer PPVnADNoncentro-symmetric, karena antaraakseptor (A) dan donor (D) merupakanmolekul yang berbeda, sehingga χ (2) ≠ 0.

B. Polarisasi orde ketiga:rPrr3 r r r r r( ) ( 3) ( 2) 3(r) = χ E( r) ⊗ E( r ) ⊗ E( r) ≈ χ E ( r)rrMedium centro-symmetric (memiliki simetri inversi).rP3 r rr( ) ( 2) 3 ( 3) 3( − r ) = χ { E( − r)} = −χ E ( r )r− P3 r rr( ) ( 3) 3 ( 3) 3( r ) = −χ { E( r)} = −χ E ( r )Jelas dari pers. (1) dan (2), maka: ( ) ( 3P ( − r) = −P) ( r )rrrr3 r r…..(1)…..(2)Medium centro-symmetric memiliki suseptibilitas orde ketiga, χ (3) ≠ 0.Medium noncentro-symmetric (tidak memiliki simetri inversi), memilikisuseptibilitas orde ketiga.Semua medium mempunyai suseptibilitasorde ketiga, bahkan udara sekalipun.

BAB 2.SUSEPTIBILITAS LISTRIK/OPTIK(MODEL LORENTZ)

Dalam model ini, elektron-elektron dalam suatu mediumdipengaruhi oleh gaya luar yang menyebabkan elektronelektronberpindah. Gerakan elektron-elektron diimbangioleh gaya ikat. Akibatnya terjadi gerakan harmonik darielektron yang dapat diilustrasikan dengan osilator harmonikteredam.E re -F re -x

OPTIK LINIERPersamaan gerak dari osilator teredam (konstanta redaman γ) dalam satu dimensidapat diperoleh dari Hukum Newton II.d2dtx2+2γdxdt+ ω20x= −emE0(ei ω t+e−iωt)Dimana :i ω t+−iωtE(t) = E0(ee ) adalah medan listrikx = perpindahan elektron dari keadaan kesetimbangan.ω 0= frekuensi intrinsik osilatorγ = koefisien redaman (berkaitan dengan kerugian/loss optik linier)e dan m adalah muatan dan massa elektron.20( ω− ω2)x+2iωγx= −emE0x=m[( ω20− eE− ω20) +2iωγ]≈2m[ ω0( ω− eE0− ω)+ iωγ]

Dengan aproksimasi di dekat resonansi= ωω 02 2( ω0 − ω ) = ( ω0+ ω)(ω0− ω)≈ 2ω0(ω0− ω)Polarisasi dalam medium dengan jumlah elektron N diberikan oleh:NeP(ω)= −Nex=E = ε0χ(ω)E2m[ ω ( ω − ω)+ iωγ]Suseptibilitas optik linier dalam medium:002χ(ω)= χ'( ω)−iχ " ( ω)'χ ( ω)=Ne2mωγε020( ω0[1 + ( ω0− ω)/ γ− ω)2/γ2]χ"(ω)=Ne2mωγε020[1 +( ω01− ω)2/γ2]

Bagian riil dari suseptibilitas χ' ( ω)berkaitan dengan dispersi indeks bias n(ω)dari medium, sedangkan bagian imajinernya χ" ( ω)berkaitan dengan dispersikoefisien absorpsi α(ω), melalui:n( ω)=1+4πχ'( ω)α(ω)=π2n( ω)χ"(ω)α(ω) [a.u.]n(ω)ω [a.u.]ω [a.u.]

OPTIK NONLINIERModel osilator harmonik menawarkan model klasik yang baik untukmenjelaskan asal suseptibilitas optik linier. Namun, model ini tidak dapatdigunakan untuk kasus optik nonlinier.Dalam optik linier, gaya penyeimbang (restoring force) sebanding denganperpindahan elektron dari keadaan setimbang.Jika medan listrik cukup kuat, maka perpindahan akan menjadi besar,sehingga restoring force tidak lagi sebanding dengan perpindahan, tetapiakan sebanding dengan pangkat dua, pangkat 3 dari perpindahan dst.Dalam kasus ini, model osilator harmonik harus diperluas menjadi modeltak-harmonik (anharmonic), sehingga suseptibilitas optik nonlinier dapatditunkan.In

SUSEPTIBILITAS ORDE KEDUAPersamaan geraknya dapat digambarkan oleh:2d x+ 2γ2dtdxdt+ ω20x − Bx2= −emE0(ei ω t+e−iωtdimana Bx 2 adalah anharmonic restoring force.Kita gunakan solusi yang mengandung bagian harmonik kedua:)(1)iωt(1)*−iωt(2)i2ωt(2)*−i2ωtx = A e + A e + A e + A e = x +(1)x(2)Substitusi kedalam pers. gerak diatas menghasilkan:d2xdt(1)2+2γ(1)dxdt+ ω20x(1)= −emE0(ei ω t+e−iωt)2(2)(2)d x dx 2 (2) (1) 2+ 2γ+ ω0x− B(x )2dt dt=0

Karena polarisasi dan perpindahan dalam kasus nonlinier adalah:x(2)P = −Nex(2)3=2A(2).ei2ωtMaka: Ne E01Bi2ωtP(2ω)=.(e + cc)2 2 22 2 2m [( ω − ω ) + 2iωγ]ω − 4ω+ 4iωγ0+c.c.Dari hubungan polarisasi dan suseptibilitas:0Maka diperoleh:(2)i2ωtP (2ω)= χ ( −2ω;ω,ω)(e+ cc)Eχ(2)320Ne 1B( −2ω;ω,ω)=2 2 22 2 2m [( ω − ω ) + 2iωγ]ω − 4ω00+4iωγsuseptibilitas diatas berkaitan dengan pembangkitan harmonik kedua (2ω = ω + ω).♠ Model anharmonik ini dapat juga untuk menunjukkan kasus sum frequencygeneration (SFG) (ω 1+ ω 2) and the difference frequency generation (DFG) (ω 1− ω 2).♠ Pers. Diatas menunjukkan bahwa resonansi tidak hanya terjadi pada frekuensifundamental ω = ω 0, tetapi juga pada 2ω = ω 0(two-photon resonance)

ATURAN MILLERMiller [1] menemukan aturan empirik bahwa:(2 )δ ωijk=χ(1)iiχ(2)ijk(2ω)χ(2ω)(1)jj( ω)χ(1)kk( ω)Persamaan diatas dapat direduksi kedalam 1-dimensi:(2 )δ ω=χ(1)χ(2)(2ω)[χ(2ω)(1)j( ω)]2δ (2ω) disebut dengan delta Miller.[1] Miller, R.C., Optical second harmonic generation in piezoelectric crystals, Appl.Phys.Lett. 5(1964), p.17.

SUSEPTIBILITAS ORDE KETIGASama halnya seperti dalam orde kedua, persamaan gerak untuk orde ketiga adalah:d2dtx2+2γdxdt+ ω20x− Cx3= −emE0(ei ω t+e−iωt)Pandang solusi coba-coba (trial):(1)ωiωt(3)ωiωt(3)3ωi3ωtx = (A e + cc) + (A e + cc) + (A e + cc) = x +(1)x(3)Diperoleh:d2xdt(1)2+ 2γdxdt(1)+ ω20x(1)= −emE0(ei ω t+e−iωt)2(3)(3)d x dx 2 (3) (1) 3+ 2γ+ ω0x− C(x )2dt dt=0

Dengan menggunakan hubungan antara polarisasi dan suseptibilitas orde ketiga:P=[ χ(3)( −3ω;ω,ω,ω)E30ei3ωt+cc] + [ χ(3)( −ω;ω,−ω,ω)E30eiωt+cc]akan menghasilkan suseptibilitas harmonik ketiga:χ(3)4N ⎛ e ⎞C( −3ω;ω,ω,ω)= ⎜ ⎟3 2 2 3 2 24m⎝ ⎠ [( ω0− ω ) + iωγ][ ω0− (3ω)+ 3iωγ]……….(*)χ(3)4( 3N ⎛ e ⎞C−ω;ω,−ω,ω)= ⎜ ⎟2 2 243 2 2m⎝ ⎠ [( ω ) i ]2[( ) ( )20 − ω + ωγ ω0− ω + ωγ ]……….(**)(3)Persamaan (*) menyatakan bahwa χ ( −3ω;ω,ω,ω)memiliki resonansi padafrekuensi fundamental ω=ω 0dan harmonik ketiga 3ω = ω 0.(3)Ungkapan untuk χ ( −3ω;ω,ω,ω)dapat ditulis ditulis dengan bantuan delta Miller2 2dengan mengeliminasi faktor ( ω − ω ) + iωγsehingga:χ(3)0m (1) (1)( −3ω;ω,ω,ω)= Cχ(3ω)[χ ( ω)]3 44N e3

Walaupun model klasik osilator harmonik dan tak-harmonik dapatmemperkirakan beberapa perilaku respon optik linier dan nonlinierdari suatu medium, model tersebut masih jauh dari cukup untukmenjelaskan secara lengkap tentang fenomena-fenomenaeksperimen yang teramati.Salah satu masalah dalam model klasik adalah bahwa model inihanya memiliki frekuensi karakteristik (fundamental) ω 0 , sedangkandalam sitem riil terdiri dari molekul-molekul dengan jumlah keadaantereksitasi yang besar. Karenanya perlu untum memperlakukan teorimekanika kuantum dan menyelesaikan persamaan Schrödingerdengan Hamiltonian khusus.

BAB 3. PERSAMAAN MAXWELLDALAM MEDIUM OPTIKNONLINIER

PERSAMAAN MAXWELL DALAM MEDIUM OPTIK NONLINIERUntuk memahami efek optik nonlinier, kita mulai dari persamaan Maxwell yangmenggambarkan interaksi gelombang EM dengan medium:r rr r ∂B∂H∇ × E = − = −µ∂t∂trr r r ∂D∇ × H = j +∂tr r ρ∇ • E =ε0r r∇ • H = 0r rB = µ Hr v rD = εE+ P =r rj = σE( ε + χ)Polarisasi dalam medium akibat adanya medan listrik digambarkan oleh:rP = ε0= ε0χr= P{(1) (2)(3)χ E + χ E ⊗ E + χ E ⊗ E ⊗ E + ...}LIN(1)rr rE + PrNL+ PNLrrrrrrE

∇ ×r∇ ×rrrr∂∂ ⎡ v ∂( ∇ × E) = −µ ( ∇ × H) = −µ σE+ ( ε E + P)∂tr∂E= −µσ − µε∂tr∂E= −µσ − µε∂t00∂t⎢⎣r r2 2∂ E ∂ P− µ2 2∂t∂tr2 2∂ E ∂− µ2 2∂t∂tr r ∂E( 1)( ∇ × E) = −µσ − µε [ 1+ χ ]∂t0∂t( )r r1 NL[ ε χ E + P ]r r r2 22 ∂E( 1)∂ E ∂ P( E) − ∇ E = −µσ − µε0[ 1+ χ ] − µ22r∇ ∇ •rr∂t∂2∂trE2∂t0∂− µJika bahan/medium tidak mempunyai sumber muatan bebas ρ = 0, maka:r∇2r r2∂E∂ E ∂E = −µσ − µε − µ2∂t∂tPers. diatas adalah persamaan gelombang EM dalam medium optiknonlinier, dimana permitivitas bahan didefinisikan sebagai:[( 1)ε = ε + ]0 1 χr2∂t2rPrP∂t202NLrNLr∂trNL⎤⎥⎦

SATUAN DARI SUSEPTIBILITASSuseptibilitas listrik mempunyai satuan dalam SIχ(n)⇒⎛⎜⎝mV⎞⎟⎠n − 1Maka:χχχ(1)(2)(3)⇒ ?⇒ m / V⇒( m / V) 2Dalam sistem cgs:χ( n )[ SI]=8c = 3x104π4( 10 c)( n )[ e.s.u ]− n−1(3)[ 2 2] −8(3)χ m / V = 1.4 x10 χ [ e.s.u ]2m / sχ

Persamaan gelombang EM dalam medium NLO:r∇2r r2∂E∂ EE = −µσ − µε − µ2∂t∂t∂2rP∂tNL2Asumsikan ada dua buah gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu-z,melewati bahan NLO, maka:ω 1ω 3 = ω 1 + ω 2NLOω 2ω 3 = ω 1 - ω 2Sum-Frequency Generation (SFG)Difference-Frequency Generation (DFG)SFGDFGω 2ω 2ω 1ω 3ω 1ω 3

Secara umum medan listrik menjadi:rEr[iω2t ]iω( t) = Re E( ω ) e1t+ E( ω )r1 2 ePolarisasi dalam medium diberikan oleh:rP= χijkrE(a). Sum-Frequency Generation:Pi{ t }i( ω )( ) Re ( ) E ( ) E ( ).e1+ωω + ω = χ ω = ω + ω ω ω212(b). Difference-Frequency Generation:PiEijk1* i( ω )( ) ( ) ( ) ( )1−ωω21 − ω2= Re χijkω = ω1− ω2E j ω1Ekω2.e( ω ) = E ( − ω )*kDengan demikian, maka:2k2jt{ }21k2rPNL12(2)i( ω ) t i( )( )1+ω2−z, t E (z)E (z).e .ek1+= χk2=d.Eijk11(z)E22(z).ei( ω +ω ) t −i( + )z12.ek1k2zd =12χ(2)ijk

Gelombang-gelombang bidang tersebut adalah:EE( z, t) = E1(z)exp[ i( ω1t− k1z)]( z, t) = E (z)exp[ i( ω t − k z)]1222Asumsikan suatu medan listrik baru dengan frekuensi ω 3= ω 1+ ω 2(SFG):( z, t) = E (z)exp[ i( ω t k z)]E3 33 − 3Dengan subsitusikan kedalam pers. gelombang, maka:r22d E3dE322 ∂ P− 2ik2 3 − k3E3− iω 3µσE3 + µεω3E3= µdz dz∂tBila variasi amplitudo E 3terhadap jarak z kecil atau disebut slowly varyingamplitude (SVA) approximation:2( z, t)d E3dE3(z,t)

2ik3dEdz3+ iω µσE33∂= −µSuku di ruas kanan dalam pers. (1) dapat diuraikan menjadi:∂µ2rP∂tNL2= −µ= −µω2rP∂tNL22i( ) ( ) ( ) ( ω1+ω2) t −i( k 1 + kω + ω d.E z E z e .e 2 )123d.EDari pers. (1) dan (2), diperoleh:2ikdEdz( z)12iωi( k k )z( ) ( )3 t −z E z e .e 1 + 2212……………………….(1)−ik3z2−i( k k )z( z) e d.E ( z) E ( z) 1 += µω23 −ik3z3 e + iω 3µσE33 1 2 ez……………….(2)Dengan menggunakan hubungan:ωi=kµεii( ω )iω 3µk3=µε3

Maka akan diperoleh tiga buah persamaan:dE3dzdE1dz*2dEdz( z)( z)( z)σ= −2σ= −2σ= −2µε3µε1µε2EE1E33−i( )( ) ( ) ( )k1+z i d.E z E z ek2−−k31* −i( )( ) ( ) ( )k3−z i d.E z E z ek2−−k1*2ω2ω2ω2µεµε13µε3* −i( )z( ) ( ) ( )k1+z i d.E z E z ek2−+k33311223zzSecara umum k iadalah vektor perambatan cahaya, dan besaran ∆k = k 3–k 1-k 2disebut vektor gelombang mismatch (wave vector mismatch).

BAB 4. SECOND HARMONICGENERATION (SHG)

Second-Harmonic Generation dan Phase-Matchingω 1ω 2χ (2)ω =ω 3 1 +ω 2ωω3= ω= 2ω= ωω1 2( 2χ )( − 2ω;ω;ω )ω2ωBentuk umum:dE3dz( z)σ= −2σ= −2Dimana: k1= k( ω)k = k( 2ω)3µε3µε3EE33ω23−i( )( ) ( ) ( )k1+z i d.E z E z ek2−−k3ω2µε3µε32 −i( )z( z) i d.E ( z) e2k1−−k33112z

Dengan asumsi bahwa:1. Amplitudo tak dipengaruhi oleh proses konversi2. Medium tak mempunyai absorpsi (σ = 0)Maka persamaannya menjadi:EE( 2ω) 2( z) = −iω( )d.E ( ω)2ω( 2ω) 2( L) = −ω( )d.E ( ω)εεµµ2ωL∫oeei∆kzi∆kLdz−1∆kDimana L adalah panjang medium,dan ∆k = k (2ω) – 2k (ω) adalah vektorgelom-bang mismatch.Intensitas keluaran/output dari second harmonic adalah:I( 2ω) 2( 2ω) = ε nc E = d E( ω)=12ω µn220ε0d2E2ω µn22ε0⎛ ∆kL⎜⎝ 24 2 2 ⎞( ω) L sin c ⎟ ⎠4L22sin ⎜⎝⎛ ∆⎜⎝ 2⎛ ∆kL2kL2⎞⎟⎠⎞⎟⎠

Intensitas sebagai fungsi dari ∆kL/2 dari medium SHGIω µ⎛ ∆kL⎜⎝ 22 4 2 2 ⎞( 2ω) = d E( ω) L sinc ⎟ ⎠n22ε0I(2ω)∆kL/2

Efisiensi konversi untuk SHG:η =( 2ω)I( ω)IPP( 2ω)( ω)Persamaan diatas menunjukkan bahwa:=~ωdLsin c⎛ ∆kL⎞ P⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ A( )22 2 2 2 ω1. Efisiensi konversi sebanding dengan P 2 (ω), sehingga disebut efek NLO2. Efisiensi sebanding ~⎜d⏐ 2 ~⏐χ (2) ⎜ 23. Efisiensi ~ L 2 , sehingga medium yang panjang akan menghasilkanefisiensi konversi yang tinggi (akan dibuktikan ternyata tidak benar)4. Efisiensi optimal bila ∆k = 0 (disebut kondisi phase-matchingsempurna). Namun keadaan ini umumnya tidak terpenuhi dalammedium biasa (ordinary) karena adanya efek dispersi (indeks biasmedium bergantung pada panjang gelombang).

Intensitas SHG vs. Panjang mediumBALA: Kondisi non-phase-matching (∆k ≠ 0). Ternyata semakin panjang mediumintensitas SHG tidak semakin besar.B. Kondisi phase matching sempurna (∆k = 0)⇒ I(2ω) ~ L 2 .

Intensitas SHG vs. Panjang medium(Hasil eksperimen)Kondisi non-phase matching Kondisi hampir phase matching ∆k ~ 0

Efek dispersi material• Dispersi adalah indeks bias medium bergantung pada panjang gelombangatau frekuensi, sehingga n(ω) ≠ n(2ω).nSehingga:∆k==≠kn0( 2ω) − 2k( ω)( 2ω) − 2n( ω)n(ω)n(2ω)ω

Konsekuensi fisis dari dispersi adalah bahwa dua gelombang:EEω2ωi{ ωt−k( ω)z}( z, t) = Eωei 2ωt−k( 2ω)( z, t) = E e2ω{ z}Akan berbeda fasa sehingga proses generasi dari SHG akan terhenti (sepertiinterferensi destruktif). Pada jarak tertentu, amplitudo mencapai maksimum:∆kl= πPada panjang tertentu=panjang koherendimana proses SHG berlangsung efektif.L c=Contoh: jika l = 1.0 µm2π= =∆k2[nkn(2ω)-n(ω) = 10 -22πL c = 2l( 2ω) − 2k( ω) 2ωn( 2ω) − 2ωn( ω)λ( 2ω) − 2n( ω)]=2πcmaka diperoleh panjang koheren L c ≈ 50 mm., panjang medium/kristal,

Bukti efek panjang koheren pada intensitas SHGMaker et al, Phys. Rev. Lett. 8 (1992), p.19Mengukur intensitas SHG suatu kristal sebagai fungsi dari sudut θS : sampelF : filterSω ω 2ω2ωFPDP(2ω)

Bila ∆k ≠ 0;1. Pada L c pertama → P(2ω)2. Pada L c kedua → P(2ω), namun intensitasnya berkurang, dst…L = 2n L c → P(2ω) = 0L = (2n+1) L c → P(2ω) = optimumDimana L = d cos θ, dimana d adalah tebal kristal/medium.Bila kondisi phase-matching terpenuhi, intensitas SHGbisa meningkat dengan faktor 1,6.10 5 kali. Kondisi dapatdipenuhi oleh kristal khusus, yaitu birefringence crystals,

Sum Frequency Generation (SFG)ω 1ω 2ω 3 = ω 1 + ω 2ω 2χ (2) ω 1ω 3This process combined with SHG is used in practices for generation of thirdharmonic1064KDP1064532KDP1064532355You can see all these nice colors with your own eyes (through the safety goggles)in Nonlinear Optics Lab 0.501 (MPIP-Mainz)

BAB 5. PERAMBATANGELOMBANG DALAM MEDIUMANISOTROPIK

Dalam suatu medium anisotropik, polarisasi tidak selalu sejajar dengan medanlistrik. Suseptibilitas yang merupakan respon medium pada gelombang EMbukan besaran skalar tetapi tensor. Secara fisis, hal ini dipahami bahwa atomatomdalam kristal tidak identik sepanjang arah-arah yang berbeda. Polarisasitelah didefinisikan sebagai:P = ε 0 χ (1) EPPP123= ε= ε= ε000( χ11E1+ χ12E2+ χ13E3)( χ21E1+ χ22E2+ χ23E3)( χ E + χ E + χ E )311322333Ke-sembilan (9) elemen tensor χ bergantung pada pemilihan koordinat. Sebagaikonsekuensinya, maka vektor perpindahan listrik menjadi:rD = ε= εr r r0E+ P = ε0( 1+ χij)rijEDimana tensor suseptibilitas χ ijdiganti dengan tentor permitivitas dielektrik ε ij.E

Refraksi pada suatu batas medium anisotropikPandang suatu gelombang bidang yang datang pada suatu permukaan kristalanisotropik.k0 sin θ0= k1sin θ1= k2sinIndek 0 = gelombang datangIndeks 1,2 = gelombang-gelombang refraksiθ2

Efek fisis dari medium anisotropik adalah bahwa gelombang datang denganpolarisasi D 0terpisah menjadi dua gelombang dengan polarisasi yang salingortogonal dan menjalar di dalam kristal dengan sudut yang berbeda.Rapat energi dalam suatu medium:UDε12r•r( E D)D= i i i2 2D2x y z+ + =xεyDεz2U= ε E i = x, y, zDefinisikan:r r= Dεi=x =nD2ixr2U2U22x y zMaka diperoleh: + + = 1 Persamaan ellips2 2 2n n nxy2z

Kristal Uniaxial- mempunyai satu sumbu kristal.- dua indeks bias adalah identik,sehingga bidang perpotongan dengansumbu optik merupakan suatulingkaran.-jika z adalah sumbu simetri (sumbukristal, maka ada dua indeks bias:nn202e==εεεεx0z0=εεy0n 0= indeks bias ordinaryn e= indeks bias ekstraordinary

Maka persamaan ellips menjadi:xn220+yn220+zn22e= 1Bidang yang diarsir membentuk ellips dengan dua sumbu utama, sehingga adadua arah polarisasi yang sejajar dengan sumbu ellips, yaitu:1. Polarisasi sepanjang sumbu-x, yang tegak lurus sumbu optik sehinggadisebut gelombang ordinary dengan indeks bias n 0.2. Polarisasi dalam bidang x-y yang terletak sebidang dengan sumbu optikdisebut gelombang ekstraordinary.

BAB 6. PHASE MATCHING PADAMEDIUM BIREFRINGENCE

• Kondisi phase-matching ∆k = 0 tidak mungkin diperoleh pada mediumisotropik, karena adanya efek dispersi, n(λ).• Dalam media anisotropik, gelombang ordinary dan extraordinary dapatdicampur, sehingga diperoleh kondisi phase-matching.• Dilakukan dengan merubah indeks bias gelombang extraordinary yangditransmisikan melalui perubahan sudut θ antara vektor-k dan sumbuoptik medium.ne( θ)=n2osin2nenθ +on2ecos2θ• Dalam median anisotropik, efek dispersi tetap ada, akibatnya n o , n edan n e (θ) juga sebagai fungsi dari panjang gelombang/frekuensi.

Dispersi pada kristal KDPIndeks biasn e< n oKondisi phase-matching(∆k=0) untuk kasus SHGdapat dipenuhi denganmemilih:nω = n2ωKarena efek dispersi kondisiini tidak mungkin dicapai,karena:nnωoωe≠n2ωo2ω( θ) ≠ n ( θ)oDalam kristal uniaxial negatif (n e< n o), seperti KDP, pada nilai sudut tertentu θ m,berlaku:ω( )ωn e θ = nKondisi ini disebut phase-matching angle.2mo

Sebelum menyelesaikan persamaan secara aljabar untuk mencari suduttertentu, dimana kondisi phase-matching terpenuhi (phase matchingangle), kita bahas secara geometri untuk mengklarifikasi masalah.Masalahnya adalah suatu kristal bersifat birefringent dan dispersive padasaat yang sama.Indeks-indeks permukaan untuk berkas ordinary dab extraordinary dapatdigambarkan dalam dua frekuensi ω dan 2ω. Sehingga kita memiliki 4(empat) indeks permukaan yang berbeda (lihat gambar untuk kristalbirefringent negatif)

Indeks permukaan untuk n o2 ω 2ω( )n o θ = nopada frekuensi 2ω dan n epada frekuensi ω ditunjukkanoleh garis putus-putus, karenatidak penting untuk phasematching.Kurva untuk n o(ω) dan n e(2ω)menentukan sudut phasematching, yaitu titik-titik padalingkaran n o(ω) bertemudengan titik-titik padalingkaran n e(2ω).

Pada frekuensi 2ω, persamaan ellips:n2ωe( θ )m=n2ωen2ωo2ω2 2 2ω2 2( no) sin θm+ ( ne) cos θmUntuk memperoleh kondisi phase-matching, maka:Sehingga:sin22ω( )ωn e θ = nθm=moω −22ω−2( no) − ( no)2ω−22ω−( n ) − ( n ) 2eoArti fisis:Kondisi phase-matching, yaitu kondisi yang efektif untuk frekuensi doublingdicapai jika suatu berkas (beam) menjalar melalui kristal pada sudut tertentuθ mantara vektor-k dan sumbu optik.

Karena adanya efek dispersif pada semua parameter diatas (n 0ω, n 02ωdan n e2ω),maka sudut phase-matching akan berbeda untuk frekuensi doubling dari frekuensiyang berbeda. Ini diasumsikan bahwa berkas dengan frekuensi ω adalah berkasordinary (terpolarisasi tegak lurus terhadap sumbu optik), sedangkan harmonikkedua adalah berkas extra-ordinary (terpolarisasi dalam bidang sumbu optik).Sehingga dalam proses ini polarisasi harmonik kedua (2ω) tegak lurus terhadappolarisasi fundamental (ω).Dalam contoh ini kita berasumsi bahwa kristal adalah birefringent negatif,sehingga kondisi phase matching diperoleh dengan ordinary fundamental danextraordinary second harmonic.Untuk medium birefringent positif, kondisi phase-matching terpenuhi frekuensifundamental (ω) adalah extraordinary dan harmonik kedua (2ω) adalahordinary.

Kondisi phase-matching untuk sum-frequency mixing (ω 3= ω 1+ω 2):r∆kr= krr3 − k1− k2Proses frekuesi doubling atau pembangkitan harmoni kedua (second harmonicgeneration, SHG) dapat juga dipahami sebagai proses sum-frequency mixing darigelombang ordinary dan extraordinary pada frekuensi yang sama di dalam kristal.Dalam kasus ini, hubungan phase-matching ∆k=0 menjadi:nn2ωe2ωo12[ ]ω ω( θ) = n + n ( θ)=12oe[ω ωn + n ( θ)]oeuntuk kristal birefringent negatifuntuk kristal birefringent positifJelas bahwa sudut phase-matching θ makan berbeda untuk bahan birefringentnegatif dan positif, walaupun prosesnya sama yaitu frekuensi doubling.

Tipe-tipe Phase-Matching

BAB 7. OPENING ANGLE

Pandang phase-matching tipe-I dan kristal birefringence negatif.2ωc2ωHubungan phase-matching: ∆k= n ( θ)[ω− n ] 0e o =Kondisi ini dapat dipenuhi untuk nilai sudut tertentu θ m . EkspansiTaylor pada sekitar sudut phase-matching (θ−θ m ):dkdθ=ω= −cω= −c2ωcθ[2ωωn ( θ)− n ]={2 2 2 2n sin θ + n cos θ}o{2ω( )} 3neθ (2n −2n ) sin 2 θndkdθdd2en2oeneonoeeo2ωdc dθ3/ 2n(2 2n − n )( ) Sehingga: o e o mmω= − nc3no2oesin2neθ +sin 2θnon2ecos− 2 −2Dimana: e ( ) o−nsin 2θ2θ2ωn θ =n

Maka:2β∆k= ∆θLβ ∝ sin 2θm2Daya untuk SHG menjadi: ( 2 ) ⎜ ⎢ 2 ⎥ω⎟ sin [ β( θ − θm)]P⎜θ ∝⎣ ⎦∝2 ⎟[ β( θ − θ )] 2⎛⎜⎜⎝sin2⎡∆kL⎤⎞⎟⎡∆kL⎤⎢⎣ 2 ⎥⎦⎟⎠mDaya SHG untuk kristalKDP dengan tebal kristalL = 1,23 cm dan kondisiphase matching diperolehpada θ−θ m = 0.1 0

Konsep opening angle dapat dipahami dengan dua cara:1. Untuk panjang gelombang tertentu λ dan cahaya yang difokuskan,konvergensi sudut tidak boleh melebihi 0,1 0 , jika tidak, maka efisiensiSHG akan berkurang.2. Untuk kasus cahaya ko-linier, perbedaan panjang gelombang ∆λ:∆kk= −∆λλAkibatnya hanya bandwidth tertentu yang menghasilkan proses SHGyang efisien.

BAB 8. TEMPERATURE TUNING

Dalam bahasan sebelumnya, diasumsikan bahwa indeks bias materialbergantung pada vektor k dan polarisasi bahan. Dalam realita, indeksbias juga dipengaruhi oleh faktor-faktor eksternal yang akanmempengaruhi jarak kisi dalam tiga dimesi dari suatu kristal/bahan.ω ω 2ω2ωPada prinsipnya, nilai ne,n0,ne, n0bergantung pada temperatur.Sehingga kondisi phase-matching ∆k = 0 dapat diperoleh denganmerubah temperatur kristal. Tentu saja sudut qm masih menjadiparameter yang penting.Ada suatu kelas dari kristal, mirip KDP, yang cocok untuk temperaturetuning, dimana kondisi phase-matching dapat diperoleh untuk sudut θ m =90 0 . Dengan mengatur temperatur, maka kondisi ∆k = 0 dan θ m = 90 0dapat dipenuhi untuk beberapa panjang gelombang tertentu.

Kurva temperature-tuning untuk kristalKDP dan ADP

Beberapa keuntungan temperature-tuning: Sifat-sifat walk-off menjadi tidak penting, jika phase-matching diperoleh padasudut θ m= 90 0 . Kondisi ini disebut phase-matching non-kritis. Pada sudut tersebut, cahaya/gelombang menjalar sepanjang sumbu optikdan tidak ada efek indeks bias ganda (birefringence) dalam medium.Temperature tuning ini sangat cocok untuk aplikasi intracavity phase-matchingSHG (laser), karena efek-efek tadi akan menimbulkan kerugian (losses) dalamproses lasing. Pada sudut θ m= 90 0 ekspansi orde pertama dalam deret Taylor untuk turunanopening angle yang mengandung faktor sin 2θ makan hilang sehingga diperolehuntuk kondisi phase-matching non-kritis:∆k∝( ∆θ) 2sehingga opening angle yang lebih besar diperbolehkan. Pada θ m= 90 0 , koefisien nonlinier deff = ½ χ (2) adalah maksimum.

Proyeksi ellipsoid ke dalam bidang x-y. Polarisasi gelombang ordinary tegak lurusbidang gambar.zθrszy==nnee( θ)sin θ( θ) cosθMaka pers. Ellips menjadi:Ayn e ( θ)θzyn1 cosθsin θ= +2e2 2( θ) n n0eIndeks bias bergantung padaarah propagasi vektorgelombang.

1. Untuk kasus khusus dimana θ = 0 yaitu vektor gelombang ssepanjang sumbu optik, maka tidak ada birefringence ( n e = n 0 ).2. Jika vektor gelombang s tegak lurus sumbu optik, maka duagelombang akan menjalar melalui medium dengan indeks bias n 0dan n e .Untuk medium birefringence positif (n e > n 0 ), sedangkan mediumbirefringence negatif (n e < n 0 ).

BAB 9. QUASI PHASE-MATCHING(QPM) TECHNIQUE

Kurva A : kondisi phase-matching sempurna di sepanjang kristal.Kurva C : kasus phase-mismatch dengan panjang koheren l c .Kurva B 1 : kasus dimana polarisasi dibalik setelah setiap panjang koheren.

Dalam mencapai phase-matching dengan opening angle, dalambeberapa nilai sudut, propagasi gelombang tidak memungkinkan,karenanya beberapa elemen pada tensor d ij tidak dapat diakses.Problemnya adalah fasa dari SHG berbeda dengan fundamentalkarena adanya efek dispersi (kecepatan cahaya yang berbeda).Dalam masing-masing panjang koheren, bahwa polarisasi nonlinierberbeda fasa 180 o (π radian) dan fasa relatif slips π/2. Setelahpanjang koheren pertama, fasa bergeser ke dalam daerah dimanaenerginya hilang.Ide dibalik caya untuk mencapai kondisi phase-matching adalahdengan mengatur fasa polarisasi nonlinier setelah masing-masingpanjang koheren. Pada kondisi demikian, intensitas nonliniermeningkat secara monoton, walaupun lebih landai daripada dalamphase-matching sempurna.Kondisi ini disebut kondisi quasi phase-matching (QPM)diperoleh dengan periodically poled crystal.yang dapat

Periodically Poled CrystalSegmen-segmen material dengan sumbu optik yang berlawanan arah.Perambatan gelombang dalam segmen-segmen diputar 180 o sehinggapergeseran fase dalam panjang koheren L c pertama akan berkurangdalam panjang koheren berikutnya.

Hubungan fasa antara medan optik/listrik dengaqnpolarisasi nonlinier SHG

Persamaan gelombang terkopel:ddz( z) exp[ − i k' z]E2 = Γd∆Γ =iωEn c221Gelombang SHG pada ujung sampel L, diberikan oleh:EL( L) Γ d( z) exp[ − i k' z]dz=∫2 ∆0Dalam kasus khusus: d(z) = d effdan ∆k’ = 0, maka gelombang SHG:E( L) = d L2 ΓeffDalam realita, fungsi d(z) dapat diasumsikan terdiri dari domain-domain dengan± d effyang berubah tanda pada posisi z j.Asumsikan bahwa tanda diganti dengan g kdan l kadalah panjang domain ke-k,dan N adalah jumlah domain, maka:ENiΓdeff2 = ∑gkkzk−1∆k'k=1[ exp( − i∆k'z ) − exp( − i∆k')]

Tanda berubah dalam struktur yang sempurna pada posisi:e−i∆k 0 'zk,0=( −1) kdimana ∆k 0’ adalah vektor gelombang mismatch pada panjang gelombang inputdan untuk QPM orde ke-m:zk,0= mklcUntuk struktur yang sempurna (tanpa adanya kesalahan fasa pada daerahbatas), maka gelombang SHG diberikan oleh:E2,ideal≈iΓg1deff2mπLKarena kristal harus dibuat pada periodisitas tertentu L, maka kristal hanya akanmatch untuk panjang gelombang tertentu. SHG pada panjang gelombang yanglain akan memberikan suatu mismatch dan mengurangi intensitas SHG. Selain itustruktur domain tidak pernah sempurna yang akan mengakibatkan mismatchpada daerah batas.