1 Modelli per serie storiche univariate

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In questo caso abb autocovarianza autocorrelazione γk = Cov(yt, yt−k) = Cov(yt−k, yt) ρk = Cov(yt, yt−k) V (yt) = γk γ0 Funzione di autocorrelazione ACF: autocorrelazioni in funzione di k. Descrive la dipendenza fra le osservazioni. Per k = 2, 3, 4.. processo AR(1) processo MA(1) yt = δ + θyt−1 + εt θ = k σ2 1−θ2 = θ k ρk = γk γ0 σ 2 1−θ 2 yt = µ + εt + αεt−1 ρ1 = γ1 ασ = 2 (1 + α2 α = )σ2 1 − α2 γ0 e ρk = γk γ0 = 0 (1 + α2 = 0 )σ2 1.5 Stazionarieta’ e radici unitarie I processi MA(1) sono sempre stazionari. Un processo AR(1) si dice stazionario quando |θ| < 1 Processi autoregressivi non stazionari: yt = δ + θyt−1 + εt 1. Processi Differenza Stazionari (DS), (in (1) θ = 1) Es.: Random Walk yt = yt−1 + εt Random Walk plus drift yt = δ + yt−1 + εt V (cyt) = V (cyt−1) + σ 2 4
Non c’è soluzione a meno che σ 2 = 0, la varianza è infinita sia che θ = 1 e θ > 1. In alcuni casi e’ sufficiente calcolare le differenze per trasformare una serie non stazionaria in stazionaria. Un random walk (processo non stazionario) si trasforma in un white noise ( processo stazionario) yt − yt−1 = δ + εt Integrato di ordine uno I(1) ∆yt = (yt − yt−1) Integrato di ordine due I(2) ∆ 2 yt = (∆yt − ∆yt−1) 1. Processi Trend Stazionari (TS). Processi di lungo periodo che hanno la media non costante nel tempo. yt = δ + γt + εt {δ + γt} trend deterministico. E’ un processo trend stazionario nel senso che basta eliminare un trend (detrendizzare) e diventa stazionario. 1.6 Test di radice unitaria: Test di Dickey Fuller Per il processo AR(1) yt = δ + θyt−1 + εt il test θ = 1 corrisponde al test di radice unitaria. Dickey Fuller (1979) dimostrano che, dato che yt non e’ stazionario, lo stimatore OLS di ˆ θ non ha una distribuzione t. Dunque in alternativa e’ stata proposta la seguente statistica DF = ˆ θ − 1 s.e.( ˆ θ) dove ˆ θ e’ stimato tramite un OLS ma i valori critici sono ricavati da una distribuzione corretta. H0 : θ = 1 Random Walk DS H1 : |θ| < 1 Stazionario al 5% tDF = 2, 86 5
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