[ ]

Econometria Università di Bari – Facoltà di Economia
Dott.ssa Laura Serlenga Dispense #7 A.A. 2003-2004 – 2ndo semestre
ANALISI DELLE SERIE STORICHE UNIVARIATE: cenni sui processi
stocastici
Che cos’è una serie storica?
Qual è lo scopo dell’analisi?
Come modellare una serie storica?
Definizione di processo stocastico { x t } : insieme di variabili aleatorie indicizzate
ordinalmente rispetto a t (l’ordine è importante e non può essere cambiato). Di solito
si tratta di variabili casuali che non sono indipendenti e di cui si ottengono i dati di
una singola realizzazione, sono in altre parole impossibili da replicare. A causa di
queste caratteristiche (dipendenza e impossibilità di replica) è importante essere
molto rigorosi nello specificare la natura statistica del processo stocastico. Per
descrivere un processo stocastico si dovrebbe specificare la distribuzione congiunta
delle variabili Xt ma poiché ciò è piuttosto complicato, si definiscono solo i momenti
delle variabili Xt.
Momenti di xt
1. Valore atteso E [ xt
] = µ t
[ ] 2
2. Varianza Var [ x t ] = E ( x t −
2
µ t ) = σ t
3. Autocovarianza [ ( x µ )( x − µ ) ] = σ = γ ( t , t − k )
E t − t t − k t − k
t , t − k
4. Funzione di autocorrelazione: la k.ma autocorrelazione è definita come segue
γ k Cov(
xt
, xt−
k )
φ k = =
con k =1,2,…
γ Var(
x ) Var(
x )
0 t
t−1
L’autocorrelazione è una misura più utile della covarianza perché priva di unità
di misura. Inoltre se un processo è stazionario la funzione di autocorrelazione
non dipende da t come la covarianza.
Un’importante classe di processi stocastici sono i processi stazionari:
a. Stazionarietà (in senso debole): 1)media costante; 2)varianza costante;
3)funzione autocovarianza dipendente solo dal ritardo (lag) inteso come
1

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distanza fra due osservazioni temporali. Nota che se una serie è stazionaria
l’autocovarianza decresce quanto più k aumenta. Non si fa alcuna ulteriore
assunzione su i momenti successivi
[ x ] = µ t
E t ∀
Var
2 [ x ] = σ
t
Cov(xt,xt+k)=γ(k) oppure [ ( xt
− µ )( xs
− µ ) ] = σ t s
E −
b. Ergodicità: i momenti campionari (media e varianza) tendono ai valori della
popolazione all’aumentare di n. Questa è una caratteristica complessa,
difficilmente distinguibile dalla stazionarietà. Di fatto è possibile costruire
esempi di processi stazionari ma non erodici. Notare che se t N ≈ ε , il processo
è stazionario ed allora anche ergodico.
Introduciamo ora l’operatore del ritardo L utile a costruire polinomi in modo
k
conveniente xt
= xt
k , La = a ed alcuni modelli di serie temporali che
L −
rappresentano un processo stocastico:
• White Noise: ogni elemento della sequenza { ε t } ha le seguenti proprietà
[ ] = 0
E ε
E
t
2 [ ε ] = σ
t
ε
[ ε ] = 0
E ε
t
s
[ ε | t −1]
= 0
E t
cioè ogni elemento è estratto casualmente da una popolazione con media zero e
varianza costante. Di solito si assume che gli elementi siano estratti
indipendentemente o normalmente distribuiti anche se spesso questa assunzione
non è necessaria.
• AR(1) xt = µ + ρxt
−1 + ε t dove
E
[ | ] = µ + ρxt
- 1
x
t t−1
x
µ
E [ xt
] → se ρ < 1 e T è grande.
1−
ρ
2

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Var
=
σ
Cov
=
=
E
2
2
[ ] = E ( ε + ρε + ρ ε + ... )
[ x ] E ( x − E [ x ] )
t
2
[ t
t − 1
t 2 ]
= t
t
−
2
2
2 2
4 2
2
2
4
σ ε
ε + ρ σ ε + ρ σ ε ... = σ ε ( 1 + ρ + ρ + ... ) =
2
1 − ρ
[ x t ; x t − k ] = E [ ( x t − E ( x t ) )( x t − k − E ( x t − k ) ) ] =
2
2
( ε t + ρε t − 1 + ρ ε t − 2 + ... )( ε t − k + ρε t − k − 1 + ρ ε t − k − 2 + ... )
[ x ]
[ ]
ρ Var
t
k
in generale Cov[ x x ] = ρ Var[
x ]
t
; k= lag
t−k
è un processo stazionario se ρ < 1.
Se ρ =1 allora xt = µ + xt−1
+ ε t dove
E
[ | ] = xt
- 1
x
t t−1
x
2 2
2
[ x ] = E[
( ε t + ε − 1 + ) ] = tσ
Var t
t
... ε
t
2
[ x x ] E[
( ε + ε + ε + ... )( ε + ε + ε + ... ) ] = ( t − k)
σ
Cov t ; t−
1 = t t−1
t−2
t−1
t−2
t−3
ε
non è stazionario ma esplosivo.
Se il processo non è stazionario si possono compiere delle trasformazioni che lo
rendono stazionario e quindi più semplice da analizzare. Una di queste trasformazioni
è l’integrazione o differenziazione.
Se xt µ + xt
+ ε t
= −1
∆xt = µ + ε t è stazionario allora si dice che xt è integrata di ordine 1 xt ≈ I()
1
Esiste la possibilità che i residui del processo siano autocorrelati, il processo in
questo caso sarà stazionario ma non invertibile.
=
=
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AUTOCORRELAZIONE DEI RESIDUI
Torniamo a considerare il modello MLGR
y = x ' β + ε
t
t
t
dove i residui εt sono autocorrelati. In particolare assumiamo che i residui seguano un
processo di autocorrelazione di ordine uno AR(1) tale che:
ε
t = ρε t−1
+ u
da cui E [ εε']
t
2 3 T −1
⎡ 1 ρ ρ ρ ρ ⎤
⎢
2 T −2
⎥
⎢ ρ 1 ρ ρ ρ
2
⎥
2 σ u ⎢ 2
T −3
= Σ = σ Ω =
⎥
2 ρ ρ 1 ρ
1−
ρ ⎢
⎥
⎢
ρ ⎥
⎢ T −1
T −2
T −3
⎥
⎣ρ
ρ ρ ρ 1
144444
4 24444443⎦
Effetti sullo stimatore bOLS :
• Corretto
• Consistente
• Asintoticamente normale (da dimostrare con teoremi un po’ più complessi)
−1
1 1
• Inefficiente []
( X ' X ) ( X 'ΩX
)( X ' X )
Var b =
2
T 1−
ρ T T T
Q
*
=
T T
( X 'ΩX
) 1
= ∑∑
T
T
t=
1 s=
1
ρ
t−s
x x '
t
s
Ω
−1
dove
Un rimedio possibile è quello di adottare la correzione di White.
Nota che nel caso in cui una variabile dipendente ritardata è presente tra i regressori e
i residui sono autocorrelati, bols non è più né corretto, né consistente.
Per esempio yt β yt
+ ε t
ε
t = ρε t−1
+ u
t
= −1
yt-1 dipende da εt e anche da εt-1 quindi c’è correlazione tra i regressori e i disturbi.
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TEST PER LA PRESENZA DI AUTOCORRELAZIONE DEI RESIDUI
Test di Durbin-Watson
Considerando la seguente specificazione per i residui
ε
t = ρε t−1
+ u
ed il sistema di ipotesi
t
⎧H
0 : ρ = 0
⎨
⎩H
1 : ρ ≠ 0
sotto l’ipotesi nulla sarà valida la seguente statistica
T
∑
d
t=
2
=
t
T
( e − e )
∑
t=
2
e
2
t−1
2
t
≅ 2
( 1−
r)
dove r è il coefficiente di autocorrelazione. Nota che se
r = 0 ⇒ d ≅ 2
r = 1 ⇒ d ≅ 0
r = −1
⇒ d ≅ 4
Il problema è che non esiste una distribuzione unica e invasante:
a) Esistono solo degli intervalli di accettazione e di rifiuto,
b) Le distribuzioni variano al variare delle osservazioni e del numero di regressori
Inoltre il test è biased verso l’accettazione dell’ipotesi nulla quando una variabile
ritardata è compresa fra i regressori
Sotto l’ipotesi nulla
h
⎛ d ⎞ T
⎜1−
⎟ ≈ N 2
⎝ 2 ⎠ 1−
Ts
( 0,
1)
2
= dove c
c
LM test (Breusch e Goldfeld)
Sistema di ipotesi
⎧ H 0 : ρ = 0
⎨
⎩H
1 : ε t = AR(
p),
ε t = MA(
q)
Implementazione del test:
s è la varianza stimata del coefficiente di yt-1.
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1. ottienere et dalla stima OLS
2. effettuare la seguente regressione e t xt
'α + ρ1
et
1 + ρ 2et
2 + ... + ρ pet
p + ut
= −
−
−
3. ottenere R 2 dalla regressione in 2., sotto l’ipotesi nulla vale la seguente
statistica
2 2
TR ≈ χ p
Test Q di Ljung e Box
Considerando il seguente sistema di ipotesi
⎧ H 0 : ρ = 0
⎨
⎩H
1 : ε t = AR(
p),
ε t = MA(
q)
sotto l’ipotesi nulla sarà valida la seguente statistica
rJ
2
Q' ( T + 2)
≈ χ p r
T − J
T
= T ∑
t=
2
2
J
T
∑
t
t=
J + 1
= T
∑
t=
1
e e
e
t−
J
2
t
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STIMA DI MODELLI CON AUTOCORRELAZIONE
Dato che lo stimatore OLS è inefficiente possiamo utilizzare la matrice varianza
covarainza suggerita da White.
FGLS: Sappiamo che E[
']
2 ( 1−
)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 ( 1−
ρ )
− ρ
0⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎦
2
T −1
⎡ 1 ρ ρ ρ ⎤
⎢
⎥
⎢ ρ 1
2
σ
⎥
u εε = ⎢ 1 ⎥ . Allora
2
1−
ρ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ T −1
⎥
⎣ρ
1 ⎦
− ρ 1
ρ P =
− ρ 1 . Da cui otteniamo il modello trasformato (*)
0
2 ( 1−
ρ )
0
0
2 ( 1−
ρ )
⎡ y ⎤ ⎡
1
x ⎤
1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ y2
− ρy1
⎥ ⎢ x2
− ρx1
⎥
dove y*
= ⎢ ⎥ e x*
= ⎢ ⎥ .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ yT
− ρyT
−1 ⎦ ⎣ xT
− ρxT
−1 ⎦
Tuttavia occorre una stima di ρ. Ci sono varie possibilità: a) procedura iterativa di
Prais-Winsten (con la prima osservazione) o di Cochrane-Orcutta (omettendo la
prima osservazione) anche se la convergenza non è assicurata; b) stimare di MV di
Hildreth e Lu. Nota inoltre che se fra le variabili indipendenti sono inclusi i ritardi
della variabile dipendente, il FGLS non è consistente. In questo caso occorre passare
ad uno stimatore IV dove gli strumenti di yt-k possono essere ˆ t k ottenuti dalla
regressione della variabile dipendente su tutte le variabili esogene.
y −
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Considerando il modello
y
t
t
= x ' β + ε
ε = ρε
t
t−1
t
+ u
allora ε t−1
= y t−1
− xt−1
' β
y
y
t
t
= x ' β + ρ
t
= ρ y
t
t−1
t
( y − x ' β )
t
t−1
+ x ' β + −x
t−1
t−1
genericamente avremo
t = γ
1 yt
−1 + xtγ
2 + xt
−1γ
3
IMPORTANTE CRITICA AL FGLS
+ u
' ρβ + u
y + u
t
t
,
il modello con i residui autocorrelati può essere visto come un caso particolare, dove
è valida la seguente restrizione γ 3 = −γ
1γ
2 . Stimando il modello con FGLS, cioè
correggendo i residui correlati, stiamo imponendo una restrizione dinamica ai dati
che deve prima essere testata.
t
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