Download this PDF file - Jurnal Ilmiah Universitas Tadulako

ekSIPIL MESIN ARSITEKTUR ELEKTROMETODE ELEMEN HINGGA DENGAN PROGRAM MATLAB DAN APLIKASI SAP 2000UNTUK ANALISIS STRUKTUR CANGKANGAnwar Dolu *Hajatni Hasan*AbstractFinite element method is a popular numerical method in solving of continuum mechanicsproblem, the relation of strain - strain, internal force and displacement at sewer structures whichlinear and non linear. Usage the finite element method because formulation simplicity andadvances of computerization technology. In this study, evaluated shell sewer structures analysiswith formulation of Finite element made in program MATLAB and the application of Software SAP2000. At program MATLAB, formulation of behavior of shell with idealisation of approach of thinplate as a form of superposition behavior of bending moment and membrane and contributionof shear force. Relates To stiffnees Matrix for formulation of isoparametrik element with numericalintegration Gauss - Legendre. For the application of Software SAP 2000 applied by element ofthin shell. Result of analysis for using maximum deflection is program MATLAB with level of error of5,25% by 16 element, and Software SAP 2000 with level of error of 0,52% by 36 element.Key words : Finite element method, MATLAB & SAP 2000, Shell StructuresAbstrakMetode Elemen Hingga merupakan metode numeris yang sangat populer dalam penyelesaianmasalah – masalah mekanika kontinum, tegangan – regangan, gaya – gaya dalam sertaperpindahan pada struktur yang linear maupun non linear. Kepoluleran Metode Elemen Hinggaini karena kemudahan formulasinya terutama dengan meningkatnya pengetahuan danteknologi komputerisasi. Dalam kajian ini, ditinjau analisa struktur cangkang dengan formulasiElemen Hingga dibuat dalam program MATLAB dan aplikasi Software SAP 2000. Pada programMATLAB, Formulasi perilaku cangkang diidealisasi dengan pendekatan pelat datar sebagaibentuk superposisi perilaku lentur dan membran serta kontribusi geser. Berkaitan dengan MatriksKekakuan maka dibuat dalam bentuk perumusan isoparametrik dengan integrasi numeris Gauss– Legendre. Untuk aplikasi Software SAP 2000 digunakan elemen cangkang tipis. Hasil analisisuntuk lendutan maksimum menggunakan program MATLAB dengan tingkat akurasi 5,25% pada16 elemen, serta Software SAP 2000 dengan tingkat kesalahan 0,52% pada 36 elemen.Kata Kunci : Metode Elemen Hingga, MATLAB & SAP 2000, struktur cangkang1. PendahuluanNama Elemen Hinggadisebutkan pertama kali pada tahun1960 dalam makalah RW. Clough, yaitu“The Finite Element Method in PlaneStress Analysis”. Dalam kasus iniditerapkan pada masalah teganganbidang dengan mempergunakanelemen segitiga dan segi empat.Metode elemen hingga sampai saat initelah mendapat perhatian dankepopuleran yang luar biasa. Konsepdasar yang melandasi metode elemenhingga yaitu prinsip diskritisasi yangsebenarnya telah banyak digunakan* Staf Pengajar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tadulako, Palu

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168dalam usaha manusia. Mungkinkebutuhan terhadap pendiskritan, ataumembagi suatu benda menjadi bendabendayang berukuran lebih kecilsupaya lebih mudah pengelolaannya,timbul dari keterbatasan manusia yangmendasar, yaitu mereka tidak dapatmelihat atau memahami bendasekelilingnya dialam semesta dalambentuk keseluruhan atau totalitas.Dengan kata lain kita mendiskritkanruang disekitar kita kedalam segmensegmenkecil, dan hasil rakitan akhiryang kita visualisasikan adalah tiruandari lingkungan kontinu yang nyata.Dalam aplikasi teknik untuk analisastruktur, metode elemen hingga saat inisudah sangat umum digunakan,terutama dalam software-softwaremisalnya SAP, NASTRAN, ANSYS, GT-STRUDL.2. Tinjauan Pustaka2.1 Perumusan Elemen Hingga untukCangkangUntuk menganalisis bentukgeometri cangkang dengan elemenhingga, kita dapat menggunakanberbagai bentuk pendekatan yangberbeda. Pendekatan yang palingsederhana dengan menggunakanelemen datar dalam bentuk segitigaatau segiempat. Pada elemensegiempat yaitu kombinasi peralihanumum dan peralihan nodal komponenmembran (tegangan bidang) dankomponen lentur (lenturan pelat). Carauntuk memecahkan elemen campuranini ialah dengan menggunakankombinasi elemen segiempat peralihanbilinier (bilinier displacement rectangle)yang dikembangkan oleh Melosh untukmasalah tegangan bidang dan elemensegiempat MZC (Melosh, Zienkiewicz,dan Cheung) untuk lenturan pelat.Dengan kombinasi ini maka pada setiaptitik nodal akan terdapat lima peralihannodal terhadap sumbu lokal.a. Akibat membranKita tinjau sebuah elemensegiempat peralihan bilinier dari Melosh,dengan tebal t seperti yangdiperlihatkan dalam Gambar 3.ξ =xaη =yb………..(1)dimana a dan b berturut-turut adalahsetengah lebar dan setengah tinggi.Peralihan umum elemen ini terdiri daritranslasi dalam bidang x-y. Jadi :u = { u,v}……………………..(2)ZY4vu1 23iq i2q i1Gambar 1. Komponen membranX154

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)Gambar 2. Komponen lenturGambar 3. Segiempat peralihan bilinierTitik nodal 1, 2, 3 dan 4digunakan pada titik-titik sudut, dimulaidari kiri bawah, dan selanjutnyaberlawanan arah dengan jarum jam.Pada setiap titik nodal terjadi duatranslasi (dalam arah x-y), maka vektorperalihan titik nodal akan menjadi :{ , ,..., , , ,..., }q=q q q u v v1 2 8 1 1 4…….(3)Bila fungsi peralihan asumsi untukelemen ini adalah :u = c1 + c2ξ + c3η + c4ξη….(4a)v = c5 + c6ξ + c7η+c8ξη……(4b)maka dapat kita lihat bahwa fungsitersebut bilinier dalam ξ dan η.Berdasarkan alasan inilah kita sebutelemen tadi sebagai segiempatperalihan bilinier.b. Akibat momen lenturElemen ini dapat digunakanuntuk memodelkan keadaan regangankonstan pada pelat yang mengalamilenturan, dan elemen-elemen ini jugamemiliki fungsi-fungsi yang seimbangdan lengkap. Oleh karena itu, elemen iniakan memberikan hasil yang konvergen.Elemen pada Gambar 4, disebut155

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168segiempat MZC karena ditemukan olehMelosh, Zienkiewicz, dan Cheung.Seperti elemen lain yang sejenis,elemen ini hanya memiliki satu peralihanumum, yaitu w (translasi dalam arah z).Jadi :u=w…………………………….(5)Dalam gambar juga dilukiskan peralihantitik nodal:( i=1,2,3,4)⎧ ∂wi ∂wi⎫qi = { qi1,q i2,qi3 } = ⎨w i, , − ⎬⎩ ∂y∂x⎭..............(6)Perubahan tanda dalam qi3 =∂wi/∂x dilakukan dengan tujuan untukmenyesuaikan putaran sudut denganarah positif perputaran titik nodal. Gayatitik nodal yang menghasilkan peralihanadalah:{ } { }p = p ,p ,p = p ,M ,M ( i=1,2,3,4)i i1 i2 i3 zi xi yi........(7)Notasi Pzi menunjukkan gaya dalamarah z, sedangkan Mxi dan Myi adalahmomen dalam arah x dan y. Fungsiperalihan yang dipilih untuk elemen iniadalah :w= c+ cx+ cy+ cx + cxy+ cy + cx+ c x y+ c xy + c y + c x y+c xy2 2 31 2 3 4 5 6 72 2 3 3 38 9 10 11 12Dalam bentuk koordinat natural :........(8)2 2 3w = c1+ c2ξ+ c3η+ c4ξ + c5ξη+ c6η + c7ξ2 2 3 33+ c8ξη+ c9ξη + c10η + c11ξη+ c12ξη.....(9)c. Perumusan IsoparametrikElemen segiempat peralihanbilinier merupakan induk dari darielemen isoparametrik kuadrilateral (Q4),yang ditunjukkan dalam gambar 5 dangambar 6.Peralihan yang ditunjukkan dalamgambar tersebut adalah:u = {u, v} ................................(10)Pada setiap titik nodal terdapat translasiarah x dan y, jadi vektor peralihan titiknodal adalah:q= {q1, q2, ..., q8} = {u1, v2, …, u4, v4} ...(11)q i1q i3yy , η =bq i2∂w 1∂yx , ξ =xa∂w − 1∂ xGambar 4. Segiempat MZC156

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)Tabel 2. Faktor Bobot integrasi Gauss Legendren234ξi- 0.577350269189626, +0.577350269189626- 0.774596669241483,0 ,+0.774596669241483-0.861136311594053,-0.339981043584856,+0.861136311594053,+0.339981043584856Ri1,10.555555555555556,0.888888888888889,0.5555555555555560.347854845137454,0.652145154862546,0.347854845137454,0.652145154862546Gambar 7. Perpindahan Gabungan dari Lentur dan MembranDari gabungan tersebut makacangkang mempunyai 5 DOF yaitu tigaperpindahan dan dua rotasi. Untukmatriks kekakuan cangkang dapatditulis sebagai berikut :[ Kb] [ 0][ 0] [ K ]{ db}{ d }{ Fb}{ F }⎡ ⎤⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫⎪⎢ ⎥⎨ ⎬=⎨ ⎬⎣ m ⎦ ⎪ ⎩ m ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ m ⎭ ⎪ .....(17a)Untuk K, d, dan F adalahmasing-masing matriks kekakuan,perpindahan/rotasi nodal, dangaya/momen pada titik nodal. Subskripb dan m adalah momen (bending) danmembran. Perakitan matriks kekakuanselanjutnya dengan memperhitungkanrotasi cangkang, sebagaikonsekwensinya bertambah 1 DOF pernodal. Maka dari Pers. (17a) dapatdituliskan kembali :[ b] [ ][ ] [ ]{ b}{ }{ }{ }⎡ K 0 0⎤⎧ d ⎫ ⎧ Fb⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢0 Km0⎥⎨ dm⎬=⎨ Fm⎬⎢ 0 0 0⎥ ⎪ θz ⎪ ⎪ 0 ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ......(17b)Matriks dari Pers (17b)mengekspresikan sistem koordinat lokal.Untuk selanjutnya maka matriks tersebut159

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168ditransformasikan menjadi sistem 3. Program Elemen Hingga padakoordinat global. Jika matriks MATLAB dan Aplikasi SAP 2000transformasi diketahui maka :3.1 umumSoftware MATLAB versi{ dlocal} = [ T]{ dglobal}pertamanya ditulis di Universitas Mexico..............(18a) dan Stanford University pada akhir tahun1970-an. Versi tersebut ditujukan untukUntuk setiap nodal hubungan digunakan pada kuliah Teori Matriks,antara DOF lokal dan global dapat Aljabar Linear dan Analisis Numerik. Saatdituliskan :ini kemampuan MATLAB jauh melebihi‘MATrix LABoratory’ yang semula.MATLAB adalah bahasa canggih untuk⎧ u ulocal ⎫ ⎡l11 l12 l130 0 0 ⎤⎧ global ⎫ komputasi teknik. Didalamnya terdapat⎪u⎪ ⎢ulocall21 l22 l230 0 0⎥⎪⎪globalkemampuan penghitungan, visualisasi⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪⎪⎪ u ⎢ ulocal ⎪ l31 l32 l330 0 0 ⎥⎪global ⎪dan pemrograman dalam suatu⎨ ⎬ = ⎢⎥⎨⎬⎪θx xlocal ⎪ ⎢ 0 0 0 l11 l12 l θlingkungan yang mudah untuk13 ⎥⎪global ⎪ digunakan karena permasalahannya⎪θy ⎪ ⎢ylocal0 0 0 l21 l22 l ⎥⎪θ⎪23 global⎪ ⎪ ⎢⎥⎪⎪ dinyatakan dalam notasi matematika⎪⎩θz zlocal ⎪⎭ ⎣⎢0 0 0 l31 l32 l θ33 ⎦⎥⎩⎪global ⎭⎪biasa. Kegunaan MATLAB secara umumadalah untuk Matematika dan............................(18b) komputasi, Pengembangan algoritma,Pemodelan, simulasi dan pembuatanUntuk lij adalah cosinus arahprototype, Analsisi data, eksplorasi danantara axis lokal xi dan axis global xj.visualisasi serta Pembuatan aplikasiMaka untuk transformasi matriks untuktermasuk pembuatan antarmuka grafisempat nodal :(GUI).MATLAB adalah sistem interaktif denganelemen dasar basis data array. Hal ini⎡[ Td] 0 0 0 ⎤memungkinkan untuk memecahkan⎢⎥banyak masalah perhitungan teknik,0 [ Td] 0 0[ T]= ⎢⎥khususnya yang melibatkan matriks dan⎢ 0 0 [ Td] 0 ⎥⎢⎥vektor, dengan waktu yang lebih singkat⎢⎣0 0 0 [ Td] ⎥⎦ ..........(18c) dari waktu yang dibutuhkan untukmenulis program dalam bahasaFORTRAN atau bahasa C.Dengan menggunakantransformasi matriks, maka matriks 3.2 Program Utama (Main Program) dankekakuan yang ditransformasi diberikan Subrutin (Subroutines)berikut :Pada dasarnya penyusunanprogram di MATLAB terdiri dari duaKT⎡⎣ global⎤= ⎦ [ T ] [ Kbagian utama yakni program utamalokal ][ T ] .........(19) dan sub-sub program (subrutin) yangkesemuanya ditulis dalam MATLABeditor dengan ekstensi m.file.Pada kasus ini untuk struktur shelldengan bentuk umum program adalah :160

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)% PROGRAM UTAMA %clear allclc% input datanel= …… ;% jumlah elemennnel= …… ; % jumlah node per elemenndof= …… ; % jumlah DOF per nodennode= …… ; % jumlah node sistemsdof=nnode*ndof; % total sistem DOFedof=nnel*ndof; % DOF per elementmodulus= …… ;% modulus elastisitaspoisson= …… ;% angka Poissont= …… ; % tebal pelatnglxb=2;nglyb=2; % 2x2 kuadratur Gauss-Legendre untuk momen lenturnglb=nglxb*nglyb; %nglxs=1;nglys=1; % 1x1 kuadratur Gauss-Legendre untuk geserngls=nglxs*nglys; %% input koordinatgcoord=[ …… ] ;% input titik nodal pada tiap elemennodes=[ …… ] ;% input restraint / kondisi batasbcdof=[ …… ] ;bcval=zeros(size(bcdof));% defenisi - defenisiff=zeros(sdof,1);kk=zeros(sdof,sdof);disp=zeros(sdof,1);index=zeros(edof,1);kinmtsb=zeros(3,edof);matmtsb=zeros(3,3);kinmtsm=zeros(3,edof);mamtsm=zeros(3,3);kinmtss=zeros(2,edof);matmtss=zeros(2,2);tr3d=zeros(edof,edof);% input gaya luarff(n)= …… ;% INTEGRASI GAUSS LENTUR[pointb,weightb]=feglqd2(nglxb,nglyb);% DEFENISI MATERIAL Ematmtsm=fematiso(1,modulus,poisson)*t;matmtsb=fematiso(1,modulus,poisson)*t^3/12;%INTEGRASI GAUSS GESER[points,weights]=feglqd2(nglxs,nglys);shearm=0.5*modulus/(1.0+poisson);shcof=5/6;matmtss=shearm*shcof*t*[1 0; 0 1];%for iel=1:nel%for i=1:nnelnd(i)=nodes(iel,i);xcoord(i)=gcoord(nd(i),1);ycoord(i)=gcoord(nd(i),2);zcoord(i)=gcoord(nd(i),3);end% PANGGIL TRANSFORMASI KOORDINAT[tr3d,xprime,yprime] =fetransh(xcoord,ycoord,zcoord,nnel);% DEFENISI KEKAKUAN161

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168k=zeros(edof,edof);ke=zeros(edof,edof);km=zeros(edof,edof);kb=zeros(edof,edof);ks=zeros(edof,edof);%for intx=1:nglxbx=pointb(intx,1);wtx=weightb(intx,1);for inty=1:nglyby=pointb(inty,2);wty=weightb(inty,2);% PANGGIL FUNGSI BENTUK[shape,dhdr,dhds] =feisoq4(x,y);% PANGGIL JACOBYjacob2=fejacob2(nnel,dhdr,dhds,xprime,yprime);%detjacob=det(jacob2);invjacob=inv(jacob2);% PANGGIL TURUNAN[dhdx,dhdy]=federiv2(nnel,dhdr,dhds,invjacob);% KINEMATIK LENTUR DAN MEMBRAN (Bb dan Bm)kinmtsb=fekinesb(nnel,dhdx,dhdy);kinmtsm=fekinesm(nnel,dhdx,dhdy);% KEKAKUAN LENTUR DAN MEMBRANkb=kb+kinmtsb'*matmtsb*kinmtsb*wtx*wty*detjacob;km=km+kinmtsm'*matmtsm*kinmtsm*wtx*wty*detjacob;endend%for intx=1:nglxs;x=points(intx,1);wtx=weights(intx,1);for inty=1:nglysy=points(inty,2);wty=weights(inty,2);%PANGGIL FUNGSI BENTUK[shape,dhdr,dhds]=feisoq4(x,y);%PANGGIL JACOBYjacob2=fejacob2(nnel,dhdr,dhds,xprime,yprime);%detjacob=det(jacob2);invjacob=inv(jacob2);%PANGGIL TURUNAN[dhdx,dhdy]=federiv2(nnel,dhdr,dhds,invjacob);% KINEMATIK GESER (Bs)kinmtss=fekiness( nnel,dhdx,dhdy,shape);% KEKAKUAN GESERks=ks+kinmtss'*matmtss*kinmtss*wtx*wty*detjacob;%endend% KEKAKUAN TOTALk=km+kb+ks;% KEKAKUAN TRANSFORMASIke=tr3d'*k*tr3d;% INDEX DOFindex=feeldof(nd,nnel,ndof);% PERAKITAN MATRIKSkk=feasmbl1(kk,ke,index);162

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)%end% ITERASI MATRIKS (ERROR < 1e-5)for i=1:sdofif(abs(kk(i,i))< 1e-5)sum=0.0;for j=1:sdofsum=sum+abs(kk(i,j));endif (sum < 1e-5)kk(i,i)=1;endendend% HITUNG HASIL[kk,ff]=feaplyc2(kk,ff,bcdof,bcval);% PERPINDAHAN (DISPALECEMENT) D= K^(-1) * FFdisp=kk\ff;% TAMPILKAN HASILnum=1:1:sdof;displace=[num' disp]%Gambar 8. Struktur atap3.3 Studi Kasus Cangkang Silinder untukAtapa. Program MATLABSuatu struktur atap didukung olehdua diafragma yang kaku (jepit) danpada kedua tepi lainnya berupaperletakan bebas, dengan data-datasebagai berikut :Radius (R) = 25 ft (762 cm)Panjang (L) = 50 ft (1524 cm)Sudut (α) = 80 0Tebal (t) = 3 in = 0,25 ft(7,62 cm)Modulus elastisitas (E) = 3 msi = 3.10 6 psi(210920, 865kg/cm 2 )Berat sendiri (q) = 90 lb/ft 2 (439,4185kg/m 2 )163

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168Gambar 10. Tinjauan 2 x 2 segmenGambar 9. Tinjauan ¼ struktur atapUntuk empat elemen:Untuk empat elemen :% Program Utama %% INPUT DATA %nel=4;nnel=4;ndof=6;nnode=9;sdof=nnode*ndof;edof=nnel*ndof;modulus=3e6;poisson=0.0;t=3;nglxb=2;nglyb=2;nglb=nglxb*nglyb;nglxs=1;nglys=1;ngls=nglxs*nglys;% 4 elemengcoord=[0.0 0.0 0.0;0.0 12.5 0.0; 0.0 25.0 0.0;8.55 0.0 -1.51;8.55 12.5 -1.51;8.55 25.0 -1.51;16.1 0.0 -5.85;16.1 12.5 -5.85;16.1 25.0 -5.85];gcoord=12.0*gcoord;%nodes=[4 5 2 1; 5 6 3 2; 7 8 5 4; 8 9 6 5];%bcdof=[1 3 5 6 7 11 12 13 14 16 17 18 19 21 32 34 36 37 38 39 50 52 54];bcval=zeros(size(bcdof));%% Bebanff(3)=-1645.3ff(9)=-3290.6ff(15)=-1645.3ff(21)=-3290.6ff(27)=-6581.3ff(33)=-3290.6ff(39)=-1645.3ff(45)=-3290.6ff(51)=-1645.3%164

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)ElemenR (u1, u3, r2)NodalR (u1, u3)Gambar 11. Tinjauan 6 x 6 segmen (1/4 struktur atap)Gambar 12. Lendutan titik tengah Arah Y (MATLAB 16 elemen)165

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 168Gambar 13. Lendutan titik tengah Arah X (MATLAB 16 elemen)Tabel 3. Lendutan vertikal (Δz)4 Elemen (Matlab) 16 Elemen (Matlab) 36 Elemen (SAP) Zienkiewics, 1977Nodal Jarak Δz Nodal Jarak Δz Nodal Jarak Δz Nodal Jarak Δz3 0 0,782 5 0 0,778 43 0,00 0,552 43 0 0,5766 20 -0,654 10 10 0,439 44 6,67 0,372 44 6,67 0,3369 40 -3,911 15 20 -0,538 45 13,33 -0,156 45 13,33 -0,18060 -0,654 20 30 -1,965 46 20,00 -0,936 46 20,00 -0,96080 0,782 25 40 -3,509 47 26,67 -1,860 47 26,67 -1,88450 -1,965 48 33,33 -2,808 48 33,33 -2,88060 -0,538 49 40,00 -3,684 49 40,00 -3,78070 0,439 46,67 -2,808 46,67 -2,88080 0,778 53,33 -1,860 53,33 -1,88460,00 -0,936 60,00 -0,96066,67 -0,156 66,67 -0,18073,33 0,372 73,33 0,33680,00 0,552 80,00 0,576b. Aplikasi SAP (Structral AnalysisProgram) 2000Kasus yang dibahas adalahstruktur atap sebelumnya (gambar 8).Penentuan titik nodal, elemen, DOFserta pemodelan seperti gambar 11.4. Analisis dan PembahasanDari hasil program MATLABdiperoleh untuk 4 elemen Lendutanmaksimum pada titik tengah (DOF 51)sebesar Δz = -3,91138 inchi = -0,3259feet. Untuk 16 elemen Lendutan166

Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab dan Aplikasi SAP 2000Untuk Analisis Struktur Cangkang(Anwar Dolu dan Hajatni Hasan)maksimum pada titik tengah (DOF 147)sebesar Δz = -3,5088 inchi = - 0,2924 feet.Terhadap bentuk analitik Δz = - 0.3086feet, maka terdapat error sekitar 5, 25 %untuk 16 elemen.Gambar 14. Lendutan titik tengah Arah X (MATLAB & Eksak)(a)(b)Gambar 15. (a) Kontur lendutan (SAP 2000) dan Lendutan Nodal 49 (SAP 2000)Gambar 16. Lendutan titik tengah Struktur Atap Arah X167

Jurnal SMARTek, Vol. 8, No. 2, Mei 2010: 153 - 1685. Kesimpulana. Analisis struktur cangkang dapatdidekati dengan menggunakanelemen datar (pelat).b. Perumusan matriks kekakuandigunakan perumusan isoparametrikdengan integrasi Gauss – Legendrekarena lebih efisien dan kemudahanpemrograman dibandingkanperumusan matriks kekakuankonvensional.c. Hasil Analisis Program MATLABsemakin mendekati nilai eksak jikapembagian elemennya semakinkecil, tetapi tidak efisien (bertambahjumlah elemen)dan laju konvergensimenurun.d. Hasil perhitungan menggunakanProgram MATLAB menunjukankesalahan 5,25 % terhadap solusianalitik (pada lendutan maksimumdan 16 elemen).e. Hasil perhitungan menggunakanSoftware SAP 2000 menunjukankesalahan 0,52 % terhadap solusianalitik (pada lendutan maksimumdan 36 elemen).M. Farshad, 1992, Design and Analysis ofShell Structures, KluwerAcademicPublishers,NetherlandsO.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, 1991, TheFinite Element Method, Volume1 & 2, Mc Graw Hill.Richard H. Gallagher, 1975, FiniteElement Analysis, Prentice Hall,Englewood Clifs. New JerseyRobert D. Cook, 1990, Konsep danAplikasi Metode Elemen Hingga,Penerbit PT. Eresco, BandungRudolph Szilard, 1989, Teori dan AnalisisPelat, Penerbit Erlangga.Stephen Timoshenko, S. WoinowskyKrieger, 1992, Teori Pelat danCangkang, Penerbit Erlangga.William Weaver, Paul R. Johnston, 1989,Elemen Hingga untuk AnalisisStruktur, Penerbit PT. Eresco,BandungYoung W. Kwon, Hyochong Bang, 2000,The Finite Element Method usingMATLAB, CRC. Press6. Daftar PustakaAnsel C. Ugural, 1999, Stresses in Platesand Shells, McGraw-HillChandrakant S. Desai, 1988, Dasar –dasar Metode Elemen Hingga,Penerbit Erlangga.C.R. PANGGILadine, 1983, Theory of ShellStructures, Cambridge UniversityPressDavid P.Billington,1965, Thin ShellConcrete Structur, McGraw-HillBook CompanyJ.L Meek, 1991, Computer Methods inStructural Analysis, Chapman &Hall, Australia.L.H. Donnell, 1976, Beam, Plates, andShells, Mc Graw Hill168