Periodico di matematiche - Mathesis

26 Periodico di matematiche 1/2011
26 Periodico di matematiche ??/201?
⎧
⎨
y =
Inoltre, dal sistema
⎩
1
3 3 a2x2 +
2a 2a 2
y = ax2 , si ottiene come risolvente, l’equazione
(4a2x2 + 1) 2 (a2x2 √
2
− 2) = 0 le cui radici reali sono ± per cui la curva γ incontra la
√ a
2 2
nostra parabola nei due punti ± , . Poiché
a a
1
2a è il raggio di curvatura rO della
parabola nel suo vertice O, abbiamo che la cuspide di γ e i punti di intersezione di γ
con la parabola hanno ordinata, rispettivamente, rO e 4rO.
Restando al semipiano delle ascisse positive, ma la stessa cosa si può dire per
simmetria anche per il semipiano delle ascisse negative, si hanno pertanto i seguenti
risultati:
– per ogni punto situato al di sotto di γ esiste un unico punto della parabola per il
quale la distanza da P è stazionaria e risulta minima;
– per ogni punto situato al di sopra di γ esiste un punto Q3 sull’arco di parabola appartenente
al primo quadrante che si trova a minima distanza da P ed esistono due punti
Q1, Q2 appartenenti all’arco della parabola contenuto nel secondo quadrante aventi
ascisse x1 < x2 nei quali la distanza da P è stazionaria e presenta, rispettivamente,
un minimo ed un massimo relativi;
– per ogni punto appartenente a γ esiste un punto Q dell’arco della parabola situato
nel primo quadrante che ha distanza minima da P e un altro punto Q ′ appartenente
all’arco della parabola situato nel secondo quadrante nel quale la distanza della
parabola da P è stazionaria e presenta un’inflessione, essendo essa decrescente sia a
sinistra che a destra di Q ′ . 1
✉ROCCO BRUNETTI
Dirigente scolastico a riposo.
brunettirocco@yahoo.it
1 le figure, 1, 2, 3, 4 sono state realizzate con il programma Cabrì Géomètre II plus; la figura 5 è
stata realizzata con il programma Derive 5.
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