Periodico di matematiche - Mathesis

24 Periodico di matematiche 1/2011
24 Periodico di matematiche ??/201?
Le ordinate dei punti di massimo e di minimo relativi sono rispettivamente
ϕ(xM)= 2
3a √ 6 (2aβ − 1) 3 2 − α e ϕ(xm)=− 2
3a √ 6 (2aβ − 1) 3 2 − α.
Mentre l’ordinata del minimo è sempre negativa, per l’ordinata del massimo invece si
ha
ϕ(xM) ≤ 0 per β ≤ 1
3 3 a2α 2
+
2a 2a 2
ϕ(xM) > 0 per β > 1
3 3 a2α 2
+
2a 2a 2 ·
Di conseguenza per 1
1 3 3 a2α 2
< β < + , avendo il massimo relativo di
2a 2a 2a 2
ϕ(x) ordinata negativa, l’equazione (2.2) ha una sola radice reale per cui esiste un solo
punto della parabola in cui la normale alla parabola passa per P e che quindi è posto
a distanza minima da P. Se invece risulta β > 1
3 3 a2α 2
+ , avendo il massimo
2a 2a 2
relativo di ϕ(x) ordinata positiva, l’equazione (2.2) ha tre soluzioni reali x1 < x2 < x3,
le prime due negative e la terza positiva. Ad esse corrispondono (vedi figure 3 e 4) tre
punti della parabola Q1, Q2, Q3, il terzo nel primo quadrante e i primi due nel secondo
quadrante, nei quali la distanza da P è stazionaria. Quello situato nel primo quadrante
ha distanza minima (assoluta) da P; nei punti Q1 e Q2 la distanza dal punto P presenta
rispettivamente un minimo ed un massimo relativi.
Figura 3. Punto P(α,β) esterno alla parabola y = 1
2 x2 e di ordinata
β > 1 + 3 3
α2 8 ·
Se risulta β = 1
3 3 a2α 2
+ i punti Q1 e Q2 coincidono in un punto di
2a 2a 2
inflessione della distanza dal punto P.
Se poniamo α = x e β = y, la relazione β = 1
3 3 a2α 2
+ si trasforma nel-
2a 2a 2
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