1 Modelli per serie storiche univariate

1 Modelli per serie storiche univariate
Caratteristiche delle serie storiche:
{yt}
l’ordine t non puo’ essere variato; v.c. non indipendenti; non replicabili (i dati si
ottengono da una sola realizzazione) bisogna dunque essere rigorosi nello specificare
la natura stocastica del modello, i.e. valora atteso, varianza, covarianza, autocovar-
ianza, autocorrelazione.
Le serie storiche sono soprattutto utili a fare previsioni
1.1 Processo autoregressivo di ordine 1
Un processo tipico e fra l’altro già incontrato e’ il processo Autoregressivo di
ordine uno
yt = δ + θyt−1 + εt
θ non ha un interpretazione casuale. Assumendo che
1. |θ| < 1
2. εt e’ un processo white noise, omoschedastico e privo di autocorrelazione.
E(yt) = δ + θE(yt−1)
µ = E(yt) =
δ
1 − θ
definendo cyt come yt centrato cyt = yt − µ riscriviamo la (1) come
cyt = θcyt−1 + εt
Dal punto di vista della notazione spesso piu’ utile specificare i modelli per serie
storiche in termini di cyt piuttosto che di yt
V (yt) = V (δ + θyt−1 + εt)
= (θ 2 V (yt−1) + σ 2 )
1
(1)

dato che V (yt) = V (yt−1)
V (yt) =
σ 2
1 − θ 2
Cov(ytyt−1) = E(cyt cyt−1)
= E [(θcyt−1 + εt) (cyt−1)]
= θV (yt)
= θ σ2
1 − θ 2
potete ottenere allo stesso modo che
k σ2
Cov(ytyt−k) = θ
1 − θ2 cioe’ la Cov(ytyt−k) dipende solo da k e non da t.
1.2 Processo a Media Mobile di ordine uno
yt = µ + εt + αεt−1
V (yt) = E(εt + αεt−1) 2
= E(εt) 2 + α 2 E(εt−1) 2
= (1 + α 2 )σ 2
Cov(ytyt−1) = E [(εt + αεt−1) (εt−1 + αεt−2)]
= αE ε 2
t−1
= ασ 2
Cov(ytyt−2) = 0
Cov(ytyt−k) = 0 per k = 2, 3, 4..
Se |θ| < 1 un processo AR puo’ essere riscritto come un processo MA infinito per
sostituzione di yt−1 = δ + θyt−2 + εt−1 in (1) otteniamo
continuando le sostituzioni si ottiene
dove n−1
θjεt−j e’ una componente MA
j=0
yt = µ + θ 2 (yt−2 − µ) + εt + θεt−1
yt = µ + θ n n−1
(yt−n − µ) + θ j εt−j
2
j=0

1.3 Operatore ritardo
Un modo alternativo di rappresentazione
AR(1) ⇒ yt = φ1yt−1 + εt
1.4 Stazionarieta’
Lyt = yt−1
L j yt = yt−j
yt − φ1yt−1 = εt
(1 − φ1L)yt = εt
yt =
εt
1 − φ1L
La stazionarieta’ e’ importantissima per la previsione
In senso stretto l’intera distribuzione di probabilita’ congiunta a qualsiasi
insieme di date non e’ influenzata da uno slittamento arbitrario lungo l’asse del
tempo.
In senso debole Media, Varianza e Covarianza (e non l’intera distribuzione)
sono indipendenti dal tempo. La covarianza dipende solo dalla lunghezza dell’intervallo
che separa due osservazioni.
E(yt) = µ < ∞
V (yt) = γ0 < ∞
Cov(ytyt−k) = γk, k = 1, 2, 3..
Esempio Processo White Noise: Siamo in presenzadi stazionarieta’ in senso forte
perche’ la distribuzione normale dipende solo dalla media e dalla varianza che sono
costanti nel tempo.
εt ∼ N(0, σ 2 ε)
3

In questo caso abb autocovarianza
autocorrelazione
γk = Cov(yt, yt−k) = Cov(yt−k, yt)
ρk = Cov(yt, yt−k)
V (yt)
= γk
γ0
Funzione di autocorrelazione ACF: autocorrelazioni in funzione di k. Descrive la
dipendenza fra le osservazioni.
Per k = 2, 3, 4..
processo AR(1)
processo MA(1)
yt = δ + θyt−1 + εt
θ
=
k
σ2 1−θ2
= θ k
ρk = γk
γ0
σ 2
1−θ 2
yt = µ + εt + αεt−1
ρ1 = γ1 ασ
=
2
(1 + α2 α
=
)σ2 1 − α2 γ0
e ρk = γk
γ0
=
0
(1 + α2 = 0
)σ2 1.5 Stazionarieta’ e radici unitarie
I processi MA(1) sono sempre stazionari.
Un processo AR(1) si dice stazionario quando |θ| < 1
Processi autoregressivi non stazionari:
yt = δ + θyt−1 + εt
1. Processi Differenza Stazionari (DS), (in (1) θ = 1)
Es.:
Random Walk yt = yt−1 + εt
Random Walk plus drift yt = δ + yt−1 + εt
V (cyt) = V (cyt−1) + σ 2
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Non c’è soluzione a meno che σ 2 = 0, la varianza è infinita sia che θ = 1 e
θ > 1.
In alcuni casi e’ sufficiente calcolare le differenze per trasformare una serie non
stazionaria in stazionaria. Un random walk (processo non stazionario) si trasforma
in un white noise ( processo stazionario)
yt − yt−1 = δ + εt
Integrato di ordine uno I(1) ∆yt = (yt − yt−1)
Integrato di ordine due I(2) ∆ 2 yt = (∆yt − ∆yt−1)
1. Processi Trend Stazionari (TS). Processi di lungo periodo che hanno la
media non costante nel tempo.
yt = δ + γt + εt
{δ + γt} trend deterministico. E’ un processo trend stazionario nel senso che
basta eliminare un trend (detrendizzare) e diventa stazionario.
1.6 Test di radice unitaria: Test di Dickey Fuller
Per il processo AR(1)
yt = δ + θyt−1 + εt
il test θ = 1 corrisponde al test di radice unitaria. Dickey Fuller (1979) dimostrano
che, dato che yt non e’ stazionario, lo stimatore OLS di ˆ θ non ha una distribuzione
t. Dunque in alternativa e’ stata proposta la seguente statistica
DF = ˆ θ − 1
s.e.( ˆ θ)
dove ˆ θ e’ stimato tramite un OLS ma i valori critici sono ricavati da una distribuzione
corretta.
H0 : θ = 1 Random Walk DS
H1 : |θ| < 1 Stazionario
al 5% tDF = 2, 86
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Per convenienza di solito si riscrive il modello come
dato che
∆yt = δ + (θ − 1) yt−1 + εt
yt − yt−1 = δ + θyt−1 − yt−1 + εt
e si sottopone a test H0 : (θ − 1) = 0. Nota che questa specificazione e’ robusta a
problemi di autocorrelazione dei residui.
Di solito siamo interessati a 2 casi in particolare:
1. Processo stazionario attorno ad una intercetta
si procede con un F − test
yt = δ + θyt−1 + εt
H0 : Random Walk
H1 : Stazionario con intercetta
∆yt = δ + (θ − 1) yt−1 + εt
H0 : δ = (θ − 1) = 0
2. Processo stazionario attorno ad un trend con intercetta
H0 : Random Walk
yt = δ + θyt−1 + γt + εt
H1 : Stazionario ad un trend con intercetta
∆yt = δ + (θ − 1) yt−1 + γt + εt
H0 : δ = (θ − 1) = γ = 0
Nota che poiche’ i test di radice unitaria hanno potenza piu’ bassa dei test di
significativita’ dei coefficienti e’ stata proposta una alternativa: il KPSS. Questo
test si basa sull’idea che ogni serie storica e’ una somma di un trend deterministico,
un random walk e un termine d’errore stazionario. Sotto H0 di processo stazionario
attorno ad un trend o no
6
(2)

1. primo passo OLS yt = δ + γt + εt ⇒ ˆεt = et
2. somme parziali st = t
s=1 es per ogni t.
KP SS =
7
T
t=1 s2 t
ˆσ 2