Utilità attesa - Scienze economiche e metodi matematici

Maria Vittoria Levati 

L’avversione al rischio e 

l’utilità attesa 

Kreps: "Microeconomia per manager" 1

ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE 

In questa lezione introdurremo il modello 

dell’utilità attesa, che descrive le scelte individuali 

in condizioni di rischio. 

Alcuni mercati di primaria importanza sono stati 

creati per aiutare i singoli e le imprese a gestire le 

incertezze cui essi sono soggetti. Sono i mercati dei: 

titoli finanziari, 

assicurazioni, 

opzioni e 

operazioni a termine 



SCELTE IN SITUAZIONI DI 


INCERTEZZA 

Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in 

cui l’esito di una scelta è incerto. 

Ciò che determina l’esito di una situazione incerta, o rischiosa, 

è noto come stato del mondo. 

Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare 

situazioni rischiose. 

Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria: 

1) l’insieme degli stati del mondo, gli stati possibili; 

2) le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo; 

3) i valori monetari associati a ogni stato del mondo. 


Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero 

finito di stati e valori possibili. 

La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della 

verosimiglianza che questo accada. 

Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero. 

Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno. 

Se un evento potrebbe accadere, ma non per certo, la sua 

probabilità è fra zero e uno. 

Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati 

devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l’altro degli 

esiti possibili accadrà. 




Esempio 

Se tirate un dado, siete davanti a una situazione aleatoria 

(rischiosa); in questo caso, la lotteria associata è caratterizzata da: 

(1) Stati del mondo o esiti: 

sei possibili esiti (le sei facce del dado) 

(2) Probabilità: 

ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6 

(3) Valori monetari: 

Es.: una somma di euro pari al numero sulla faccia del dado. 

Possiamo rappresentare questa lotteria 

col seguente albero decisionale: 

I 6 esiti possibili sono riportati alle 

estremità dei rami. 

La prob. di occorrenza di ogni esito è 

indicata sul rispettivo ramo. 

1/6 

1/6 

1/6 

1/6 

1/6 

1/6 

€1 

€2 

€3 

€4 

€5 

€6 



Valore atteso 

Il valore atteso di una variabile casuale X è il valore di X che si 

realizza “in media”. 

Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni 

stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo – e 

quindi il relativo valore − si realizzi. 

Il valore atteso di una semplice lotteria con due stati del mondo (o 

esiti) j = {1, 2} è: 

( − p) 

2 

EV = p ⋅v1 

+ 1 ⋅v 

dove v j è il valore associato allo stato del mondo j e p è la probabilità 

relativa al primo stato del mondo. 

Se v j = v per ogni stato del mondo j, allora: 

( 1− 

p) 

⋅v 

= v ⋅( 

p + 1− 

p) 

v 

EV = p ⋅v 

+ 

= 

142 

43 

= 1 


In che modo gli individui reagiscono 

all’incertezza? 

La scelta dipende da come vengono formulate le opzioni 

Immaginate che per combattere un’epidemia influenzale 

potete attuare un programma di vaccinazione relativo a 600 

persone, scegliendo tra due programmi possibili e tra loro 

incompatibili: 

il primo salverà con certezza 400 persone; 

il secondo ha una probabilità pari a 1/3 di non salvare 

nessuno e una probabilità pari a 2/3 di salvare 600 persone. 

Quale programma consigliate? 



Pensate ora che la scelta sia tra i seguenti due programmi: 

con il primo moriranno con certezza 200 persone; 

con il secondo vi è una probabilità pari a 2/3 che nessuno 

muoia e una probabilità di 1/3 che muoiano 600 persone. 

Quale programma preferite? 

Le risposte prevalenti sono state il primo programma per la 

prima formulazione del dilemma (salvare con certezza 400 

persone) e il secondo per la seconda formulazione. 

Se tuttavia analizzate attentamente le due formulazioni, vi 

accorgerete che il problema è identico in termini di 

conseguenze effettive. 



Meglio scommettere quando le probabilità sono 

“note” piuttosto che quando sono ignote 

Un’urna contenente 300 palline: 100 sono rosse, le altre 200 

sono alcune blu e alcune verdi. 

Vincete €100 se estraete dall’urna una pallina di un dato 

colore. 

Preferite che tale colore sia il rosso, il blu o il verde? 

Un numero elevato di persone afferma di essere indifferente 

tra il blu e il verde e di avere invece una preferenza stretta 

per il rosso. 

Queste persone preferiscono scommettere quando le 

probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote. 



Gli economisti adottano la seguente terminologia: 

se una situazione è incerta, ma le conseguenze possibili e le 

rispettive probabilità di occorrenza sono oggettivamente 

note, la situazione implica rischio o incertezza oggettiva; 

quando gli esiti possibili sono noti, ma le relative 

probabilità di occorrenza non sono oggettivamente note, la 

situazione implica incertezza o incertezza soggettiva; 

infine, quando l’elenco dei possibili esiti non è chiaramente 

definito, la situazione implica ambiguità o contingenze 

impreviste. 

L’esempio delle palline colorate nell’urna illustra 

l’avversione all’incertezza soggettiva. 




Attitudine al rischio 

Gli schemi comportamentali che prenderemo in considerazione sono 

riferiti a decisioni prese in condizioni di rischio o incertezza oggettiva. 

Consideriamo una lotteria che offre 

€100 con una probabilità pari a 0,3 



− € 200 con una probabilità pari a 0,1. 

0,2 

0,4 

0,1 

0,3 

€ 100 

€50 

€0 

− € 200 


Per qualsiasi lotteria possiamo calcolare il valore monetario 

atteso (VMA), la media della lotteria, moltiplicando ogni 

premio possibile per la sua probabilità e poi sommando i 

risultati. 

Qual è il VMA della lotteria appena illustrata? 

I premi possibili sono: €100, €50, €0, −€200; 

le rispettive probabilità: 0,3 0,2 0,4 0,1. 

Quindi il suo VMA è: 

0,3 × 100 + 0,2 × 50 + 0,4 × 0 + 0,1 × −200 = 

30 + 10 + 0 − 20 = 20 

Preferireste giocare la lotteria o ricevere con certezza il suo 

valore monetario atteso di € 20? 



Una persona che preferisce il valore monetario atteso di 

una lotteria alla lotteria stessa è avversa al rischio. 

Nell’esempio precedente: “20 preferito alla lotteria”. 

Una persona che è indifferente tra una lotteria e il 

corrispondente valore monetario atteso è neutrale rispetto 

al rischio. 

Nell’esempio precedente: “20 e la lotteria sono equivalenti”. 

Una persona che preferisce una lotteria al suo valore 

monetario atteso è propensa al rischio. 

Nell’esempio precedente: “la lotteria preferita a 20”. 




EQUIVALENTE CERTO 

Data una qualsiasi lotteria, possiamo sempre determinare 

una somma certa € X tale che l’individuo è indifferente tra 

la lotteria e il pagamento certo X. 

“X” èl’equivalente certo (CE dall’inglese “certainty 

equivalent”) della lotteria per tale persona. Quindi che 

relazione esiste fra CE e VMA della lotteria a seconda 

dell’attitudine al rischio dell’individuo? 

L’avversione al rischio implica un equivalente certo 

inferiore al valore monetario atteso, ossia CE < VMA; 

la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e 

la preferenza per il rischio in CE > VMA. 


PREMIO PER IL RISCHIO (risk ( risk premium) 

Se CE < VMA, la differenza tra l’equivalente certo e il 

valore monetario atteso: 

VMA − CE 

è definita premio per il rischio (PR) della lotteria. 

Un individuo avverso al rischio esibirà un premio per il 

rischio positivo per ogni lotteria. 

Maggiore è il premio per il rischio, maggiore è, 

approssimativamente, il livello di avversione al rischio 

della persona per la lotteria in questione. 



L’avversione avversione (assoluta) al rischio decrescente 

Come varia il livello di avversione al rischio quando la 

ricchezza posseduta aumenta o diminuisce? 

Un metodo per misurare questa variazione consiste 

nell’osservare la variazione del premio di rischio per una 

data lotteria all’incrementare del livello complessivo 

della ricchezza dell’individuo. 

Se un individuo tende a diventare meno avverso al rischio 

all’aumentare della sua ricchezza, tale individuo esibisce 

un’avversione (assoluta) al rischio decrescente. 



IL M ODELLO DELL’ U T IL IT À 


ATTESA 

È il modello più utilizzato dagli economisti per 

rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti 

incerti. 

Iniziamo descrivendone il funzionamento per le scommesse 

con date probabilità oggettive e dati premi monetari (ossia 

scommesse in condizioni di rischio). 

Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono 

determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a ogni 

premio monetario un numero, ossia l’utilità del premio. 


⎧ v1 

p 

Consideriamo una generica lotteria V : V = ⎨ 

⎩v 

2 1 − p 

Ipotizziamo che un individuo sia in grado di assegnare un livello di 

utilità a ogni valore possibile vj attraverso una funzione di utilità u(vj). Quindi u(v1) è l’utilità che l’individuo associa al premio monetario v1. Teorema dell’utilit dell utilità attesa: attesa date alcune ipotesi sulle preferenze, 

l’utilità attesa della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente 

funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern: 


( v ) + ( 1− 

p) 

⋅u( 

v ) Eu 

U ( V ) p ⋅u 

= 

= 1 

2 

Quindi l’utilità che l’individuo si aspetta di ottenere ex ante (l’utilità 

attesa) dalla lotteria è semplicemente il valore atteso delle utilità 

derivate dai due premi monetari. 


Il teorema dell’utilità attesa implica che un individuo, se chiamato a 

scegliere fra diverse lotterie, paragonerà i livelli di utilità attesa Eu 

associati alle diverse lotterie e sceglierà la lotteria con l’utilità attesa 

più elevata. 

Supponiamo che l’individuo debba scegliere tra le seguenti tre lotterie: 

(X) 

0,7 

0,3 


€ 750 

€0 

0,33 

(Y) 0,44 € 250 (Z) 

0,23 

€ 1500 

− € 750 

0,12 

0,39 

0,21 

0,28 

€ 1500 

€ 250 

− € 450 

€0 


Supponiamo inoltre che l’individuo sia caratterizzato dalla seguente 

funzione di utilità: u(v) 


u 

2 

€0 

1 

€750 

Consideriamo la lotteria (X) che paga “€750” o “0” con p = 0,7 e 0,3. 

L’utilità associata a € 0 è u(0) = 1; quella associata a € 750 è 2. 

Kreps: "Microeconomia per manager" 20 

v

Dinnanzi a questa scelta, se l’individuo vuole rispettare il 

modello dell’utilità attesa: 

1. utilizza la propria funzione di utilità per calcolare l’utilità 

associata ad ogni premio (v j) di ciascuna lotteria (u(v j)); 

2. calcola l’utilità attesa di ogni lotteria: 

per ogni lotteria moltiplica la probabilità di ogni 

premio per l’utilità corrispondente e somma i prodotti; 

ad esempio l’utilità attesa della prima lotteria è 

U(V x ) = Eu x = 0,7 × u(750) + 0,3 × u(0) = 

0,7 × 2 + 0,3 × 1 = 1,7; 

3. sceglie la lotteria caratterizzata dall’utilità attesa maggiore. 



(X) 

(X) 

PREFERITE LA LOTTERIA (X), (Y) oppure (Z)? 

0,7 

0,7 

0,3 


€ 750 

€0 

€ 750 [2] 

0,3 

€0 [1] 

Eux = 1,4 + 0,3 = 1,7 

0,33 

(Y) 0,44 € 250 (Z) 

0,23 

€ 1500 

− € 750 

0,33 

0,44 

0,23 

€ 1500 [4] 

€ 250 [1,35] 

− € 750 [1,5] 

0,12 

0,39 

0,21 

0,28 

€ 1500 [4] 

€ 250 [1,35] 

− € 450 [0] 

€0 [1] 

EuY = 1,32 + 0,59 – 0,345 = 1,57 EuZ = 1,29 

(Y) (Z) 

0,12 

0,39 

0,21 

0,28 

SULLA BASE DELL’UTILITÀ ATTESA: 

(X) È PREFERITA ALLE ALTRE DUE LOTTERIE 

€ 1500 

€ 250 

− € 450 

€0 


Quindi, secondo il modello dell’utilità attesa, un individuo 

caratterizzato dalla funzione di utilità mostrata in 

precedenza dovrebbe scegliere la lotteria (X), in quanto 

essa ha l’utilità attesa maggiore. 

La funzione di utilità specifica è importante solamente per 

preservare l’ordine delle utilità attese: se U è la funzione di 

utilità che (insieme all’ipotesi di massimizzazione 

dell’utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato 

individuo, allora la funzione W determinata 

moltiplicando U per una costante positiva e 

aggiungendo un’altra costante 

porta esattamente alle stesse scelte. 



I premi non monetari 

È facile estendere il modello dell’utilità attesa a 

premi non monetari, ossia premi non espressi in 

moneta (ad esempio, in euro): 

qualsiasi sia la gamma dei premi possibili, la 

funzione di utilità U assegna ad ogni premio un 

livello di utilità e quindi possiamo misurare il 

valore di ogni lotteria in base alla sua utilità attesa. 



Ricavare gli equivalenti certi a 

partire da una funzione di utilità utilit 

Poiché la scala della funzione di utilità può essere 

dilatata o compressa a piacimento, è difficile attribuire 

un significato alle differenze dei livelli di utilità attesa. 

Nel caso di premi monetari possiamo misurare di 

quanto una lotteria o un qualsiasi paniere rischioso è 

migliore riconvertendo i livelli di utilità attesa in 

quantità monetarie. 

A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso. 



u 

u( 

v2 

Eu 

u( 

v1 

) 

) 


v1 

CE 

L’equivalente certo 

v v 2 

L’equivalente certo è ilprospetto senza rischio che genera un livello di 

utilità pari all’utilità attesa della lotteria: un individuo è indifferente tra 

ottenere l’ammontare monetario rappresentato dall’equivalente certo 

con certezza e il guadagno aleatorio derivante dalla lotteria. 


V 

= 

u 

u( 

v1 

) 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

( v2 

) 

v 

v 

u 

u(EV) 

U(V)=Eu 

1 

2 

p 

1 − p 


Avversione al rischio 

v1 EV 

2 

u( 

v) 

v v 

Valore monetario atteso della lotteria: 

EV = p ⋅ v1 

+ 1 ⋅ v 

Utilità attesa della lotteria: 

( v ) + ( 1 − p ) u ( ) 

U ( V ) = Eu = p ⋅ u 

⋅ v 

( − p ) 2 

1 

2 


Quando un individuo preferisce un prospettiva senza rischio 

(certa) ad una lotteria rischiosa che ha lo stesso valore monetario 

atteso, l’individuo è avverso al rischio. 

u 

u( 

EV ) 

U ( V ) = 

Eu 

v1 


EV 

u ( EV ) > 

u( 

v) 

v2 v 

Eu 

In questo esempio 

l’alternativa certa, EV, 

è preferita alla lotteria 

V che ha lo stesso 

reddito atteso. 


Notate come l’avversione al rischio possa definirsi anche in 

termini di equivalente certo (come detto in precedenza). 

u( 

v2 

) 

Eu 

u( 

v1 

) 


v1 CE EV 


v2 

u( 

v) 

Equivalente certo (CE) < Valore monetario atteso della lotteria (EV) 

v

Chiaramente l’individuo pagherebbe per sbarazzarsi del rischio: il 

massimo ammontare che è disposto a pagare è dato dalla differenza 

tra il valore monetario atteso della lotteria (EV) e l’equivalente 

certo della lotteria. 

u( 

v2 

) 

Eu 

u( 

v1 

) 


v1 CE EV 


v2 

u( 

v) 

Abbiamo detto prima che questa 

differenza viene definita premio 

per il rischio e rappresenta il 

premio che l’individuo pagherebbe 

per sbarazzarsi del rischio. 

v


u 

U ( V ) = 

u( 

EV ) 

Propensione al rischio 

Eu 

v1 

u ( EV ) < 

CE > 

Eu 

EV 

EV 

CE 

v2 v 



Eu 

= 

u 

u( 

EV ) 

Indifferenza al rischio 

v1 

EV = CE 

u ( 

EV ) = Eu e CE = 


v2 

EV 

v

Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla 

concavità della funzione di utilità u(v); l’individuo è: 

avverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente 

concava; 

neutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è lineare; 

amante del rischio se la funzione di utilità è strettamente 

convessa. 

Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale 

alla curvatura della funzione: più la funzione è concava, più 

avversi al rischio sono gli individui. 



Coefficiente assoluto di avversione al rischio 

Sulla base della precedente osservazione sulla relazione tra 

avversione al rischio e concavità, possiamo costruire una misura 

del grado di avversione al rischio di un individuo basata su 

quanto la sua funzione di utilità è concava. 

Una possibile misura è il coefficiente assoluto di avversione al 

rischio di Arrow-Pratt, definito come 

dove u', u'' sono le derivate prima e seconda della funzione di 

utilità u avente come argomento un valore non aleatorio x (uno 

dei premi della lotteria). 


u'' 

( x) 

RA( x) 

= 

− 

u'( 

x) 


La curvatura di una funzione in un punto è data dal rapporto 

della sua derivata seconda rispetto alla prima. 

la normalizzazione tramite u' è finalizzata a rendere il valore di RA 

indipendente dall’unità di misura adottata, così che RA è un numero puro, da 

cui l’aggettivo assoluto per identificare il coefficiente di avversione al rischio. 

Dato che se una funzione è concava la sua derivata seconda è 

negativa, davanti al rapporto è stato aggiunto un segno negativo 

per preservare la proporzionalità di RA a u''. 

Una curvatura decrescente implica un’avversione al rischio 

decrescente: se RA(x) decresce, l’individuo farà scelte sempre 

meno avverse al rischio man mano che il livello base della sua 

ricchezza aumenta. 


u'' 

( x) 

RA( x) 

= 

− 

u'( 

x) 


In base al coefficiente assoluto di avversione al rischio, una 

funzione di utilità si definisce: 

CARA (dall’inglese Constant Absolute Risk Aversion), o 

funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante: 

se RA(x) è costante rispetto a x. 

DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion), o funzione di 

utilità con avversione al rischio decrescente: 

se RA(x) decresce al crescere di x. 

IARA (Increasing Absolute Risk Aversion), o funzione di 

utilità con avversione al rischio crescente: 

se RA(x) cresce al crescere di x. 



La funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante 

(CARA) è molto utilizzata perché sembra avere validità 

empirica. Una funzione di utilità che possiede questa proprietà 

è: 

−RA⋅x 

u( 

x) 

= A − Be 

dove A e B > 0 sono costanti. 

L’ipotesi di DARA (funzione di utilità con avversione assoluta 

al rischio decrescente) è di norma giustificata sulla base della 

regolarità empirica per cui individui che dispongono di 

maggiore ricchezza sarebbero più propensi a correre rischi. 

Niente vieta d’altra parte, che una funzione di utilità sia, ad 

esempio, CARA per dati livelli di ricchezza e DARA per livelli 

diversi. 



L’incertezza soggettiva e l’avversione nei 


confronti delle probabilità ignote 

La maggior parte dei modelli utilizzati dagli economisti non 

ammette la possibilità che il decisore non conosca tutti gli 

esiti possibili. 

La procedura standard consiste nell’ipotizzare che il 

decisore: 

1. assegni delle probabilità ai diversi esiti possibili; 

2. consideri le probabilità soggettive esattamente come quelle 

oggettive. 

L’assegnazione delle probabilità è soggettiva, ossia dipende 

dal giudizio del decisore. 


Relazione tra questo capitolo e il modello 

del consumatore che massimizza l’utilità 

Indichiamo con Z = (z 1 , z 2 , …, z N ) l’insieme di tutti gli N 

oggetti tra cui l’individuo deve scegliere; essi possono 

essere costituiti da una varietà di elementi. Possiamo 

pensare a ogni z 

1. come a un paniere di beni; 

2. come a una lotteria. In questo caso esiste un altro insieme X 

di premi possibili e ogni z rappresenta una lotteria o 

scommessa che offre i premi dell’insieme; 

3. come a un portafoglio di titoli, dove zi sono i soldi investiti 

nel titolo i. 



4. come a denaro contante derivante da investimenti nel 

tempo, dove z 1 rappresenta la quantità di euro derivanti 

dall’investimento oggi, z 2 sono gli euro accumulati il 

prossimo mese, e così via. 

5. come a una particolare varietà di un dato prodotto di 

consumo, per esempio un’automobile, dove 


z 1 è il tipo di carrozzeria del veicolo, 

z 2 il colore, 

z 3 la cilindrata e 

z 4 il consumo di carburante. 

Questo tipo di rappresentazione degli oggetti viene utilizzato 

nel marketing dei beni di largo consumo. 


Per costruire un modello del comportamento di scelta 

dell’individuo dinnanzi a questi oggetti supponiamo che 

una data funzione u associ a ogni oggetto z dell’insieme Z 

un indice numerico, u(z), e, 

dato un insieme di oggetti tra i quali scegliere, 

l’individuo scelga l’oggetto che fornisce l’utilità più 

elevata. 

Il punto è che utilizziamo il termine 

funzione di utilità in due modi diversi! 



Nel modello del consumatore la funzione di utilità (con la u 

minuscola) fornisce, per ogni oggetto che potrebbe essere 

scelto, una misura diretta della preferenza dell’individuo 

per l’oggetto. 

In questa lezione, invece, la funzione di utilità (con la U 

maiuscola) misura le preferenze dell’individuo per le 

lotterie. 

U(x) fornisce, infatti, un indice della desiderabilità del 

premio x, che deve essere moltiplicato per la probabilità 

di occorrenza di x e poi sommato agli altri risultati per 

ottenere la misura complessiva della desiderabilità della 

lotteria in questione. 



Riepilogo 

In questa lezione, abbiamo introdotto alcuni concetti 

fondamentali di scelta in condizioni di rischio. 

Il primo passo in questa direzione consiste nel presentare il 

modello dell’utilità attesa. 

Nel modello dell’utilità attesa: 

1. una funzione di utilità assegna un dato valore di utilità a ogni 

premio possibile; 

2. per ogni lotteria si calcola l’utilità attesa (si moltiplica l’utilità di 

ogni premio possibile per la probabilità di occorrenza e 

successivamente si sommano i prodotti) e 

3. la lotteria scelta sarà quella caratterizzata dall’utilità attesa 

maggiore. 



Quando i premi sono monetari, la funzione di utilità può 

essere rappresentata graficamente. 

La funzione di utilità (in tali grafici) è quasi sempre 

crescente e continua. 

Nella maggior parte dei modelli economici è anche 

concava, riflettendo l’avversione al rischio (le funzioni 

lineari corrispondono alla neutralità al rischio e quelle 

convesse alla preferenza per il rischio). 

Il valore delle unità della funzione di utilità non ha alcun 

significato particolare, e la scala su cui vengono misurate 

può essere spostata, allungata o compressa in modo 

uniforme senza modificare il comportamento di scelta 

dell’individuo. 



Se U è concava e se il coefficiente assoluto di avversione 

al rischio RA(x) = −U′′(x)/U′(x) è decrescente, il livello di 

avversione al rischio diminuisce all’aumentare della 

ricchezza. 

Se −U′′(x)/U′(x) è costante, la funzione di utilità (CARA) 

ha un’avversione al rischio costante, ossia la scelta 

dell’individuo tra le lotterie non è influenzata dal suo 

livello di ricchezza; 

le funzioni di utilità che possiedono questa proprietà sono 

del tipo 

per le costanti B > 0 e A. 


U ( 

x) 

= 

A − 

Be 

−RAx

Utilità attesa - Scienze economiche e metodi matematici

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