lezione 8

1 Modelli per serie storiche univari-
ate
Caratteristiche delle serie storiche:
fytg
l’ordine t non puo’essere variato; v.c. non indipendenti;
non replicabili (i dati si ottengono da una sola realizzazione)
bisogna dunque essere rigorosi nello speci…care
la natura stocastica del modello, i.e. valora atteso, varianza,
covarianza, autocovarianza, autocorrelazione.
Le serie storiche sono soprattutto utili a fare previsioni
Un processo tipico e fra l’altro già incontrato e’il processo
Autoregressivo di ordine uno
yt = + yt 1 + "t (1)
non ha un interpretazione casuale. Assumendo che

1. j j < 1
2. "t e’un processo white noise, omoschedastico e privo
di autocorrelazione.
Otteniamo:
= E(yt) = + E(yt 1) + "t
E(yt) = + E(yt 1)
= 1
de…nendo cyt come yt centrato cyt = yt
la (1) come
cyt = cyt 1 + "t
V (yt) = V ( + yt 1 + "t)
= ( 2 V (yt 1) + 2 )
dato che V (yt) = V (yt 1)
V (yt) =
1 2
Cov(ytyt 1) = E(cyt cyt 1)
2
riscriviamo

= E [( cyt 1 + "t) (cyt 1)]
= V (yt)
=
1 2
potete ottenere allo stesso modo che
2
Cov(ytyt k) = k
1 2
cioe’la Cov(ytyt k) dipende solo da k e non da t.
Processo a Media Mobile di ordine uno
yt = + "t + "t 1
V (yt) = E("t + "t 1) 2
= E("t) 2 + 2 E("t 1) 2
= (1 + 2 ) 2
Cov(ytyt 1) = E [("t + "t 1) ("t 1 + "t 2)]
= E h i
=
Cov(ytyt 2) = 0
2
" 2 t 1
Cov(yty t k) = 0 per k = 2; 3; 4::
2

Se j j < 1 un processo AR puo’essere riscritto come un
processo MA per sostituzione di yt 1 = + yt 2+"t 1;
yt 1 = (yt 2 ) + "t 1 in (1) otteniamo
yt = + 2 (yt 2 ) + "t + "t 1
sostituendo ancora yt 2 = (yt 3 ) + "t 2
abbiamo
yt = + 2 ( (yt 3 ) + "t 2) + "t + "t 1
= + 3 (yt 3 ) + "t + "t 1 + 2 "t 2
continuando le sostituzioni si ottiene
dove
n 1
P
j=0
yt = + n (yt n ) +
n 1
P
j=0
j "t j e’una componente MA
j "t j

1.0.1 Operatore ritardo
Un modo alternativo di rappresentazione
Lyt = yt 1
L j yt = yt j
AR(1) ) yt = 1yt 1 + "t
yt 1yt 1 = "t
(1 1L)yt = "t
1.1 Stazionarieta’
yt =
"t
1 1L
La stazionarieta’e’importantissima per la previsione

In senso stretto l’intera distribuzione di probabilita’congiunta
a qualsiasi insieme di date non e’in‡uenzata da
uno slittamento arbitrario lungo l’asse del tempo.
In senso debole Media, Varianza e Covarianza sono indipendenti
dal tempo. La covarianza dipende solo dalla
lunghezza dell’intervallo che separa due osservazioni.
E(yt) = < 1
V (yt) = 0 < 1
Cov(yty t k) = k; k = 1; 2; 3::
Stazionarieta’in senso debole. Esempio Processo White
Noise
autocovarianza
autocorrelazione
"t N(0; 2 " )
k = Cov(yt; y t k) = Cov(y t k; yt)
k = Cov(yt; y t k)
V (yt)
= k
0

Funzione di autocorrelazione ACF: autocorrelazioni in funzione
di k. Descrive la dipendenza fra le osservazioni.
Per k = 2; 3; 4::
processo AR(1)
yt = + yt 1 + "t
k = k
0
=
k
2
1 2
2
1 2
= k

processo MA(1)
yt = + "t + "t 1
1 = 1
0
e k = k
0
2
=
(1 + 2 ) 2 = 1 + 2
0
=
(1 + 2 = 0
) 2

1.2 Stazionarieta’e radici unitarie
I processi MA(1) sono sempre stazionari.
Un processo AR(1) si dice stazionario quando j j < 1
yt = + yt 1 + "t
Processi autoregressivi non stazionari:

1. Processi Di¤erenza Stazionari (DS), (in (1) =
1)
Es.:
Random Walk yt = yt 1 + "t
Random Walk plus drift yt = + yt 1 + "t
V (cyt) = V (cyt 1) + 2
Non c’è soluzione a meno che 2 = 0, la varianza è
in…nita sia che = 1 e > 1.
In alcuni casi e’ su¢ ciente calcolare le di¤erenze per
trasformare una serie non stazionaria in stazionaria. Un
random walk (processo non stazionario) si trasforma in
un white noise ( processo stazionario)
yt yt 1 = + "t
Integrato di ordine uno I(1) yt = (yt yt 1)
Integrato di ordine due I(2)
2
yt = ( yt yt 1)

1. Processi Trend Stazionari (TS). Processi di lungo
periodo che hanno la media non costante nel tempo.
yt = + t + "t
f + tg trend deterministico. E’un processo trend
stazionario nel senso che basta inserire un trend e
diventa stazionario. Detrendizzazione

1.3 Test di radice unitaria
Per il processo AR(1)
yt = + yt 1 + "t
= 1 corrisponde al test di radice unitaria. Dickey Fuller
(1979) dimostrano che, dato che yt non e’stazionario, lo
stimatore OLS di ^ non ha una distribuzione t. Dunque
in alternativa e’stata proposta la seguente statistica
DF =
1
s:e:(^)
dove ^ e’stimato tramite un OLS ma i valori critici sono
ricavati da una distribuzione corretta.
H0 : = 1 Random Walk DS
H1 : j j < 1 Stazionario
al 5% t DF = 2; 86

Per convenienza di solito si riscrive il modello come
dato che
yt = + ( 1) yt 1 + "t (2)
yt yt 1 = + yt 1 yt 1 + "t
e si sottopone a test H0 : ( 1) = 0: Nota che questa
speci…cazione e’ robusta a problemi di autocorrelazione
dei residui.
Di solito siamo interessati a 2 casi in particolare:
1. Processo stazionario attorno ad una intercetta
yt = + yt 1 + "t
H0 : Random Walk
H1 : Stazionario con intercetta
yt = + ( 1) yt 1 + "t
H0 : = ( 1) = 0
si procede con un F test

2. Processo stazionario attorno ad un trend con intercetta
yt = + yt 1 + t + "t
H0 : Random Walk
H1 : Stazionario ad un trend con intercetta
yt = + ( 1) yt 1 + t + "t
H0 : = ( 1) = = 0
Le statistiche di DW sono dunque , , t ed F
Nota che poiche’i test di radice unitaria hanno potenza
piu’bassa dei test di signi…cativita’dei coe¢ cienti e’stata

proposta una alternativa: il KPSS. Questo test si basa
sull’idea che ogni serie storica e’una somma di un trend
deterministico, un random walk e un termine d’errore
stazionario. Sotto H0 di processo stazionario attorno ad
un trend o no
1. primo passo OLS yt = + t + "t ) ^"t = et
2. somme parziali st = P t s=1 es per ogni t:
KP SS =
P Tt=1 s 2 t
^ 2
e’una statistica LM:^ 2 Newey West standard error.
1.4 Processi AR di ordine superiore al primo
yt = c + 1yt 1 + 2yt 2 + "t
"t W N(0; 2 ")

e’un AR(2). Utilizzando gli operatori del ritardo ricaviamo
le condizioni necessarie e su¢ cienti per la stazionarita’.
Un processo AR(2) si dice stazionario se tutte le radici
di
(1 1L 2L 2 ) = 0
cadono al di fuori del cerchio unitario nel campo complesso.
yt = c + 1yt 1 + 2yt 2 + ::: pyt p + "t
"t W N(0; 2 " )
e’un AR(p).
(1 1L 2L 2 ::: pL p ) = 0
(L)yt = c + "t
cioe’ le cui radici devono cadere al di fuori del cerchio
unitario nel campo complesso
AR(p) e’un processo stazionario solo se
1P
i=0
j ij < 1

se almeno una radice e’uguale a 1 1P
i=0
j ij = 1
Il Test di Dickey Fuller per un AR(p) si basa sulla seguente
speci…cazione (seguendo gli stessi passaggi visti per (2))
yt = + t + 'yt 1 +
dove ' =
pP
i=1 i
!
1.5 Processi ARMA
ARMA(1,1)
ARMA(p,q)
p 1
P
1; i = p P
i=1 i
yt = + yt 1 + "t + "t 1
i=1 i yt i + "t
yt = + 1yt 1 + 2yt 2 + :: + pyt p
+"t + 1"t 1 + :: + q"t q

1.6 Funzione di autocorrelazione parziale
Autocorrelazione parziale fra yt e yt p denominata pp e’
un legame di correlazione fra yt e yt p al netto dell’in‡uenza
esercitata dai termini intermedi yt 1; :::yt p+1
yt = + 1yt 1 + "t ) ^ 11
yt = + 1yt 1 + 2yt 2 + "t ) ^ 22 stima di 2
Nota che per un AR(p) il ^ kk = 0 8k > p .
Per esempio AR(1) il ^ 22 = ^ 33 = ::: = 0
Per un MA(1) PACF convergono verso zero piu’o meno
rapidamente
In un ARMA (p,q) sia la ACF che la PACF non tagliano
mai zero ma convergono a zero asintoticamente.

2 Speci…cazione stima e controllo
diagnostico - Regole generali
1) Identi…cazione
2) Stima
3) Controllo diagnostico
2.1 Identi…cazione
E’una procedura iterativa
Scelta del tipo di modello AR o MA e del loro ordine.
Guardare le AFC e PACF e confrontare

1. AR (p) stazionaria la ACF decade geometricamente
la PACF taglia dopo p periodi
2. MA(q) ACF taglia dopo q periodi mentre la PACF
decade geometricamente
3. ARMA(p,q) non c’è in nessuno dei due casi un taglio
netto
2.2 Stima ARMA
1. AR(p) OLS corretto consistente ed e¢ ciente MLE
2. MA(q) OLS non e’possibile perche’i regressori sono
incogniti. Si utilizza la stima MLE che richiede
un’ipotesi sulla distribuzione dei termini di disturbo
e procedure numeriche di massimizzazione
3. ARMA(p,q) vedi punto 2

2.3 Controllo diagnostico
La speci…cazione scelta e’adatta ai …ni previsivi?
1. SOVRAPARAMETRIZZATO i coe¢ cienti sono signi…cativi?
coe¢ cienti relativi all’ordine p o q scelti
! se i coe¤ relativi agli ordini troppo alti sono non
signi…cativi si possono ridurre i parametri da stimare
t test o F test
2. SOTTOPARAMETRIZZATO
yt = ^c + ^ 1yt 1 + ^ 2yt 2 + ^ 3yt 3 +
^"t + ^ 1^"t 1 + ^ 2^"t 2 + ^ 3^"t 3 + ^ 4^"t 4
^ 4 e’ signi…cativo? La parsimonia e’ un principio
fondamentale
Veri…care l’ipotesi di autocorrelazione dei residui
=)errata speci…cazione

Model selection criteria: Akaike Information Criterion
e Schwarz Bayesian Criterion
AIC(p) = T log(^ 2 ) + 2p
SBC(p) = T log(^ 2 ) + p log T
^ 2 = RSS=(n p). La regole e’ di scegliere il
modello con piu’basso AIC e SBC
3 Modelli dinamici con variabili stazionar
Modello autoregressivo a ritardi distribuiti
yt = + yt 1 + 0xt + 1xt 1 + "t (3)
dove "t W N indipendente da yt 1; yt 2 e xt; xt 1.
Calcolando le derivate parziali possiamo calcolare il moltiplicatore
d’impatto. E¤etto di xt su yt
@yt
@xt
= 0

L’e¤etto dopo un periodo e’dato da
@yt+1
@xt
dopo due periodi
= @yt
@xt
@yt+2
+ 1 = 0 + 1
= ( 0 + 1)
@xt
Se j j < 1 gli e¤etti superiori al primo sono decrescent.
iIl moltiplicatore di lungo periodo (o moltiplicatore di
equilibrio) e’
@yt
@xt
+ @yt+1
@xt
+ @yt+2
@xt
+ ::: =
0 + ( 0 + 1) + ( ( 0 + 1)) + ::: = 0 + 1
1
Allo stesso risultato si giunge calcolando il valore atteso
della (3)
E(yt) = + E(yt 1) + 0E(xt) + 1E(xt 1)
= 1
+ 0 + 1
E(xt)
1
Il modello (3) puo’essere stimato con il metodo OLS a
condizione che E(xt"t) = 0