handout-listrik-magnet-i - Fisika Universitas Padjadjaran

HANDOUT KULIAHLISTRIK MAGNET IOleh:Dr. rer. nat. Ayi BahtiarJURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG2006

-Q -++ +2QLISTRIK MAGNET IAYI BAHTIARJURUSAN FISIKA FMIPA UNPAD+-

Materi Kuliah1. Review Analisis Vektor2. Medan Listrik Statik● Hukum Coulomb● Dalil Gauss dan Stokes● Medan Listrik Statik● Hukum Gauss dan Aplikasinya3. Potensial Listrik● Potensial Listrik● Dipol dan Multipol● Persoalan Listrik Statik ; Persamaan Poisson dan Laplace● Fungsi Green● Metoda Bayangan

Materi Kuliah4. Bahan Dielektrik● Polarisasi Listrik● Medan Pergeseran Listrik● Kapasitansi Listrik● Syarat Batas antara Dua Bahan Dielektrik5. Teori Mikroskopik dari Dielektrik● Medan Molekul dalam Dielektrik● Molekul-molekul Polar● Polarisasi Permanen; Feroelektrisitas6. Energi Elektrostatik● Rapat Energi Listrik● Kapasitansi Listrik

Pustaka1. J. R. Reitz,” Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison-Wesley Publ., 19932. D. J. Griffith,” Introduction to Electrodynamics”, Prentice-Hall Inc.,1989.3. J. D. Jackson,” Classical Electrodynamic”, John Wiley & SonsInc., 1991.

STANDAR KOMPETENSI1. ANALISIS VEKTORMereview operasi dalam vektor, operator nabla, integral garis, integralpermukaan, integral volume, Teorema Divergensi, dan Teorema Stokes.2. MEDAN LISTRIK STATIKMenerapkan analisis vektor untuk merumuskan hukum Coulomb, medan listrik,fluks garis saya dan menurunkan hukum Gauss.3. POTENSIAL LISTRIK□ Membuktikan sifat konservatif medan listrik statik E dan merumuskan medanpotensial listrik statik φ.□ Menghitung potensial listrik dan mengungkapkan pernyataan uraian multipol.□ Menurunkan persamaan Laplace dan Poisson untuk potensial listrik□ Memecahkan persamaan Laplace untuk berbagai syarat dengan menggunakanmetoda pemisahan variabel dan persamaan Poisson dengan menggunakanfungsi Green dan metoda bayangan.

4. BAHAN DIELEKTRIK□ Mendefinisikan medan potensial listrik P dan memahami hubungannyadengan rapat dipol listrik makroskopik dan rapat muatan listrik permukaan.□ Mendefinisikan medan pergeseran listrik D dan merumuskan ulang hukumGauss dalam G.□ Mendeskripsikan hubungan antara medan E, P dan D serta mencirikan khasbahan dielektrik, suseptibilitas listrik dan konstanta dielektrik.5. TEORI MIKROSKOPIK BAHAN DIELEKTRIK□ Mendefinisikan medan-medan molekul dan medan polarisasi dalam bahandielektrik.□ Mendeskripsikan molekul-molekul polar dan non-polar.□ Mendeskripsikan sifat-sifat bahan feroelektrik.6. ENERGI LISTRIK STATIK□ Merumuskan besaran kapasitansi listrik C.□ Menghitung kapasitansi listrik ekivalen rangkaian kapasitor seri dan paralel.□ Merumuskan rapat energi listrik statik.

ANALISIS VEKTORREVIEW

Besaran fisis dalam Fisika diungkapkan dalam besaran skalar dan vektor.• Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai.• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.A. ALJABAR VEKTORPenjumlahan dan Pengurangan Vektor :r r rC = A + Br r r rA − B = A + ( − B)r r r r r r r r rA + B + C = A + B + C = A + B +Perkalian Vektor :( ) ( ) Cr r r rA B = A B cosθr rA = A • Ar r r rA × B = A B sin θr rA × A = 0r r r rB×A = −A× Br• A × ( B×C) = B( A • C) − C( A B)crCrrr r= A • Xr r= A × Xr r r r r r•rr cA r r⇒ X = r r + B ; A ⊥A • Ar rr C × A r⇒ X = r r + kAA • ArBk = sembarang skalar

B. GRADIENGradien suatu fungsi skalar adalah suatu vektor yang turunan arahnyamaksimum di titik yang ditinjau dan arah vektornya adalah arah dari turunanmaksimum di titik tersebut.Dalam koordinat Kartesian (x,y,z):grad ϕ =r ∂ϕi +∂xDalam koordinat Bola (r,θ,φ) :grad ϕ=rar∂ϕ∂rr ∂ϕj +∂yr+ aθ1rr ∂ϕk∂z∂ϕ∂θr+ aφ1r sinθ∂ϕ∂φC. INTEGRAL VEKTORJika F adalah suatu vektor, maka integral garis dari vektor F :ab∫rF( C)r() rr• dl=limN→∞N∑i=1Fri• ∆rliCardlb

Jika C merupakan lintasan tertutup :∫Fr• drlCJika F adalah suatu vektor, maka integral permukaan dari vektor F :r∫F • nrSdaJika S merupakan permukaan tertutup :r∫F • nrSdan rBatasJika F adalah vektor dan ϕ adalah skalar, maka integral volumenya :JrK==∫Vϕdv∫VrFdv( skalar)( vektor)

D. DIVERGENSIDivergensi suatu vektor adalah limit dari intergral permukaan vektor tsb persatuanvolume, jika volume yang dilingkupi oleh permukaan S mendekati nol.rdiv F= limV→01VDalam koordinat Kartesian (x, y, z):r∫F • rnSdadivrF=∂F∂xx+∂Fy∂x+∂F∂xzDalam koordinat Bola (r, θ, ϕ):rdiv F=1r2∂∂r1 ∂r sin θ ∂θ(2r F ) + ( sin θ F )rθ+1r sinθ∂Fϕ∂ϕ

Teorema DivergensiIntegral dari divergensi suatu vektor diseluruh volume V sama dengan integralpermukaan dari komponen normal vektor di seluruh permukaan yang meliputivolume V.∫Vrdiv Fdv=r∫ • rF n daSE. CURLCurl suatu vektor adalah limit perbandingan integral dari perkalian silang vektortsb dengan vektor normalnya di seluruh permukaan tertutup, jika volume yangdilingkupi permukaan mendekati nol.rcurl F= limV→01Vr∫n ×rFdaKomponen curl F dalam arah vektor satuan a adalah limit dari suatu integralgaris persatuan luas, bila luas tertutup tersebut mendekati nol. Luas tersebuttegak lurus terhadap vektor a.S

a • curl F ==limS→0limV→01S∫C1Vr rF • dl∫Sr r ra • n × FdaDimana kurva C adalah bidang normal vektor a.ξdaa rdrlar × nrC’n rCKarena a paralel dengan normal seluruh permukaan, maka :r ra × n da=rξdl

Karena V = ξS, maka :ra • curl Fr=limV→01ξS∫CξFr• drlTeorema StokesIntegral garis dari suatu vektor diseluruh lintasan tertutup C sama denganintegral komponen normal dari curl vektor tersebut di semua permukaan Syang dilingkupi lintasan tadi.∫CrF • dl=∫Sr rcurl F • n da

F. OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOROperator diferensial vektorDalam koordinat Kartesian :Grad :Curl :r∇φ =Divergensi :ri∇r• Fr=r r∇ × F =∂φ∂x∂F∂xri∂∂xFxr r∇ = i∇ r∂∂xr ∂φ+ j +∂yx∂F+∂yrj∂∂yFyydisebut del atau nabla.r ∂+ j +∂yr ∂φk∂z+rk∂∂zFz∂F∂zzr ∂k∂z

Operator del adalah operator linier :r∇r∇ •r∇ ×( aϕ + bψ)r=rr ra∇ϕ + b∇ψr r r( aF + bG)= a∇ • F + b∇ • Gr r(r r raF bG) r+ = a∇ × F + b∇ × GJika a dan b adalah konstanta-konstanta skalar.rTeorema integral lain yang penting.a∫S∫Vb∫( C)r r∇ϕ • dlr r r∇ × F • n dar r∇ • Fdv==∫Sb∫a=dϕ = ϕ∫Cr rF • dlr rF • n dab− ϕa

G. OPERATOR LAPLACE∇r• ∇ r= ∇Dalam koordinat Kartesian :∇r r∇ × ∇ = 0r r(r∇ • ∇ × F)= 0r r∇ × ∇ϕ = 0r r r r∇ ×r∇ ϕψr∇r∇ ×222∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕϕ = + +2 2 2∂x∂y∂zrr22r( ) ( )2∇ × F = ∇ ∇ • F − ∇ Fr r( ) = ( ∇ϕ)ψ + ϕ∇ψ(r r) (r r r)r r r r rF G F G F ( G) ( G )r r rF G (r• = • ∇ + × ∇ × + • ∇ + × ∇ × F)r r r r r r r r r(rF G) ( G) rF (rF) G ( G )rF (r× = ∇ • − ∇ • + • ∇ − F • ∇)G

∇ •r∇ •r∇ ×r r∇ •= 3r r∇ ×= 0r r r=( ϕF) = ( ∇ϕ)• F + ϕ∇ • F(r r rF G) (r r r r× = ∇ × F) • G − ( ∇ × G)r r r( ϕG) = ( ∇ϕ)r r× F + ϕ∇ × F( G • ∇)∇ 2 r =0rrGrrrr• F∫S∫V∫Vr rn × ∇ϕ =∇ϕdv=r∇ × Fdv∫∫=rϕdlrϕ n da∫r rn × Fdar r r r∫( )r r r∇ • G + G • ∇ Fdv =∫F( rG • n)daVSCSS

MEDAN LISTRIK STATIK

Hukum CoulombEksperimen memungkinkan pengamatan gaya-gaya interaksi antara muatanmuatanlistrik.1. Hanya ada dua jenis muatan listrik : positif (+) dan negatif (-)2. Antara dua muatan titik terdapat gaya interaksi yang bekerjasepanjang garis penghubung kedua muatan tadi yang berbandingterbalik dengan kuadrat jarak antara dua muatan tersebut.3. Gaya-gaya tersebut sebanding dengan perkalian muatan-muatantersebut yang bersifat tolak-menolak untuk muatan sejenis dantarik-menarik untuk muatan tak-sejenis.HUKUM COULOMB

HUKUM COULOMBSKALARrq 1q 2F=kq1 22rq=14πε0q1 22rqε 0= permitivitas vakuum= 8,8542 x 10 -12 F/mk ≈ 9 x 109 N m 2 /C 2

VEKTORF r rF r21rrr122112q 1q 2rr 21r r=1 −2 ⎫r r ⎬=2 −1⎭r=210rr 1212=r−21Gaya pada q 1:rF1==14πε14πε00Gaya pada q 2:rF2==14πε14πε00q qr1 2212q qr1 2312q qr1 2221q qr1 2321rrr121212rrr212121

Secara Umum (Operator Nabla)rF1rF2r( r )1r1= −4πε10qr∇( r ) ⎜⎟ 2 = q1q2∇2r r4πε0⎝1 −2 ⎠1q2r1⎛⎛⎜⎝r11r−12⎞⎞⎟⎠Untuk beberapa muatan titik:rF1NNj ijj= q ∑ i = q ∑3 i4πεj i 0 rij4πε≠j≠i0rij=riqr−jrqr∇i⎛⎜⎜⎝ri1−rj⎞⎟⎟⎠

Jika muatan-muatan titik terdistribusi dalam suatu fungsi (fungsi rapat muatan) yangdidefinisikan sebagai limit dari muatan persatuan volume jika volume menjadi takhingga.Rapat muatan volume:Rapat muatan permukaan:ρ =limV → 0∆∆q∆Vσ =limS → 0∆∆q∆SJika muatan terdistribusi melalui suatu volume V dengan rapat ρ dan padapermukaan S yang melingkupi volume V dengan rapat σ, maka gaya interaksi yangdiakibatkan oleh distribusi muatan tersebut dari suatu muatan titik yang berjarak r :rFrq4πεr r− r'r r− r'q4πεr r− r'r r− r'() rρ( r' ) dv' +σ( r' ) da'=∫∫30 V0 Sr3rrr'= vektor posisi dari distibusi muatan

MEDAN LISTRIKSetiap muatan titik akan menimbulkan medan yang akan mempengaruhi muatandalam bentuk gaya.Medan listrik suatu muatan titik didefinisikan sebagai limit dari gaya yang bekerjapada muatan titik lain (muatn uji) yang ditimbulkan oleh muatan titik tadi.rErF= limq→0qLimit q → 0 untuk memastikan bahwa muatan titik test taditidak mempengaruhi distribusi muatan yang menghasilkanmedan listrik.Kuat medan listrik biasa digambarkan dengan bantuan garisgaya.+++-+++++++++---------

Kombinasi muatan-muatan titik dan distribusi muatanq 1q 2 q 3qdv’r − r''rVrrrFrErq4πεi() r = q +ρ( r' ) dv' +σ( r' )r14πε0Nr r−r r−r r−r r−q4πε14πεr r− r'r r− r'r r− r'r r− r'i() r = q +ρ( r' ) dv' +σ( r' ) da'0N∑i=1∑i=1iiii3300∫V∫V33rr0q4πε14πε00∫S∫Sr r− r'r r− r'3r r− r'r r− r'3rrda'

HUKUM GAUSSMenggambarkan hubungan antara integral komponen normal dari medan listrikpada suatu permukaan tertutup dan muatan total yang dilingkupi permukaantersebut.danˆE r S∫SrE • nˆ da=q4πε∫0 Sr• nˆda3rqr• nˆdΩ= da3rq=rSudut ruang yang dibuat oleh q melalui elemen luas da.dΩda

∫Sr• nˆdarrr' • nˆda' =3r'1r=∫ ∫2∇3 rSrdr=⎧4π⎪⎨⎪⎩ 0Jika q berada di dalam SJika q berada di luar SBuktikan, sebagai latihan!!!!HUKUM GAUSS∫rE • nˆ da =qεS 0Jika muatan q berada dalam permukaan S∫rE• nˆ da=0Jika muatan q berada diluar permukaan SS

Secara umum Hukum Gauss adalah:∫E r• nˆ da =1εS 0N∑i=1qiDimana q iadalah muatan-muatan titik yangdilingkupi oleh permukaan SJika S adalah suatu permukaan tertutup yang dilingkupi oleh volume V, makaHukum Gauss dapat dinyatakan oleh:∫E r• nˆ da =1εS 0∫VρdV

Teorema Divergensi:∫SrF • nˆ da=∫Vr r∇ • FdVMaka Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:r1ε∫E• da =∫∇ • EdV =∫ρnˆS V0rrVdVr∇r• E =ερ0

Contoh Soal1. Hitung kuat medan listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yangsangat panjang yang memiliki rapat muatan panjang λ.2. Hitung kuat medan listrik pada permukaan suatu konduktor yangmemliki rapat muatan persatuan luas σ.Solusi:1.nˆE rHukum Gauss:lrnˆnˆ∫EEr 1E • nˆ da =∫λ dlεS 0rr.2πrl==2λπε0λlεr0

2. Dalam konduktor, muatan listrik terdistribusi di permukaan konduktor,sehingga ρ = 0 didalam konduktor. Di luar konduktor medan listrik searah normalpermukaan.Ambil elemen permukaan dS dalam konduktor (lihat gambar).E = 0E rn r Hukum Gauss :dS∫S 0Er rE • n dS =E. ∆S==σε0σε01ε∆S∫σdS

POTENSIAL LISTRIK

Bila Curl dari suatu vektor sama dengan nol, maka vektor tersebut bisa dinyatakansebagai gradien dari suatu skalar.r r∇ x A =r r∇0x ( ∇φ) = 0A r= vektor dan φ adalah skalarGaya Coulomb dan medan listrik dinyatakan :r r∇ x E = 0r ⎡ 1∇ x ⎢⎢⎣4πε0r ⎛q' ∇⎜⎝r⎛ r rr 1⎞() ⎜− r'F= qq' ⎟4πε⎜ r r 3⎟0⎝− r' ⎠r⎛()⎟ ⎞= − ∇⎜⎟⎟ ⎞⎜⎜ ⎛ r rr 1− r' 1 r 1E= q'q'4πεr r 3πεr r0⎝ −⎝− r' 4r'⎠0 ⎠r1r− r'⎞⎤⎟⎥ = 0⎠⎥⎦

Ingat:r∇ xr( ∇φ)=0Potensial listrik statik akibat suatu muatan titik q’:φrEr() rr=14πεr⎛q' ⎜⎝0r() r = −∇φ()rr1r− r'⎞⎟⎠Potensial listrik akibat muatan-muatan titik dan distribusi muatan:φr() r=N1 q 1∑i∫ρ rr r + r r dv' +∫4πε0 −i 4πε0− r' 4πε0i=1Vrr r− r'( r' ) 1 σ ( r' )Sda'

Pembuktian dengan cara lain:()0r'rr'rxq'41x Er'rr'rq'41rE3030=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−∇πε=∇⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−πε=rrrrrrrrrrrrr( ) ( )r'rxr'r1r'rxr'r1r'rr'rx 333rrrrrrrrrrrrrrr−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−∇+−∇−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−∇( )( ) 0r'rxr'r1r'rr'r3r'r10r'rx353=−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−∇−−= −−∇=−∇rrrrrrrrrrrrrrrKarena perkalian silangvektor yang sejajaradalah nol

Contoh soal1. Hitung potensial listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang sangatpanjang yang memiliki rapat muatan panjang λ.Solusi :Medan listrik di sembarang titik sejauh r dari kawat lurus yang sangat panjang :φr λ λE = =2πε0r2πεr r= − E • dr() r∫0r2r= −∫2λπε0rdr=2λπε0ln r+CC = konstanta integrasi (ditentukan oleh syarat batas)

DIPOL DAN MULTIPOLLISTRIK

1. DIPOL LISTRIKJika dua buah muatan yang sama besarnya tapi berlainan jenis terpisah oleh jarakyang kecil akan membentuk suatu dipol listrik.Pandang dua muatan -q di posisi r’ dan +q’ di posisi r’+l, maka medan listrik dititik r :rrr'0rlr r− r' -q +qr rr' + lrEr() r1= ∑q4πε=0q4πε0Ni=1⎧⎪⎨⎪⎩ir r−ir r−ir r r− r' −lr r r− r' −l33−r r− r'r r− r'3⎫⎪⎬⎪⎭

−r rr' −l−3==rr[( ) ( ) ]22r − r' − 2 r − r' • l + lr r− r'−3⎡⎢1−⎢⎣r2rr r r• lr r +2− r'( r − r' )rr−3/ 22r lr r− r'⎤⎥⎥⎦−3/ 2Dengan menggunakan deret binomial, dimana hanya bagian liniernya saja yangdiambil, maka:⎡ r r rr r r −3r r ( − )•⎤−33r' l− r' −l=− r' ⎢1+ r r + .....2⎥⎢⎣− r' ⎥⎦Maka medan listrik di titik r akibat oleh dipol listrik menjadi:rr() r⎪⎧r r rq 3( − r' )•l r r⎪⎫= ⎨ ( − r' ) − + ... ⎬4πεr r 5 r lr r0 ⎪⎩− r'− r' ⎪⎭E3

() r⎪⎧r r rq 3( − r' )•l r r⎪⎫= ⎨ ( − r' ) − + ... ⎬4πεr r 5 r lr r0 ⎪⎩− r'− r' ⎪⎭E3Jika jarak antara kedua muatan titik sangat kecil (limit l mendekati nol) dan tidakada medan listrik, kecuali muatan-muatan titik tadi tak hingga.Dalam kasus ini, maka ql menjadi konstan, sehingga dikatakan dipol titik. Suatudipol dikarakteristik oleh momem dipol listrik:rpr= lim r qll→0r= qlMaka medan listrik dapat dinyatakan:rEr() r⎪⎧r r rr1 3( − r' )•p r r p⎨ ( − r' ) −54πεr rr r0 ⎪⎩− r'−'=3⎪⎫⎬⎪⎭

Distribusi potensial yang dihasilkan oleh dipol listrik:φr() r=q4πε0⎪⎧⎨⎪⎩r1r r− r' −l−r1r− r'⎪⎫⎬⎪⎭.....φr() r=q4πε0r r r• lr r 3− r'( r − r' )Untuk dipol titik:φr() r=r r1 p •4πεr rr( r − r' )30 r − r'

Jika dua muatan -q di posisi r dan +q di posisi r+l, diletakkan di dalam suaturmedan listrik luar (dimana medan listrik digambarkan oleh potensial φext( )maka energi potensial:Jika:( ) ( rU = −qφr + qφr + l)ext extrlr

2. MULTIPOL LISTRIKJika terdiri dari banyak muatan titik, maka untuk mengurangi jumlah koordinat titikdigunakan suatu distribusi muatan.Pandang suatu titik sembarang didalam distibusi muatan yang berjarak r’ denganrapat muatan pada titik tersebut ρ(r’) dan suatu titik tinjau r yang berada jauh daridistribusi muatan tadi.r r− r'titik tinjaudv’rr'0VrPotensialdititikr :φr() r=r14 ∫ ρr rπε0 −V( r' )dv'

Karenar r− r'−1r r >> '==2 r r 2( r − 2r • r' + r' )1r⎪⎧⎨1−⎪⎩12⎡⎢−⎣−1/ 2r r2r • r'+2rr'r22⎤⎥⎦+121232⎡⎢−⎣r r2r • r'+2rr'r222⎤⎥⎦⎪⎫+ ... ⎬⎪⎭Maka:φr()=14πε∫⎪⎧1⎨⎪⎩rr r• r'+ +3rr r 21 ⎡3( • r' )⎢ −52 ⎣ rr 0r3Vr'2⎤⎥⎦⎪⎫+ ... ⎬ρ⎪⎭r( r' ) dv'Karena r tidak terlibat dalam integrasi, maka variabel r dapat disimpan diluar.φr14πε⎪⎧1⎪⎩rri j() ( ) ( ) (2r =) ⎨ ∫ρr' dv' +∫r' ρ r' dv' + ∑∑ ∫3xi'x j'− δijr'ρ( r' )350VrrVrr33i= 1 j=1x i, x jadalah komponen kartesian dari r dan x i’, x j’ adalah komponen Kartesian dari r’12xrxVr⎪⎫dv' ⎬⎪⎭δij=⎧0,⎨⎩1,i ≠i =jj

φr14πε⎪⎧1⎪⎩rri j() ( ) ( ) (2r =) ⎨ ∫ρr' dv' +∫r' ρ r' dv' + ∑∑ ∫3xi'x j'− δijr'ρ( r' )350VrrVrr33i= 1 j=112xrxVr⎪⎫dv' ⎬⎪⎭Potensial dari muatantotalPotensial dari momen dipoldistribusi muatanPotensial dari momentensor kuadropolJika posisi r berada jauh dari distribusi muatan dimana ρ berada, maka:r rr 1 ⎡Qp •⎤φ () =⎢+ + ...34πε⎣ r r ⎥ ⎦0DimanaQ = muatan total didalam distribusi muatanp = momen dipol dari distribusi muatanr rp =∫r' ρVr( r' ) dv'

FUNGSI DELTA DIRACFungsi delta-dirac merupakan ekspresi matematik dari suatu fungsi pada titik r = 0ρδ∫rMaka jikaρφrEr() r = qδ()rr()= 0rδ( r' ) dv' = 1runtuk( r' ) = q δ( r' −r)r() rv() r==i14πε014πεr0∫∫rir≠0r rqiδir r− r'r rqiδr r 3− r'( r' −r)dv'1=4πε0∫∫qir r−FFr( r' ) δ( r' )rrrdv' =rF(0)( r' ) δ( r' −r) dv' = F(r )( r' −ri) (r r )1 qir' dv'(r r− =−)0F adalah fungsi skalar atau fungsi vektori4πεUntuk suatu muatan titik q ipara posisi r i0r r−i3ir0

Dengan demikian Hukum Gauss:∇ r• E r=1εUntuk suatu muatan titik q pada r = 0, menjadi:Karena:r ⎛ 1⎞∇⎜⎟ =⎝ r ⎠maka:rrddr⎛⎜⎝r∇ •ataurr∇ •rq4πε31⎞⎟ = −r ⎠0rr30= 4πδr3rρ1=εr() r⎛ 1⎞r r ⎛ 1⎞∇ ⎜ ⎟ = ∇ • ∇⎜⎟ = −4πδ⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠0() r2 rq δr() r

PERSOALAN-PERSOALANDARI LISTRIK STATIK

Pada dasarnya untuk menghitung potensial dan medan listrik dapat dilakukanlangsung dengan menghitung integral dari distribusi muatan ρ(r’) melalui:φrEr() rr() r==14πε014πε0∫∫rρ( r' )r r− r'r r( r − r' )r−rr'dr' =3ρr( r' )14πε0dr' =∫dq'r r− r'14πε0∫r rdq'r r 3− r'( r − r' )Namun dalam kenyataannya seringkali distribusi muatan tidak diketahui,sehingga pertama harus ditentukan dulu medan listrik, baru kemudian distribusimuatan.Contoh: persoalan yang melibatkan beberapa konduktor, dimana potensial ataumuatan total dari masing-masing konduktor diketahui, namun distribusi muatanpermukaan tidak diketahui atau harus ditentukan sebagai solusi dari masalah tsb.Q 1 Q 2Q 3φ1φ 23φ

Solusinya: Kita tentukan dahulu potensialnya baru menentukan distribusimuatannya.PERSAMAAN POISSONHukum Gauss:r r∇ • E =r rE = −∇φρε0⎫⎪ r⇒ −∇ •⎬⎪⎭∇2r( ∇φ)φ = −=ρε0ρε0Persamaan PoissonOperator diferensial:∇r• ∇ r= ∇2disebut operator Laplace

Operator Laplace dalam Koordinat Kartesian (x,y,z)∇2φ ≡∂2∂xφ2+∂2∂yφ2+∂2∂zφ2Operator Laplace dalam Koordinat Bola (r,θ,ϕ)∇2φ ≡1r2∂∂r⎛⎜⎝r2∂φ ⎞⎟ +∂r⎠r21sin θ∂∂θ⎛⎜sinθ⎝∂φ∂θ⎞⎟ +⎠r21sin2θ∂2∂ϕφ2Operator Laplace dalam Koordinat Silinder (r,θ,z)∇2φ ≡1r∂∂r⎛⎜⎝r∂φ ⎞⎟ +∂r⎠1r2∂∂22φθ+∂2∂zφ2

PERSAMAAN LAPLACEDalam kasus persoalan listrik statik yang melibatkan konduktor, dimana seluruhmuatan-muatannya berada pada permukaan konduktor atau muatan-muatannyamerupakan muatan-muatan titik yang tetap, maka ρ adalah nol di titik di dalamruang:∇2φ =0Persamaan LaplaceTEOREMA I : Jika φ 1, φ 2, …, φ nadalah solusi-solusi persamaan Laplace, maka:φ =C1φ1+ C2φ2+ ... + C2Dimana C adalah konstanta sembarang, juga merupakan solusi.φ2

Bukti:∇2φ = ∇2C1φ1+ ∇2C2φ2+ ... + ∇2Cnφn==C01∇2φ1+C2∇2φ2+ ... +Cn∇2φnTEOREMA II : (Teorema Keunikan) ; Dua solusi persamaan Laplace yangmemenuhi syarat batas yang sama, hanya berbeda pada suatu konstantatambahan.

Persamaan Laplace dalam satu variabel bebasJika ϕ merupakan fungsi yang bergantung hanya pada satu variabel saja, makapersamaan Laplace menjadi suatu persamaan diferensial biasa. Contoh fungsi ϕyang hanya bergantung pada x saja.d2dxφφ2=0( x) = ax + ba dan b adalah konstanta yang ditentukan oleh syarat batas.Dalam koordinat bola:2d 2φ=2drφ1 ∂ ⎛r2 ⎜r ∂r⎝ar() r = − + b∂φ∂r⎞⎟⎠=0

Persamaan Laplace dalam banyak variabel bebasSebagai contoh untuk kasus koordinat bola (r,θ,ϕ), dimana kita membatasi diribahwa fungsi φ tidak bergantung pada variabel azimut ϕ, sehingga :( r θ)φ = φ ,Persamaan Laplace menjadi:∇2φ =1r2∂∂r⎛⎜⎝r2∂φ ⎞⎟ +∂r⎠r21sin θ∂∂θ⎛⎜sin⎝∂φθ∂θ⎞⎟⎠=0 ............(1)Persamaan diferensial parsial ini dapat diselesaikan denga metoda pemisahanvariabel.φ( r, θ) = Z( r) P( θ)Substitusi ke pers. (1) menghasilkan:1r( θ)d ⎛⎜rdr ⎝dZ ⎞⎟ +dr ⎠rZ( r)sin θd ⎛ dP ⎞⎜sinθ ⎟dθ⎝ dθ⎠2P=2 20 ............(2)

1r( θ)d ⎛⎜rdr ⎝dZ ⎞⎟ +dr ⎠rZ( r)sin θd ⎛ dP ⎞⎜sinθ ⎟dθ⎝ dθ⎠2P=2 20 ............(2)Jika persamaan (2) dibagi dengan Z(r) P(θ), dan dikalikan dengan r 2 maka:1Z1Zddrddr⎛⎜⎝⎛⎜⎝rr22dZ ⎞⎟ +dr ⎠dZ ⎞⎟dr ⎠= −1Psin1Psind ⎛ dP ⎞⎜sinθ ⎟ = 0θ dθ⎝ dθ⎠d ⎛ dP ⎞⎜sinθ ⎟ ........................(3)θ dθ⎝ dθ⎠Dalam pers. (3), sebelah kiri hanya bergantung pada r saja sedangkan sebelahkanan hanya bergantung pada θ saja. Agar persamaan diatas berlaku, makakedua suku sama dengan suatu konstanta k (konstanta separasi).1Psin1sin θθdd⎛⎜sinθθ ⎝dPdθ⎞⎟⎠= −kd ⎛ dP ⎞⎜sinθ ⎟ + kP =dθ⎝ dθ⎠0.....................(4)

Secara fisis, solusi pers. (4) bernilai 0 sampai dengan π, maka k = n(n+1), dimana nadalah bilangan bulat. Solusi persamaan (4) dikenal sebagai polinom LegendreP n (θ)n0123P n(θ)1cos θ½ (3 cos 2 θ -1)½ (5 cos 3 θ - 3 cos θ)Maka persamaan (3) menjadi:1Zddrddr⎛⎜⎝r⎛⎜⎝2r2dZ ⎞⎟dr ⎠dZ ⎞⎟dr ⎠= n(n + 1)= n(n + 1) Z........................(5)

Pers. (5) mempunyai dua buah solusi independen, yaitu:ZZnn==rrn−( n+1)Karena fungsi φ merupakan kombinasi dari variabel r dan θ, maka solusipersamaan Laplace menjadi:φn( r, θ) = Z (r) P ( θ)nnφφnn==rrn−Pn( θ)( n+1) P ( θ)n

Contoh soal:1. Dua buah pelat konduktor yang sejajar terpisah sejauh d. Konduktor q memilikipotensial φ 1(x=0) dan konduktor 2 φ 2(x=d) . Tentukan potensial di setiap titik?Solusi:∇φ2φ =d2dxφ2=( x) = ax + b0φ φ 1 d 2sumbu-xSyarat batas?x = 0x = dφ = φφ = φMaka potensial di setiap titik:φ⎛( )1x = ⎜2 ⎟ x + φ1⎝φ− φd⎞⎠12⇒ b = φ⇒ φ2=1ad+ φφ2 φ1a =−d1

2. Suatu bola konduktor berjejari a diberi medan listrik yang semula seragan E 0yang seraha dengan sumbu-z. Hitung medan-medan listriknya dalam arahradial danSolusi:φ( r, θ)φφ=12nnA==1A3r r rE = E0= E0krrrn−Pn( θ)( n+1 ) P ( θ )+ C r21−1n+A⎪⎫⎬⎪⎭2r cosθ + C12cosθ +(2)−3( 23cos θ −1+ C r 3cos θ −1) + ...z32r−2θrPMedan listrik tanpa kehadiran bola konduktorMedan listrik akibat kehadiran bola konduktor

Pada titik r →∞, medan listrik uniformr[ E( r, θ)][ φ( r, θ)]φ( r, θ)=r→∞r→∞12A1A3r= E0= −E= −E+ C rr21=00−1E0rkz + konstan tar cosθ ++A2konstan tar cosθ + C12cosθ +(2)−3( 23cos θ −1+ C r 3cos θ −1) + ...Agar potensial sama untuk r →∞, maka: A = - E 0, sehingga:φ−2( r, θ) = A − E r cosθ + C r cosθr a32r−21 02≥Suatu bola konduktor dengan jari-jari a adalah suatu permukaan ekipotensialdengan potensial φ 0, maka:φ( a,θ) = φ0

Agar kedua potensial sama pada r = a, maka:φA( a, θ)1= φ=A−E a cosθ = C0012Ea0a cosθ + C−2cosθ2a⇒C−22cosθ = φ=E0a30φ( r, θ) = φ − E r cosθ + E cosθMedan-medan listrik:00EErθ= −= −∂φ∂r1r∂φ∂θ0ar323⎛ a ⎞= E0⎜⎟1 + 2cosθ3⎝ r ⎠3⎛ a ⎞= − E0⎜⎟1 −sin θ3⎝ r ⎠Rapat muatan permukaan: σ( θ) = ε = 3εE cosθ0Err=a 0 0

Muatan total didalam bola:Q===aa0π2∫0π2∫0= 3πaσ3ε2( θ)ε00E2πsinθdθ0sincosθ2πsinθdθ2θπ0Hal ini bahwa muatan total di dalam bola adalah nol, karena didalam bolakonduktor muatan-muatannya terdistribusi di permukaan.

TEOREMA GREEN

Jika persoalan-persoalan listrik statik baik yang menyangkut distribusi muatantitik diskrit atau distribusi muatan kontinu tanpa adanya permukaan-permukaanbatas, maka solusi umum persamaan Gauss dapat diselesaikan dengan mudah.Namun dalam realita, banyak persoalan listrik statik menyangkut daerah-daerahruang terbatas baik dengan atau tanpa muatan-muatan didalamnya, sehinggakondisi ruang batas tersebut harus diperhatikan.Kondisi batas dapat ditimbulkan oleh suatu distribusi muatan-muatan diluardaerah batas tersebut. Kondisi batas tersebut dapat ditangani dengan metodafungsi Green.Fungsi Green merupakan implikasi sederhana dari teorema divergensi.BilaA r = φ∇ψr∫Vr r∇ • A dV =∫Vr r∇ • A d3x=∫r rA • n da............................(1), dimana φ dan ψ adalah medan-medan skalar sembarang, maka:r r r r∇ • A = ∇ • ( φ∇ψ)= φ∇r r r r ∂ψA • n = φ∇ψ • n = φ∂n2r rψ + ∇φ∇ψ⎫⎪⎬⎪⎭.........................(2)

∂Dimana ∂n adalah normal turunan pada permukaan S. Susbstitusi (2) ke (1) :∂ψ∂n∫ (2)3φ∇ ψ + ∇φ.∇ψ d x =∫φ da ..........................(3)VBila medan-medan skalar φ dan ψ saling tukar, maka:S∂φ∂n∫ (2)3ψ∇ φ + ∇ψ.∇φ d x =∫ψ da ..........................(4)VPers. (3) dikurangi pers. (4) menghasilkan:S∂ψ∂n∂φ⎤∂n⎥ ⎦∫ (2 2)3φ∇ ψ − ψ∇ φ d x =∫ ⎢φ − ψ daVS⎡⎣Persamaan ini disebut sebagai teorema Green

Persamaan diferensial Poisson untuk potensial listrik statik dapat dikonversi kedalam persamaan integral, bila kita memilih medan-medan skalar:ψ ≡φ = Φ∇∇221R1R≡Φ = −4πρ⎛⎜⎝⎞⎟⎠= ∇1r rx − x'2⎛⎜⎝1r rx − x'⎞⎟⎠x r = titik pengamatanx r ' = variabel integrasi= −4πδrr( x − x' )Maka Teorema Green menjadi:∫V⎡⎢−⎣4πΦrrr4πRr⎤⎥⎦∂ ⎛⎜∂n'⎝∂Φ ⎤∂n'⎥ ⎦3( x' ) δ( x − x' ) + ρ( x' ) d x' = Φda'∫S⎡⎢⎣1R⎞ 1⎟ −⎠ R

Bila titik∫V⎡⎢− 4πΦ⎣rrr4πRr⎤⎥⎦∂ ⎛⎜∂n'⎝∂Φ ⎤∂n'⎥ ⎦3( x' ) δ( x − x' ) + ρ( x' ) d x' = Φda'berada didalam volume V, maka:x r r r r 34πΦ( x' ) δ( x − x' ) d x' = 0∫ −VMaka potensial listrik statik dapat ditentukan dengan persamaan:Φr( x)=∫VrρR( x' )d3x' +14π∫S⎡⎢⎣1R∂Φ∂n'∫S− ΦAda dua catatan penting berkaitan dengan persamaan diatas:⎡⎢⎣∂∂n'⎛⎜⎝1R1R⎞ 1⎟ −⎠ R⎞⎤⎟⎥da'⎠ ⎦1. Jika permukaan S bergerak menuju tak-hingga dan medan listrik pada Sberkurang lebih cepat dibandingkan dengan 1/R, maka integral permukaanmenjadi nol, sehingga:Φr( x)=∫VrρRrr rx − x'( x' ) ρ ( x' )d3x' =∫Vd3x'PersamaanGauss

2. Untuk volume tak bermuatan, potensial di setiap titik di dalam volume (solusipers. Laplace), persamaan:Φr( x)=∫VrρR( x' )d3x' +14π∫S⎡⎢⎣1R∂Φ∂n'− Φ∂∂n'⎛⎜⎝1R⎞⎤⎟⎥da'⎠ ⎦Bukan merupakan solusi untuk persoalan nilai batas, tetapi hanya suatuintegral karena Φ dan ∂Φ merupakan persoalan tersendiri (kondisi batas∂nCauchy).Fungsix rdan1 1ψ ≡ ≡ r r merupakan suatu fungsi yang hanya bergantung padaR x − x'' yang disebut dengan fungsi Green. Secara umum:'2 r r r r∇ G x,x' = −4πδx − x'x r ( ) ( )r rG x,x'1r rx − x'( ) = + F( x,x' )rrDimana fungsi F memenuhi persamaan Laplace di dalam volume V:∇'2Frr( x,x' ) = 0

Dalam menghadapi masalah yang memenuhi kondisi batas pada Φ dan∂Φ∂ndimana keduanya muncul didalam integral permukaan, kita dapatmenggunakan konsep umum dari fungsi Green dan fungsi F, sehingga salahsatu dari integral permukaan dapat dieliminasi.Dengan menggunakan teorema Green, dan mengganti φ = Φ, dan ψ = G, makapotensial listrik statik dapat dituliskan menjadi:Φr14π∂Φ∂n'3( x) = ρ( x' ) G( x,x' ) d x' + G( x,x' ) − Φ( x' )∫Vrrr∫S⎡⎢⎣rrrr r∂G x,x'∂n'( )⎤⎥da'⎦Sekarang, kita dapat membuat integral permukaan hanya bergantung pada tipekondisi batas.(1). Kondisi batas DirichletG DΦrr( x,x' ) = 0 jika x berada di Srr14π3( x) = ρ( x' ) G ( x,x' ) d x' − Φ( x' )∫VrDrr∫Srr∂GD∂n'r( x,x' )da'

(2). Kondisi batas Neumann∂ΦG Nr( x,x' )∂n'rx =rr= 0 jika x' berada di S14π∂Φ∂n'3( ) ρ( x' ) G ( x,x' ) d x' − G ( x,x' ) da'∫VNamun, dari teorema Green, bahwa:r∂G∫Dda'= 4π∂n'SNrrSehingga kondisi batas pada G Nyang diperbolehkan adalah:∂∂n'rΦ xG N4π= −Sruntuk x' pada S3( ) = Φ + ρ( x' ) G ( x,x' ) d x' + G ( x,x' ) da'S∫VrN∫SNr14πDimana Sadalah potensial rata-rata di seluruh permukaan.rr∫SrNrr∂Φ∂n'

Karena fungsi Green adalah potensial yang diakibatkan dari suatu muatan titik,maka secara simetri ia menggambarkan pertukaran antara titik sumber danpengamatan.Dalam realita, terkadang fungsi Green sulit untuk diterapkan, karena itudikembangkan beberapa metoda pendekatan diantaranya:• Metoda bayangan ; berkaitan erat dengan fungsi Green• Ekspansi dalam fungsi-fungsi ortogonal; suatu pendekatan melalui persamaandiferensial (tidak berkaitan langsung dengan fungsi Green).

METODA BAYANGAN

Metoda ini berkaitan dengan masalah dari satu atau lebih muatan titik akibatkehadiran permukaan-permukaan batas. Sebagai contoh konduktor, baik yangdigroundkan (potensialnya nol) atau yang diberi potensial tertentu.Geometri dari suatu muatan dapat diinversi dengan muatan di luar permukaan batas.Muatan tersebut dinamakan muatan bayangan.Contoh:φ = 0φ = 0qq’q(a)(b)Solusi metoda bayangan (a). Persoalan potensial riil, (b). Persoalan bayangan

1. Suatu muatan titik q diletakkan pada jarak d dari konduktor bidang tak-hinggayang digroundkan. Hitung potensial dan rapat muatan di setiap titik serta gayayang bekerja pada muatan titik q.Solusi:r 2Pyr 1q’ddqxφ( x = 0) = 0Potensial di setiap titik disebelah kanan konduktor (titik P):φ1⎛qq' ⎞( x) =⎜ +⎟ =⎜ −4πεπε ⎟ 0 ⎝ r1r2⎠ 4 0 ⎝ r1r2⎠q = −q'q⎛11⎞rr12==( x − d)2+y22 2( x + d) + y

Sehingga potensial di setiap titik:φ( x)=q4πε⎛⎜⎜⎝1−1 ⎞( ) ( )⎟ ⎟ 2 22 2x − d + y x + d + ⎠0 yPotensial di titik x = 0, maka d =0 sehingga: φ( x = 0) = 0awal bahwa konduktor digroundkan (potensialnya nol).sesuai dengan syaratRapat muatan permukaan:σ = −ε= ε= −00⎡⎢⎢4⎣q2π∂φ∂xqπεx=00⎛⎜⎜⎝{2( ) }23/ 2x − d + y ( x − d)d(2 2)3/ 2d + yx − d−x + d{2}2+ y3/ 2⎞⎤⎟⎥⎟⎠⎥⎦x=0

Gaya yang bekerja pada muatan titik q menjadi:F(q)220 r 4πε0d21 qq' q= = −d adalah jarak anatara muatan q dan4πεmuatan bayangannya q’.Muatan titik akibat kehadiran konduktor bola yang digroundkanPandang suatu muatan titik q terletak pada jarak y relatif terhadap titik pusatsuatu konduktor bola yang berjejari a. Kita akan menghitung potensial, rapatmuatan permukaan di sembarang titik φ(x), dimana φ(x = a) = 0 dan gaya yangbekerja pada muatan titik q.Px rDengan bantuan simetri, tampakbahwa muatan bayangan q’ terletakqy rsearah dengan muatan titik q.Bila muatan titik q berada di luarq’y r bola, maka posisi muatanbayangan q’ berada di dalam bola.'a

Potensial di setiap titik (titik P):φr1⎛q'( x) = ⎜r r + r r4πε⎟ 0 ⎝ x − y x − y' ⎠qnˆ x r nˆ 'y r⎞Bila adalah vektor satuan yang searah dengan dan adalah vektor satuanyang searah dengan arah , maka:φr1⎛q( x) = ⎜+4πε⎟ 0 ⎝ x nˆ − y nˆ' x nˆ − y' nˆ' ⎠q'⎞Potensial di permukaan konduktor bola (x = a) :φ( x = a)=14πε0⎛⎜⎜⎜⎜⎝a nˆqy−anˆ'+y'q'nˆ' −ay'nˆ'⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Kita harus memilih q’ dan y’ sedemikian rupa sehingga φ( x = a) = 0Maka:φArtinya:14πε⎛⎜⎜ q⎜ y⎜ a nˆ − nˆ'⎝a( x = a) =+= 0q' = −y' =ayay2q0q'y' nˆ' −1. Bila muatan q bergerak mendekati bola, (y ≈ a), maka muatan bayanganbertambah besar dan bergerak menjauhi pusat bola menuju permukaan bola (y’ ≈a).2. Bila muatan q tepat terletak di luar permukaan bola (y = a), maka muatanbayangan sama besarnya dengan muatan titik, namun berlawanan tanda denganmuatan asal (q ‘ = -q) dan terletak tepat dibawah permukaan bola.3. Bila q → ∞ maka muatan q’ → 0 (pusat bola)ay'nˆ⎞⎟⎟⎟⎟⎠

Rapat muatan permukaan:σ( x = a)= −ε0∂φ∂xq= −4πa2x=a⎛⎜⎝ay⎞⎟⎠⎜⎛ −21 a⎝ y2⎛ a a⎜1+− 22⎝ y y⎞⎟⎠⎞cos γ⎟⎠2adalahsudutantaraIlustrasi rapat muatan permukaan dalam satuan –q/4πa 2 sebagai fungsi dari γγrxdanry−4πaq2σy = 2ay = 4aγ

Gaya yang bekerja pada muatan titik q:F=1 qq'4πε20 y − y'y⎛ ay' = y⎜1 −⎝ y2−2⎞⎟⎠Karenaq'a= − q , maka:yF ==14πεq4πε020aq22⎛⎜⎝ayayy⎞⎟⎠231⎛ ⎜1−⎝⎛⎜1 −⎝ayay2222⎞⎟⎠⎞⎟⎠2−2

Cara lain untuk menghitung gaya yang bekerja pada muatan titik q adalah denganmenghitung gaya total yang bekerja pada permukaan bola. Gaya pada masingmasingelemen luas da adalah 2πσ 2 da, dimana σ adalah rapat muatan permukaansepeti yang telah dihitung diatas.Secara simetri, hanya komponen yang sejajar dengan vektor radius dari pusat bolayang berkontribusi pada gaya total.Gaya total pada bola:F2 2 2q ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞= ⎜ ⎟ ⎜1⎟24 0 y−πε y∫......................=q4πε20a⎝2⎛⎜⎝⎠ay⎝⎞⎟⎠3⎛⎜1 −⎝ay⎠22⎞⎟⎠⎛⎜1+⎝−2cos γ dΩ2a a ⎞− 2 cos γ2y y⎟⎠

Atau dengan meninjau gambar dibawah ini (Reitz):Paθbrr 2r 10 q’qrr12==rr22+ d+b22− 2rd cosθ− 2rbcosθdPotensialdititikPφ( r, θ)=q4πε0r1+q'4πεr02=14πε0⎡⎢⎢⎣r2+d2q− 2rd cosθ+r2+b2q ⎤⎥− 2rbcosθ⎥⎦

Potensial di permukaan bola = 0, jika b = a 2 /d, sehingga:Maka :aq'2= −2d 2 2+ d − 2ad cosθ= a + b − 2abcosθaadq

MUATAN GARIS DAN BAYANGANNYAPandang dua muatan garis yang sangat panjang dan sejajar, masing-masingdengan rapat muatan panjang (muatan persatuan panjang) λ dan –λ (lihatgambar)P(x, y)r 2r 1yz− λλxPotensial di sembarang titik diberikan oleh:φ() rλ= −2πελ= −2πελ= −2πε000ln rlnrlnr( r − r )1122

Jika kita definisikan:rr2M1 = Dimana M adalah konstantaMaka untuk M = 1, menunjukkan bahwa r 1= r 2dan potensialnya nol(ekipotensial) yang merupakan bidang yang terletak di tengah-tengah keduamuatan garis tersebut.r 2r 1P(x, y)yz− λddλxPermukaan ekipotensial IDengan demikian, maka muatan garis –λ dapat merupakan muatan bayangandari muatan garis λ.

Bagaimana dengan nilai M yang lain??Secara umum, untuk memudahkan, maka diungkapkan dalam koordinatKartesian, dimana muatan garis λ sebagai titik pusat 0, sehingga muatanbayangan –λ berada di posisi :x = −2d21rr22==x2,+yy2=02 2( x + 2d) + yMaka :rrxx1222= M ⇒21r=2 2[ 22 2+ y = M x + 4xd + 4d + y ](2)2( 2)21−M + y 1−M − 4M xd2M r22=24M d2x2+y2−1−24M xdM2=1−24M dM22Persamaan silinder yang sejajardengan sumbu-z

x2+y22⎛ 2M d ⎞⎜x⎟−21 M⎝ − ⎠24M xd−21−M2+y224M d=1−M2224M d=1−MBentuk umum persamaan lingkaran:22+44M d2(21−M )2........................(1)22 2( x − x ) + ( y − y ) R ........................................(2)0 0 =Perbandingan pers. (1) dan (2) memberikan:22M dx = dan y20(1 − M )0 =0R2R==24M d1−M2224M d2(21−M ) 22Md+44M d2=(2)2(21−M1−M )24M d24− 4M d= Jari-jari silinder21−M224+ 4M d2

Dengan demikian untuk M < 1 terdapat suatu silinder yang mengelilingi muatangaris positif sebagai permukaan ekipotensial II (lihat gambar dibawah). Sumbusilinder tersebut melewati titik:=(1 −22M dx2M),y=0dan jari-jari silinder :R2Md=1−2MP(x, y)r 2r 1− λddλPermukaanekipotensial IIPermukaanekipotensial I

MEDAN LISTRIK STATIKDALAM BAHAN DIELEKTRIK

• Suatu bahan dielektrik ideal tidak memiliki muatan-muatan bebas.• Semua bahan pada dasarnya terdiri dari molekul-molekul (inti atom danelektron-elektron).• Molekul-molekul dalam bahan dielektrik dipengaruhi oleh kehadiranmedan listrik. Medan listrik akan menimbulkan gaya yang bekerja padapartikel-partikel bermuatan.• Muatan positif bergerak searah medan listrik dan muatan negatifberlawanan arah dengan medan listrik sehingga terjadi pengkutuban(polarisasi).• Dielektrik yang terpolarisasi, walaupun netral secara rata-rata akanmenghasilkan medan listrik di dalam dan diluar bahan dielektrik.• Polarisasi bergantung pada medan listrik total di dalam bahan dan medanlistrik yang dihasilkan oleh dielektrik itu sendiri.• Medan listrik dari dielektrik akan merubah distribusi muatan sehinggaakan merubah pula medan listrik di dalam bahan dielektrik.

A. POLARISASIPandang suatu elemen volume kecil ∆v dari bahan dielektrik, dimana muatantotalnya netral.Bila bahan tersebut dipolarisasi,maka terjadipemisahan muatan-muatan positif dan negatif),sehingga terbentuk suatu dipol di dalamelemen volume dengan momen dipol:∆v∆p rr∆p=∫∆vrρdv=∫∆vrdqKarena adalah momen dipol di ∆v, maka harganya bergantung pada ∆v.Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung volume, maka didefinisikanpolarisasi listrik (polarisasi) dari suatu bahan sebagai:rP =r∆p∆v[C / m2]

Bila ∆v diasumsikan sangat kecil secara maroskopik, ia masih mengandungbanyak molekul, dimana setiap molekul yang memiliki momen dipol molekul:rpmr∆p==∫molekul∑rrpdq⎫⎪⎬⎪⎭mrP=1∆v∑mrpm- + - + - + - +- + - + - + - + - +P r→- + - + - + - + - +- +- + - + - + - +E rPolarisasi dalam bahan dielektrik. Masing-masing elemen volume membentukmomen dipol ∆pr

B. MEDAN LISTRIK DI LUAR BAHAN DIELEKTRIKPandang suatu bahan dielektrik yang terpolarisasi, yang dicirikan oleh polarisasirdi setiap titik r ' r, P r'r. Kita akan menghitung medan listrik di titik di luar( )bahan dielektrik tersebut.P r∆v'rr'r r− r'r0Potensial akibat momen dipol di elemen ∆v:r r r∆p( − r' )∆φ = r r4πε0− r'r r rP ( − r' )= r r4πε− r'033r∆v';∆p=rP∆v'

Potensial pada titikφr() r==14πε14πεr00merupakan jumlah dari potensial akibat elemen volume:∫V 0∫V0Pr( r' )( r − r' )rr rP • ∇'rr− r'3r1r r− r'dV'dV'V 0= volume bahan dielektrikr r− r'r r− r'r= −∇1r r− r'= ∇'1r− r'3 rDari sifat operator Nabla:r r∇ '•αFr= α∇ •rF+r rF • ∇αr∇ '•rPr r =− r'r r 1P •∇'r r− r'1r r− r'r= ∇ '•r r∇ '•PrPr r− r'r r 1+ P •∇'r r− r'1 r r− r r ∇ '•P− r'

φr14πεrPr r− r'14πε1r r− r'() r = ∇ '•dv' −∇ '•Pdv'0∫V0Teorema divergensi:∫Sφr rF • n darr r=∫∇ • FdvV⎡r 1 P • n ( − ∇ '•P)() = ⎢∫r r da' +∫ r r4πε⎢⎣Dengan mendefinisikan :ρpr r= −∇ • P0S 0rr−rr'V 00∫V0rr−r'rr⎤dv'⎥⎥⎦= rapat muatan volume polarisasirσp=r rP • n= rapat muatan permukaan polarisasi

Maka potensial listrik di luar bahan dielektrik:φr() r==14πε14πε00⎡⎢⎢⎣∫∫S0σpr r− r'dq' pr r− r'da' +∫V0ρpr r− r'⎤dv' ⎥⎥⎦Medan listrik di luar bahan dielektrik:rr() r14πε⎡⎢⎢⎣σprr( r − r' ) ρ ( r − r' )E =∫+∫pr da'3 r r0 − r'− r'3S 0V 0rrr⎤dv'⎥⎥⎦Muatan total polarisasi dari bahan dielektrik:Qp=∫ ( − ∇ '•P) dv' +∫V0rrS0r rP • n da'

C. MEDAN LISTRIK DALAM BAHAN DIELEKTRIKMedan listrik makroskopik adalah medan listrik rata-rata didalam daerah kecildalam bahan dielektrik yang mengandung sejumlah molekul.Medan listrik di dalam bahan dielektrik pada dasarnya memiliki sifat yang samadengan medan listrik di ruangan hampa, khususnya bahwa medan listrik bersifatkonservatif.∇ r× Er=∫Er• drl = 0Pandang suatu rongga vakum berbentuk silinder kecil yang diletakkan dalambahan dielektrik.S AB1S 2DE rC

AB terletak di dalam rongga dan CD terletak di dalam bahan dielektrik. Karena ADdan BC dapat dibuat sekecil mungkin, maka berdasarkan sifat konservatif diatas:rEEvvtr• l − Erd •rl == Edtdengan v untuk vakum dan d untuk bahan dielektrik dan t adalah komponentangensial.0D. HUKUM GAUSS DALAM DIELEKTRIK(PERPINDAHAN LISTRIK)Hukum Gauss menyatakan bahwa fluk listrik yang melewati suatu permukaantertutup sembarang sebanding dengan muatan total yang dilingkupi permukaantersebut.r 1∫E • n r da =εS 0∑qi=1ε0∫Vρdv

Dalam menerapkan Hukum Gauss pada suatu daerah yang mengandung muatanmuatanyang diletakkan didalam bahan dielektrik, kita harus memperhitungkanseluruh muatan didalam permukaan Gauss (polarisasi muatan).Pandang suatu permukaan S yang terletak di dalam bahan dielektrik. Kita berikanmuatan Q di dalam volume pada permukaan S dengan asumsi bahwa muatan iniberada pada permukaan-permukaan konduktor q 1, q 2dan q 3.SS 3S 1S 2q 1q 3q 2bahan dielektrikDimana:QQp=∫r r 1E • n da = +εS 0=q1+ q2+ qr r− ∇ • Pdv +( Q Q )∫ ( ) ∫V3pS 1 + S 2 + S 3r rP • n da

Qp=r r− ∇ • Pdv +∫ ( ) ∫VS 1 + S 2 + S 3r rP • n daTeorema divergensi:∫Sr rP • n da=r r∫∇ • PdvVMaka:Qp= −∫S+S1+S2+S2r rP • n da+∫S1+ S2+S2r rP • n da= −∫Sr rP • n da∫1εS 0( Q + Q )∫ ( ε ) 0E+ P • n da = QSr rE • n da =rsrp=1ε0⎛⎜Q−⎜⎝∫Sr r ⎞P • n da⎟⎟⎠Fluks dari vektor (ε 0E + P) melaluipermukaan tertutup S sebanding denganmuatan Q yang diletakkan dalam volumeyang dilingkupi oleh permukaan S.

Jika kita definisikan suatu medan vektor makroskopik yang baru D (perpindahanlistrik) :r r rD = ε0E+ Pmaka:r r∫D • n da = QS[C / m2]Hukum Gauss untuk perpindahanlistrikTeorema divergensi:∫Sr rD • n da =r r∫∇ • DdvVMaka:∫ ∇ r r• Ddv = Q =∫VVρdvr∇ •rD = ρBentuk diferensial persamaan Gaussdalam bahan dielektrik

E. SUSEPTIBILITAS LISTRIK DANKONSTANTA DIELEKTRIKPolarisasi suatu bahan dielektrik terjadi karena respon terhadap medan listrik didalam medium. Derajat polarisasi tidak hanya bergantung pada medan listrik(makroskopik), namun juga bergantung pada sifat-sifat molekul yangmembentuk bahan dielektrik tersebut (mikroskopik).Secara makroskopik, polarisasi didefinisikan :rPr= Prr( E) = χ( E)Eχ (E) adalah suseptibilitas listrik dari bahan (besaran skalar).Perpindahan listrik menjadi:rD = ε0r rE + P=( ε + χ( E))0rEε( E) = ε + χ( E)0Permitivitas bahan

Walaupun χ (E) dan ε (E) ditulis bergantung pada medan listrik, namun seringkaliditemukan bahwa χ dan ε tidak bergantung pada medan listrik (bahan linier). Padaintensitas E yang besar, besaran tersebut bergantung pada medan listrik atauintensitas (bahan listrik/optik nonlinier).r rP = χEr rD = εEJadi perilaku listrik dari suatu bahan dicirikan oleh suseptibilitas dan permitivitaslistrik.Suatu konstanta dielektrik [tak berdimensi], didefinisikan sebagai:K=εε= 1+0 0Jika medan listrik dalam bahan dielektrik sangat kuat, maka elektron-elektronakan tertarik keluar dari molekul sehingga bahan menjadi konduktor. Medan listrikmaksimum yang tanpa mengakibatkan keluarnya elektron dari molekul disebutkekuatan dielktrik, E max[V/m]χε

BahanAlumunium oksidaGelasNilonPolietilenKuarsa (silika, SiO 2)NaClKayuAlkohol, etil (0 0 C)SulfurBenzen (0 0 C)Air murni (destilasi 0 0 C)Air murni (destilasi 20 0 C)Udara (1 atm)Udara (100 atm)CO 2(1 atm)Konstantadielektrik, K4,55 - 103,52,34,36,12,5 – 8.028,44,02,387,880,11,000591,05481,000985Kekuatan dielektrik, E max6 x 10 69 x 10 619 x 10 618 x 10 63 x 10 6

F. MUATAN TITIK DALAM FLUIDA DIELEKTRIKPandang suatu muatan titik q berada pada titik asal (titik 0) dalam fluida dielektrikdengan konstanta dielektrik K.Berapakah medan listrik E didalam fluida?Hukum Gauss :r∫ ∇ •V4πrD =rD =2rDdv =D =q4πrq4πr22qrqMedan listrik dan polarisasi:r r rD = ε E = ε0K Er q rE =34πε0Krr r (K −1)qrP = χE=34πKrTampak bahwa medan listrik didalam bahandielektrik lebih kecil dibandingkan dalamvakum, karena K > 1.

Mengapa dielektrik memperlemah medan listrik ???Medan listrik berasal dari muatan-muatan baik eksternal maupun muatanterpolarisasi.Muatan ekspernal berasal dari muatan titik q.Muatan terpolarisasi berasal dari kontribusi :A. rapat muatan volume:ρpr• = −∇rPB. rapat muatan pada permukaan dielektrik yang bersinggungan dengan muatanr rtitik q: σ = P • npDari polarisasi:r r (K −1)qrP = χE=34πKrMaka: r r ( K −1)∇ • P ==q4πK1 q4πK( K − )r ⎛∇⎜⎝⎛⎜⎝rr− ∇32⎞⎟⎠1⎞⎟r ⎠=0ρ p = 0

Muatan titik q adalah sebuah titik secara makroskopik, namun dalam skalamolekul, bisa berukuran besar, katakanlah mempunyai jari-jari b (b bisamendekati nol).Muatan polarisasi total di permukaan:Qp= lim 4πb= −b→0( K −1)K2r r( P • n)qr=bMaka muatan total di dalam fluida dielektrik :Q p + q =1KqS+ -+ - + -+ -+ -+ -+ - + -+ -+ -Skematik orientasi molekul-molekulterpolarisasi dalam bahan dielektrikmengelilingi muatan titik q.+ - + -+ -+ -+ -+ -+q+ - + -+ -+ -+ - + -+ -+ -E r

G. SYARAT-SYARAT BATAS PADA VEKTOR MEDANPandang dua meda 1 dan 2 (lihat gambar). Dengan asumsi bahwa terdapatrapat muatan permukaan σ yang berbeda dari satu titik dengan titik yang lainpada batas dua media.Kita buat suatu permukaan tertutup S yang melewati batas kedua medium.Muatan yang dilingkupi permukaan S :σ ∆12( ρ + ρ ) volumeS + 1 2 ×21Karena volume bisa kecil, maka muatanmenjadi σ∆S. Hukum Gauss:n r D r2 2r r rD2• n2∆S+ D1r r( − )rD2D1• n2= σSD r 1 n r 1r rn 1 = −n D − = σ22 n D1nr• n ∆S1= σ∆SKarena n 2normal juga terhadap batas(interface), maka:

D 2 − Dn1n= σTerjadi diskontinu komponen normal dari D (diskontinuitas D diberikan oleh rapatmuatan permukaan dari muatan eksternal di interface.Jika tak ada muatan diantara batas dua media, maka komponen normal Dbersifat kontinu.Bagaimana dengan medan listrik di batas tersebut ??21ADE r 21Komponen tangensial medan listrikbersifat kontinu di batas dua medium.E rBCr r∇ × E =AB( E − E )E22t=E1CCDAD = BC ≈ 0 (kecil)r rE2• ∆l+ E1• ( − ∆l)=r r• ∆l= 0=∫1tr rE • dl== ∆l00

Jika medium 1 adalah bahan konduktor, maka χ = ∞ dan ε = ∞, sehingga E 1= 0:ED2t2n= 0= σdimana σ adalah rapat muatan permukaan total pada konduktor.H. SYARAT-SYARAT BATAS YANG MELIBATKANDIELEKTRIK-DIELEKTRIK∇r• D r= ρJika bahan-bahan dielektrik merupakan bahan linier, isotropik dan homogen, maka:r rD = ε Er r ρ∇ • E =ε2 1∇ φ = − ρεPersamaan Poisson, namumε 0diganti dengan ε.

Dalam kasus kebanyakan, dielektrik tidak mengandung muatan yang terdistribusisehingga ρ = 0 di dalam bahan dielektrik :2∇ φ =0Persamaan Laplace dalambahan dielektrikContoh soal:1. Suatu bola dielektrik dengan jari-jari a diletakkan dalam medan listrik yangsemula seragam E 0yang sejajar dengan sumbu-z. Berapakah medan listrikdi setiap titik akibat kehadiran bola dielektrik? (Asumsikan bahan dielektrikadalah linier, isotropik dan homogen)

I. METODA BAYANGAN YANG MELIBATKAN DIELEKTRIKDalam metoda bayangan yang sebelumnya, potensial di suatu titik dihasilkan olehmuatan titik dan muatan bayangan yang lokasinya berada di dalam bahankonduktor.Dalam kasus yang melibatkan dua atau lebih bahan dielektrik, muatan bayangandapat berada di dalam salah satu bahan dielektrik dan syarat batas pada masingmasinginterface dielektrik-dielektrik harus dipenuhi.Pandang dua media dielektrik dengan permitivitas ε 1dan ε 2dipisahkan oleh suatubidang interface. Tidak ada muatan eksternal pada interface. Suatu muatan titikdiletakkan dalam dielektrik ε 1pada posisi sejauh d dari interface. Berpakah medanlistrik di medium dielektrik 1 dan 2 ???d1 2q

Solusi:Asumsikan bahwa interface berada pada bidang xy, dan q berada pada titik x = -d.drdPr'rr==( x + d)2+y2 2 2( x − d) + y + z2+ z2q q’x = 0sumbu-xPotensial dalam medium 1:φ1=14πε1⎡q⎢⎣ r+q' ⎤r' ⎥⎦muatan bayangan q’ berada di medium 2 pada posisi (x,y,z) = (d,0,0)

Potensial dalam medium 2, muatan bayangan harus berada di medium 1 (jugamuatan asala q dimana keduanya berada pada poisisi (-d,0,0). Jika muatan totaldidefinisikan sebagai q”, maka potensial di medium 2 adalah:φ2=q"4πε2rBesarnya q’ dan q” diperoleh pada syarat batas, bahwa untuk interface yangtidak ada rapat muatan, komponen normal dari D bersifat kontinu di interface:D1n− ε1=∂φ∂xD12nx=0( q − q' )= −εd∂φ∂xx=0q"d[2 2 2] 3/ 2d y z [2 2 2+ + d + y + z ]2=23/ 2................(1)

Sekarang kita hitung medan listrik pada interface. Karena komponen tangensialmedan listrik bersifat kontinu, maka:Eε1t1=∂φ1−∂yE2tx=0( q − q' )∂φ= −∂yy2x=0=q"y[2 2 2] 3/ 2d y z [2 2 2+ + ε d + y + z ]Dari kombinasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:23/ 2................(2)q' =εε11− ε+ ε22q;q" =2ε2ε + ε12qKarena itu persamaan Laplace dipenuhi di kedua media dan juga syarat batasdipenuhi, sehingga solusinya adalah unik.

TEORI MIKROSKOPIK DARIDIELEKTRIK

Dalam pembahasan sebelumnya, polarisasi dielektrik dibahas secara makroskopik.Medan listrik dihitung dengan mempertimbangkan distribusi muatan eksternal (luar).Dalam Bab ini akan dibahas bagaimana medan listrik bertanggungjawab padapolarisasi molekul (mikroskopik). Dengan menggunakan model molekul yangsederhana, perilaku linier dari berbagai kelas bahan dielektrik dapat dipahami.A. MEDAN MOLEKUL DALAM DIELEKTRIKMedan listrik yang mengakibatkan polarisasi dari sebuah molekul dielektrik disebutmedan molekul E m.Jadi medan molekul adalah medan listrik pada posisi molekul dalam dielektrik dandihasilkan oleh seluruh sumber-sumber luar dan molekul-molekul yangterpolarisasi dalam bahan dielektrik, kecuali oleh satu molekul pada titik yangditinjau.Sehingga jelas bahwa E mtidak sama dengan medan listrik makroskopik.

Medan molekul dihitung dengan cara sebagai berikut:a) Ambil sejumlah kecil dielektrik sehingga meninggalkan suatu rongga yangmengelilingi suatu titik, dimana medan molekul akan dihitung. Dielektriksebelah kiri dihitung sebagai kontinu.b) Letakkan kembali dielektrik ke dalam rongga (molekul per molekul). Molekulmolekulini dianggap tidak kontinu namun sebagai dipol individu.Prosedur ini berlaku, jika hasilnya tidak bergantung pada ukuran rongga.Pandang suatu sampel dielektrik tipis yang dipolarisasi denganmeletakkannya dalam medan listrik seragam diantara dua pelat sejajar yangmuatannya berlawanan.++++++- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- +- + - + - + - +- + - + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +------

Jika diasumsikan bahwa polarisasi itu seragam secara makroskopik ∇r• P r= 0dan P sejajar dengan medan, maka dielektrik di luar rongga diganti dengansistem polarisasi muatan-muatan (lihat gambar di bawah).( )++++----+++++- +- +− −−−−++++----+-+-+-+-Medan listrik di titik pusat rongga:E rE rxdE rsE r'rEm=rExr+ Edr+ Esr+ E'= medan listrik primer (dihasilkan pelat sejajar yang bermuatan)= medan listrik yang tak-terpolarisasi akibat perubahan polarisasi muatan diluar permukaan dielektrik.= medan listrik akibat perubahan polarisasi pada permukaan rongga S= medan listrik akibat seluruh dipol di dalam rongga S

Jika bidang muka pelat lebih besar dibandingkan dengan tebal pelat, maka:E xσε= dimana σ adalah rapat muatan permukaan0Medan tak-terpolarisasi dihasilkan oleh dua pelat sejajar dengan rapat muatan σ p.Karena σ p= P n= ± P :rEd1= −ε0rPKarena komponen normal dari perpindahan listrik D adalah kontinu di batasantara vakum-dielektrik, dan D = ε 0E xdi dalam vakum di luar pelat dielektrik,maka medan listrik dalam dielektrik secara makroskopik:rEr= Exr+ EdrEm=rE+rEs+rE'Menggambarkan hubunganantara medan molekul danmedan listrik makroskopik

Medan E stimbul dari rapat muatan polarisasi, σ p= P npada permukaan S.Dengan menggunakan koordinat bola dan mengambil arah kutub (polar)serarah P, maka:( − Pcosθ)rdEs=34πεr0rdar adalah vektor dari permukaan ke pusat bola.++ + +++σ pS− −−−−−Dari simetri bola, tampak bahwa hanya komponen dE syang searah dengan Psaja yang berperan dalam integral dE s. Karena da = r 2 sin θ dθ dϕ, maka:θP rrEs1 r= P∫dϕ∫cos4πε=13ε00rP2π0π02θsinθdθ

Berapakah E’ ??Jika didalam rongga terdapat banyak dipol dan mereka terorientasi sejajar namunterdistribusi secara acak serta tidak ada korelasi antara posisi dipol, maka E’ = 0.Jika dipol-dipol di dalam rongga terletak secara teratur (kristal kubus), maka E’ = 0.Secara umum E’ ≠ 0 (gas, cairan atau material yang mengandung beberapamolekul yang berbeda).Dalam bahan dielektrik kebanyakan, maka:rEmr= E +13εMomen dipol suatu molekul sebanding dengan medan listrik yang bekerja padamolekul tersebut. Rasio momen dipol molekul dan medan polarisasi disebutdengan polarizabilitas molekul α:r rp m = α E mJika terdiri dari N molekul persatuan volume, maka polarisasi:0rPrPr ⎛ r 1 r ⎞= N pm= Nα⎜ E + P⎟⎝ 3ε0⎠

⎛ r 1 r ⎞P = N pm= Nα⎜ E + P⎟⎝ 3ε0⎠Persamaan diatas dapat ditulis dalam konstanta dielektrik K, karenar r rP = χ E = (K −1)ε0ESehingga polarizabilitas molekul menjadi:α =( K 1)( K 2)3ε0N +−Persamaan Claussius-MossottiJelas bahwa sifat-sifat molekul seperti polarizabilitas molekul (besaranmikroskopik) dapat ditentukan dari besaran makroskopik (konstanta dielektrik)

B. DIPOL INDUKSI : MODEL SEDERHANAMolekul dielektrik diklasifikasikan sebagi polar dan nonpolar.• Molekul polar memiliki momen dipol permanen, bahkan jika medan polarisasiE m= 0.• Molekul nonpolar, dimana pusat gravitasi (muatan positif) dan distribusi muatannegatif umumnya sebanding.Contoh : molekul-molekul simetri (H 2, N 2dan O 2),molekul monoatomik (He, Ne, Ar)Medan listrik yang diberikan menyebabkan pergeseran muatan-muatan positifdan negatif sehingga terbentuk dipol molekul (dipol induksi).Inti (muatan Ze) dimana Z adalah bilangan atom dan e adalah muatan elektron.Secara listrik atom bersifat netral, sehingga muatan total awan elektron adalah –Ze. Jika atom ditempatkan dalam medan listrik E m, maka inti akan berpindahsejauh x searah medan.Suatu gaya ZeE makan bekerja searah medan dimana gaya elektrostatik antarainti dan awan elektron untuk kembali ke posisi awal.

Dengan hukum Gauss, muatan negatif menarik inti sebagai bagian dari awan(cloud) dengan jari-jari x, dan jika rapat elektron di dalam awan adalah uniform,maka muatannya menjadi:( )(3 3Ze Zex / R )Zex4πε0x2= 4πε0R030E=mZe EmDalam proses ini terjadi dipol atom sebesar p m= Zex, sehingga polarizabilitas :3α = 4πε 0 R 0Polarizabilitas ini adalah konstan tidak bergantung pada medan polarisasi(dielektrik linier)Dengan kombinasi persamaan Claussius-Mossotti, maka α bisa dieliminasi,sehingga jari-jari atom R 0dapat diperoleh. R 0berkisar 1 Å (10 -10 m)R0⎧ 3ε0= ⎨⎩4πε0N( K −1)( K + 2) )⎫⎬⎭1/3

C. MOLEKUL POLAR ; FORMULA LANGEVIN-DEBYESuatu molekul polar memiliki momen dipol permanen. Suatu molekul polar terdiridari sedikitnya dua atom yang berbeda. Selama pembentukan molekul,beberapa elektron baik parsial ataupun seluruhnya ditransfer dari satu atom keyang lainnya dengan menghasilkan susunan elektronik sedemikian rupasehingga pusat-pusat muatan negatif dan positif tidak koinsiden didalammolekul. Jika tak ada medan listrik, dielektrik polar tidak terpolarisasi sehinggaindividual dipol terorientasi secara acak (lihat gambar).- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +distribusi dipol permanen yang acak

Polarisasi menjadi:rP1∆v∑r= pmDimana penjumlahan meliputi seluruh molekul di dalam elemen volume ∆v. Jikapm terorientasi acak, maka polarisasi menjadi nol.Jika dielektrik polar diberikan medan listrik, individual-individual dipol mengalamitorqi dan cenderung searah dengan medan listrik. Jika medan cukup kuat, dipoldipolmungkin akan terorientasi semuanya sehingga polarisasi :rP =Nrs p mDimana N adalah jumlah molekul per-satuan volume.Biasanya polarisasi dielektrik polar jauh dari nilai saturasi, dan jika temperaturdinaikkan, polarisasi akan berkurang. Hal ini karena energi termal molekul akancenderung menghasilkan orientasi dipol yang acak.

Momen dipol efektif rata-rata dihitung dengan prinsip mekanika statistikbahwa pada temperatur T, probabilitas menemukan energi molekul tertentuE sebanding dengan faktor Blotzmann:kTe −E /Dimana k = konstanta Boltzmann dan T = temperatur absolut.Berdasarkan hukum distribusi Maxwell, probabilitas suatu molekul dengankecepatan v sebanding dengan exp (-mv 2 /2kT). Dalam gas ideal, molekulmolekulmemiliki energi ½(mv 2 ). Secara umu energi terdiri dari energi kinetikE kdan energi potensial U, sehingga faktor Blotzmann menjadi:e−Ek / kTe−U / kTEnergi potensial dari dipol permanen p 0dalam suatu medan dielektrik E m:r rU = −p• E = −pE cosθDengan θ = sudut antara p 0dan medan listrik.0m0m

Momen dipol efektif suatu dipol molekul adalah komponen-komponennyasepanjang arah medan (p 0cos θ). Dengan hubungan Boltzmann, maka:p0cosθ=∫p0cosθ∫expexp( p0Emcosθ/ kT)( p E cosθ/ kT)dΩ0mdΩDimana dΩ = sudut ruang = 2π sin θ dθ dan batas θ adalah 0 dan π. karena p 0,E mdan kT adalah konstanta, maka dapat didefinisikan:y=p0EkTmp0cosθ=p0⎡⎢coth y⎣−1⎤y⎥⎦Formula Langevin

Fungsi Langevin1p0p0cosθ0y=p0Em/ kTMomen dipol molekul p0 untuk bahan polar umumnya y

Karena < p 0cos θ> adalah momen dipol efektif rata-rata, maka polarisasiP = N < p 0cos θ> searah E m, sehingga :rpm=1NrP =2p r0E3kTJika dibandingkan dengan persamaan sebelumnya :rpm= αErmmα =2p03kTPolarizabilitas orientasional.Efek dipol induksi meningkatkan deformasi polarizabilitas α 0, sehingga secaraumum polarizabilitas molekul total :α= α 0 +p 2 03kTPersamaan Langevin-Debye(penting untuk interpretasi strukturmolekul)

D. POLARISASI PERMANEN ; FEROELEKTRISITASMedan molekul E mberperan dalam polarisasi individual molekul. Dalambanyak kasus P ~ E, sehingga E m= 0 jika E = 0.Namun dalam kondisi tertentu, bila terdapat polarisasi permanen (spontan),maka walaupun E = 0,r=13εrP≠Em00Artinya jika ada polarisasi P 0, ia akan memberikan medan listrik pada molekulsehingga molekul akan terpolarisasi.0Jika N adalah jumlah molekul per-satuan volume, maka:rPrNαr0 = NαEm= P03ε0Ini berlaku jika P 0=0 atau (Nα/3ε 0) = 1 [polarisasi permanen]

Dalam bahan dielektrik biasa (Nα/3ε 0) < 1 , sedangkan yang memilki polarisasipermanen adalah kristal feroelektrik.Contoh: Kristal BaTiO 3(Barium Titanate) yang memiliki momen dipolpermanen/spontan pada temperatur dibawah 120 0 C (Temperatur Curie).Keadaan terpolarisasi pada bahan feroelektrik adalah stabil dalam periode waktuyang lama.Seperti dibahas sebelumnya, jika bidang muka pelat lebih besar daripada tebalpelat, maka:rEd1= −ε0Sebenarnya stabilitas dari polarisasi feroelektrik yang tinggi akibat tidak adanyamedan yang tak-terpolarisasi pada spesies, bahkan untuk kasus geometripapah/planar (slab).Species terpolarisasi dengan menempatkannya diantara pelat konduktor sejajaryang diberikan beda potensial yang besar.rP

Muatan bebas dari pelat dinetralisasi oleh muatan polarisasi permukaan. Jika keduapelat diberi potensial yang sama (hubung singkat), keadaan terpolarisasi dari bahanferoelektrik masih memiliki energi sehingga muatan bebas tetap berada ditempatnyayang akan menetralisir muatan-muatan polarisasi (lihat gambar di bawah). Medanmakroskopik di dalam feroelektrik menjadi nol.Jika perbedaan potensialnya besar dan berlawanan tanda, maka species akanmerubah polarisasinya dan muatan bebas yang berlawanan tanda akan mengalirmenuju pelat melalui rangkaian luar, sehingga cukup tidak hanya untukmenetralisasi muatan bebas yang sudah ada, namun juga muatan polarisasi baru.Adi suatu pelat feroelektrik diantara dua pelat sejajar dapat digunakan untuk divaismemori yang dapat menyimpan +/- dan -/+ dan polarisasinya masih bertahanwalaupun medan luarnya nol.++++++- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - E + = 0- + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +- + - + - + - +------muatan bebaspermukaan

Jika beda potensial yang diberikan berlawanan arah dengan polarisasi asal,maka muatan akan mengalir melalui rangkaian luar bila polarisasi feroelektrikberubah arahnya. Polarisasi bahan feroelektrik akan stabil terhadap medanbalik luar dengan syarat bahwa medannya tidak terlalu besar.Kondisi diatas digambarkan dalam kurva histeresis. Titik-titik b dan a adalahkondisi stabil pada E = 0. Titik-titik ini berturut-turut menggambarkan polarisasi+/- dan -/+. Titik c adalah medan listrik yang harus dilampaui agar terjadipolarisasi yang terbalik.Pbc0EaKurva histeresis bahan feroelektrik

ENERGI LISTRIK STATIK

Banyak persoalan dalam mekanika disederhanakan berdasarkan pertimbanganenergi. Energi listrik dapat berupa energi kinetik dan potensial. Dalam listrik statik(v = 0), seluruh energi muatan berupa energi potensial.Dalam bab ini akan dibahas energi potensial yang timbul dari interaksi antarmuatan atau disebut energi listrik statik.Energi listrik statik U dari suatu muatan titik sangat terkait dengan potensial listrikstatik φ pada posisi muatan titik tadi. Jika q adalah muatan titik tertentu, makakerja yang dilakukan oleh gaya pada muatan bila ia bergerak dari A ke B:Kerja=B∫A= −qr rF • dl=B∫AqB∫Ar r∇φ• dlr rE • dl= −q( φ − φ )BAF diasumsikan hanya gaya listrik qE pada masing-masing titik sepanjang lintasan,sehingga muatan-muatan akan bergerak. Jika muatan diam, maka gaya listrikpada tiap titik harus diimbangi dengan gaya yang sama dan berlawanan sehinggakerja total menjadi nol dan energi kinetik tak berubah.

Kerja yang dilakukan gaya lain:W =q( )φB−yaitu bertambahnya energi listrik statik muatan sepanjang lintasan A → B.φAA. ENERGI POTENSIAL DARI SEKELOMPOKMUATAN-MUATAN TITIKEnergi listrik statik sekelompouk muatan titik m adalah energi potensial sistemyang berkaitan dengan keadaan dimana semua muatan titik terpisah tak-hinggasatu sama lain. Energi diperoleh dengan menghitung kerja untuk menghimpunmuatan-muatan menjadi satu pada satu waktu.Muatan q 1ditempatkan pada posisi tanpa adanya kerja (W 1= 0). Penempatanmuatan q 2memerlukan kerja :Untuk muatan q 3:WWqqr −r2 12 = ; r21= r2r14πε0r212=q3⎡ q⎢⎣4πε10r31+q4πε20r32⎤⎥⎦

Energi listrik statik total untuk menghimpun m-muatan :U==m∑j=1m∑∑j=1Wjj−1k=1=W∑∑⎜j=1jkm⎛⎜⎝j−1k=1qjq4πε0krjk⎞⎟⎠Dalam bentuk matriks, dimana W jk= W kjdan W jj= 0 :U==1212m∑∑j= 1 k=1mmm∑∑j= 1 k=1W'jkqjq4πε0kr( W = 0)jkjjFaktor ½ timbul untuk memastikan bahwa inateraksi antara pasangan muatantidak terjadi dua kali.

Potensial φ pada muatan titik ke-j akibat muatan lain di dalam sistem :Maka energi listrik statik :φ =m∑k=1'q4πεk0rjkU=12m∑j=1qjφjJika muatan-muatan titik dihimpun dalam bahan dielektrik, maka energinyasama dengan persamaan diatas, hanya dalam potensial ε 0diganti dengan ε(permitivitas bahan dielektrik).B. ENERGI LISTRIK STATIK DARI DISTRIBUSI MUATANKita akan menghimpun distribusi muatan dengan membawa sejumalah mutantambahan δq dari suatu potensial acuan φ A= 0. Jika distribusi muatan telahtersusun sebagian dan potensial di titik tertentu didalam sistem adalahφ’(x,y,z), maka kerja yang diperlukan untuk menempatkan muatan dq di titiktersebut:δW= φ'( x, y,z)δq⇒ δq= δρ ∆vδq= δσ∆a

Setiap pemindahan penambahan muatan, seluruh muatan akan berada padafraksi yang sama dengan nilai akhir, dimana fraksi tersebut disebut α, maka:U1( x, y,z) φ'( α;x,y,z) dv + dασ( x, y,z) φ'( α;x,y,z)da= ∫dα∫ρ∫ ∫0 V10 STetapi karena seluruh muatan memiliki fraksi dari nilai akhir yang sama a, makaφ’(α;x,y, z) = αφ(x,y, z), dimana φ adalah nilai akhir potensial pada (x,y,z), maka:U1 r r 1=∫ρ∫22V()() r φ r dv + σ()()dar φ rSrrVolume V harus cukup besar untuk melipuri seluruh rapat muatan danpotensial hanya diakibatkan oleh ρ dan σ saja.Jika seluruh ruang diisi oleh suatu bahan dielektrik, maka potensial (jikakonduktor tak dihitung):rφ() r=14πε∫Vρ rr r dv' +− r'rr r da'− r'( r' ) 1 σ ( r' )4πε∫S

Untuk kasus khusus: ρ() = ∑qj δ( −j)ρrmj=1m∑'( r' ) = qk δ( r − r )k=1Jika konduktor ada di dalam sistem, karena konduktor merupakan daerahekipotensial, maka :12∫konduktor jrσφda=dengan Qj adalah muatan pada konduktor ke-j. Maka energi listrik statikdari suatu distribusi muatan yang mencakup juga konduktor :rk1Q2jφjU1 1 1=∫ρφdv +∫σφ da + ∑Qjφ2 2 2VS'jjmeliputi seluruh konduktordibatasi pada permukaannon-konduktor

Dalam konduktor, dimana muatan-muatannya berada pada permukaan,maka ρ = 0 dan σ = 0, sehingga energi potensial di dalam konduktor:1U = ∑2jQ jSecara umum, energi potensial yang melibatkan interaksi antar konduktor :φjU11= ∑Qjφj1+ ∑2 2jjQjφj2Akibat muatanpada konduktor j itusendiriAkibat muatanpada konduktorlain

C. RAPAT ENERGI LISTRIKPandang suatu distribusi muatan sembarang yang dicirikan oleh rapat muatanρ dan σ.Rapat muatan volume didalam bahan dielektrik :r• D rρ = ∇Rapat muatan permukaan pada konduktor :Maka energi menjadi:U=12rD nr σ = •∫Vr rφ∇ • Ddv+12∫Sr rφD• n daDivergensi dari D mengacu pada daerah diluar konduktor, sehingga tidaksama dengan nol. Integral permukaan meliputi konduktor.

φ∇ • Dr r= ∇ • φD−r r= ∇ • φD+r rD • ∇φr rD • EMaka energi potensial dapat ditulis menjadi:U=12rr12∫φD• n' dv +∫D • Edv +∫φD•12S+ S'VSrrrrn daS adalah semua permukaan dalam sistem dan S’ = permukaan yang membatasisistem dan bisa dipilih tak-hingga. Arah normal n’ keluar dari volume V dannormal n arahnya keluar dari konduktor, karenanya masuk ke dalam volume V,sehingga kedua integral permukaan saling menghilangkan, maka:U=12r r∫D • EdvRapat energi (energi per-satuan volume) menjadi:u =12VrD •rE

Jika bahannya merupakan bahan dielektrik linier, maka D = ε E, sehinggarapat energi menjadi:u=12ε E22 1 D=2εD. ENERGI SISTEM KONDUKTOR BERMUATAN ;KOEFISIEN POTENSIALPotensial suatu konduktor yang ada didalam simtem terdiri dari N-konduktor didalam vakum :φi=N∑ pj=1ijQp ij= potensial konduktor ke-j akibat suatu muatan didalam konduktor ke-j(koefisien potensial).Energi listrik statiknya:U12( Q 1...QN) = pijQiQjjNN∑∑i= 1 J=1

Sifat-difat koefisien p ij:() 1 . pij= p ji( 2). pij> 0() 3 . p ≥ p untuk seluruh jiiijE. KOEFISIEN KAPASITANSI DAN INDUKSIMuatan suatu konduktor yang ada didalam simtem terdiri dari N-konduktor didalam vakum, dapat ditulis:QN= ∑i c ijj=1c ii= koefisien dari kapasitansic ij(i ≠j) = koefisien induksiSifat-difat koefisien c ij: ( 1 ).( 2)cijφj= cji. cij> 0() 3 . koefisien induksi negatif / nol

Konbinasi potensial masing-masing konduktor φ ijdan muatan Q i, maka energidapat ditulis :U12NN= ∑∑i= 1 j=1c ijφiφjF. KAPASITORDua buah konduktor dapat menyimpan muatan-muatan yang besarnya samadan berlawanan tanda (±Q), dengan beda potensial antara dua konduktor takbergantung pada apakah konduktor yang lain yang ada didalam sistembermuatan. Kedua konduktor tadi membentuk kapasitor.Jika konduktor-1 dan konduktor-2 membentuk kapasitor :φφ12= p= p1112QQ−−pp1222QQ+ φx+ φxDimana muatan +Q berada di konduktor-1 dan –Q di konduktor-2φ x= potensial dari konduktor-konduktor yang lain

Perbedaan potensial antara kedua konduktor :∆φ = φ1Q = C∆φ− φ2=( p + p − 2p )112212QC=−( p + p − 2p ) 1112212= kapasitansi dari kapasitor (muatanyang disimpan per-satuan perbedaanpotensial [C/V atau Farad])Energi kapasitor :U=12Q ∆φ =12C( ∆φ)2 =122QC

Suatu kapasitor keping sejajar ideal adalah jika jarak antara keping d jauh lebihkecil dibanding dengan bidang muka keping. Jika diantara kedua keping disisipibahan dielektrik dengan permitivitas ε, maka medan listrik diantara keping:E1σ =εQεA= A = luas salah satu keping+ ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - - - - - -- -Kapasitansi kapasitor :C=Q∆φ=εAd

Kombinasi seri kapasitor :C 1C 2Q∆φQ∆φQ∆φtotal 1 2C = = + = C1+C2Kombinasi paralel kapasitor :C 1C 2∆φ1C=∆φC=( ∆φ + ∆φ )1C2=1C1+1C2

G. GAYA DAN TORSIPandang suatu sistem terisolasi yang terdiri dari sejumlah konduktor, muatantitik dan dielektrik, jika gaya F yang bekerja pada sistem mampu menghasilkanperpindahan sistem sejauh dr. Kerja yang diberikan oleh gaya listrik padasistem :r rdW = F • dr = F d + F d +Karena sistemnya terisolasi, maka :dW = −dU=Fx∂U= −∂x;FxF dGaya listrik bersifat konservatif, dan :F r= −∇Uryxxx+yF dy∂U= −∂y;yyF+zFzdF dzzz∂U= −∂z

Jika sistem dibatasi untuk bergerak sedemikian rupa sehingga ia berotasidisekitar sumbunya, maka :dW= τ r • dθDimana τ = torsi listrik dan dθ = perubahan pergeseran sudut.Jika τ ditulis dalam komponen-komponennya (τ 1, τ 2, τ 3) dan (dθ 1, dθ 2,dθ 3), maka:Maka :Fττx11∂U= −∂θ1⎛⎜∂U= −⎝∂x⎛ ∂U⎞= −⎜⎟⎝ ∂θ1⎠;⎞⎟⎠QτQ2∂U= −∂θ2;τ3∂U= −∂θ3Dimana Q ditambahkan untukmenunjukkan bahwa sistem terisolasi,karenanya muatan total didalam sistemtetap konstan selama perpindahan drdan dθ.

Contoh :Suatu kapasitor keping sejajar terpisah sejauh d yang diisi oleh bahan dielektrikdengan permitivitas e diantara dua keping. Jika dimensi masing-masing keping,panjang l dan lebar w. Bila kedua keping dijaga pada beda potensial konstan∆φ. Sekarang jika dielektrik ditarik keluar dari kapasitor sejauh x (lihat gambar),berapakah gaya untuk menarik kembali dielektrik ke dalam keping kapasitor??x+Solusi :lKarena medan listrik E = ∆φ/d sama disetiap posisi diantara keping, maka energi∫ ε Edvdimana integral hanya meliputi daerah E ≠ 0.U=12V2-∆φ

Dengan mengabaikan efek dari ujung kapasitor, maka :1 ⎛ ∆φ⎞ 1 ⎛ ∆φ⎞U = ε⎜⎟ dwx + ε0⎜⎟ dw l2 ⎝ d ⎠ 2 ⎝ d ⎠F==1212( ε − ε )02w( ∆φ)d2( K −1) ε E wdGaya ini searah dengan bertambahkan nilai x.022( − x)