1 Modelli per serie storiche univariate

dato che V (yt) = V (yt−1)
V (yt) =
σ 2
1 − θ 2
Cov(ytyt−1) = E(cyt cyt−1)
= E [(θcyt−1 + εt) (cyt−1)]
= θV (yt)
= θ σ2
1 − θ 2
potete ottenere allo stesso modo che
k σ2
Cov(ytyt−k) = θ
1 − θ2 cioe’ la Cov(ytyt−k) dipende solo da k e non da t.
1.2 Processo a Media Mobile di ordine uno
yt = µ + εt + αεt−1
V (yt) = E(εt + αεt−1) 2
= E(εt) 2 + α 2 E(εt−1) 2
= (1 + α 2 )σ 2
Cov(ytyt−1) = E [(εt + αεt−1) (εt−1 + αεt−2)]
= αE ε 2
t−1
= ασ 2
Cov(ytyt−2) = 0
Cov(ytyt−k) = 0 per k = 2, 3, 4..
Se |θ| < 1 un processo AR puo’ essere riscritto come un processo MA infinito per
sostituzione di yt−1 = δ + θyt−2 + εt−1 in (1) otteniamo
continuando le sostituzioni si ottiene
dove n−1
θjεt−j e’ una componente MA
j=0
yt = µ + θ 2 (yt−2 − µ) + εt + θεt−1
yt = µ + θ n n−1
(yt−n − µ) + θ j εt−j
2
j=0