Lezione 4 La progressivita'
Lezione 4 La progressivita'
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1 Definizioni<br />
<strong>Lezione</strong> 4<br />
<strong>La</strong> progressivita’<br />
Ernesto Longobardi e Vito Peragine<br />
Riprendiamo alcune definizioni gia’ introdotte nella <strong>Lezione</strong> 1. Considerando<br />
una generica base imponibile x (reddito, consumo, patrimonio,...) e una funzione<br />
di imposta t,<br />
T = t(x)<br />
è il debito d’imposta (o semplicemente l’imposta) corrispondente a x.<br />
Definizione 1. L’aliquota media è data dal rapporto tra l’imposta e la base<br />
imponibile:<br />
¯t = T<br />
x<br />
Definizione 2. L’aliquota marginale t0 è data dal rapporto tra la variazione<br />
dell’imposta e la variazione della base imponibile:<br />
t 0<br />
= t (x + ∆x) − t (x)<br />
∆x<br />
dove ∆x e’ la variazione di base imponibile. Nel caso di funzione differenziabile:<br />
t 0<br />
= dt (x)<br />
dx<br />
Definizione 3. Un’imposta è progressiva se l’aliquota media cresce al crescere<br />
del reddito, proporzionale se l’aliquota media è costante al crescere del reddito,<br />
regressiva se l’aliquota media diminuisce al crescere del reddito.<br />
funzione d’imposta differenziabile, avremo:<br />
Nel caso di<br />
d (t (x) /x)<br />
dx<br />
> 0 ⇔ imposta progressiva<br />
d (t (x) /x)<br />
= 0 ⇔ imposta proporzionale<br />
dx<br />
d (t (x) /x)<br />
< 0 ⇔ imposta regressiva<br />
dx<br />
Sviluppando la derivata dell’aliquota media rispetto alla base imponibile<br />
otteniamo:<br />
d (t (x) /x)<br />
dx<br />
Segue che la Definizione 3 equivale alla:<br />
= t0 x − t (x)<br />
x 2<br />
1<br />
= t0 − ¯t<br />
x
Longobardi - Peragine 2<br />
Definizione 4. Un’imposta è progressiva se l’aliquota marginale è superiore<br />
all’aliquota media, proporzionale se l’aliquota marginale è eguale all’aliquota<br />
media, regressiva se l’aliquota marginale è inferiore all’aliquota media:<br />
t 0<br />
> ¯t ⇔ imposta progressiva<br />
t 0<br />
= ¯t ⇔ imposta proporzionale<br />
t 0<br />
< ¯t ⇔ imposta regressiva<br />
1.1 Un esempio di imposte regressive: le imposte in somma<br />
fissa.<br />
Un’imposta in somma fissa (lump sum tax) stabilisce un debito d’imposta uguale<br />
per ogni individuo, indipendentemente dal livello di reddito. Ha quindi la forma<br />
t (x) =S, con S>0. Tale imposta sara’ regressiva: infatti, dati due reddity x<br />
e y, con x>y,le aliquote medie corrispondenti saranno S<br />
x<br />
e S<br />
y .Poiche’x>y<br />
seguira’ che S S<br />
x < y . In generale, data una base imponibile x e un’imposta in<br />
somma fissa pari a S, avremo:<br />
¯t<br />
t (x) S<br />
= = > 0<br />
x x<br />
t 0 dt (x) dS<br />
= =<br />
dx dx =0<br />
d (¯t (x))<br />
=<br />
dx<br />
d ¡ ¢<br />
S<br />
x S<br />
= − < 0<br />
dx x2 Poiche’ l’aliquota media risulta essere decrescente (e maggiore dell’aliquota<br />
marginale), l’imposta e’ regressiva. Si noti anche che, nel caso di imposta in<br />
somma fissa, l’aliquota marginale e’ sempre pari a zero.<br />
2 Letecnichedellaprogressivita’<br />
2.1 Progressivita’ per detrazione<br />
<strong>La</strong> detrazione e’ un abbattimento del debito d’imposta. Data una base imponibile<br />
x, una funzione d’imposta t, e una detrazione det > 0, il debito d’imposta<br />
e’ dato da:<br />
T = t (x) − det .<br />
Per dimostrare che la presenza di detrazioni assicura la progressivita’ di un’imposta,<br />
assumiamo che t () sia una funzione d’imposta proporzionale, tale che<br />
t (x) =tx. In questo caso avremo:<br />
T = tx − det<br />
e quindi<br />
¯t = T<br />
x<br />
det<br />
= t −<br />
x<br />
d (tx)<br />
=<br />
dx<br />
t 0 = dT<br />
= t<br />
dx<br />
Poiche’ l’aliquota marginale risulta essere maggiore dell’aliquota media, l’imposta<br />
e’ progressiva.
Longobardi - Peragine 3<br />
2.2 Progressivita’ per deduzione<br />
<strong>La</strong> deduzione e’ un abbattimento della base imponibile. Data una base imponibile<br />
x, una funzione d’imposta t () ed una deduzione ded > 0, il debito d’imposta<br />
e’ dato da:<br />
T = t (x − ded)<br />
Anche in questo caso, per dimostrare che la presenza di detrazioni rende progressiva<br />
un’imposta, assumiamo che t () sia una funzione d’imposta proporzionale,<br />
tale che t (x) =tx. In questo caso avremo:<br />
T = tx − tded<br />
e quindi<br />
¯t = T<br />
x<br />
tded<br />
= t −<br />
x<br />
d (tx − tded)<br />
=<br />
dx<br />
t 0 = dT<br />
= t<br />
dx<br />
Poiche’ l’aliquota marginale risulta essere maggiore dell’aliquota media, l’imposta<br />
e’ progressiva.<br />
2.3 Detrazioni e deduzioni: un confronto<br />
In caso di funzione d’imposta proporzionale con aliquota t, una deduzione sara’<br />
equivalente ad una detrazione, purche’ si ponga:<br />
det = tded<br />
L’equivalenza non vale quando si assuma una funzione d’imposta non proporzionale.<br />
Possiamo calcolare l’effetto di un incremento dell’onere deducibile (o detraibile)<br />
sull’imposta dovuta. Nel caso di detrazione avremo:<br />
dT d (t (x) − det)<br />
= = −1<br />
d det d det<br />
Nel caso di deduzione:<br />
dT d (t (x − ded))<br />
= = −t<br />
dded dx<br />
0<br />
Dunque, la riduzione di debito d’imposta risulta essere costante nel caso di<br />
detrazione, crescente con l’aliquota marginale nel caso di deduzione.<br />
2.4 Progressivita’ per scaglioni<br />
Data una distribuzione di redditi, si stabiliscono m livelli di reddito (0 = s0
Longobardi - Peragine 4<br />
3 Le misure locali della progressività<br />
Le misure locali della progressivita’ sono calcolate con riferimento ad un particolare<br />
valore del reddito imponibile. Segue che la stessa funzione d’imposta<br />
puo’ presentare diversi gradi di progressivita’ in corrispondenza di diversi livelli<br />
di reddito.<br />
Una misura locale o puntuale della progressività è data dall’elasticità del<br />
gettito (liability progression).<br />
Definizione 5. L’elasticità del gettito è data dal rapporto tra la variazione<br />
percentualedelgettitoelavariazionepercentualedellabaseimponibile:<br />
Nel caso continuo risulta:<br />
η T x =<br />
η T x =<br />
dt(x)<br />
t(x)<br />
dx<br />
x<br />
<strong>La</strong> definizione 5 equivale pertanto alla:<br />
∆T<br />
T<br />
∆x<br />
x<br />
=<br />
= t0<br />
¯t<br />
dt(x)<br />
dx<br />
t(x)<br />
x<br />
= t0<br />
¯t<br />
Definizione 6. L’elasticità del gettito è data dal rapporto tra l’aliquota marginale<br />
e l’aliquota media.<br />
Risulta:<br />
η T x > 1 ⇔ l’imposta è progressiva<br />
η T x =1⇔ l’imposta è proporzionale<br />
η T x < 1 ⇔ l’imposta è regressiva<br />
Un’altra possibile misura della progressività è data dall’elasticità del reddito<br />
netto (residual progression).<br />
Definizione 7. L’elasticità del reddito netto è data dal rapporto tra la variazione<br />
percentuale del reddito netto e la variazione percentuale della base imponibile<br />
(reddito lordo):<br />
η x−T<br />
x<br />
Nel caso continuo risulta:<br />
Risulta:<br />
η x−T<br />
x<br />
η x−t<br />
x<br />
η x−t<br />
x<br />
=<br />
η x−t<br />
x<br />
=<br />
∆(x−T )<br />
(x−T )<br />
∆x<br />
x<br />
d(x−t(x))<br />
x−t(x)<br />
dx<br />
x<br />
=<br />
=<br />
(x2−T2)−(x1−T1)<br />
(x1−T1)<br />
x2−x1<br />
x1<br />
d(x−t(x))<br />
dx<br />
x−t(x)<br />
x<br />
= 1 − t0<br />
1 − ¯t<br />
< 1 ⇔ l’imposta è progressiva<br />
=1⇔ l’imposta è proporzionale<br />
> 1 ⇔ l’imposta è regressiva<br />
(1)<br />
(2)<br />
(3)
Longobardi - Peragine 5<br />
4 <strong>La</strong> progressivita’: misure e confronti globali<br />
4.1 Definizioni<br />
Le misure globali della progressivita’ mirano a valutare l’impatto di una funzione<br />
d’imposta sull’intera distribuzione dei redditi.<br />
Si consideri una generica distribuzione di redditi x = {x1, ..., xn} ed una funzione<br />
d’imposta t () . Indicheremo con t = {t (x1) ,...,t(xn)} e x − t = { x1 −<br />
t (x1) , ..., xn − t (xn) } , rispettivamente, la distribuzione del prelievo e la distribuzione<br />
dei redditi netti.<br />
Assumiamo:<br />
• 0 ≤ t (x) ≤ x<br />
• 0 ≤ t0 ≤ 1 (ipotesi di assenza di riordinamento)<br />
Siano:<br />
• X = Pn i=1 xi<br />
• T =<br />
(reddito complessivo)<br />
Pn i=1 t (xi) (gettito totale dell’imposta)<br />
• µ x = X<br />
n (media della distribuzione dei redditi lordi)<br />
• ¯t = T<br />
X (aliquota media o incidenza dell’imposta)<br />
• µ(1 − ¯t) = X−T<br />
n (media della distribuzione dei redditi netti)<br />
Definizione 8. Data una distribuzione di redditi x = {x1, ..., xn} ed una funzione<br />
d’imposta t () definiamolacurvadiLorenzdeiredditilordi(Lx)<br />
Lx (j/n) =<br />
P j<br />
i=1 xi<br />
X<br />
la curva di Lorenz dei redditi netti (Lx−t)<br />
Pj i=1<br />
Lx−t (j/n) =<br />
(xi − t (xi))<br />
X − T<br />
e la curva di Lorenz del prelievo (Lt)<br />
Pj i=1 t (xi)<br />
Lt (j/n)=<br />
T<br />
j =1, ..., n<br />
j =1, ..., n<br />
j =1, ..., n<br />
Lx indica la disuguaglianza nei redditi lordi, Lx−t la disuguaglianza nei<br />
redditi netti, e Lt la disuguaglianza nel prelievo.<br />
Dalla Definizione 8 otteniamo che, per ogni j =1, ...n,<br />
jX<br />
XLx =<br />
(X − T ) Lx−t =<br />
TLt =<br />
xi<br />
i=1<br />
jX<br />
(xi − t (xi))<br />
i=1<br />
jX<br />
t (xi)<br />
i=1
Longobardi - Peragine 6<br />
Poiche’ P j<br />
i=1 (xi − t (xi)) = P j<br />
i=1 xi − P j<br />
i=1 t (xi) , otteniamo<br />
(X − T ) Lx−t = XLx − TLt<br />
Dividendo tutti i membri per X, ricordando che ¯t = T<br />
X , e isolando Lx otteniamo<br />
la seguente relazione:<br />
Lx =(1−¯t) Lx−t + ¯tLt<br />
(3)<br />
Dunque, data una distribuzione x ed un’imposta t, la curva di Lorenz dei<br />
redditi lordi risulta essere una media ponderata della curva di Lorenz dei redditi<br />
netti e della curva di Lorenz del prelievo. Da questa identita’ discendono alcune<br />
¯t<br />
proprieta’ interessanti. Una prima conseguenza e’ che, essendo 1−¯t maggiore<br />
di zero, Lx−t >Lx se e solo se Lx >Lt : la disuguaglianza nei redditi netti<br />
sara’ minore della disuguaglianza nei redditi lordi se e solo se quest’ultima e’<br />
minore della disuguaglianza nel prelievo. In altri termini, l’imposta sara’ in<br />
grado di ridurre le disuguaglianze se e solo se la disuguaglianza del prelievo<br />
e’ maggiore della disuguaglianza dei redditi lordi. Maggiore la dispersione del<br />
prelievo, maggiore la riduzione della disuguaglianza operata dallo stesso.<br />
4.2 Progressivita’ e disuguaglianza<br />
Proposizione 1. (Fellman, 1976, Jakobsson,1976): Data una funzione d’imposta<br />
t () ,Lx−t ≥ Lx ≥ Lt per qualsiasi distribuzione di redditi x seesolose<br />
≥ 0, ∀x ∈ x.<br />
d(t(x)/x)<br />
dx<br />
In base al teorema di Fellman e Jakobsson, la progressivita’ dell’imposta e’<br />
condizione necessaria e sufficiente perche’ il prelievo riduca la disuguaglianza,<br />
qualunque sia la distribuzione dei redditi di partenza. Se l’imposta e’ progressiva,<br />
allora potremo essere sicuri che, per qualsiasi distribuzione dei redditi, il<br />
prelievo avra’ l’effetto di ridurre il grado di disuguaglianza. Viceversa, per poter<br />
concludere che l’imposta e’ progressiva, e’ necessario che la relazione di dominanza<br />
fra le tre distribuzioni (redditi netti, redditi lordi e prelievo) valga per<br />
tutte le possibili distribuzioni di reddito. Si tratta di un risultato fondamentale,<br />
in quanto stabilisce il legame tra il principio dell’equita’ verticale, cui e’ di solito<br />
associato l’obiettivo di riduzione delle disuguaglianze tra i contribuenti, e la<br />
struttura progressiva dell’imposta. Si rilevi, tuttavia, che questo risultato poggia<br />
su una determinata nozione di disuguaglianza: quella implicita nel concetto<br />
di dominanza di Lorenz.<br />
Sulla base dello stesso teorema, un’imposta proporzionale sara’ tale da mantenere<br />
invariata la disuguaglianza nella distribuzione dei redditi.<br />
Le imposte proporzionali<br />
Un’imposta proporzionale ha la forma t (x) =tx, dove t rappresenta<br />
sia l’aliquota media sia l’aliquota marginale:<br />
¯t =<br />
t (x) tx<br />
= = t<br />
x x<br />
t 0 =<br />
d (t (x)) d (tx)<br />
= = t<br />
dx dx<br />
Data una qualsiasi distribuzione x = {x1,...,xn} ed un’imposta proporzionale<br />
ad aliquota t, la distribuzione del prelievo corrispondente
Longobardi - Peragine 7<br />
sara’ t = {tx1, ..., txn} , e la relativa distribuzione dei redditi netti<br />
sara’ x − t = {x1 (1 − t) , ..., xn (1 − t)} . In base alla proprieta’ di<br />
invarianza alla scala, le curve di Lorenz relative alle distribuzioni<br />
x, t ed x − t coincideranno: Lx = Lg = Lx−g.<br />
4.3 Progressivita’ ed effetto redistributivo di un’imposta<br />
Il confronto tra le curve Lx−t,Lx e Lt consente di mettere in rilievo due aspetti<br />
distinti di un’imposizione progressiva.<br />
Il primo aspetto e’ basato sul confronto tra Lx e Lt. Si consideri che, nel<br />
caso di un’imposta proporzionale g applicata ad una distribuzione x, Lx = Lg =<br />
Lx−g. Segue che la differenza (Lx − Lt) e’ equivalente alla differenza (Lg − Lt) ,<br />
e dunque e’ intepretabile come distanza dell’imposta progressiva t da un’imposta<br />
puramente proporzionale g applicata alla stessa distribuzione di partenza.<br />
Dunque la differenza tra la disuguaglianza dei redditi lordi e la disuguaglianza<br />
nel prelievo (Lx − Lt) , misura lo scostamentoodistanzadell’impostat dalla<br />
proporzionalita’:<br />
DPx,t =(Lx − Lt) =(Lg − Lt)<br />
Il secondo aspetto, basato sul confronto tra la disuguaglianza dei redditi netti<br />
e quella dei redditi lordi (Lx−t − Lx), indica la riduzione della disuguaglianza<br />
operata del prelievo. Questo effetto e’ noto come effetto redistributivo dell’imposta:<br />
ERx,t =(Lx−t − Lx)<br />
<strong>La</strong> dizione effetto redistributivo merita una chiarimento. In verita’, non si<br />
tratta di redistribuzione in senso stretto, un’imposta operando solo sottrazione<br />
di reddito e non trasferimenti positivi. Tuttavia, si consideri una distribuzione<br />
x, un’imposta progressiva t e un’imposta proporzionale g che assicuri lo stesso<br />
gettito di t. In base al teorema di Jakobsson e Fellman sappiamo che<br />
Lx−t >Lx−g = Lx<br />
Si ricordi anche che, in base al Teorema Fondamentale della Disuguaglianza, per<br />
ogni coppia di distribuzioni x e y aventi la stessa media, x dominera’ y ai sensi<br />
di Lorenz se e solo se x puo’ essere ottenuta da y mediante una sequenza di<br />
trasferimenti alla Robin Hood. Segue che, poiche’ Lx−t >Lx−g, e per ipotesi le<br />
distribuzioni x − t e x − g hanno la stessa media, la distribuzione x − t potra’<br />
essere ottenuta dalla distribuzione x − g mediante una serie di trasferimenti<br />
allaRobinHood.Indefinitiva, il passaggio dalla distribuzione originaria x alla<br />
distribuzione dei redditi netti x − t puo’ essere cosi’ scomposta:<br />
1) x → x − g<br />
2) x − g → x − t<br />
In un primo tempo alla distribuzione x e’ applicata un’imposta proporzionale<br />
g cheassicurilostessogettitodit, ottenendo in questo modo la distribuzione<br />
x − g. Alla distribuzione x − g e’ quindi applicata una serie di trasferimenti di<br />
pura redistribuzione in modo da ottenerere la distribuzione x − t. L’impatto di
Longobardi - Peragine 8<br />
un’imposta progressiva puo’ dunque essere intepretata come l’effetto congiunto<br />
di un’imposta proporzionale di pari gettito e di una serie di trasferimenti di pura<br />
redistribuzione come i trasferimenti alla Robin Hood.<br />
Possiamo ora chiederci quale relazione esista tra l’effetto redistributivo di<br />
un’imposta e lo scostamento della stessa dalla proporzionalita’. Ricordiamo<br />
che, data una distribuzione x ed un’imposta t, tra le curve Lx, Lx−t ed Lt esiste<br />
la seguente relazione:<br />
Lx =(1− ¯t) Lx−t + ¯tLt<br />
Sottraendo ¯tLx ad entrambi i lati otteniamo<br />
Lx − ¯tLx = (1−¯t) Lx−t + ¯tLt − ¯tLx<br />
(1 − ¯t) Lx = (1−¯t) Lx−t + ¯t (Lt − Lx)<br />
(1 − ¯t)(Lx − Lx−t) = ¯t (Lt − Lx)<br />
dividendo per (1 − ¯t) e cambiando di segno infine otteniamo<br />
Lx−t − Lx = ¯t<br />
1 − ¯t (Lx − Lt)<br />
Questa identita’ mette in rilievo la relazione tra l’effetto redistributivo elo<br />
scostamento dell’imposta t dalla proporzionalita’:<br />
ERx,t = ¯t<br />
1 − ¯t DPx,t<br />
(4)<br />
Poiche’ il primo termine a destra e’ una funzione che cresce con l’incidenza<br />
complessiva del prelievo (¯t), l’intepretazione della identita’ e’ la seguente.<br />
L’effetto redistributivo di un’imposta dipende positivamente da due fattori:<br />
l’incidenza complessiva del prelievo e lo scostamento dalla proporzionalita’.<br />
E’ evidente che, a parita’ di aliquota media, l’effetto redistributivo cresca<br />
al crescere del grado di progressivita’. <strong>La</strong> relazione 4 dimostra che la redistribuzione<br />
potrebbe anche aumentare lasciando invariata la progressivita’ e aumentando<br />
l’incidenza del prelievo. Viceversa, una riduzione proporzionale delle<br />
aliquote esistenti avrebbe l’effetto di lasciare inalterato il grado di progressivita’<br />
dell’imposta; tuttavia, riducendo l’incidenza del prelievo, attenuerebbe la<br />
capacita’ dello stesso di avvicinare le posizioni economiche dei contribuenti.<br />
4.4 Progressivita’ ed effetto redistributivo: ordinamenti<br />
incompleti<br />
E’ possibile utilizzare le nozioni di ER e DP al fine di formulare due criteri<br />
per il confronto globale di diverse strutture impositive sotto il profilo della<br />
progressivita’.<br />
Criterio 1. Data una distribuzione dei redditi x =(x1, ..., xn) , eduealternative<br />
funzioni d’imposta t1 e t2, diremo che t1 e’ preferita a t2 in base<br />
all’effetto redistributivo (t1 ºER t2) seesolose<br />
ERx,t1 (j/n) ≥ ERx,t2 (j/n) , ∀j<br />
Si noti che ERx,t1 ≥ ERx,t2 se e solo se Lx−t1 ≥ Lx−t2 .
Longobardi - Peragine 9<br />
Criterio 2. Data una distribuzione dei redditi x =(x1, ..., xn) , e due alternative<br />
funzioni d’imposta t1 e t2, diremo che t1 e’ preferita a t2 in base allo<br />
scostamento dalla proporzionalita’ (t1 ºDP t2) se e solo se<br />
DPx,t1 (j/n) ≥ DPx,t2 (j/n) , ∀j<br />
Si noti che DPx,t1 ≥ DPx,t2, seesoloseLt2 ≥ Lt1.<br />
Si tratta, com’e’ evidente, di ordinamenti incompleti: in caso di intersezione<br />
delle curve di Lorenz relative ai redditi netti (o al prelievo) ottenuti utilizzando<br />
le due funzioni d’imposta, non saremo in grado di ordinare le stesse in base alla<br />
progressivita’.<br />
Data la relazione che lega l’effetto redistributivo e la distanza di un’imposta<br />
dalla proporzionalita’, e’ agevole individuare una relazione tra gli ordinamenti<br />
ºER e ºDP . Sia una distribuzione x e due funzioni d’imposta t1 e t2 : se ¯t1 ≥ ¯t2<br />
e t1 ºDP t2 , allora t1 ºER t2.<br />
Si noti ora la seguente relazione tra le misure locali di progressivita’ e i criteri<br />
di confronto globale appena introdotti. Dato un reddito x ed una funzione<br />
d’imposta t () , indichiamo con η x−t<br />
x<br />
l’elasticita’ del gettito. Abbiamo il seguente risultato:<br />
l’elasticita’ del reddito netto e con η t(x)<br />
x<br />
Proposizione 2. (Jakobsson, Kakwani) Date due funzioni d’imposta t1 e t2,<br />
1) t1 º ER t2 per qualsiasi distribuzione x ⇔ η x−t2<br />
x<br />
≥ η x−t1<br />
x , ∀x ∈ x<br />
2) t1 º DP t2 per qualsiasi distribuzione x ⇔ η t1<br />
x ≥ η t2<br />
x , ∀x ∈ x<br />
L’imposta t1 e’ piu’ progressiva dell’imposta t2 in base al criterio ºER se e<br />
solo se, in corrispondenza di ogni livello di reddito, t1 e’ piu’ progressiva di t2 in<br />
base all’elasticita’ del reddito netto. L’imposta t1 e’ piu’ progressiva dell’imposta<br />
t2 in base al criterio ºDP seesolose,in corrispondenza di ogni livello di reddito,<br />
t1 e’ piu’ progressiva di t2 in base all’elasticita’ del gettito.<br />
4.5 Progressivita’ ed effetto redistributivo: ordinamenti<br />
completi<br />
<strong>La</strong> valutazione dell’impatto redistributivo e del grado di progressivita’ globale<br />
di un’imposta puo’ anche essere ottenuta utilizzando degli indici sintetici di disuguaglianza<br />
e costruendo delle misure basate sul confronto della disuguaglianza<br />
nei redditi lordi, nei redditi netti e nel prelievo.<br />
Introduciamo due misure di progressivita’:<br />
• L’ indice di Reynolds-Smolensky, pari alla differenza tra l’indice di Gini<br />
dei redditi lordi e l’indice di Gini dei redditi netti, misura l’effetto<br />
redistributivo globale di un’imposta:<br />
π RS = G (x) − G (x − t)<br />
• L’ indice di Kakwani, pari alla differenza tra l’indice di Gini del prelievo e<br />
l’indice di Gini dei redditi lordi, e’ una misura globale della progressivita’<br />
di un’imposta:<br />
π K = G (t) − G (x)
Longobardi - Peragine 10<br />
Poiche’, data un’imposta proporzionale g ed una distribuzione x, Lx =<br />
Lg, e l’indice di Gini e’ basato sulla curva di Lorenz della distribuzione,<br />
otteniamo che G (x) = G (g). L’indice di Kakwani puo’ quindi essere<br />
riscritto come:<br />
π K = G (t) − G (g)<br />
e intepretato come una misura della scostamento dell’imposta t dalla<br />
proporzionalita’.<br />
Gli indici π RS e π K hanno una chiara interpretazione grafica: l’indice π RS<br />
e’ pari al doppio dell’area compresa tra la curva di Lorenz dei redditi netti<br />
e la curva di Lorenz dei redditi lordi; l’indice π K e’ uguale al doppio dell’area<br />
compresa tra la curva di Lorenz dei redditi lordi e la curva di Lorenz del prelievo.<br />
Infatti, poiche’, per qualsiasi distribuzione continua x, l’indice di<br />
Gini e’ definito come G (x) =1− 2 R 1<br />
0 Lx (p) dp, possiamo scrivere<br />
π RS = G (x) − G (x − t) =1− 2<br />
= 2<br />
Z 1<br />
0<br />
e, analogamente,<br />
[Lx−t (p) − Lx (p)] dp<br />
π K = G (t) − G (x) =1− 2<br />
= 2<br />
Z 1<br />
0<br />
Z 1<br />
[Lx (p) − Lt (p)] dp.<br />
0<br />
Z 1<br />
0<br />
Lx (p) dp − 1+2<br />
Lt (p) dp − 1+2<br />
Z 1<br />
0<br />
Z 1<br />
0<br />
Lx−t (p) dp<br />
Lx (p) dp<br />
Utilizzando gli indici π RS e π K sara’ sempre possibile effettuare dei confronti<br />
tra strutture impositive: siamo cioe’ in presenza di ordinamenti completi.<br />
Si noti che dalla identita’ 4 seguelaseguenterelazione:<br />
π RS = ¯t<br />
1 − ¯t πK<br />
(5)<br />
<strong>La</strong> relazione (5) esprime, questa volta attraverso indici sintetici, la scomposizione<br />
dell’effetto redistributivo di un’imposta in due componenti: l’incidenza<br />
del prelievo e lo scostamento dalla proporzionalita’.<br />
5 Progressivita’ e benessere sociale<br />
Abbiamo finora giustificato la progressivita’ di un’imposta sulla base degli effetti<br />
redistributivi ad essa associati. Possiamo ora chiederci qual’e’ la desiderabilita’<br />
sociale di tali effetti redistributivi.<br />
Ricordiamo il Teorema Fondamentale della Disuguaglianza: date due distribuzioni<br />
x ed y con media uguale, x domina y nel senso di Lorenz se e solo<br />
se x domina y secondo il criterio utilitaristico (si ricordi che la valutazione di<br />
una distribuzione x in base al criterio utilitaristico e’ effettuata attraverso la
Longobardi - Peragine 11<br />
seguente funzione del benessere sociale: W (x) = P<br />
i u (xi) , con u crescente e<br />
concava).<br />
Si consideri ora una distribuzione di redditi x, un’imposta progressiva t ed<br />
un’imposta proporzionale g. Si assuma inoltre parita’ di gettito, in modo che<br />
le distribuzioni dei redditi netti nel caso delle due imposte abbiano la stessa<br />
media: µ (1 − ¯t) =µ (1 − ¯g) .<br />
In base al teorema di Fellman e Jakobsson sappiamo che Lx−t ≥ Lx eche<br />
Lx = Lx−g. Per la proprieta’ transitiva, Lx−t ≥ Lx−g. Inoltre, µ (1 − ¯t) =<br />
µ (1 − ¯g) , e dunque possiamo applicare il Teorema Fondamentale della Disuguaglianza<br />
ed ottenere la seguente:<br />
Proposizione 3. A parita’ di gettito, un’imposta progressiva e’ preferita ad<br />
un’imposta proporzionale in base al criterio di benessere sociale utilitaristico.<br />
Il precedente teorema fornisce una rigorosa giustificazione normativa della<br />
progressivita’ di un’imposta.